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2026山西中考数学一年模拟真题解答题压轴部分专题复习汇编练习题
1．（2025·山西吕梁·三模）综合与实践
项目主题：对某智能蔬菜大棚浇灌方式的改进研究
调查信息：图1所示是某智能蔬菜大棚在竖直方向上的截面示意图，保温墙的高度为4米，蔬菜种植区米，人行道米．当水压一定时，大棚顶部喷灌的喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线．分别以，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系（所有点均在同一竖直平面内）．当水压最大时，抛物线恰好经过点，且与轴交于点．当水压最小时，抛物线与轴交于点，（点在点左侧），且水流到地面的高度（米）与距保温墙的水平距离（米）之间的函数表达式为．
解决问题：
(1)请直接写出点，的坐标；
(2)当水压最大时，需要在保温墙上做防水处理，求处理区域的高度（即线段的长）；
(3)为发挥水压最小时蔬菜更容易吸收水分且节水的特点，对喷水设施作如下改造：如图2，经过点，安装直线形支架，在上安装轨道，喷头可以在上自由滑动，在保证水压最小时，当喷头滑到点时，喷出的水流左端恰好经过点，当喷头滑到点时，喷出水流的右端恰好经过点，求轨道两端点，的坐标．
2．（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务．
题目：请求出的最小值．
小红的过程：
1．列表
．．． 0 2 3 4 ．．．
．．． 1 ．．．
2．描点
3．用平滑的曲线连接．
通过观察图象可知：当时，随着的增大而减小，所以当时，有最小值．
小明的过程：小明将其问题进行了逆推．
求的最小值→求的最大值→求的最大值．
通过推理可得：当时，的最大值为6，所以当时，有最小值．
任务：
(1)填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：__________（写出一个即可）；
(2)请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值；
(3)直接写出的最小值．
3．（2025·山西长治·二模）综合与实践
小刚家的新家装修到了安装射灯，设计沙发背景墙的阶段，他和爸爸到了装饰城，看到了如图1中的某种型号的射灯投射下的背景样板墙，4盏射灯的光照的区域“覆盖”了整个墙面．光照的区域边缘可近似的看为抛物线，相同型号的射灯光照区域的形状完全一样．小刚抽象出了如图2中的示意图，测量后得到相关数据，左侧第一盏灯最高点C距离地面高度为290cm，与左墙面的水平距离为30cm，光线与墙的交点A距离地面245cm，点B，D，E均为两条光线的交点，点F且A，B，D，E，F在同一高度的水平线上．
(1)数学建模
如图3，以墙面OA所在的直线为y轴，垂直于OA的地面所在直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设光线距离地面的高度为，距墙面OA水平距离为，求y与x之间的函数关系式．
(2)问题解决
小刚家沙发背景墙和装饰城的样板墙高度一致，墙面长为420cm，按照样板墙的方式安装射灯，请帮小刚计算需要安装的射灯数量至少为多少时，光照区域才能如样板墙那样实现全“覆盖”？
(3)如图4，小刚妈妈还计划在这每一盏射灯的光照区域内安装一幅矩形的家庭照片，照片的底部安装高度距离地面145cm，请直接写出如图4中，左侧第一盏灯的光照区域内矩形照片的周长的最大值．
4．（2025·山西阳泉·二模）综合与实践
问题背景：
山西刀削面一千年刀工削出三晋风情，一碗筋道面香飘向世界．但近几年因传统手工面临劳动力短缺、标准化瓶颈及传承困境，亦得益于工业机器人技术突破、政策扶持，智能刀削面机器人应运而生．
数学建模：
太原某企业研发的“晋锋”智能刀削面机，其面团放置台截面近似为抛物线，刀片削出面条随此运动轨迹落入锅中．如图1，建立平面直角坐标系，锅面的上沿为轴，竖直方向为轴（单位：）．刀片从点出发，向左上方运动，削出的面条沿抛物线轨迹下落，落入口径为的锅中．
问题解决：
(1)已知刀片在离轴处达到最高点，最高，求抛物线的解析式；
(2)智能削面机虽然能提高效率，但在使用过程中，若出面口位置不当，面条偏离会造成浪费．某店老板把锅放在机器左侧，锅右端离轴不少于，按照（1）中运动轨迹，要让面条不落在锅外，当锅放置时，设锅的左端坐标为，求的取值范围；
(3)每小时削面量（千克）与机器刀片转速转/分钟满足一次函数关系：．损耗成本与转速的平方成正比，比例系数为3（即损耗成本为32元/天），每天固定运营成本为800元．每千克削面的利润为15元，机器每天工作6小时，在尽量减少机器损耗的基础上，求转速为多少时，每天总利润为11500 元？
5．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究
问题情境：
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的直角三角形纸片（）沿所在直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别交于点．再将该纸片沿所在直线折叠，使点的对应点落在的延长线上，折痕分别交于点，如图2所示，试判断四边形的形状，并说明理由．
数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究：
（2）“善思小组”将图2展开后，连接，得到图3．若为的中点，试猜想线段与的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）“智慧小组”提出问题：若点的对应点落在射线上，其他条件不变，当时，请直接写出面积的最大值和此时的长．
6．（2025·山西吕梁·二模）综合与实践
学习主题：探究电流最值
课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，某数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以“探究电流最值”为主题展开项目式学习．
学习素材：
名称 内容 备注
素材1 用总长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积随矩形一边长（单位：m）的变化而变化 课本例题
素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大． 课本数学活动
素材3 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和：． 并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和：． 电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系 物理学知识
研究步骤：
1．画出电路图．在如图1所示的电路中，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中．
2．根据电路图连接实验器材，图略．
3．闭合开关，在滑片从端滑到端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据．
解决问题：
(1)在素材1中，当___________m时，场地的面积最大．
(2)推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由．
(3)①若设，总电阻为，则当为何值时，有最大值？并出求这个最大值．
②在①的条件下，电流表A的值为___________
7．（2025·山西运城·一模）综合与实线
如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标．
(3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
8．（2025·山西朔州·一模）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点的坐标为，连接．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)如图，过点作轴，交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，若是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并直接写出面积的最大值．
9．（2025·山西吕梁·三模）综合与探究
问题情境：在正方形纸片中，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为，的延长线与边交于点，连接．
数学思考：
（1）如图1，求证：是等腰三角形；
拓展探究：
过点再折出的平行线，与边交于点，射线与交于点．
（2）如图2，若点在的延长线上，试判断线段与的数量关系，并说明理由；
（3）若，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
10．（2025·山西长治·二模）综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以菱形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在菱形中，点O为对角线和的交点，且，．保持菱形不动，将绕点O按顺时针方向旋转，旋转后点A，B，D的对应点分别记作点，，，得到．其中边与边的交点为E．兴趣小组进行如下探究．

猜想证明：（1）如图1，当旋转至时，判断四边形的形状，并说明理由；
探索发现：（2）如图2，当时，连接，他们发现平分，请证明这一发现；
拓展延伸：（3）如图3，在图2的基础上，将沿所在的直线向上平移得到，O的对应点记作点，其中边与边的交点为E．在平移的过程中是否存在等腰，若存在，请直接写出平移的距离，若不存在；请说明理由．
11．（2025·山西吕梁·三模）综合与实践问题情境：
综合与实践课上，老师提出如下问题：如图①，在中，，为边上的中线，将沿射线方向平移得到．点的对应点分别为．
猜想证明：
（1）如图②，当线段经过点时，连接、．请判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）若中，．将图②中的继续沿射线方向平移，得到．点的对应点分别为．老师让同学们提出问题并解答．
如图③，“创新小组”画出的四边形是菱形，提出问题是：求此时菱形的对角线与的长．
12．（2025·山西太原·二模）综合与探究
【问题情境】
如图1，在正方形中，，点E，F分别为，边的中点，连接，交于点M，交对角线于点N．
【猜想验证】
（1）猜想与有怎样的数量关系，并加以证明．
【深入探索】
（2）将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点E的对应点为点Q，连接，如图2．请判断四边形的形状，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）连接，如图3，请直接写出的长．
