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2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考卷04
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A A B B C D A D
1．D
利用一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值．
∵是一元二次方程的根，
∴把代入原方程得：，
∴，
解得．
2．C
结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值．
∵是一个整数,且m是正整数，,
∴m的最小值为3，此时的值是整数3.
故选C．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
3．A
本题考查了最简二次根式的定义，正确判断最简二次根式是解题的关键．化简二次根式，，，，，即得答案．
解：，，，，，
是最简二次根式的是，只有1个．
故选：A．
4．A
本题考查了直接开平方法解一元二次方程．
直接开平方法解出方程的两个根后，选取其中的负根即可．
解：∵，
∴，
当时，解得，
当时，解得，
∴方程的负根是．
故选：A．
5．B
本题考查二次根式的概念，属于基础题型．
根据二次根式的概念即可判断．
解：A、若被开方数是负数，此时不是二次根式，故A错误；
B、是二次根式，故B正确；
C、37不是二次根式，故C错误；
D、若被开方数是负数，此时不是二次根式，故D错误；
故选：B．
6．B
构造不等式，结合一元二次方程的根与系数关系转化为关于的不等式求解，同时验证判别式保证方程有两个不相等的实数根．
解：设方程的两根为、，且，，
由根与系数的关系得，，
∵，，
∴，即，
∴，解得，
又判别式，
当时，，故，方程有两个不相等的实数根，满足条件；
综上，的取值范围是．
7．C
对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故选C．
8．D
本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题．
解：原式
，
故选：D．
9．A
本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．
过点作于，根据矩形的性质可知，，利用勾股定理可得关于的一元二次方程，解方程求出的值即可．
解：如下图所示，过点作于，则，
设秒后，，
四边形是矩形，
，，，
四边形是矩形，
，
∵点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，
∴，，
，
在中，，
，
解得：，，
经过或时，、两点之间的距离是．
故答案为：A．
10．D
根据题意得出，进而可得出EF GF＝AG BE＝10，结合基本不等式求4（EF+GF）的最小值即可．
因为1里=300步，
则由图知步=4里，步=2.5里，
由题意，得，
则，
所以该小城的周长为，
当且仅当时等号成立．
故选D
本题考查基本不等式的实际应用，考查数学运算和直观想象的能力，属于中档题．
11．
根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，得到且，求解即可．
此题考查了一元二次方程的概念，只含有一个未知数并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键．
解：由题意，得且．
解，
得或，
∴或．
∵，
∴，
因此．
12．且
根据被开方数为非负数，以及分式的分母不为0，进行求解即可.
解：由题意，且，
解得且.
13．2023
本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解．
解：∵关于x的一元二次方程有一个根为，
∴关于的一元二次方程即有一个根为，
即，
解得：，
故答案为：2023．
14．/
本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的应用．根据勾股定理列出方程是解题的关键．
设经过，、之间的距离等于，先用含的代数式分别表示和的长度，进一步利用勾股定理建立方程求得答案即可；
解：设经过，、之间的距离等于，
由已知可得：
，，
，
，
，
解得：， (不合题意，舍去)，
∴需要经过秒，，两点之间的距离等于．
故答案为．
15．5
本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，设元列方程是关键．设每个涨价x元，则每个盈利 元，日销售量个，根据每天盈利4000元，列出方程求解即可．
解：设每个涨价x元，则每个盈利 元，日销售量个，
根据题意，得，
化简整理，得，
解得 或 ，
为使顾客花费少，取较小值 ，
每个涨价5元．
故答案为：5．
16．23
本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明确题意，发现题目中的数据的特点和排列的特点，找出最大的有理数所在的位置．根据题目中的数据可以得到这列数中最大有有理数的位置，进而得到m、n的值，从而可以求得的值．
解：，，
的位置记为，
这列数中的最大有理数是，
这列数中的最大有理数是记为，
这列数中的最大有理数的位置可记为，
，
，
故答案为：23．
17．(1)
(2)
（1）根据二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则计算即可得出结果；
（2）先计算乘方、算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可得出结果．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)，
(2)，
（1）利用解一元二次方程——因式分解法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程——公式法进行计算，即可解答．
（1）解：，
，
，
解得：，；
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
19．(1)见解析
(2)该一元二次方程没有整数解，理由见解析
此题考查了根的判别式和方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
（1） 根据一元二次方程有实数根的性质，利用根的判别式即可证明结论．
（2）假设方程有整数解，将其代入方程，结合奇数与偶数的运算性质，分情况讨论推导矛盾，进而判断方程是否有整数解．
（1）证明： ∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴为非负数；
（2）解：该一元二次方程没有整数解，理由如下：
设关于x的一元二次方程的整数解为，
则 移项得
∵为奇数，
∴为奇数，
∴为奇数．
①若为奇数，则为奇数，
∵为奇数，为奇数，
∴为奇数，为奇数，
∴奇数－奇数=偶数， 这与为奇数矛盾，不符合题意；
②若为偶数，则为偶数，
∵为奇数，为奇数，
∴为偶数，为偶数，
∴偶数－偶数=偶数， 这与为奇数矛盾，不符合题意．
综上，无论为奇数或偶数都矛盾，故该一元二次方程没有整数解．
20．船向岸边移动了米
先算收绳后绳长，再分别在两个直角三角形中用勾股定理求出初始水平距离和收绳后水平距离，最后用得到船移动的距离．
解：∵此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，
∴收绳长度：（米），
∵开始时绳子的长为10米，
（米），
在中，米，米，
（米）
在中，米，米，
（米），
（米），
答：船向岸边移动了米．
21．(1)
(2)该商品日销售额不能达到2600元，理由见解析.
