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2026年中考数学一轮复习解题模型：绝对值的最值模型
一、单选题
1．已知：，且abc＞0，a+b+c=0.则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y=（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合的思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-1的点的距离，|x-2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离.当|x+1|+|x-2|取得最小值时，x的取值范围是（　　）
A．x≤-1 B．x≤-1或x≥2 C．-1≤x≤2 D．x≥2
3．是数轴上一点表示的数，则的最小值是（　　）
A．1 B． C．5 D．
4． 实数 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为 ，则 的 值为 （　　）
A．-25 B．-27 C．-29 D．-31
5．若式子的值取到最小值时，则x满足（　　）
A．≤x≤ B．≤x≤ C．≤x≤ D．≤x≤
二、填空题
6．式子的最小值是　 　．
7．已知(|x+1|+|x-2|)(|y-3|+|y+2|)=15，则x-2y的最大值为　 　，最小值为　 　.
8．同学们都知道，|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可以理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，则使得 的整数x有　 　个.
9． 设 是一个四位数， 是阿拉伯数字，且 ， 则式子 的最大值是　 　.
10．已知式子，则的最大值是　 　；
11．如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G正好是AF的中点，现要在某个村庄建一个活动 中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在村庄　 　处．
三、解答题
12．（1）求|x-1|+|x-3|的最小值；
（2）求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值；
（3）当x为何值时，|x-1|+|x-2|+……+|x-n|的值最小
13．（1）已知|a+3|+|a-1|表示数轴上有理数a所对应的点到-3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数a，使得|a+3|+|a-1|=4(直接写出结果).
（2）由以上探索猜想，对于任何有理数a，|a-3|+|a-6|是否有最小值 如果有，直接写出最小值；如果没有，请说明理由.
（3）请借助数轴思考，是否存在数a，使代数式|a+3|+|a-2|+|a-4|的值最小 如果存在，请写出数a的值，并求出此时代数式|a+3|+|a-2|+|a-4|的最小值；如果不存在，请说明理由.
14．（1）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|.如果表示数a和-2的两点之间的距离是5，那么a的值为　 　.
（2）若数轴上表示数a的点位于-2与6之间，求|a+2|+|a-6|的值.
（3）当a取何值时，|a+7|+|a-2|+|a-3|的值最小 最小值是多少 请说明理由.
15．少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2 后则显示 的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算.现小明将从1到1991这1991个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为 P，试求出 P 的最大值，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵m=++，且abc>0，a+b+c=0，则m共有x个不同的值，在这些不同的m值中，最大的值为y.
∴a、b、c为两个负数，一个正数，
a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，
∴m=++，
∴分三种情况讨论：
当a>0，b<0，c<0时，m=-1+2+（-3）=-2，
当b>0，a<0，c<0时，m=-1+（-2）+3=0，
当c>0，a<0，b<0时，m=1+（-2）+（-3）=-4，
∴m共有3个不同的值：-4，-2，0.最大的值为0.
∴x=3，y=0.
∴x+y=3.
故答案为：B.
【分析】根据题中给出的已知，讨论当a、b、c取不同的值的情况下得到的m的不同值，进而得到x的值，y的值，最后得出x+y的值.
2．【答案】C
【解析】【解答】解： 当x＜-1时，x+1＜0，x-2＜0，
|x+1|+|x-2|=-（x+1）-（x-2）=-x-1-x+2=-2x+1＞3；
当-1≤x≤2时，x+1≥0，x-2≤0，
|x+1|+|x-2|=（x+1）-（x-2）=x+1-x+2=3；
当x＞2时，x+1＞0，x-2＞0，
|x+1|+|x-2|=（x+1）+（x-2）=x+1+x-2=2x-1＞3；
综上所述，当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|取得最小值，
所以当|x+1|+|x-2|取得最小值时，x的取值范围是-1≤x≤2．
故答案为：C.
【分析】根据x的取值范围，化简|x+1|+|x-2|，并求出|x+1|+|x-2|的取值范围，即可求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】①当x<-2时，x+2<0，x-3<0，∴；
②当-2≤x≤3时，x+2>0，x-3<0，∴；
③当x>3时，x+2>0，x-3>0，∴；
综上，的最小值为5，
故答案为：C.