13．（2025·山西临汾·三模）综合与实践
【问题情境】
数学活动小组在进行矩形纸片折纸活动．
如图1，在矩形纸片中，E是边上的动点，G是边上的动点，将沿折叠，点D恰好落到边上的点F处，展平，连接，再将沿折叠，使点B与点E重合，展平，连接．
【猜想证明】
（1）直接判断四边形的形状．
（2）求证：．
【深入探究】
（3）如图2，M，N分别是边，上的点，若将矩形纸片沿第三次折叠，使得点C与点G重合，然后展平，连接，．
①判断与的位置关系，并证明；
②直接写出的值．
14．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究
问题情境：
如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线剪开，再将沿方向平移（平移距离小于8），得到交于点交于点．
初步探究：
（1）如图2，当四边形为正方形时，线段的长为_____．
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（3）如图3，当四边形是菱形时．
①求线段的长；
②将绕点顺时针转过一定的角度，使得线段经过一个顶点且与有重叠部分，直接写出重叠部分的面积．
15．（2025·山西晋城·三模）综合与探究
问题情境：如图，在中，，分别为和的中点，延长至点，使，连接，在线段上取点和，使得，动点分别从点同时出发，以相同的速度向终点运动，并且同时到达终点，连接，设，，且与满足．
猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由．
问题拓展：（2）①的长为_____；
②如图2，当时，求．
深入探究：
（3）在运动的过程中，将绕点顺时针旋转得到线段，当点落在平行四边形的边上时，请直接写出的值．，
16．（2025·山西·模拟预测）综合与探究
问题情景
在数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1是一张平行四边形纸片，点分别是上一点，且，将平行四边形纸片沿直线折叠，点对应点分别为，与交于点，请判断线段与的关系，并说明理由．
数学思考
（1）请回答老师提出的问题．
深入探究
（2）如图2，老师将图2中的两点连接，交边于点，让同学们提出新的问题．
①“科学小组”提出问题：试猜想四边形的形状，并证明．
②“创新小组”提出问题：在中，．若四边形为菱形，请直接写出的值．
17．（2025·山西吕梁·模拟预测）综合与探究
问题情境：
如图，在矩形中，，将矩形沿对角线剪开，再将沿方向平移（平移距离小于8），得到交于点交于点．
初步探究：
(1)如图2，当四边形为正方形时，线段的长为___________．
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
(3)深入探究：如图3，当四边形是菱形时．
①求线段的长；
②将绕点顺时针转过一定的角度，使得线段经过一个顶点且与有重叠部分，直接写出重叠部分的面积．
18．（2025·山西大同·三模）综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以直角三角形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在中，，点D是的中点，连接，分别过点A，B作的平行线相交于点E．
猜想证明：（1）判断四边形的形状，并证明你的结论；
操作探究：（2）“乐学”小组在图1的基础上连接，交于点O，然后将绕A点逆时针旋转得到（点D，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，他们提出如下问题，请你解答：
①如图2，当点E'恰好与点D重合时，与交于点H，求证：；
②若，，当线段所在直线与所在直线平行时，直接写出点E，之间的距离．
19．（2025·山西运城·三模）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观如图，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中，图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为：，当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题：
(1)求水柱所在抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，并说明理由；
(3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上当水面离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？
20．（2025·山西晋中·二模）项目学习实践
项目主题：如何合理设计简易遮阳棚
项目背景：军属李大爷的家在我县某小区，他的卧室的窗户朝南，夏天的时候，阳光通过窗户全部照到了房间里，感觉比较晒，在一次“拥军优属”活动后，九（一）班智慧小组决定为李大爷设计安装一个简易遮阳棚．
任务一：测量收集数据
查阅资料可知，我省位于北半球北回归线以北地区，夏至日太阳直射北回归线，此时该地区正午太阳高度角达到一年中的最大值，即太阳光线与水平面夹角最大约，冬至则太阳光线与水平面夹角最小约，李大爷卧室窗户高1.9米．
）．
任务二：模型初步设计
小明设计了如图1的遮阳棚，它的伸出距离是70厘米，为了在夏至的时候能挡住所有的阳光，遮阳棚应安装在窗户上面多高的墙上？请你结合模型探究，如图2：已知窗户，遮阳棚，求．
任务三：模型优化设计
小花进一步思考：遮阳棚的作用是夏天最大限度遮挡太阳光，冬天能最大限度使阳光照射进来．通过上述的思考，请你结合图3探究，选择伸出长度为多少厘米？安装在什么位置才能让遮阳棚发挥最大的作用？如图3：求和的长．
任务四：项目反思
请你通过本题的解决，为遮阳棚的供应商提一个合理化建议．
21．（2025·山西大同·三模）综合与实践
为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分．
(1)求a的值．
(2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？
(3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？
（提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移）
22．（2025·山西·模拟预测）综合与探究
问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点．

猜想证明：
（1）猜想与的数量关系，并证明；
（2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形；
问题解决：
（3）在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点，若 ，，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的值．
23．（2025·山西·三模）综合与探究
问题情境
数学活动课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当点落在线段上时，连接交于点，连接，试判断和的数量关系，并说明理由．
特例探究
（1）请你回答老师提出的问题．
探索发现
（2）如图2，当点落在对角线上时，连接交于点，“奋进”小组发现垂直平分，请你证明这个结论．
拓展延伸
（3）在矩形旋转的过程中，当三点在同一条直线上时，连接．若，，请直接写出此时的长．
24．（2025·山西长治·三模）问题背景
如图1，四边形是一个正方形花园，，分别是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
问题探究
(1)如图2，在正方形中，若，试证明．
知识迁移
(2)如图3，在矩形中，点，，，分别在线段，，，上，且．若，，求的值．（用含，的代数式表示）
知识运用
(3)如图4，，是两个直角三角形，，，，交于点，经过的中点，交于点，，且，请直接写出的值．
25．（2025·山西大同·三模）综合与探究
问题情境：如图1，在等腰直角三角形中，，点在边上，于点，将绕点顺时针旋转．
猜想证明：
（1）如图2，已知点分别是的中点，连接，取的中点，连接，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
深入探究：
（2）如图2，连接，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）如图3，设直线与直线交于点，若，将绕点旋转一周，当三点共线时，直接写出的长．
26．（2025·山西朔州·三模）综合与实践
问题情境：数学课上，老师让同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开探究活动，已知在中，，，．将绕点旋转一定角度得到，延长交于点．
初步探究：（1）如图1，勤思小组发现，当时，四边形是正方形，请你证明这一结论．
深入思考：（2）如图2，笃学小组发现，当点正好落在斜边上时，可以求出四边形的面积，你能解决这一问题吗？
拓展延伸：（3）善思小组继续探究，当和在同一条直线上时，连接．请你在图3中画出图形，并直接写出的长．
27．（2025·山西运城·模拟预测）综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：如图，已知正方形，点是边上一点（不与点，重合），连接，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并说明理由．
独立思考：（1）请解答老师提出的问题．
实践探究：（2）希望小组受此启发，如图，连接，过点作交的延长线于点，请判断与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：（3）点是射线上一点（不与点，重合），连接，过点作交所在直线于点，连接，过点作，交所在直线于点．若，，请直接写出线段的长．
28．（2025·山西晋中·二模）综合与探究
问题情境：如图1，将等边沿边翻折得到，点是边上的两点，且，分别连接，，．
猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：（2）将图1中的线段绕点逆时针方向旋转得到线段，交直线于点．如图2，当点落在线段的延长线上时，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
迁移探究：（3）如图3，若变为等腰直角三角形，，
，将沿边翻折得到，点为边上一点，且，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段．当点落在直线上时，请直接写出线段的长度．
29．（2025·山西太原·二模）综合与探究
