资源简介

浙江省温州市浙鳌中学2025自主招生数学试卷
一、填空题（本大题有10小题，每小题6分，共60分）
1．（2025·温州模拟）已知f（x）＝x2－3a2，g（x）＝(2a＋1)x，若f（x）＜g（x）有且只有一个整数解，则a的取值范围是　 　．
2．（2025·温州模拟）若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2＋ax－2a总不经过点P（x0－3，x02－16），则符合条件点P有且仅有　 　个．
3．（2025·温州模拟）如图是函数y1＝与y2＝的图象，点A、B分别在y1、y2上，AB∥x轴，点C在x轴上，S△ABC＝4，则k2－k1＝　 　．
4．（2025·温州模拟）如图，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连结EF，∠FEC＝45°，FH⊥BC于H，FH交BD于G，FG＝，则线段BC的长为　 　．
5．（2025·温州模拟）如图，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，将△ABE沿AE翻折至△AEG，AB＝4，BC＝3，CD交AG于点H，交EG于点F，EF＝FH，则cos∠DAG＝　 　．
6．（2025·温州模拟）如图，CE是□ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连结AC、BE、DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF＝BE；④S△COD∶S四边形AFOE＝2∶3．其中正确的结论有　 　．（填写所有正确结论的序号）
7．（2025·温州模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝3，OC＝4，将△AOB沿对角线OB翻折，使点A落在点D处，点D的坐标为　 　．
8．（2025·温州模拟）如图，在等腰Rt△ABO中，∠A＝90°，点B的坐标为（0，2），若直线y＝mx＋m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为　 　．
9．（2025·温州模拟）定义max{a，b }＝，已知函数f（x）＝max{│2x－1│，ax2＋b}，其中a＜0，若f（x）的最小值为1，则a＋b＝　 　．
10．（2025·温州模拟）某条道路一排共10盏路灯（灯的编号各不相同），为节约用电，晚上只打开其中的3盏灯．若要求：①第一盏灯与最后一盏灯均不亮；②每连续三盏灯中至少有一盏是亮的．则这样亮灯的方法有　 　种．
二、解答题（本大题有3小题，共40分）
11．（2025·温州模拟）已知a、b为整数，方程3x2－3(a＋b)x＋4ab＝0的两个实数根满足α、β满足α(α＋1)＋β(β＋1)＝(α＋1)(β＋1)．试求所有的整数对（a，b）．
12．（2025·温州模拟）已知a、b、均为正整数，求证：（a，b）＞1．(（a，b）表示a、b的最大公因数）.
13．（2025·温州模拟）如图，⊙O1与⊙O2交于点A、B，⊙O1的弦CD切⊙O2于E，BC交⊙O2于F，CA的延长线交⊙O2于G，射线GF交⊙O1于M、N，连结DM、DN．求证：点E为△MDN的内心．
14．（2025·温州模拟）如图，在Rt△ABC中，D、E是斜边AB上两点，CE平分∠DCB，若AD=BE=1，求CE的长.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：令h(x)=f(x)-g(x)=x2-3a2-(2a+1)x=x2-(2a+1)x-3a2，
当a＝0时，h(x)=x2-x，
令h(x)<0，则x2-x<0，解得0当a≠0时，
当x=0时，h(0)=-3a2<0，
∵h(x)<0时，只有一个正数解，
∴，
解得，
故答案为：.
【分析】令h(x)=f(x)-g(x)，分为a＝0或a≠0时两种情况，根据题意列不等式组求出a的取值范围即可.
2．【答案】2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵对于任意非零实数a，抛物线 总不经过点
当-4=0时，=4，此时点P在抛物线y=a的图象上，不符合题意，
当-4≠0时，根据等式的性质可得(+4)≠a(-1)
∴要满足题意则有=-4或=1，
∴点P的坐标为(-7，0)或(-2，-15)
故答案为：2.
【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线 总不经过点 即可求得点P的坐标，从而可以解答本题.
3．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设直线AB与y轴交于点D，连接AO，BO，则，
由反比例函数比例系数k的几何意义可知 ，
即 .
故答案为：8.
【分析】设直线AB与y轴交于点D，连接AO，BO，则，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义得到 ，然后代入计算即可.
4．【答案】16
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BE.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD⊥BC.
∵点 E，F 分别是AO，DO 的中点，
∴∠ECH = ∠CEF = 45°，
∴∠HEC=45°，
∴EH=HC.
∵E 为 AO 的中点，AB = BO，
∴BE⊥EC，
∴∠BEC=90°，则∠EBC=45°，
∴△EBC 是等腰直角三角形，∴BH=HE=
∠FEG = 90°.
又 ∵ ∠BGH = ∠FGE，
在 Rt△EGF 中，
解得 BC=16.
故答案为：16.
【分析】连接BE，根据三角形的中位线定理得到然后得到△EBC 是等腰直角三角形，再证明，得到HG=EG，然后根据勾股定理解答即可.