【分析】分类讨论，再利用绝对值的性质化简求解并比较大小即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：由绝对值的几何意义可知：当-3a-1时，=-1-（-3）=2，
当-2≤b≤5时，的最小值=5-（-2）=7，
∵ ，
∴-3a-1，-2≤b≤5，
∴当a=-3，b=5时，代数式 的值最小，
∴最小值n=2×（-3）×5+2×（-3）+5=-31；
当a=-3，b=-2时，代数式 的值最大，
∴最大值m=2×（-3）×（-2）+2×（-3）-2=4，
∴m+n=4-31=-27.
故答案为：B.
[分析】根据绝对值的和的最小值的意义确定a，b的取值范围，从而得出当a=-3，b=5时，求得n的值，当a=-3，b=-2时，求得m的值，进一步即可得出m+n的值.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：
当时，
原式
，
当时，
原式
，
当时，
原式
，
当时，
原式
，
当时，
原式
，
当时，
原式
，
当时，
原式
，
当时，代数式有最小值.
故答案为：A.
【分析】先对代数式进行化简，再通过x的不同取值范围化简绝对值求得代数式的最小值，进而判定取最小值时x的取值范围.
6．【答案】16
【解析】【解答】解：如图1，当点P与点C重合时，点P到A、B、C、D、E各点的距离之和为：
PA+PB+PC+PD+PE
=(PA+PE)+(PB+PD)+PC
=AE+BD+0
=AE+BD；
如图2，当点P与点C不重合时，点P到A、B、C、D、E各点的距离之和为：
PA+PB+PC+PD+PE
=(PA+PE)+(PB+PD)+PC
=AE+BD+PC；
∵AE+BD+PC> AE+BD，
∴当点P与点C重合时，点P到A、B、C、D、E各点的距离之和最小，
令数轴上数x表示的为P，则表示点P到A、B、C、D、E各点的距离之和，
∴当x=2时，取得最小值，
∴的最小值
=
=5+3+0+3+5
=16，
故答案为：16．
【分析】求含一个未知数x的多个绝对值的最值问题，可以转化为x与数轴上若干个点的距离的和或差的问题，所以，令数轴上数x表示的为P，则表示点P到A、B、C、D、E各点的距离之和，用分类讨论的方法解决.
7．【答案】6；-7
【解析】【解答】解：∵|x+1|+|x-2|的最小值为3，此时x 的取值是-1≤x≤2；|y-3|+|y+2|的最小值为5，此时-2≤y≤3，
∵(|x+1|+|x-2|)(|y-3|+|y+2|)=15，
∴-1≤x≤2，-2≤y≤3，
∴-7≤x-2y≤6，
∴x-2y 的最大值为2-2×(-2)=6，最小值为-1-2×3=-7.
故x-2y的最大值6，最小值-7.
故答案为：6，-7 .
【分析】若a8．【答案】7
【解析】【解答】解：∵表示x与1之间的距离，x与-5之间的距离
∴+表示x到1与到-5之间距离的和
当-5≤x≤1时，+=6
∴x的整数解有-5，-4，-3，-2，-1，0，1共7个
故答案为：7.
【分析】根据当-5≤x≤1时，+=6可得x的整数解可得结果.
9．【答案】16
【解析】【解答】解：
∴原式 ，
当 时，原式最大值 .
故答案为：16.
【分析】根据绝对值的性质化简式子|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a|，得到原式=2(d-a)，再根据条件得出a的最小值为1，d的最大值为9，进而求解即可.
10．【答案】5
【解析】【解答】∵|x+1|+|x-2|表示数轴上表示数x与表示数-1和表示数2之间的距离之和，
∴当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|有最小值为3，
∵|y+3|+|y-4|表示数轴上表示数y与表示数-3和表示数4之间的距离之和，
∴当-3≤y≤4时，|y+3|+|y-4|有最小值为7，
∵，
∴当-1≤x≤2，-3≤y≤4时，
∴的最大值=2-（-3）=5，
故答案为：5.
【分析】先求出当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|有最小值为3，当-3≤y≤4时，|y+3|+|y-4|有最小值为7，再结合，求出的最大值=2-（-3）=5即可.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：记城市为原点，AF方向为正方向，1千米为1个单位画数轴，
则A、B、C、D、E、F表示的数为4、10、15、17、19、20，
G是A、F的中点，G表示的数是4+202=12，
设活动中心表示的数为x，则本题求，
当x=15时，x-4+x-10+x-12+x-15+x-17+x-19+x-20=30最小.
