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湖南长沙市长郡中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．设，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
5．某公司所产A型芯片，在成本保持不变的前提下，可容纳的晶体管数量呈指数增长规律且每18个月翻一番（数量变为原来的2倍），已知该芯片在2026年初能容纳晶体管数量200亿个，那么其可容纳的晶体管数量达到1000亿个大约需要多少个月？（精确到1月，参考数据：）（ ）
A．38 B．42 C．46 D．50
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．学校举办运动会，高一（7）班共有30名同学参加游泳、田径和球类比赛，其中有13人参加游泳比赛，有12人参加田径比赛，有16人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，则同时参加这三项比赛的人数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知函数，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数恒过定点
B．函数与的图象关于直线对称
C．，当时，恒有
D．若幂函数在上单调递减，则
10．已知向量，，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最大值为
D．若，则
11．已知函数的定义域为，，则（ ）
A．
B．若，则
C．为偶函数
D．若时，是连续函数，且在区间上单调递减，则当时，不等式的解集为
三、填空题
12．已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为__________.
13．已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________.
14．已知实数满足，，则__________.
四、解答题
15．已知全集，集合
(1)求
(2)若 求实数a的取值范围.
16．已知函数
(1)求函数 在上的单调递增区间;
(2)若函数在的值域为 求α的取值范围.
17．在中，内角的对边分别为，已知，的面积为6，P为线段BC上的一点，且
(1)求的值；
(2)求的最小值.
18．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数为偶函数.
(1)求函数的解析式;
(2)若是函数的一个零点，求的值；
(3)若方程在上有4个不相等的实数根，求实数a的取值范围.
19．已知偶函数 的最小值为.
(1)求实数，的值;
(2)设 ，证明：在区间上存在唯一零点，且 ；
(3)设 ，记 ，试求的最大值.（注： ）.
参考答案
1．A
【详解】命题“”的否定是“”.
2．B
【详解】若，则，而当时，或，
所以是的必要不充分条件.
故选：B
3．D
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，故，则，
又在上是减函数，所以，
即.
4．B
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
5．B
【详解】设经过 t 个月后的数量为 ，每 18 个月翻一番，则
令，可得，即，
因为，所以，代入上式可得.
故选：B
6．C
【详解】因为，
所以.
因为，
所以.
故选：C.
7．B
【详解】设高一（7）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、，
设同时参加这三项比赛的人数为人，由题意作出如下韦恩图，
由题意可得，解得.
因此，同时参加这三项比赛的人数为1人.
故选：B
8．D
【详解】函数，
当时，单调递增，则，
当时，，单调递减，，
当时，，单调递增，，
当时，单调递增，，
故当时，，此时，，满足，
当时，，此时，，
满足，
当时，，此时可得，
解得，
综上可知，的解集为.
9．BCD
【详解】对于A选项，函数恒过定点，故A错误；
对于B选项，函数与的图象关于对称，
即函数与的图象关于直线对称，故B正确；
对于C选项，因为指数函数的增长速度远远快于一次函数，
所以时，恒有，故C正确；
对于D选项，由幂函数性质可得，幂函数在单调递减，则，故D正确.
10．AD
【详解】因为，，所以，，
对于A选项，若，则，所以，故A正确；
对于B选项，若，则，所以，
又，解得或，故B错误；
对于C选项，
，其中，
当时，取得最大值，故C错误；
对于D选项，若，则，即，
所以，
所以
，故D正确.
11．ABD
【详解】由题意知，函数的定义域为，且满足，
对于A，令，可得，可得，所以A正确；
对于B，令，，可得，
解得，所以B正确；
对于C，令，可得，可得，
再令，可得，所以为奇函数，所以C错误；
对于D，结合以上分析可知，
由，可得，
又因为，当时，，
所以，
则不等式，即为，即
因为时，为单调递减函数，且当时，，
所以，解得，
即不等式的解集为，所以D正确.
12．
【详解】由题意，圆心角，弧长，
由弧长公式，得扇形的半径，
则扇形面积.
故答案为：
13．
【详解】，即.
令，由可得，则对任意恒成立，
等价于对任意恒成立，
所以，即.
令，易知在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以在上的最大值为.
所以，因为函数为增函数，当时，，
因此.即实数的取值范围为.
14．
【详解】由关于对称，又与垂直，
所以与的交点关于对称，
结合题设有，，且，
所以是与的交点；是与的交点，
所以与关于对称，则且，
所以.
15．(1)或
(2).
【详解】（1）解不等式，得，，或，
解不等式，得，，
根据交集的定义得，或.
（2），在上单调递增，，即，
又，
或，解得或.
综上，实数a的取值范围为.
16．(1)，.
(2)
【详解】（1）由函数
，
因为，可得，
令，可得；令，可得，
所以函数在上的单调递增区间为，.
（2）由，可得，
因为函数的值域为，即，
当时，即时，；
当时，即时，，
要使得，根据正弦函数的性质，则满足，
解得，所以实数的取值范围为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由，则，
所以，故，则，故，
由，则，
综上，；
（2）由，且是上的点，
所以，且，
所以，则，
当且仅当，且，即时取等号，
所以的最小值.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：由函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，
可得函数的最小正周期为，所以，
将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，
因为为偶函数，可得，所以，
因为，所以，所以函数的解析式为.
（2）解：因为是函数 的一个零点，
即，可得，
由（1）知，所以，即，
又由，
因为，所以.
（3）解：由（1）知，因为，可得，
令，当时，有两个解；当或时，有一个解，
若方程在上有4个不相等的实数根，
即为关于的方程在上有2个不相等的实数根，
设，则满足，
解得，所以实数的取值范围为.
19．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）由，得，
整理得，即，
即对任意恒成立，所以，
所以．
设，令，则，时等号成立，
所以，
又的最小值为，所以；
（2）由（1）得，
所以 ，
令，则在上单调递减，
故在上单调递减，又在上单调递增，
所以在上单调递减，
当时，，又正弦函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
又，，故，
所以在存在唯一零点，且，
所以，
两边取的指数得：
计算，结合得，
故，得，故，
所以 ，
所以 ；
（3）由（1）知，令，
若，则，
因为对勾函数在单调递减，在单调递增，单调递增，
因此函数在上单调递增，在上单调递减．
设，，
由于，
则，
所以
，
当且仅当或时，有最大值，
所以的最大值为．

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