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9.4 三元一次方程组
能解较复杂的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想;
会用三元一次方程组表示简单实际问题中的数量关系，并利用三元一次方程组解决实际问题.
01
02
上一节我们学习了应用二元一次方程组解决实际问题.本节将学习三元一次方程组及其解法，并用它解决含有更多未知数的实际问题.
小亮与爸爸、爷爷三人的年龄之和为 120 岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸的年龄之和多 12 岁，爸爸与小亮的年龄之差正好等于爷爷与爸爸的年龄之差.他们三人的年龄分别是多少
这个问题中有哪些未知量 存在哪些等量关系
这个问题中有三个未知量：小亮、爸爸和爷爷的年龄.
设小亮、爸爸和爷爷的年龄分别是 x 岁、y 岁、z 岁.根据题意，列出以下三个方程：
x＋y＋z＝120，
z＝x＋y＋12，
y－x＝z－y.
这个问题的解必须同时满足上面的三个方程，将这三个方程联立，得到方程组
x＋y＋z＝120，
z＝x＋y＋12，
y－x＝z－y.
①
②
③
像这样，含有三个未知数的一次方程组，叫作三元一次方程组 (system of linear equations with three unknowns).
用消元法可以将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，那么能否用同样的思路解三元一次方程组呢
观察每一个方程的形式，用代入消元法消去未知数义，把这个三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程，就可以逐步求出每一个未知数的值了.
思考与交流：
x＋y＋z＝120，
z＝x＋y＋12，
y－x＝z－y.
①
②
③
将方程②分别代入①和③，消去未知数，得二元一次方程组
x＋y＝54， ④
－2x＋y＝12. ⑤
解由④⑤组成的二元一次方程组，得
x＝14，
y＝40.
代入方程②，得 z＝66.
原三元一次方程组的解是
所以，小亮14岁，爸爸40岁，爷爷66岁.
x＝14，
y＝40，
z＝66.
x＋y＋z＝120，
z＝x＋y＋12，
y－x＝z－y.
①
②
③
解三元一次方程组的基本思路也是消元.通过消元，把三元一次方程组转化成二元一次方程组或一元一次方程，再逐一解出未知数的值.
消元的基本方法有代入消元法和加减消元法.
例1.解方程组
y＋2z＝5，
x－2y＋3z＝3，
2x＋3y－2z＝－3.
①
②
③
解：2×②－③，得
－7y＋8z＝9. ④
①与④组成二元一次方程组
y＋2x＝5，
－7y＋8z＝9.
解方程组，得
y＝1，
z＝2.
例1.解方程组
y＋2z＝5，
x－2y＋3z＝3，
2x＋3y－2z＝－3.
①
②
③
将 y＝1，z＝2 代入 ②，得 x＝－1.
所以原方程组的解是
x＝－1，
y＝1，
z＝2.
例2.从甲地到乙地有一段上坡、一段平路、一段下坡，全程是98km.汽车从甲、乙两地之间往返行驶，若汽车在平地上的速度为40km/h，上坡的速度为20km/h，下坡的速度为30km/h，那么从甲地到乙地需用时2.8h，从乙地到甲地需用时2.7h.求从甲地到乙地时，平地、上坡、下坡的路程各有多少千米
解：设从甲地到乙地时，平地为 x km，上坡为 y km，下坡为 z km，则从乙地到甲地，平地为 x km，上坡为 z km，下坡为 y km.
根据题意，得
x＋y＋z＝98，
＋＋＝2.8，
＋＋＝2.7.
解方程组，得
x＝80，
y＝12，
z＝6.
所以，从甲地到乙地时，平地为 80 km，上坡为 12 km，下坡为 6 km.
1. 解下列方程组：
y＝5－x－3z，
(1) x＋y＋z＝1，
2x－y－4z＝5；
x＋y－z＝4，
(2) x＋y＋z＝2，
－x＋2y＋z＝2.
①
②
③
解：将①分别代入②③，消去未知数 y，
得 解方程组，得
将 x＝4，z＝2 代入①，得 y＝－5.
5－2z＝1，
3x－z＝10，
x＝4，
z＝2.
所以原方程组的解是
x＝4，
y＝－5，
z＝2.
y＝5－x－3z，
(1) x＋y＋z＝1，
2x－y－4z＝5；
①
②
③
解：①＋③，得 3y＝6，解得 y＝2.
①－②，得 －2x＝2，解得 z＝－1.
将 y＝2，z＝－1 代入①，
得 x＋2＋1＝4，
解得 x＝1.
所以原方程组的解是
x＝1，
y＝2，
z＝－1.
x＋y－z＝4，
(2) x＋y＋z＝2，
－x＋2y＋z＝2.
2. 现有一个三位数，三个数位上的数字之和为 12，个位数字是百位与十位数字之和的 2 倍，百位数字是十位数字的 3 倍.求这个三位数.
解：设这个三位数的个位数字是 x，十位数字是 y，百位数字是 z.
根据题意，得
x＋y＋z＝12，
x＝2(y＋z)，
z＝3y，
解方程组，得
x＝8，
y＝1，
z＝3.
所以，这个三位数是 318.
1.解下列三元一次方程组：
x＋2y＝5，
(1) y－3z＝7，
4z＋x＝13；
3x－5y＋6z＝4，
(2) 3x－2y＋2z＝3，
－3x－3y＋5z＝－1.
①
②
③
解：由②，得 y＝3z－7. ④
将④代入①，得 x＋6z＝19. ⑤
⑤－③，得 2z＝6，解得 z＝3.
将 z＝3 代入 ③，得 4×3＋x＝13，解得 x＝1.
将 z＝3 代入④，得 y＝2.
所以原方程组的解是
x＝1，
y＝2，
z＝3.
x＋2y＝5，
(1) y－3z＝7，
4z＋x＝13；
①
②
③
解：①－②，得 －3y＋4z＝1. ④
②＋③，得 －5y＋7z＝2. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解方程组，得
－3y＋4z＝1，
－5y＋7z＝2.
y＝1，
z＝1.
3x－5y＋6z＝4，
(2) 3x－2y＋2z＝3，
－3x－3y＋5z＝－1.
将 y＝1，z＝1 代入①，得 x＝1.
所以原方程组的解是
x＝1，
y＝1，
z＝1.
①
②
③
3x－5y＋6z＝4，
(2) 3x－2y＋2z＝3，
－3x－3y＋5z＝－1.
2. 某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜 1 场得 3分，平 1 场得 1 分负 1 场得 0 分.某中学足球队在 12 场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得 21 分，该队在联赛中胜、平、负各几场
解：设该队在联赛中胜 x 场，平 y 场，负 z 场.
根据题意，得 解方程组，得
所以，该队在联赛中胜6场，平3场，负3场.
x＋y＋z＝12，
x＝y＋z，
3x＋y＝21，
x＝6，
y＝3，
z＝3.

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