问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题.如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边三角形（点在的右侧），连接．
数学思考：
（1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由．请你解答；
深入探究：
（2）老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题：
①“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论；
②“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长．
30．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究
【问题情境】已知为直角三角形纸片，其中．在数学活动课上，进行如下探究活动．
活动一：为上一点，将绕点旋转，得到的对应点分别为．连接．
【观察发现】如图1，四边形的形状为___________．
【深入探究】如图2，若，当四边形为矩形时，求的长．
活动二：如图3，取的中点，将绕点顺时针旋转角，得到的对应点分别为，连接．
【拓展提高】①猜想与的位置关系，并给予证明．
②如图3，当时，的平分线，若点到的距离为，直接写出的长．
1．（2025·山西吕梁·三模）综合与实践
项目主题：对某智能蔬菜大棚浇灌方式的改进研究
调查信息：图1所示是某智能蔬菜大棚在竖直方向上的截面示意图，保温墙的高度为4米，蔬菜种植区米，人行道米．当水压一定时，大棚顶部喷灌的喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线．分别以，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系（所有点均在同一竖直平面内）．当水压最大时，抛物线恰好经过点，且与轴交于点．当水压最小时，抛物线与轴交于点，（点在点左侧），且水流到地面的高度（米）与距保温墙的水平距离（米）之间的函数表达式为．
解决问题：
(1)请直接写出点，的坐标；
(2)当水压最大时，需要在保温墙上做防水处理，求处理区域的高度（即线段的长）；
(3)为发挥水压最小时蔬菜更容易吸收水分且节水的特点，对喷水设施作如下改造：如图2，经过点，安装直线形支架，在上安装轨道，喷头可以在上自由滑动，在保证水压最小时，当喷头滑到点时，喷出的水流左端恰好经过点，当喷头滑到点时，喷出水流的右端恰好经过点，求轨道两端点，的坐标．
【答案】(1)点，的坐标分别为，
(2)米
(3)点的坐标为，点的坐标为
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意分别确定函数解析式是解题的关键；
（1）令，解方程，即可求解．
（2）当水压最大时，设抛物线的函数表达式为，把点代入，待定系数法求得解析式，当时，，即可求解；
（3）先求得直线的函数表达式为．当水压最小时，设喷头所在点的坐标为．设水流所在抛物线的函数表达式为，把点，代入，进而求得的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：令
解得：
∴点，的坐标分别为，
（2）当水压最大时，设抛物线的函数表达式为
把点代入，得．解，得．
当水压最大时抛物线的函数表达式为
当时，．
需在保温墙上做防水处理区域的高度为米．
（3）设直线的函数表达式为．
把点，代入，得
解，得，．
直线的函数表达式为．
设喷头所在点的坐标为．
当水压最小时，设水流所在抛物线的函数表达式为
把点代入，得．
解，得，（不合题意，舍去）
把代入，得．
所以点的坐标为
把点代入，得．
解，得（不合题意，舍去），．
把代入，得．
所以点的坐标为．
2．（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务．
题目：请求出的最小值．
小红的过程：
1．列表
．．． 0 2 3 4 ．．．
．．． 1 ．．．
2．描点
3．用平滑的曲线连接．
通过观察图象可知：当时，随着的增大而减小，所以当时，有最小值．
小明的过程：小明将其问题进行了逆推．
求的最小值→求的最大值→求的最大值．
通过推理可得：当时，的最大值为6，所以当时，有最小值．
任务：
(1)填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：__________（写出一个即可）；
(2)请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值；
(3)直接写出的最小值．
【答案】(1)数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可）
(2)当时，的最大值为0，所以当时，有最大值为3
(3)
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，描点法画函数图象等知识点，正确用已学知识解决新的问题的是解题的关键．
（1）结合解题过程即可得到涉及的解题思想；
（2）仿照题干的分析方法求解即可；
（3）先将原函数化为，再由小明的推理方式求解．
【详解】（1）解：小红的解题过程中体现的数学思想有：数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可）；
故答案为：数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可）
（2）解：小红的方法，
列表：
…… 0 2 3 4 ……
…… 3 1 ……
描点、连线得：
观察图象可得：时，随着的增大而增大，
∴当时，取得最大值为3；
小明的方法：
通过推理可得：当，的最大值为，
∴当时，取得最大值为3；
（3）解：，
令，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，取得最大值，
∴由反比例函数的性质可得取得最小值为，
∴取得最小值为．
3．（2025·山西长治·二模）综合与实践
小刚家的新家装修到了安装射灯，设计沙发背景墙的阶段，他和爸爸到了装饰城，看到了如图1中的某种型号的射灯投射下的背景样板墙，4盏射灯的光照的区域“覆盖”了整个墙面．光照的区域边缘可近似的看为抛物线，相同型号的射灯光照区域的形状完全一样．小刚抽象出了如图2中的示意图，测量后得到相关数据，左侧第一盏灯最高点C距离地面高度为290cm，与左墙面的水平距离为30cm，光线与墙的交点A距离地面245cm，点B，D，E均为两条光线的交点，点F且A，B，D，E，F在同一高度的水平线上．
(1)数学建模
如图3，以墙面OA所在的直线为y轴，垂直于OA的地面所在直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设光线距离地面的高度为，距墙面OA水平距离为，求y与x之间的函数关系式．
(2)问题解决
小刚家沙发背景墙和装饰城的样板墙高度一致，墙面长为420cm，按照样板墙的方式安装射灯，请帮小刚计算需要安装的射灯数量至少为多少时，光照区域才能如样板墙那样实现全“覆盖”？
(3)如图4，小刚妈妈还计划在这每一盏射灯的光照区域内安装一幅矩形的家庭照片，照片的底部安装高度距离地面145cm，请直接写出如图4中，左侧第一盏灯的光照区域内矩形照片的周长的最大值．
【答案】(1)
(2)7
(3)
【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，根据抛物线顶点式（其中为顶点坐标）设出抛物线解析式，然后因为点在抛物线上，将点A的坐标代入所设解析式，就可以求出a的值，进而确定y与x之间的函数关系式．
（2）要确定射灯数量，需先求出一盏灯的光照区域水平跨度，令，代入（1）中求出的抛物线函数关系式，得到关于x的一元二次方程，求解方程得到两个x的值，两值之差就是一盏灯的光照区域水平跨度，再用墙面总长度除以一盏灯的光照区域水平跨度，就可得到至少需要的射灯数量．
（3）令，代入抛物线函数关系式求出对应的x的值，得到光照区域在高度为处的水平位置，设矩形照片一边长与x有关，进而表示出矩形另一边的长度，从而得到矩形周长关于t的函数表达式，最后根据二次函数的性质，求出该函数的最大值，即矩形照片的最大周长．
【详解】（1）解：已知抛物线顶点，
设抛物线解析式为，
因为点在抛物线上，把代入，
可得：，
解得，
所以y与x之间的函数关系式为．
（2）解：因为抛物线关于对称轴对称，
且相邻两抛物线在水平方向上的距离相等，
令，则，
解得，
解得，，即一盏灯的光照区域水平跨度为，
墙面长，则需要安装的射灯数量至少为（盏）．
（3）解：令，则，
，
解得，
设矩形照片的一边长为m，其对应的横坐标为x，
则另一边长为，
矩形周长，
由抛物线对称性，设x到对称轴的距离为t，即，则，
此时，矩形另一边，
矩形周长，
对于二次函数，其中，，
根据二次函数顶点公式，
当时，．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，将实际的射灯照明问题转化为数学模型，运用了二次函数的顶点式，通过已知顶点设出表达式，求出二次函数的顶点式是解决本题的关键．
4．（2025·山西阳泉·二模）综合与实践
问题背景：
山西刀削面一千年刀工削出三晋风情，一碗筋道面香飘向世界．但近几年因传统手工面临劳动力短缺、标准化瓶颈及传承困境，亦得益于工业机器人技术突破、政策扶持，智能刀削面机器人应运而生．
数学建模：
太原某企业研发的“晋锋”智能刀削面机，其面团放置台截面近似为抛物线，刀片削出面条随此运动轨迹落入锅中．如图1，建立平面直角坐标系，锅面的上沿为轴，竖直方向为轴（单位：）．刀片从点出发，向左上方运动，削出的面条沿抛物线轨迹下落，落入口径为的锅中．
问题解决：
(1)已知刀片在离轴处达到最高点，最高，求抛物线的解析式；
(2)智能削面机虽然能提高效率，但在使用过程中，若出面口位置不当，面条偏离会造成浪费．某店老板把锅放在机器左侧，锅右端离轴不少于，按照（1）中运动轨迹，要让面条不落在锅外，当锅放置时，设锅的左端坐标为，求的取值范围；
(3)每小时削面量（千克）与机器刀片转速转/分钟满足一次函数关系：．损耗成本与转速的平方成正比，比例系数为3（即损耗成本为32元/天），每天固定运营成本为800元．每千克削面的利润为15元，机器每天工作6小时，在尽量减少机器损耗的基础上，求转速为多少时，每天总利润为11500 元？
【答案】(1)
(2)
(3)当转速转/分钟时，总利润为11500元
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；
（2）令，解方程求出的值，再根据题意求出的取值范围；
（3）根据利润=每小时的利润-损耗成本-每天固定成本列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意知，顶点坐标为，
设抛物线顶点式为：，
将起点代入得：，
解得，
抛物线解析式为：；
（2）令，则，
，（舍去），
锅在轴左侧
，即．
锅的右端离轴不少于，
，即，
锅放置时锅的左端在轴的取值范围为；
（3）由题意得：，
解得，，
“尽量减少机器损耗”即取较小的转速（因损耗成本与成正比），
