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19．2　二次根式的乘法与除法
第1课时　二次根式的乘法
1．了解二次根式(根号下仅限于数)的乘法运算法则，会用它进行简单的运算．
2．理解·＝(a≥0，b≥0)，＝·(a≥0，b≥0)，并运用它们进行计算和化简．
知识点一　二次根式的乘法法则
1．·＝(a≥0，b≥0)．
练习1　(教材P6例1变式)计算：
(1)××；
(2)××．
【答案】(1)30　(2)0．6
知识点二　二次根式的乘法法则的逆用
2．＝·(a≥0，b≥0)．
练习2　计算或化简：
(1)；(2)·；
(3)；(4)．
【答案】(1)6　(2)6y　(3)12　(4)5
基础巩固
1．(2025·广东)计算×的结果是(　B　)．
A．3　 　 B．6 　 　
C． 　 D．2
2．(2025·江门期中)化简的结果是(　C　)．
A．100 B．60
C．40 D．20
3．对于任意实数a，下列各式一定成立的是(　D　)．
A．＝·
B．＝a＋6
C．＝－4
D．＝5a2
4．(2025·惠州期中)若＋＝0，则下列各数中，与的积为有理数的是(　A　)．
A． B．
C． D．
5．若＝·成立，则x的取值范围为______________________．
【答案】2≤x≤3
能力达标
6．若一个长方体的长为 cm，宽为3 cm，高为2 cm，则这个长方体的体积是________cm3．
【答案】12
7．计算：(－)2 026(＋)2 027＝________．
【答案】＋
8．(新定义)对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝，例如4※3＝＝，求8※12的值．
【答案】－
挑战创新
9．(2025·惠州月考)请阅读下列材料：
问题：已知x＝＋2，求代数式x2－4x－7的值．
小明根据二次根式的性质：()2＝a，联想到了以下的解题方法：
由x＝＋2，得x－2＝，则(x－2)2＝5，即x2－4x＋4＝5，所以x2－4x＝1．把x2－4x作为整体，得x2－4x－7＝1－7＝－6．
请回答下列问题：
(1)已知x＝－3，求代数式x2＋6x＋8的值；
(2)已知x＝，求代数式x3＋x2的值．
【答案】(1)2　(2)第2课时　二次根式的除法
1．利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则＝(a≥0，b＞0)和商的算术平方根的性质＝(a≥0，b＞0)．
2．了解二次根式(根号下仅限于数)的除法运算法则，会用它进行简单的运算．
3．了解最简二次根式的概念．
知识点一　二次根式的除法法则
1．＝(a≥0，b＞0)．
练习1　(教材P8例4变式)下列运算正确的是( )．
A．÷＝ B．4÷2＝
C．＝ D．÷＝3
知识点二　二次根式的除法法则的逆用
2．＝(a≥0，b＞0)．
练习2　设a>0，b>0，则下列运算错误的是( )．
A．＝· B．＝＋
C．()2＝a D．＝
知识点三　最简二次根式
3．最简二次根式必须满足下列两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式．
练习3　下列式子中，属于最简二次根式的是( )．
A．　 B．　　
C．　 D．
知识点四　二次根式的乘除混合运算
练习4　计算3÷×的结果为( )．
A．3 B．9
C．1 D．3
基础巩固
1．(2025·阳江期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是( )．
A． B．
C． D．
2．设＝a，＝b，用含a，b的代数式表示是________．
3．化简：
(1)＝________；
(2)＝________(x＞0，y＞0)．
4．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“ ”如下：a b＝，如：3 2＝＝，那么12 4＝________．
5．(数学文化)幻方是一种中国传统游戏，它是将从1开始的若干个自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如下所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，求A＋B＋C＋D的值．
A B 5
5 C
10 D
6．(2025·南沙期末)【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘一个恰当的二次根式．例如：化简．
解：将分子、分母同乘＋，得＝＝＋．
【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形．如图1，已知黄金矩形ABCD的宽AB＝．
　
(1)求黄金矩形ABCD中BC边的长；
(2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论．19．2　二次根式的乘法与除法
