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2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考卷02
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
2．据国家统计局公布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国原油产量从2021年到2023年增长了，设这两年的平均增长率为，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列二次根式化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．下面是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（ ）
A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s
8．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：
．②
若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于x的一元二次方程有一根为2，则c的值是______．
12．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____．
13．若关于x的一元二次方程的解是，，则的解是______．
14．设，则与最接近的整数是______．
15．赵爽在周髀算经中有这样的记载，命题1：勾股各自乘，并之为弦实．意思是：记直角三角形勾股弦分别为，，．则．命题2：“加差于勾，即股．”意思是：已知，，求，．其中就是二次方程的根，例如方程的一个根为．问题1：请你构建一个形如“”，且一个根为的方程____________．
问题2：已知关于的方程，则其中一个根为___________．
16．阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．先化简再求值：，其中．
18．解方程：
(1) ；
(2) ．
19．一桥连山水，一窗现云涧．作为中江招商的“门面担当”，“凯州之窗”俨然成为中江新地标建筑．规划馆的“窗”，不仅是整个建筑的视觉焦点，更是将建筑融于天地之中，让人们感受到自然之美．已知“窗”的形状是一个圆环，内圆半径为，外圆面积为．
(1)求圆环的宽度．
(2)计划在圆环的地方铺上地砖，地砖造价为元，则购买地砖需要花多少钱？
20．阅读并解答：已知，求代数式的值．
小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：
由得，则，即，∴．把作为整体，得：．
请运用上述方法解决下列问题：
(1)已知，求代数式的值．
(2)已知，对x进行分母有理化．
(3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值．
21．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
(3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
22．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”．
【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____；
（2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【探究问题】（3）已知，求的值；
（4）已知实数、满足，求的最值．
【实际应用】（5）已知的三边长、、满足，求的周长．
23．某校八年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计无盖长方体纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题．
素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒．
素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
问题解决
任务1 设剪去的小正方形边长为，请用含的代数式表示折成的无盖长方体纸盒的侧面积．
任务2 若用上述方式折成的无盖长方体纸盒侧面积为，试求出此时纸盒的体积．
任务3 探究按上述方式折成的无盖长方体纸盒侧面积能否到达？若能，请求出此时剪去的小正方形边长；若不能，请说明理由．
24．在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点……第行有个点……
【发现问题】：在探究的过程中，容易发现是三角形前行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数行数很繁琐．
【提出问题】：前多少行的点数和是？
【分析问题】：数形结合是解决数学问题的重要思想；下面表格分别从数和形两个角度探究前行的点数和．
从数的角度看 从形的角度看
通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前行的点数 ①， 由①式倒序： ②， ①②： 所以，即前行点数为个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半．
【解决问题】：
(1)根据以上材料，解决前面所提出的问题；
【应用延伸】：
(2)如图3，该点阵的点数从上到下依次为：，，，，，，这个点阵的点数和能是吗？请说明理由．2025-2026学年八年级数学下学期第一次月考卷02
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C A C A D A B
1．A
本题考查一元二次方程的根，求代数式的值，利用方程根的定义，将代入方程后变形即可求解．
解：∵ 是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
故选A．
2．A
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据平均增长率模型，两年增长后的产量为初始产量的倍，增长即最终产量为初始的，据此列方程．
解：设2021年产量为，则2023年产量为，
∵ 从2021年到2023年增长了，
∴ ，
两边除以，得．
故选：A．
3．B
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，首先确保二次项系数不为零，再计算判别式，从而确定m的取值范围．
解：根据题意得且，
解得且，
∴m的值可能是1，不可能是0、2、3．
故选：B．
4．C
本题考查二次根式的化简．
根据二次根式的性质，对各选项进行化简判断即可．
解：A．，原化简不正确，不符合题意；
B．， 原化简不正确，不符合题意；
C．，原化简正确，符合题意；
D． ，原化简不正确，不符合题意．
故选：C．
5．A
此题主要考查函数自变量的取值范围．根据二次根式有意义以及分母不为0的条件即可求解．
解：依题意得，
∴，
故选：A．
6．C
本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为的根式，且被开方数非负数．
解：二次根式需满足根指数为且被开方数是非负数，
A选项：为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意；
B选项：的根指数为，不是二次根式，故B选项不符合题意；
C选项：根指数为且被开方数是非负数，是二次根式，故C选项符合题意；
D选项：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意．
故选：C．
7．A
本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．
根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．
解：设运动时间为t秒，则有，，
即，
，
，
，
解得或20（舍去），
时，的面积为．
故选：A．
8．D
本题考查了二次根式的化简，二次根式的加减法，根据以上知识逐一分析判断即可，掌握相关知识是解题的关键．
解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．
9．A
本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答．
解：由图知，，，
∴，，
∴