．
当转速转分钟时，总利润为11500元．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程．
5．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究
问题情境：
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的直角三角形纸片（）沿所在直线折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别交于点．再将该纸片沿所在直线折叠，使点的对应点落在的延长线上，折痕分别交于点，如图2所示，试判断四边形的形状，并说明理由．
数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究：
（2）“善思小组”将图2展开后，连接，得到图3．若为的中点，试猜想线段与的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）“智慧小组”提出问题：若点的对应点落在射线上，其他条件不变，当时，请直接写出面积的最大值和此时的长．
【答案】（1）四边形是矩形，见解析；（2），见解析；（3）面积的最大值为6，
【分析】（1）由折叠的性质，得，结合，即可证明四边形是矩形；
（2）连接，由（1），知四边形是矩形，证明，推出，由折叠的性质，得，，证明即可得出结论；
（3）先求出，设，则．易得，则，求出，即可得到，根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：四边形是矩形．
理由：由折叠的性质，得．
又，
四边形是矩形；
（2）解：，，
理由：如解图，连接．
由（1），知四边形是矩形，则．
为的中点，
．
．
．
由折叠的性质，得．
．
．
．
又，
．
．
．
，．
（3）解：如图，
，
，
由（1）知四边形是矩形，
设，
∴，，
∴，
∴，
．
．
，
当时，的最大值为6，
此时．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的判定与性质，相似三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质综合性较强，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键．
6．（2025·山西吕梁·二模）综合与实践
学习主题：探究电流最值
课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，某数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以“探究电流最值”为主题展开项目式学习．
学习素材：
名称 内容 备注
素材1 用总长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积随矩形一边长（单位：m）的变化而变化 课本例题
素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大． 课本数学活动
素材3 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和：． 并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和：． 电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系 物理学知识
研究步骤：
1．画出电路图．在如图1所示的电路中，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中．
2．根据电路图连接实验器材，图略．
3．闭合开关，在滑片从端滑到端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据．
解决问题：
(1)在素材1中，当___________m时，场地的面积最大．
(2)推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由．
(3)①若设，总电阻为，则当为何值时，有最大值？并出求这个最大值．
②在①的条件下，电流表A的值为___________
【答案】(1)15
(2)和的积最大，理由见解析
(3)①当时，有最大值，此时最大值为；②2
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确列出二次函数解析式是解题关键．
（1）根据题意，矩形一边长，则另一边长为，则有，结合二次函数的性质即可获得答案；
（2）设其中一个因数为，则另一个因数为，所以（，且为正整数），结合二次函数的性质即可获得答案；
（3）设，则，总电流为，则有，由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，再设结合二次函数的性质即可获得答案．
【详解】（1）（1）根据题意，矩形一边，则另一边长为，所以，，所以，当，场地的面积S最大，最大为225平方米；
故答案为：15．
所以取50或51时，最大为2550；
（2）（2）和的积最大，理由如下：设其中一个因数为，则另一个因数为，则（，且为正整数），对称轴为，因为是正整数，且，所以取50或51时，最大为2550．
（3）（3）设，则，，设总电流为，则，
由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，
设
，则抛物线开口向下，且，
当时，取最大值为25，此时取最小值为A，两支路电阻分别为和，两支路电阻相等，
当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2A．
7．（2025·山西运城·一模）综合与实线
如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标．
(3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点P的坐标为；
(3)存在，点P的坐标为，四边形的面积最大，最大值为
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，勾股定理，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
将点和代入解方程组得到结论；
由得点，，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为；设点，得到，根据勾股定理得到，根据题意列方程即可得到结论；
如图2，过点P作轴交直线于G，设点P的坐标为，则，根据点的坐标得到，，，根据三角形的面积公式得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：将点和代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由得点，，
设直线的解析式为，
解得，
直线的解析式为；
设点，
轴，
，
，
，
，
，
解得或不合题意，舍去，
当时，，
点P的坐标为；
（3）存在．
如图2，过点P作轴交直线于G，
设点P的坐标为，则，
，，，
，，，
，
，
当时．有最大值，最大值为，
点P的坐标为，四边形ABPC的面积最大，最大值为
8．（2025·山西朔州·一模）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点的坐标为，连接．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)如图，过点作轴，交抛物线于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，若是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并直接写出面积的最大值．
【答案】(1)
(2)四边形为菱形，理由见解析
(3)点时， 的面积最大为
【分析】本题考查了二次函数和几何综合，菱形的判定，正确做出辅助线表示出的面积是解题的关键．
（1）把代入函数解析式即可解答；
（2）求得点的坐标，得到的长度，即可解答；
（3）过点作的平行线交直线于点，设的横坐标为，求得的长，进而表示出的面积，利用二次函数的性质，即可解答．
【详解】（1）解：把代入函数解析式，
可得，
解得，
抛物线的函数解析式为；
（2）解：当时，，
解得，
，
，
，
，
轴，
，
四边形为平行四边形，
根据勾股定理可得，
，
平行四边形为菱形；
（3）解：设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
直线的解析式为，
如图，过点作的平行线交直线于点，
设点，则点，
，
，
当，即时， 的面积最大为．
9．（2025·山西吕梁·三模）综合与探究
问题情境：在正方形纸片中，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为，的延长线与边交于点，连接．
数学思考：
（1）如图1，求证：是等腰三角形；
拓展探究：
过点再折出的平行线，与边交于点，射线与交于点．
（2）如图2，若点在的延长线上，试判断线段与的数量关系，并说明理由；
（3）若，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）存在，的长为或
【分析】（1）根据折叠以及已知条件可得，则，而，可得，即可证明；
（2）过点作的平行线，与的延长线交于点，根据等腰三角形的判定证明，而可证明平行四边形，则，即可利用证明，那么；
（3）当点在的延长线上，当是等腰三角形，则，则设而，故，
解得：，可得，则；当点在线段上，是等腰三角形，则，则设，而，则，解得：，则，同理可求．
【详解】（1）解：如图，
∵点是边的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：，理由如下：
过点作的平行线，与的延长线交于点，则，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，正方形中，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴；
（3）解：存在，
当点在的延长线上，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，则
∴，
设
∴，
∵，
∴，
解得：，
由折叠可得，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴；
当点在线段上，如图：
∵，
∴
∴，
∴是等腰三角形，则
∴，
设
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
由折叠可得，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