第1课时　二次根式的乘法
1．了解二次根式(根号下仅限于数)的乘法运算法则，会用它进行简单的运算．
2．理解·＝(a≥0，b≥0)，＝·(a≥0，b≥0)，并运用它们进行计算和化简．
知识点一　二次根式的乘法法则
1．·＝(a≥0，b≥0)．
练习1　(教材P6例1变式)计算：
(1)××；
(2)××．
2．＝·(a≥0，b≥0)．
练习2　计算或化简：
(1)；(2)·；
(3)；(4)．
1．(2025·广东)计算×的结果是( )．
A．3　 　 B．6 　 　
C． 　 D．2
2．(2025·江门期中)化简的结果是( )．
A．100 B．60
C．40 D．20
3．对于任意实数a，下列各式一定成立的是( )．
A．＝·
B．＝a＋6
C．＝－4
D．＝5a2
4．(2025·惠州期中)若＋＝0，则下列各数中，与的积为有理数的是( )．
A． B．
C． D．
5．若＝·成立，则x的取值范围为______________________．
6．若一个长方体的长为 cm，宽为3 cm，高为2 cm，则这个长方体的体积是________cm3．
7．计算：(－)2 026(＋)2 027＝________．
8．(新定义)对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝，例如4※3＝＝，求8※12的值．
9．(2025·惠州月考)请阅读下列材料：
问题：已知x＝＋2，求代数式x2－4x－7的值．
小明根据二次根式的性质：()2＝a，联想到了以下的解题方法：
由x＝＋2，得x－2＝，则(x－2)2＝5，即x2－4x＋4＝5，所以x2－4x＝1．把x2－4x作为整体，得x2－4x－7＝1－7＝－6．
请回答下列问题：
(1)已知x＝－3，求代数式x2＋6x＋8的值；
(2)已知x＝，求代数式x3＋x2的值．第2课时　二次根式的除法
1．利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则＝(a≥0，b＞0)和商的算术平方根的性质＝(a≥0，b＞0)．
2．了解二次根式(根号下仅限于数)的除法运算法则，会用它进行简单的运算．
3．了解最简二次根式的概念．
知识点一　二次根式的除法法则
1．＝(a≥0，b＞0)．
练习1　(教材P8例4变式)下列运算正确的是(　C　)．
A．÷＝ B．4÷2＝
C．＝ D．÷＝3
知识点二　二次根式的除法法则的逆用
2．＝(a≥0，b＞0)．
练习2　设a>0，b>0，则下列运算错误的是(　B　)．
A．＝· B．＝＋
C．()2＝a D．＝
知识点三　最简二次根式
3．最简二次根式必须满足下列两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式．
练习3　下列式子中，属于最简二次根式的是(　C　)．
A．　 B．　　
C．　 D．
知识点四　二次根式的乘除混合运算
练习4　计算3÷×的结果为(　C　)．
A．3 B．9
C．1 D．3
基础巩固
1．(2025·阳江期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是(　A　)．
A． B．
C． D．
2．设＝a，＝b，用含a，b的代数式表示是________．
【答案】0．3ab
3．化简：
(1)＝________；
(2)＝________(x＞0，y＞0)．
【答案】(1)　(2)
能力达标
4．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“ ”如下：a b＝，如：3 2＝＝，那么12 4＝________．
【答案】
5．(数学文化)幻方是一种中国传统游戏，它是将从1开始的若干个自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如下所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，求A＋B＋C＋D的值．
A B 5
5 C
10 D
【答案】3＋3
挑战创新
6．(2025·南沙期末)【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘一个恰当的二次根式．例如：化简．
解：将分子、分母同乘＋，得＝＝＋．
【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形．如图1，已知黄金矩形ABCD的宽AB＝．
　
(1)求黄金矩形ABCD中BC边的长；
(2)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论．
【解】(1)由题意，得＝＝，
所以BC＝＝＝．
(2)矩形DCEF是黄金矩形．证明略．

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