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式；
（2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根的判别式求解即可．
（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入得
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：
依题意得，
整理得，
∴，
∴该商品日销售额不能达到元．
22．(1)
(2)
(3)
本题考查了完全平方公式变形求值，二次根式的混合运算．
（1）通过完全平方公式变形，代入已知值计算即可；
（2）先对、进行分母有理化，再利用配方法将变形为，计算出与的值后代入求解；
（3）对已知的根式等式两边平方，结合完全平方公式展开，再代入的值，变形求出的值，即可求解．
（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
，
∴，，
∴，
（3）∵，，
∴
．
23．(1)；；
(2)，见详解．
本题考查了算术平方根的规律探索、二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据所列等式及其验证过程即可求解；
（2）根据所列等式及其验证过程即可猜想，进行验证即可．
（1）解：根据所列等式及其验证过程可猜想；；
（2）猜想，验证如下：
．
24．(1)
(2)；
本题考查了配方法解一元二次方程，利用图形求一元二次方程的解．
（1）根据配方法解一元二次方程即可；
（2）先把方程化为指定的形式，设小正方形的边长为，根据题意，得，解得，继而得到大正方形的面积为，从而得到方程的正数解为计算即可．
（1）解：，
移项，得，
配方，得，即，
，
解得：；
（2）解：由得，
∵阴影部分的面积为，
∴，
根据题意，设图中阴影小矩形的宽为，
∴，
解得，
∴大正方形的面积为，
∴方程的正数解为．
故答案为：；．(共6张PPT)
浙教版2024 八年级下册
八年级数学下册第一次月考卷04
（浙教版2024，测试范围：第1-2章）试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.95 由一元二次方程的解求参数
2 0.94 求二次根式中的参数
3 0.65 最简二次根式的判断；化为最简二次根式
4 0.85 解一元二次方程——直接开平方法
5 0.85 求二次根式的值
6 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数
7 0.75 根据一元二次方程根的情况求参数
8 0.65 复合二次根式的化简
9 0.65 根据矩形的性质求线段长；动态几何问题(一元二次方程的应用)；用勾股定理解三角形
10 0.65 二次根式的应用；用一元一次不等式解决实际问题
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 由一元二次方程的定义求参数
12 0.85 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
13 0.85 换元法解一元二次方程
14 0.65 动态几何问题(一元二次方程的应用)；用勾股定理解三角形
15 0.65 营销问题(一元二次方程的应用)
16 0.65 二次根式的应用；数字类规律探索
二、知识点分布
三、解答题 17 0.81 求一个数的算术平方根；二次根式的混合运算；求一个数的立方根
18 0.77 公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
19 0.65 由一元二次方程的解求参数；根据一元二次方程根的情况求参数
20 0.66 化为最简二次根式；用勾股定理解三角形
21 0.65 其他问题(一次函数的实际应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
22 0.65 分式化简求值；通过对完全平方公式变形求值；分母有理化
23 0.65 二次根式的混合运算；数字类规律探索
24 0.65 解一元二次方程——配方法；与图形有关的问题(一元二次方程的应用)2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考卷04
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．关于的一元二次方程的一个根为6，则a为（ ）
A．2 B． C． D．4
2．若是一个整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．方程的负根是（ ）
A． B． C． D．
5．下列式子一定是二次根式是（ ）
A． B． C．37 D．
6．若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了（　　）
A．或 B．或 C． D．
10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城周长的最小值为（ ）（注：1里=300步，且两个正数的和大于等于其积开方的两倍，当两数相等时取等号）．
A．里 B．里 C．里 D．里
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____．
12．若代数式有意义，则x的取值范围是________．
13．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为________．
14．如图所示，在中，，，，点以的速度从点开始沿边向点移动，点以的速度从点开始沿边向点移动，且点，分别从点，同时出发，若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使，两点之间的距离等于，则需要经过___________．
15．某礼品店购进一批2022冬奥会吉祥物特许商品“冰墩墩”徽章，如果每个盈利5元，每天可售出500个，经市场调查发现，若每个涨价1元，则日销售量减少20个，现在既要保证每天盈利4000元，又要尽可能使顾客花费少些，那么每个应涨价________________元．
16．将一列数按如图所示的数表排列，的位置可记为，的位置可记为若这列数中最大的有理数记为，则的值为______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解下列方程：
(1)；
(2)．
19．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求证：为非负数；
(2)若a，b，c均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由．
20．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
21．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价/元 … 45 55 65 …
日销售量/件 … 55 45 35 …
(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
22．阅读与思考：
知识与方法的探索是数学发展的重要途径，可以从中发现新问题和新结论．配方法是初中数学学习中的一种重要思想方法，用配方法可以简化数学运算，常用的公式有：，．
请用配方法，解答下列问题：
(1)已知：，求；
(2)已知：，求；
(3)已知：，（其中，），求的值．
23．探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）；
（2）．
验证：（1）．
（2）．
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：_____；_____；
(2)通过上述探究你能猜测出：_____，并验证你的结论．
24．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
花拉子米与《代数学》 中亚细亚数学家阿尔·花拉子米（约780—约850）是对欧洲数学影响最大的数学家之一，他的著作《对消与还原》（拉丁文译本），重点论述解方程，该书传入欧洲后，到14世纪，演变为拉丁语“algebra”，这就成了今天英文“algebra”（代数）一词的来源，因此花拉子米的这一著作也称为《代数学》． 《代数学》一书，第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及图解法．书中记载的图解法：形如：的方程，求正数解的几何方法如下：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”
任务：
(1)根据学过的一元二次方程的一般代数解法，求解方程：；
(2)若按上述图解法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为72，则图中阴影小矩形的宽为______，该方程的正数解为______．

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