综上所述，存在某一时刻，使是等腰三角形，的长为或．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
10．（2025·山西长治·二模）综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以菱形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在菱形中，点O为对角线和的交点，且，．保持菱形不动，将绕点O按顺时针方向旋转，旋转后点A，B，D的对应点分别记作点，，，得到．其中边与边的交点为E．兴趣小组进行如下探究．

猜想证明：（1）如图1，当旋转至时，判断四边形的形状，并说明理由；
探索发现：（2）如图2，当时，连接，他们发现平分，请证明这一发现；
拓展延伸：（3）如图3，在图2的基础上，将沿所在的直线向上平移得到，O的对应点记作点，其中边与边的交点为E．在平移的过程中是否存在等腰，若存在，请直接写出平移的距离，若不存在；请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）0.4
【分析】本题考查菱形的判定与性质，旋转，垂直平分线的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键．
（1）先证明，，继而得到，，可得四边形是平行四边形，再由，可证明平行四边形是菱形．
（2）连接，连接，证明，可得点B、O、A 共继而证明点O、E都在的垂直平分线上，则所在的直线垂直平分线段，且，推导出平分，即可解答．
(3) 由比小，也比小，则为等腰三角形时，只能是．过点E作于点M， 交于点N，过点作于点H， 证明，则，求出，，，则，即可解答．
【详解】（1）解：四边形是菱形；
理由如下：
∵四边形为菱形，和的交于点O．
∴，
∵是由绕点O旋转得到的，
∴，，
∴，
∵，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）连接，连接，如图

∵，
∴且，
∴点B、O、A 共线，
由旋转可知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点O、E都在的垂直平分线上，
∴所在的直线垂直平分线段，且，
∴平分．
(3) 由比小，也比小，则为等腰三角形时，只能是．如图过点E作于点M， 交于点N，过点作于点H，

由题意及图，可知，
∴四边形都是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，
即，
解得，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
∴沿所在的直线向上平移．
11．（2025·山西吕梁·三模）综合与实践问题情境：
综合与实践课上，老师提出如下问题：如图①，在中，，为边上的中线，将沿射线方向平移得到．点的对应点分别为．
猜想证明：
（1）如图②，当线段经过点时，连接、．请判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）若中，．将图②中的继续沿射线方向平移，得到．点的对应点分别为．老师让同学们提出问题并解答．
如图③，“创新小组”画出的四边形是菱形，提出问题是：求此时菱形的对角线与的长．
【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析；（2）
【分析】（1）由平移得到，根据直角三角形斜边中线得到，然后先证明四边形是平行四边形，再得到 ，即可证明矩形；
（2）由先勾股定理求出．过点作于，连接．由三角形中位线得到，则，再由菱形即可求出．
【详解】解：（1）四边形是矩形；理由如下：
∵平移得到，
∴，
∴，
∵为边上的中线，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）∵，
∴．
过点作于，连接．
∵四边形是菱形，
∴．
由（1）得，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∴，
∴菱形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，平移的性质，三角形中位线定理，菱形的性质等知识点．
12．（2025·山西太原·二模）综合与探究
【问题情境】
如图1，在正方形中，，点E，F分别为，边的中点，连接，交于点M，交对角线于点N．
【猜想验证】
（1）猜想与有怎样的数量关系，并加以证明．
【深入探索】
（2）将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点E的对应点为点Q，连接，如图2．请判断四边形的形状，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）连接，如图3，请直接写出的长．
【答案】（1），理由见解析；（2）四边形是菱形，理由见解析；（3）
【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（2）先证明得到，由旋转性质得，，证明得到，，进而得到，则，证明四边形是平行四边形，然后利用菱形的判定定理可得结论；
（3）如图3，过M作于G，利用正切定义得到，在中，利用勾股定理求得，再利用正切定义得到，在中，由由勾股定理求得，，则，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1），理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点F为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，则；
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由旋转性质得，，
∵点E为的中点，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）如图3，过M作于G，
∵，
∴，
∴，
在中，由
解得，
∵，
∴，
∴，则，
在中，由，
解得，，
∴，
在在，．
【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
13．（2025·山西临汾·三模）综合与实践
【问题情境】
数学活动小组在进行矩形纸片折纸活动．
如图1，在矩形纸片中，E是边上的动点，G是边上的动点，将沿折叠，点D恰好落到边上的点F处，展平，连接，再将沿折叠，使点B与点E重合，展平，连接．
【猜想证明】
（1）直接判断四边形的形状．
（2）求证：．
【深入探究】
（3）如图2，M，N分别是边，上的点，若将矩形纸片沿第三次折叠，使得点C与点G重合，然后展平，连接，．
①判断与的位置关系，并证明；
②直接写出的值．
【答案】（1）四边形是正方形；（2）见解析；（3）①．见解析；②．
【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质，勾股定理、正方形的性质及判定以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，利用矩形和折叠的性质进行推理和证明。
（1）由折叠可知，，可知是等腰直角三角形，得到，故四条边相等，即四边形是菱形，再由可得四边形是正方形；
（2）由折叠可得，由四边形是正方形可得，由平角定义可知，由已知可知，所以是等腰直角三角形，从而得到；
（3）①设，根据折叠可得，分别求与的关系，再根据勾股定理分别求，而，代入可知，即，再根据证明，得到，根据可得，从而得证；
（2）设，用的式子表示，连接，设，在中根据勾股定理得到方程解（含的代数式），在计算即可．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
，
由折叠可知，，
∴是等腰直角三角形，
，
，
∴四边形是菱形，
又
∴四边形是正方形；
（2）由（1）可知四边形是正方形，
，
由折叠可知，，
，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
；
（3）①设，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，，
，
由折叠可知，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴；
②设，
由①可知，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
连接，设，则，
由折叠可知，
，
，
在中，，
，
，
．
14．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究
问题情境：
如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线剪开，再将沿方向平移（平移距离小于8），得到交于点交于点．
初步探究：
（1）如图2，当四边形为正方形时，线段的长为_____．
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（3）如图3，当四边形是菱形时．
①求线段的长；
②将绕点顺时针转过一定的角度，使得线段经过一个顶点且与有重叠部分，直接写出重叠部分的面积．
【答案】（1）2；（2）四边形是平行四边形，见解析；（3）①；②6或
【分析】（1）根据正方形的性质可得，进而即可得出的长；
（2）根据四边形是矩形，得出，根据平移的性质得出，进而得出，即可得出结论；
（3）①根据勾股定理求得，设的长为，解，得出，即可求解；
②当线段经过点时，令与的交点为．由①知，．求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解；当线段经过点时，令与的交点为．过点作于点，过点作于点，证明设的长为，在中，勾股定理得，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：（1）解：∵四边形为正方形，
∴，
∴；
（2）四边形是平行四边形．
理由：四边形是矩形，
．
由平移的性质得，
，
四边形是平行四边形；
（3）①四边形是菱形，
．
设的长为，则．
在中，，
，
，
．
在中，，
，解得，
．
②6或．
如图1，当线段经过点时，令与的交点为．
由①知，，
∴，
；
如图2，当线段经过点时，令与的交点为．过点作于点，过点作于点．
，
．
，
，
．
设的长为，则，
．
在中，由勾股定理得，
，
解得，
．
综上所述，重叠部分的面积为6或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质和判定，菱形的性质，解直角三角形，分类讨论是解题的关键．
15．（2025·山西晋城·三模）综合与探究
问题情境：如图，在中，，分别为和的中点，延长至点，使，连接，在线段上取点和，使得，动点分别从点同时出发，以相同的速度向终点运动，并且同时到达终点，连接，设，，且与满足．
猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由．
问题拓展：（2）①的长为_____；
②如图2，当时，求．
深入探究：
