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22.1 函数的概念
课时3 函数的解析式
第二十二章 函数
1.理解函数概念及解析式的表示法.
2.能根据实际问题确定函数的解析式并确定自变量的取值范围.
3.会根据函数解析式求函数值，注意问题的实际意义.
练习 下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是( )
D
问题：什么是函数？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y (单位：L)随行驶路程x (单位：km)的增加而减少. 已知该汽车平均每千米耗油0.1 L.
(1)写出表示y与x的函数关系的式子；
解：(1)行驶路程 x 是自变量，油箱中剩余的油量 y 是 x 的函数，它们的关系为
y = 50 0.1x.
0.1x表示这辆汽车行驶x km时的耗油量为0.1x L.
0.1x表示的实际意义是什么？
分析：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且要注意问题的实际意义.
汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y (单位：L)随行驶路程x (单位：km)的增加而减少. 已知该汽车平均每千米耗油0.1 L.
(2)指出自变量x的取值范围；
思考1：什么是自变量的取值范围？
使函数有意义的自变量取值的全体叫作自变量的取值范围.
思考2：如何确定实际问题中自变量的取值范围？
汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y (单位：L)随行驶路程x (单位：km)的增加而减少. 已知该汽车平均每千米耗油0.1 L.
(2)指出自变量x的取值范围；
解：(2)仅从式子 y = 50 0.1x 看，x 可以取任意实数. 但是考虑到 x 代表的实际意义为行驶路程，因此 x 不能取负数.
行驶中的耗油量为 0.1x L，它不能超过油箱中现有汽油量 50 L，即 0.1x ≤ 50.
因此，自变量 x 的取值范围是 0 ≤ x ≤ 500.
使函数解析式有意义的自变量的全体.
下列函数中自变量x的取值范围是什么？
(1)y=3x+1;
(2)y=;
(3)y=;
(4)y=.
x取全体实数
x+2≠0，即x≠-2.
x-5≥0，即x≥5.
x≥-2且x≠-1.
汽车油箱中有汽油50 L. 如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y (单位：L)随行驶路程x (单位：km)的增加而减少. 已知该汽车平均每千米耗油0.1 L.
(3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？
解： (3)汽车行驶200 km时，油箱中剩余的汽油量是函数y=500.1x在 x=200时的函数值.
将x=200代入y=500.1x，得 y=500.1×200=30.
因此，汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油.
请你根据第(3)问的解题过程，总结一下求函数值的方法.
求函数值时，要注意函数的对应关系，代入自变量的值计算时，要按照函数中代数式指明的运算顺序计算，并结合相应的运算法则，使运算简便；说函数值时，要说明自变量是多少时的函数值.
像 y=500.1x 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.
函数的解析式
例 某品牌新能源纯电动汽车电池容量为 90 kW·h，每千米耗电约 0.15 kW·h.当电池充满电后开始行驶，
（1）该电池中剩余电量 y kW·h 与行驶路程 x km 之间的函数解析式是什么？
（2）自变量 x 的取值范围多少？
（3）当x=400时，函数值 y为多少？
思考：如何确定函数解析式？
(1)找：认真审题，根据题意找出各个量之间的数量关系.
(2)写：根据数量关系写出含有两个变量的等式.
(3)变：将等式变形为用含自变量的式子表示函数的形式.
确定函数解析式的步骤
解： (1)行驶路程 x 是自变量，电池中剩余的电量 y 是 x 的函数，因此解析式为：
y=90-0.15x
例 某品牌新能源纯电动汽车电池容量为 90 kW·h，每千米耗电约 0.15 kW·h.当电池充满电后开始行驶，
（1）该电池中剩余电量 y kW·h 与行驶路程 x km 之间的函数解析式是什么？
（2）自变量 x 的取值范围多少？
（3）当x=400时，函数值 y为多少？
(2)行驶中的耗电量为 0.15 kW·h ，它不能超过电池中现有电量 90 kW·h ，即 0.15 x ≤ 90.
因此，自变量 x 的取值范围是 0 ≤ x ≤ 600.
例 某品牌新能源纯电动汽车电池容量为 90 kW·h，每千米耗电约 0.15 kW·h.当电池充满电后开始行驶，
（1）该电池中剩余电量 y kW·h 与行驶路程 x km 之间的函数解析式是什么？
（2）自变量 x 的取值范围多少？
（3）当x=400时，函数值 y为多少？
(3)函数解析式y=90-0.15x，在x＝400时的函数值y＝90－0.15×400＝30.
函数
函数解析式
自变量的取值范围
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.
①使函数解析式有意义
②符合实际意义
1. 函数 y = + (x - 2) 的自变量 x 的取值范围是（ ）
A. x ≥ 1 B. x > 2
C. x > 1 且 x ≠ 2 D. x ≠ 1 且 x ≠ 2
C
解析：由题意，可得
解得 x > 1 且 x ≠ 2.
2.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为(公里)（x为整数），相对应的收费为（元）．
请分别写出当0<≤3和x>3时，表示与的关系式，并直接写出当=2和=6时对应的y值;
解：当0<≤3时，=8;
当>3时，=8+1.8（x-3）=1.8+2.6.
当=2时，=8； =6时，=1.8×3+8=13.4.
3.据测定,海底扩张的速度是很缓慢的，在太平洋海底，某海沟的某处宽度为 100 米，其两侧的地壳向外扩张的速度是每年 6 厘米，假设海沟扩张速度恒定,扩张时间为 x 年，海沟的宽度为 y 米．
(1)写出海沟扩张时间 x 年与海沟的宽度 y 米之间的表达式；
(2)当海沟宽度 y 扩张到 400 米时,需要多少年
解:(1)根据题意得海沟增加的宽度为 0.06 x 米，
∴海沟扩张时间 x 年与海沟的宽度 y 米之间的表达式为 y=0.06x+100.
(2)当 y = 400 时，0.06x+100=400，解得x=5 000.
答:当海沟宽度 y 扩张到 400 米时,需要 5 000 年.

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