．
故选：A．
10．B
由分析可得，代入公式②中比较容易计算，把分别代入进行计算解答．
解：∵，，不是同类二次根式，无法合并，代入公式①中计算不方便，
∴可代入公式②进行计算，
∵，
∴；
故选：B．
本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
11．2
本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程，得到关于c的方程，解方程即可得到答案．
解：∵关于x的一元二次方程有一根为2，
∴把代入得，
解得，
故答案为：．
12．
本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即可求解．
解：由题意，得，
解得．
故答案为：．
13．或
本题主要考查了解一元二次方程，方程关于x的一元二次方程可以看做是关于的一元二次方程，根据题意可得该方程的解满足或，据此可得答案．
解：∵关于x的一元二次方程的解是，，
∴关于x的一元二次方程，即的解满足或，
∴或，
故答案为：或．
14．2025
此题是数字规律题，主要考查了二次根式的加减法，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
由可化为，即可求解．
解：∵n为任意正整数，
∴
．
．
∴与S最接近的数是2025．
故答案为：2025．
15．
本题考查勾股定理与一元二次方程的综合应用，解题关键是利用勾股数构造满足条件的方程，以及通过对一元二次方程右边式子变形找到方程的根 ．
利用常见勾股数，令，确定、值，代入方程构建方程．根据题意令，求出，即可解答．
∵根据题意设，，．
则，
∵一个根为
将，代入，得到．
再将，代入方程右边，得，
∴得到方程为．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∵是二次方程的根，
∴方程的一个根是．
故答案为：，．
16．2026
本题考查二次根式化简、代数式求值；先对进行分母有理化，得到，进而得到，平方后得到，然后利用这个关系简化代数式．
解：，
∴，
两边平方得，即，
∴．
∴．
故答案为：2026．
17．，
本题主要考查了分式的化简求值，
先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，并化到最简，然后将数值代入计算即可．
解：，
．
当时，原式．
18．(1)，
(2)，
本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）使用配方法进行求解即可；
（2）使用因式分解法进行求解即可．
（1）解：
解得，；
（2）解：
或
解得，．
19．(1)
(2)元
本题主要考查二次根式的混合运算，
根据圆的面积公式可求求得半径，再作差即可；
根据半径求得面积作差，再乘以单价即可．
（1）解： ，
故圆环的宽度为．
（2）解：（元），
则购买地砖需要花元钱．
20．(1)8
(2)；
(3)
本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值．
（1）按照例题的方法解答即可；
（2）由分母有理化得；
（3）由（2）得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；再整体代入计算即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，即1，
∴；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
21．(1)（答案不唯一）
(2)见解析
(3)1
（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积．
（1）解：当，，时勾系一元二次方程为；
（2）证明：根据题意，得，
∵，
∴
∴，
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当时，有，即，
∵四边形的周长是，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴．
本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键．
22．（1）；（2）；（3）4；（4）6；（5）14
本题考查了非负数的性质，完全平方公式，二次根式的性质，读懂题目信息，理解“完美数”的定义并熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据“完美数”的定义即可求解；
（2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解；
（3）利用配方法和非负数的性质即可求解；
（4）利用配方法和非负数的性质即可求解；
（5）利用配方法和非负数的性质即可求解．
解：（1）∵10是“完美数”
∴；
故答案为：；
（2）
要使S为“完美数”，
则，即．
（3）∵，
∴
∴，
∴， ，
解得， ，
则．
（4），
，
，
，
无论x取何值，，
当时，的值最大，为.
（5），
∴，
，，，
，，，
．
23．任务1：；任务2：或；任务3：不能，理由见解析
本题考查了一元二次方程的应用
任务1：根据长方形的长乘以宽，即可求解；
任务2：根据侧面积为，进而解方程，求得边长，根据长方体的体积公式进行计算即可求解；
任务3：根据题意列出方程，解方程，即可求解．
解：任务1：
任务2：由题意得
解得
当时，
当时，
任务3：不能，当时，可得
整理得
因为
所以不能达到．
24．(1)前行的点数和是；
(2)能；理由见解析．
本题考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，根据题目的探究过程列出一元二次方程是解题的关键．
（1）理解题意，并按照探究的方法得到，再列出方程，即可求解；
（2）设，，依据（1）中的方法可求得：，进而得到，再列出方程并判断是否有符合题意的解，即可得出结论．
（1）解：由题意得 ①，
由①式倒序： ②，
①②：，
所以，即前行点数为个．
当时，解得或（舍），
即前行的点数和是；
（2）这个点阵的点数和能是，理由如下：
设，，
则，
依据（1）中的方法同理可求得：，
所以，
当时，解得或（不合题意，舍去），
所以当时，这个点阵的点数和能是．(共6张PPT)
浙教版2024 八年级下册
八年级数学下册第一次月考卷02
（浙教版2024，测试范围：第1-2章）试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 由一元二次方程的解求参数；已知式子的值，求代数式的值
2 0.85 增长率问题(一元二次方程的应用)
3 0.85 一元二次方程的定义；根据一元二次方程根的情况求参数
4 0.85 化为最简二次根式
5 0.85 求自变量的取值范围；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
6 0.85 二次根式的识别
7 0.65 动态几何问题(一元二次方程的应用)
8 0.65 利用二次根式的性质化简；二次根式的加减运算
9 0.65 利用二次根式的性质化简；带有字母的绝对值化简问题；实数与数轴
10 0.65 二次根式的应用
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 由一元二次方程的解求参数
12 0.85 二次根式有意义的条件；求一元一次不等式的解集
13 0.65 换元法解一元二次方程
14 0.65 异分母分式加减法；利用二次根式的性质化简
15 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理逆定理的拓展问题
16 0.65 分母有理化；已知式子的值，求代数式的值
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 分式化简求值；利用二次根式的性质化简；分母有理化
18 0.65 解一元二次方程——配方法；因式分解法解一元二次方程
19 0.65 二次根式的应用；利用二次根式的性质化简
20 0.65 通过对完全平方公式变形求值；分母有理化；已知字母的值，化简求值
21 0.65 根据判别式判断一元二次方程根的情况；通过对完全平方公式变形求值；勾股树（数）问题
22 0.65 运用完全平方公式进行运算；利用二次根式的性质化简
23 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
24 0.4 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)

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