（3）在运动的过程中，将绕点顺时针旋转得到线段，当点落在平行四边形的边上时，请直接写出的值．
【答案】（1）四边形为平行四边形，理由见解析；（2）①，②；（3）或
【分析】（1）由三角形中位线的判定与性质及题中条件得到，进而由平行四边形的判定即可得到答案；
（2）①由动点分别从点同时出发，以相同的速度向终点运动，并且同时到达终点，可得，，结合题中条件，数形结合即可得到；②利用相似三角形的判定得到、，利用相似比求线段长度即可得到答案；
（3）由题意，结合旋转性质，分两种情况：当点落在上时；当点落在上时；作出相应图形，数形结合，分类讨论，解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：（1）四边形为平行四边形，
理由如下：
，分别为和的中点，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）①由动点分别从点同时出发，以相同的速度向终点运动，并且同时到达终点，可得，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
②，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
即，
解得，
，
，
；
（3）当点落在上时，过点作，交于点，交于点，如图所示：
四边形为平行四边形，
，
，
，
由（2）知，，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
解得；
当点落在上时，过点作于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查几何综合，综合性极强，难度很多，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、几何图形上点的运动问题、相似三角形的判定与性质、旋转性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等面积法求线段长、解直角三角形等知识．熟记相关几何判定与性质，灵活运算几何知识求解是解决问题的关键．
16．（2025·山西·模拟预测）综合与探究
问题情景
在数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1是一张平行四边形纸片，点分别是上一点，且，将平行四边形纸片沿直线折叠，点对应点分别为，与交于点，请判断线段与的关系，并说明理由．
数学思考
（1）请回答老师提出的问题．
深入探究
（2）如图2，老师将图2中的两点连接，交边于点，让同学们提出新的问题．
①“科学小组”提出问题：试猜想四边形的形状，并证明．
②“创新小组”提出问题：在中，．若四边形为菱形，请直接写出的值．
【答案】（1）．理由见解析，（2）①是平行四边形，见解析；②
【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定，相似三角形的性质与判定．熟练掌握菱形的性质，折叠的性质是解题的关键．
（1）根据四边形是平行四边形，得出，由折叠可得，．进而可得，根据，即可求解；
（2）易知．思路一：只要证明，即可证明四边形是平行四边形．思路二：只要证明，即可证明四边形是平行四边形．
（3）设与交于点，过点作于点，过点作交的延长线于点．则四边形是矩形，证明四边形是菱形，求得证明四边形是菱形，设，
在中，得出，则，证明，即可求解．
【详解】解：（1）．理由如下：
四边形是平行四边形，
．
．
由折叠可得，
．
．
，
即．
．
即．
（2）①方法一：四边形是平行四边形．
理由如下：
如答图1，延长交于点．
由（1）知．
四边形是平行四边形，
．
由折叠可知．
．
．
．
又，
．
，即．
．
为公共角，
．
．
又，
∴四边形是平行四边形．
方法二：如答图2，连接，
四边形是平行四边形，
由折叠得．
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
②
如图，设与交于点，过点作于点，过点作交的延长线于点．则四边形是矩形，
在中，∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴四边形是菱形，
，
设，
，
在中，
由勾股定理得，
解得（舍去），．
，
∵，
∴，
又∵，
∴．
∴，
.
17．（2025·山西吕梁·模拟预测）综合与探究
问题情境：
如图，在矩形中，，将矩形沿对角线剪开，再将沿方向平移（平移距离小于8），得到交于点交于点．
初步探究：
(1)如图2，当四边形为正方形时，线段的长为___________．
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
(3)深入探究：如图3，当四边形是菱形时．
①求线段的长；
②将绕点顺时针转过一定的角度，使得线段经过一个顶点且与有重叠部分，直接写出重叠部分的面积．
【答案】(1)2；
(2)四边形是平行四边形，理由见解析；
(3)①；②重叠部分的面积为6或．
【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，解直角三角形，分类讨论是解题的关键；
（1）根据正方形的性质可得，进而即可得出的长；
（2）根据四边形是矩形，得出，根据平移的性质得出，进而得出，即可得出结论；
（3）①根据勾股定理求得，设的长为，解，得出，即可求解；
②当线段经过点时，令与的交点为．由①知，．求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解；当线段经过点时，令与的交点为．过点作于点，过点作于点，证明设的长为，在中，勾股定理得，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）四边形是平行四边形．
理由：四边形是矩形，
．
由平移的性质得，
，
四边形是平行四边形．
（3）①四边形是菱形，
．
设的长为，则．
在中，，
，
，
．
在中，，
，解得，
．
②6或．
如图1，当线段经过点时，令与的交点为．
由①知，，
∴，
；
如图2，当线段经过点时，令与的交点为．过点作于点，过点作于点．
，
．
，
，
．
设的长为，则，
．
在中，由勾股定理得，
，
解得，
．
综上所述，重叠部分的面积为6或．
18．（2025·山西大同·三模）综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以直角三角形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在中，，点D是的中点，连接，分别过点A，B作的平行线相交于点E．
猜想证明：（1）判断四边形的形状，并证明你的结论；
操作探究：（2）“乐学”小组在图1的基础上连接，交于点O，然后将绕A点逆时针旋转得到（点D，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，他们提出如下问题，请你解答：
①如图2，当点E'恰好与点D重合时，与交于点H，求证：；
②若，，当线段所在直线与所在直线平行时，直接写出点E，之间的距离．
【答案】（1）四边形是菱形，见解析（2）①见解析；②或
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，熟练利用分类讨论思想正确画出辅助线是解题的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，在根据斜边上中线等于斜边一半得到，即可证明四边形为菱形；
（2）①证明即可解答；
②分情况讨论，即当在点上方或当在点下方两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）证明：过点A，B作的平行线相交于点E，
，
四边形是平行四边形，
在中，点D是的中点，
，
四边形是菱形；
解：（2）①四边形是菱形，
，，
，
，
，
由旋转得到，
，
，
，
，即；
②如图，当在点上方，且点在上时，，
，，，
，
，
根据旋转的性质，，
，
过点作，连接，
，
，，
，
如图，当在点下方，且点在的延长线上时，
，
，
根据旋转的性质，
，
过点作，交的延长线于点，连接，
同理可得，
，
，
综上所述，点E，之间的距离为或．
19．（2025·山西运城·三模）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观如图，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中，图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为：，当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题：
(1)求水柱所在抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，并说明理由；
(3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上当水面离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？
【答案】(1)
(2)水柱不能喷射到护栏上，理由见解析
(3)河水离地平面距离为米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处
【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点，理解题中的数量关系是解题的关键．
（1）根据当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米，所以二次函数的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，因为二次函数经过原点，所以把原点的坐标代入，可得：，解方程求出的值即可；
（2）因为绿道路面宽米，当时，可得水柱的高度为米，而护栏的高度为米，所以水柱不能喷射到护栏上；
（3）根据坡比和的长度求出的长度，从而可得点的坐标为，点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，解方程求出抛物线与直线的交点即可；
【详解】（1）解：由题意得，二次函数的顶点坐标为，
设该二次函数的解析式为，
二次函数经过原点，
，
解得，
该二次函数的解析式为；
（2）解：水柱不能喷射到护栏上，理由如下：
当时，，
，
水柱不能喷射到护栏上；
（3）解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中），
，
，
则点与原点的水平距离为，
点的坐标为，
又点的坐标为，
设直线的表达式为，
把，坐标代入解析式得：，
解得，
直线的表达式为，
联立方程组，即，
解得不合题意，舍去，，
当时，，
即河水离地平面距离为米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处．
20．（2025·山西晋中·二模）项目学习实践
项目主题：如何合理设计简易遮阳棚
