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2026中考第一次模拟考试数学能力提升测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
2．博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A． B．且 C． D．且
7．如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C．点D为弦中点 D．点E为劣弧的中点
9．在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
10．已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图，有下列个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．使有意义的x的取值范围是 ．
12．若，是方程的两个实数根，则的值为 ．
13．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是
14．如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是 米（精确到0.01米）．（参考数据：，，，）
15．在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为 ．
16．如图，在等边三角形中，，点D在上，，E是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角三角形，当的长为整数时，的面积为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
18．按要求完成下列各题：
(1)计算：；
(2)先化简，再求值：，其中．
19．如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)菱形的对角线与相交于点，将菱形向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，求扫过的面积．
20．如图，时代，万物互联、互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，为了保证信号通畅，某通信公司在某山上建设基站．已知斜坡的坡度为（即），点处的通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长米．
(1)填空：______；
(2)点处到水平地面的距离为______米；
(3)求通讯塔的高度（结果保留根号）．（参考数据：）
21．为弘扬中华优秀传统文化，某区准备在全区初中举行唐诗诵读比赛．某校七（1）、（2）两个班各有学生50人，学校要在这两个班中挑选一个班代表学校参加今年的比赛，为了了解这两个班唐诗诵读情况，现对这两个班的学生进行唐诗诵读测试，并各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七（1）班：65，75，75，90，60，50，75，90，85，65；
七（2）班：90，55，80，70，55，70，95，80，65，70.
整理数据：
七（1）班 1 3 3 1 2
七（2）班 2 1 m 2 n
分析数据：
平均数 中位数 众数
七（1）班 73 x 75
七（2）班 73 70 y
应用数据：
(1)表中______， ______， ________， ________；
(2)若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生唐诗诵读为优秀，请估计七（2）班50名学生中唐诗诵读为优秀的学生人数；
(3)如果选取了一个班级参加区里组织的比赛，你建议选择七（1）班还是七（2）班，并说明理由．
22．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
23．如图，中，，平分交于点D，交于点E，以为直径作．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下直接写出阴影部分的面积．
24．在矩形中，E是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接．
【特例发现】
（1）如图1，当时，________；
【类比探究】
（2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值；
【拓展运用】
（3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长．
25．新定义
【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标
③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．
参考答案
第Ⅰ卷
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C D D B C D D B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．
12．7
13．
14．89.28
15．
16．1或或4
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．
【详解】解：（1）
经检验，是原方程的解；..........3分
解：（2），
由①得，
由②得，
不等式组的解集是．..........6分
18．
【详解】（1）解：
；..........3分
（2）解：
，
把代入，得．..........6分
19．
【详解】（1）解：过点作轴于点，如图，
，，，
菱形中，，
，，
，
，
，
，
，
，
点在反比例函数的图象上．
，
反比例函数的表达式为；..........3分
（2）∵菱形，
∴，
又∵，，
∴，即
设菱形向右平移个单位长度，此时，
在反比例函数的图象上．
，
解得．
，，
平移后的坐标为，，
如图，
扫过的面积梯形的面积．..........6分
20．
【详解】（1）解：∵在处测得塔顶的仰角为，
∴；..........2分
（2）解：作，如图所示：
∵
∴
∴
∵米
∴米；..........4分
（3）解：作于点，作于点，
，即，
则米，
米，
设，则，，
由题意知，
，
，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
，
，米，
米，
米，
米，
答：通讯塔的高度米．..........6分
21．
【详解】（1）解：由题意得：七（2）班抽取的10名学生成绩在的有3个，
∴；
成绩在的有2个，
∴；
将七（1）班抽取的10名学生成绩按从小到大顺序排列：50，60，65，65，75，75，75，85，90， 90；
∴七（1）班抽取的10名学生成绩的中位数是分；
七（2）班抽取的10名学生成绩中出现次数最多的数是70，
故七（2）班抽取的10名学生成绩的众数是分；..........3分
（2）解：∵七（2）班抽取的10名学生成绩中成绩在80分（含80分）以上的有4人，
∴估计七（2）班50名学生中唐诗诵读为优秀的学生人数为人；.........6分
（3）解：建议选择七（1）班，理由如下：
∵两个班各抽取的10名学生成绩中，平均数相等，七（1）班成绩的中位数及众数均高于七（2）班，
∴建议选择七（1）班．..........8分
22．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
把和代入得，，
解得：，
∴与之间的函数关系式为；..........2分
（2）解：由题意得，，
整理得，，
解得：，
，
，
答：销售单价为18元；..........5分
（3）解：由题意得，，
，
∴当时，的值最大，，
答：当单价为19元时，每天获利最大，最大利润为198元．..........8分
23．
【详解】（1）证明：∵，以为直径作，
∴点D在上，
如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
..........2分
（2）解：在中，由勾股定理，得，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴；..........5分
（3）解：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴阴影部分面积为．..........8分
24．
【详解】（1）解：如图，延长交于，
，
，，
四边形、是正方形，
是正方形的对角线，
是正方形的对角线，
、、三点共线，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为．..........4分
（2）解：连接、，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，
，
，
∵，，
∴，，
，
，
．..........8分
（3）解：，，
设，，，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．..........12分
25．
【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；..........4分
（2）①，
∴顶点坐标为：，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，
整理得：，
∴；..........6分
②由①得：函数的图象为抛物线，
令，
解得：或，
∴，
将代入，则，
∴，
令，
解得：或，
∵轴，
∴，
设点，
如图，过点P作于点H，
则，
∵，
∴，
∴，
当时，即，
解得：（舍去）或；
∴，
∴；
当时，即，
解得：（舍去）或；
∴，
∴；
综上，当时，点P的坐标为或；..........10分
③∵与x轴有两个不同的交点，，
由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴顶点坐标在图象上滑动，
顶点为，
当时，
解得：或，
抛物线与x轴交两个点，
当顶点在下方时，抛物线有两个交点，，
∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
∴在 上，
当顶点在下方时，；
综上可得：或．..........12分2026中考第一次模拟考试数学能力提升测试卷
答题卡
第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)
第Ⅱ卷
珠
D
C
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A
BO
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A
B
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C
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2
0
E
C
B
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A
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G
E
G
E
B
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B
G
C
B
F
C
F
F
图1
图2
图3

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