即各村到活动中心的路程之和最短为30千米，此时活动中心建在C村处.
故答案为：C.
【分析】利用数轴模型，将各村到活动中心的路程之和表示成x到各村在数轴上表示的数距离之和，即x-4+x-10+x-12+x-15+x-17+x-19+x-20，求此类绝对值之和的最小值，零点值有4，10，12，15，17，19，20奇数个，故x取中间零点值15时，和最小为30，即活动中心建在C村处.
12．【答案】（1）解：当x=2时，|x-1|++|x-3|的最小值为2.
（2）解：当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为2.
（3）解：若n=2k+1（k为正整数），
当x=k+1时，
|x-1|+|x-2|+……+|x-n|的值最小；
若n=2k（k为正整数），
当k≤n≤k+1时，|x-1|+|x-2|+…+|x-n|的值最小.
【解析】【分析】 （1） |x-1|+|x-3|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数1的点以及与表示数3的点的距离之和.（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数1，2，3的点的距离之和.（3）|x-1|+|x-2|+……+|x-n|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数1，2，3，……，n的点的距离之和.
13．【答案】（1）解：∵-3与1之间的距离是4，
∴-3≤a≤1，
∵a是整数，
∴a的值为-3， - 2， - 1， 0， 1
（2）解：|a-3|+|a-6|有最小值， 理由如下：
|a-3|+|a-6|表示数轴上有理数a所对应的点到3和6所对应的点的距离之和，
∵3与6之间的距离是3，
∴当3≤a≤6时， |a﹣3|+|a﹣6|有最小值3
（3）解：存在数a， 使代数式|a+3|+|a﹣2|+|a﹣4|的值最小，理由如下：
|a+3|+|a-2|+|a-4|表示数轴上有理数a所对应的点到-3、2、4所对应的点的距离之和，
当a=2时， |a+3|+|a-2|+|a-4|有最小值7
【解析】【分析】(1)由题意可得-3≤a≤1，求出满足条件的a的值即可；
(2)由题意可知当3≤a≤6时， |a-3|+|a-6|有最小值3；
(3)根据|a+3|+|a-2|+|a-4|表示数轴上有理数a所对应的点到-3、2、4所对应的点的距离之和，可得当a=2时， |a+3|+|a-2|+|a-4|有最小值7.
14．【答案】（1）3或-7
（2）解：
（3）解： 表示一点到-7， 2，3三点的距离的和，
∴当 时， |的值最小，最小值是10.
【解析】【解答】(1) 若表示数a和 的两点之间的距离是5，则
解得 或
故答案为：3或
【分析】(1)根据两点间的距离可以看作是大数减小数的值计算.
(2)根据|a+2|+|a-6|表示数a的点到-2与6两点的距离的和计算.
(3)画出数轴，根据|a+7|+|a-2|+|a-3|表示一点到-7，2，3三点的距离的和计算.
15．【答案】解：由于输入的数都是非负数，当x1≥0，x2≥0时， 不超过x1，x2中最大的数，对 则 不超过x1，x2，x3中最大的数，
设小明输入这1991个数的次序是x1，x2，…，x1991.
相当于计算：|因此P≤1991.
另外从运算奇偶性分析，x1，x2为整数， 与 奇偶性相同，
因此 P 与 的奇偶性相同.
但 为偶数.
于是断定 P≤1990. 我们证明 P 可以取到 1990.
对1，2，3，4，按如下次序：|||1-3|-4|-2|=0，
|||（4k+1）-（4k+3）|-（4k+4）|-（4k+2）|=0，对于k=0，1，2，…均成立.
因此，1~1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0，而后||1989—1990|—1991|=1990，故 P 的最大值为1990.
【解析】【分析】由于输入的数都是非负数，根据绝对值的性质，P不会超过1991。同时，P与所有输入数字之和的奇偶性相同，而所有数字之和为偶数，因此P也为偶数，所以P最大为1990。我们可以通过将1到1988的数字分组，每组四个数字，按照特定顺序输入，使得每组的计算结果为0。最后输入1989、1990、1991，按照特定顺序计算，可以得到P的最大值1990
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