项目背景：军属李大爷的家在我县某小区，他的卧室的窗户朝南，夏天的时候，阳光通过窗户全部照到了房间里，感觉比较晒，在一次“拥军优属”活动后，九（一）班智慧小组决定为李大爷设计安装一个简易遮阳棚．
任务一：测量收集数据
查阅资料可知，我省位于北半球北回归线以北地区，夏至日太阳直射北回归线，此时该地区正午太阳高度角达到一年中的最大值，即太阳光线与水平面夹角最大约，冬至则太阳光线与水平面夹角最小约，李大爷卧室窗户高1.9米．
）．
任务二：模型初步设计
小明设计了如图1的遮阳棚，它的伸出距离是70厘米，为了在夏至的时候能挡住所有的阳光，遮阳棚应安装在窗户上面多高的墙上？请你结合模型探究，如图2：已知窗户，遮阳棚，求．
任务三：模型优化设计
小花进一步思考：遮阳棚的作用是夏天最大限度遮挡太阳光，冬天能最大限度使阳光照射进来．通过上述的思考，请你结合图3探究，选择伸出长度为多少厘米？安装在什么位置才能让遮阳棚发挥最大的作用？如图3：求和的长．
任务四：项目反思
请你通过本题的解决，为遮阳棚的供应商提一个合理化建议．
【答案】任务二：遮阳棚应安装在窗户上面的墙上；任务三：BC的长为的长为；任务四：针对不同省份生产不同长度的遮阳棚
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
任务二：解，求出，根据可得结论；
任务三：设，在中求出，在中求出，根据列方程可求出的值即可得解．
【详解】任务二：
解：根据题意得：，
在中，
答：遮阳棚应安装在窗户上面的墙上．
任务三：
解：根据题意得：，
设，
在中，
，
在中，
答：的长为的长为．
任务四：
建议：针对不同省份生产不同长度的遮阳棚．
建议在安装说明书中增加不同省份的安装高度的建议．
21．（2025·山西大同·三模）综合与实践
为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分．
(1)求a的值．
(2)若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？
(3)若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？
（提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移）
【答案】(1)
(2)不能
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，待定系数法，勾股定理，解直角三角形；
（1）通过待定系数法将点坐标代入抛物线中计算即可；
（2）将起火点高度代入抛物线方程，求出的解与16作比较，从而确定水流是否能到达；
（3）通过伸缩臂伸长量与坐标变化的关系，设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米，建立新的抛物线方程，当时，，代入求解，与10进行比较即可求出．
【详解】（1）解：根据题意得喷水口在抛物线上，
代入中得，
，
解得：；
（2）解：不能，理由如下：
∵
∴抛物线解析式为：
∵该楼距离地面21米处出现一个起火点，
∴代入抛物线中，
得：，
整理：
解得：，
∴，
∴消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点；
（3）解：∵伸缩臂与水平方向的夹角为，且，
设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米．
则长伸缩臂后新抛物线的解析式为：，
根据题意得：
当时，，即，
解得：，
当时， ，伸缩臂长为米，
∵，符合题意．
当时， ，伸缩臂长为米，
∵>10， 不符合题意，舍去．
故伸缩臂应伸长米．
22．（2025·山西·模拟预测）综合与探究
问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点．

猜想证明：
（1）猜想与的数量关系，并证明；
（2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形；
问题解决：
（3）在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点，若 ，，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的值．
【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析；（3）或．
【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出，推得，根据旋转的性质得出，根据全等三角形的判定与性质即可证明；
（2）连接，根据旋转的性质得出，根据矩形的性质得出，，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据平行四边形的判定定理即可证明；
（3）分为：点，在的同一侧和点，在的异侧，两种情况分别求解，根据勾股定理求出，结合图形求出的值，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定与性质求出的值，根据矩形的性质与相似三角形的判定与性质即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接，

∵四边形与四边形都是矩形，
∴，
∴，
即，
根据旋转的性质可得：，
∵，，
∴，
∴．
（2）如图：连接，

根据旋转的性质可得：，
∵四边形是矩形，
∴，，，
即，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
（3）如图，当点，在的同一侧时，

根据旋转的性质可得：，，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
即；
如图：当点，在的异侧时，

根据旋转的性质可得：，，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
即；
综上，的值为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定定理，勾股定理，等角的余角相等，相似三角形的判定与性质等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（2025·山西·三模）综合与探究
问题情境
数学活动课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当点落在线段上时，连接交于点，连接，试判断和的数量关系，并说明理由．
特例探究
（1）请你回答老师提出的问题．
探索发现
（2）如图2，当点落在对角线上时，连接交于点，“奋进”小组发现垂直平分，请你证明这个结论．
拓展延伸
（3）在矩形旋转的过程中，当三点在同一条直线上时，连接．若，，请直接写出此时的长．
【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）或
【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；
（1）根据旋转的性质证明，，进而证明，即可得证；
（2）先证明得出，进而证明，根据等腰三角形的性质，即可得证；
（3）根据图形运动的相对性，让保持不动，则运动到上时，以为半径作弧交的两个点，求这两个点到的距离，即可求解．
【详解】（1），理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∵点在线段上，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
由旋转得，，
∴，
∴，
由旋转得，，
∴，
∵，，，
∴
在，中，
∴，
∴，
（2）由旋转得，，
∵矩形绕点逆时针旋转得到矩形，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（3）如图，矩形绕点逆时针旋转得到矩形，当三点在同一条直线上时，连接，则满足题意，
∵，，
∴，
在中，，
∴
∴
同理可得，则
∴
综上所述，的长为或．
24．（2025·山西长治·三模）问题背景
如图1，四边形是一个正方形花园，，分别是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
问题探究
(1)如图2，在正方形中，若，试证明．
知识迁移
(2)如图3，在矩形中，点，，，分别在线段，，，上，且．若，，求的值．（用含，的代数式表示）
知识运用
(3)如图4，，是两个直角三角形，，，，交于点，经过的中点，交于点，，且，请直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用正方形的性质证出，再利用全等三角形的性质即可证明；
（2）作于点，作于点，设与交于点，利用矩形的性质得到，再由和得到，推出四边形、都是矩形，则有，，再通过证明得到，代入数据即可求解；
（3）在中利用正切的定义得到，设，通过证明得到，进而求出，再由得到，在中利用正切的定义求出，再利用平行线的性质即可求出的值．
【详解】（1）证明：设与交于点，如图：
正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：作于点，作于点，设与交于点，如图：
矩形，
，
，，
，
四边形、都是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值为．
（3）解：在中，，
，
设，则，
点是的中点，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形，熟练掌握相关知识点，结合图形找出全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生．
25．（2025·山西大同·三模）综合与探究
问题情境：如图1，在等腰直角三角形中，，点在边上，于点，将绕点顺时针旋转．
猜想证明：
（1）如图2，已知点分别是的中点，连接，取的中点，连接，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
深入探究：
（2）如图2，连接，试判断线段与之间的数量关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）如图3，设直线与直线交于点，若，将绕点旋转一周，当三点共线时，直接写出的长．
【答案】（1）数量关系：，位置关系：；理由见解析
（2），理由见解析
（3）或．
【分析】（1）利用三角形中位线定理及直角三角形斜边中线性质来求解；
（2）连接，，利用等腰直角三角形的性质，旋转的性质和中位线定理求得，再利用全等三角形的性质求解；
（3）等腰直角三角形的性质，旋转的性质和勾股定理求出，，，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，此时在的延长线上，利用相似三角形的性质求解．
【详解】猜想证明：
（1）数量关系：，位置关系：．
理由：在等腰直角三角形中，，是斜边的中点，
．
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
．
是的中位线，
．
是等腰直角三角形的中线，也是边上的高，
．
深入探究：
（2）．
理由：连接，，如下图
是中点，是中点，
是的中位线，
，．
绕点旋转，且是等腰直角三角形，，
是等腰直角三角形，
，
．
是的中点，
，
，
．
又是中位线，
，，
， ，
，，
即．
，
，
，
．
在和中
，
．
拓展应用：
（3）在等腰直角中，，
，
．
三点共线时，当点在线段上时，
和都是等腰直角三角形，
．
，
，
．
设，
则，，
，
整理得，
解得或．
，
．
当点在线段上时，此时在的延长线上，
和都是等腰直角三角形，
．
，
，
．
设，
则，，
，
整理得，
解得，
即．
，
综上可得，或．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作图辅助线是解答关键．
26．（2025·山西朔州·三模）综合与实践
问题情境：数学课上，老师让同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开探究活动，已知在中，，，．将绕点旋转一定角度得到，延长交于点．
初步探究：（1）如图1，勤思小组发现，当时，四边形是正方形，请你证明这一结论．
深入思考：（2）如图2，笃学小组发现，当点正好落在斜边上时，可以求出四边形的面积，你能解决这一问题吗？
拓展延伸：（3）善思小组继续探究，当和在同一条直线上时，连接．请你在图3中画出图形，并直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）画图见解析，或
【分析】（1）由旋转得，．根据，得出，证出四边形是矩形．结合，即可证明矩形是正方形．
（2）在 中，，根据勾股定理求出，得出，由旋转得，，得，在 中，，求出，求出，，再根据即可求解．
（3）如图，情况一：如图，点A在中间时，过点D作，根据，求出，根据，求出，根据图象求出，再根据勾股定理即可求解；情况二：如图，点C在中间时，同理得出，再根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）由旋转得，．
，
，
，
∴四边形是矩形．
又，
∴矩形是正方形．
（2）在 中，，
，，
由旋转得，，
，
在 中，，
，
，
，
．
（3）如图，情况一：如图，点A在中间时，
过点D作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
情况二：如图，点C在中间时，
同理，
∴．
综上，或．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
27．（2025·山西运城·模拟预测）综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题：如图，已知正方形，点是边上一点（不与点，重合），连接，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并说明理由．
独立思考：（1）请解答老师提出的问题．
实践探究：（2）希望小组受此启发，如图，连接，过点作交的延长线于点，请判断与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：（3）点是射线上一点（不与点，重合），连接，过点作交所在直线于点，连接，过点作，交所在直线于点．若，，请直接写出线段的长．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）或
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）根据四边形是正方形，得出，进而证明，进而证明，即可得证；
（2）过点分别作于点，于点，由（1）可知，，可得，进而证明平分，得出，进而证明是等腰直角三角形，即可求解．
（3）由（2）可得是等腰直角三角形，则，分当在上时，当在的延长线上时，分别求得的长，进而即可求解．
【详解】（1），理由如下，
∵四边形是正方形，
∴
∴
∴
∵交的延长线于点，
∴
∴
∴
在和中，
∴
∴，
（2），理由如下，
如图，过点分别作于点，于点，
，
由（1）可知，，
，
，
，，
平分，
，
，
.
，
，
，
；
（3）如图，当在上时，
由（2）可得是等腰直角三角形，则
∵，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
当在的延长线上时，如图，
同理可得，
∵，
∴
∴
∴，即
∴
∴
同理可得是等腰直角三角形，则
∴
∴
综上所述，线段的长为或.
28．（2025·山西晋中·二模）综合与探究
问题情境：如图1，将等边沿边翻折得到，点是边上的两点，且，分别连接，，．
猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：（2）将图1中的线段绕点逆时针方向旋转得到线段，交直线于点．如图2，当点落在线段的延长线上时，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
迁移探究：（3）如图3，若变为等腰直角三角形，，
，将沿边翻折得到，点为边上一点，且，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段．当点落在直线上时，请直接写出线段的长度．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或
【分析】（1）连接交于点，根据翻折的性质易得四边形为菱形，可知，再证得四边形为平行四边形，即可得到结论；
（2）过点作交于点，根据等边三角形的性质和平行线的性质易证为等边三角形，即得，在证得，即得，再根据线段的和差即可得到结论；
（3）当与重合时；当在的延长线上时，易证，求得，根据等腰三角形的性质可得，再证得，根据相似比即可得到的长度．
【详解】解：（1）四边形是菱形，理由如下：
方法一：连接交于点，
等边翻折得到，，，，
，四边形为菱形，
，，，
又，
，即，
又，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形；
方法二：
等边翻折得到，
，，，，
又，
，，
同理，，
，，，
，
，
，
四边形为菱形．
（2）方法一：
证明：过点作交于点，
为等边三角形，
，
，
，
，，
，
为等边三角形，
，
四边形为菱形，
，
又，，，
又，，
，
，，
，
即；
方法二：
证明：连接，
等边翻折得到，
，，，，
，，
，
，
四边形为菱形，
，
又，，
，
，
，，
，
，
，
又，
，即，
又，为等边三角形，
，
，即，
又，
，
．
（3）解：当与重合时，
当在的延长线上时，易证，
，
由为等腰直角三角形，可得，
易证为等腰直角三角形，，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，翻折的性质，旋转的性质，熟练掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键．
29．（2025·山西太原·二模）综合与探究
问题情境：综合探究活动中，老师以菱形为基本图形，添加若干条件后，请同学们就几何元素之间的关系提出问题并解决问题.如图1，已知四边形是菱形，，，点是射线上的一个动点，连接，以为边作等边三角形（点在的右侧），连接．
数学思考：
（1）“敏学小组”提出问题：猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由．请你解答；
深入探究：
（2）老师在图1的基础上过点作的平行线与的延长线交于点．请你解决同学们提出的新问题：
①“善思小组”提出问题：如图2，若点在线段上，判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论；
②“创新小组”提出问题：若点在射线上运动，连接，当时，请直接写出线段的长．
【答案】（1），理由见解析；（2）① ，证 明 见 解 析；②线段的长为或
【分析】（1）根据性质的性质和等边三角形的性质推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据菱形的性质可得，由（1）知，得到，可推出，由，可得，得到是等边三角形，推出，得到，结合，即可求解；②过点作于点，求出，，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，在中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：（1），理由如下：
四边形是菱形，
，，
，
，
，
即，
是等边三角形，
，，即，
，
在和中，
，
，
；
（2）①，证明 如 下 ：
四边形是菱形，
，，，
，
由（1）知，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
由（1）知，
，
，
；
②过点作于点，
，，
，，
如图2，当点在线段上时，
设，则，，
，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
即；
如图3，当点在线段的延长线上时，
设，则，，
，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
即；
综上所述，线段的长为或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识．
30．（2025·山西吕梁·二模）综合与探究
【问题情境】已知为直角三角形纸片，其中．在数学活动课上，进行如下探究活动．
活动一：为上一点，将绕点旋转，得到的对应点分别为．连接．
【观察发现】如图1，四边形的形状为___________．
【深入探究】如图2，若，当四边形为矩形时，求的长．
活动二：如图3，取的中点，将绕点顺时针旋转角，得到的对应点分别为，连接．
【拓展提高】
①猜想与的位置关系，并给予证明．
②如图3，当时，的平分线，若点到的距离为，直接写出的长．
【答案】观察发现：平行四边形；深入探究：；拓展提高：①，见解析；②
【分析】观察发现：根据旋转性质可得从而可证的形状为平行四边形；
深入探究：连接，设，根据矩形性质利用勾股定理求出x的值即可；
拓展提高：①由旋转可得，等边对等角求出，从而得到，即可得出结论；②延长，分别与相交于点，设与的交点为．先证明四边形为平行四边形，四边形为矩形，进一步证明，，从而得出结论．
【详解】解：观察发现： 绕点旋转，得到，
，，
，
四边形的形状为平行四边形，
故答案为：平行四边形；
深入探究：如图1，连接，
设．
四边形为矩形，
，即．
，
，即．
解得．
即；
拓展提高：
①.
证明：为的中点，
．
由旋转可得，
，
．
.
②如图2，延长，分别与相交于点，设与的交点为．
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为矩形，
．
又为的平分线，
，
，
，
，
．
由①得，
．
又，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键．

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