5．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；求余弦值
【解析】【解答】解：设BE=x，
∵ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，CD=AB=4，AD==BC=3，
由折叠可得EG=BE=x，∠G=∠B=90°，AG=AB=4，
∴∠C=∠G=90°，
由∵∠CFE=∠GFH，EF=FH，
∴△CEF≌△GHF，
∴CF=GF，CE=GH=3-x，
∴EF=CH=x，AH=4-(3-x)=x+1，
∴DH=4-x，
在Rt△ADH中，AD2+DH2=AH2，即32+(4-x)2=(x+1)2，
解得x=2.4，
∴AH=3.4，
∴cos∠DAG＝，
故答案为：.
【分析】设BE=x，根据矩形的性质和折叠的性质得到△CEF≌△GHF，即可得到CF=GF，CE=GH，进而求出AH=x+1，DH=4-x，在Rt△ADH中利用勾股定理求出x的值计算即可.
6．【答案】①②④
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
，
∵ EC是AB的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形ACBE是平行四边形，
，
∴四边形ACBE是菱形，
∴①正确；
∵四边形ACBE是菱形 ，
，
，
，
，
∴②正确；
∵四边形ACBE是菱形，
，
，
，
，
，
，
∴③错误；
设则 ，
，，
，
∴④正确；
故答案为： ①②④.
【分析】根据平行四边形的性质得到CD=2AO，然后证明△AOE∽△DCE，得到EO=OC，得到四边形ACBE是菱形判断①；根据菱形的性质和平行线的性质判断②；证明△AOF∽△CDF，根据对应边成比例判断③；设表示，判断④解答即可.
7．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接AD交OB于点E，过点E作EF⊥OC于点E，
由折叠可得，AD⊥OB，且AE=ED，BC=OA=3，
∵OABC是矩形，
∴∠OAB=90°，AB=OC=4，
∴AB=，
∵，
∴，
∴，
又∵EF⊥OC，BC⊥OC，
∴EF∥BC，
∴△OEF∽△OBC，
∴，即，
解得：，，
∴点E的坐标为，
然后根据中点坐标公式得到点D的坐标为，
故答案为：.
【分析】根据折叠得到点E是AD的中点，然后根据勾股定理求出OB长，然后根据面积法和勾股定理求出OE长，再根据相似求出点E的坐标，利用中点坐标公式计算解答即可.
8．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：(x+1)，
∴函数y=mx+m-定过点((-1，0)，
当x=0时，y=m，
∴点C的坐标为(0，m)
当直线l与OA相交时，很显然直线l不可能把 B分成面积相等的两部分，
∴直线l一定与直线AB相交，才可能将 分成面积相等的两部分，
由题意可得，直线AB的解析式为y=-x+2，
得 ，
∵直线l：y=mx+m(m≠0)把 分成面积相等的两部分，
解得 (舍去)，
故答案为：
【分析】先得到直线y＝mx＋m 过(-1，0)，然后分析得到直线l一定与直线AB相交，才可能将 分成面积相等的两部分，求出求出直线y=mx+m与直线AB的交点坐标，利用三角形的面积公式列方程求出m的值即可.
9．【答案】1
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；y=|ax+ b|的图象与性质；数形结合
【解析】【解答】解：作出 与 的函数图象，如图所示：
∵f(x)的最小值为1，
恰好经过点(1，1)，
故答案为：
【分析】利用定义判断b的范围，作出两函数 与y 的函数图象，根据f(x)定义判断y=a 与点(1，1)的关系，得出a+b的值.
10．【答案】4
【知识点】列出事件所有的可能性；枚举法
【解析】【解答】解：根据条件中的要求，可以把10盏路灯从左到右编号1， 2， ……10号，
要满足条件任何连续三盏路灯中至少一盏是亮的且首尾两盏灯均不打开，
则可以亮的路灯号码是： 2， 5， 8； 3， 5， 8； 3， 6， 9； 3， 6， 8，共有4种结果，
故答案为： 4.
【分析】根据题意，先把10盏路灯从左到右编号1， 2， ...10号，要满足条件任何连续三盏路灯中至少一盏是亮的且首尾两盏灯均不打开，用列举的方法得到结果.
11．【答案】解：因为
所以
所以
代入①得(
所以
a-b=±1，
而a>b，
所以a-b=1，所以a=b+1，
在原方程中，
整理，并把(a=b+1代进去可知
两边加1并用平方和公式知：
所以-2≤2b+1≤2，
而b为整数，
b=-1或0，
当b=-1时，
a=0，符合题意，
b=0，a=1符合题意，
所以(a，b)为(0，-1)或(1，0).
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出a与b的关系，再根据根的判别式求出b的取值范围，从而判断出a、b的值.
12．【答案】证明：设(a，b)=d， 存在正整数m、n， 使得a= md， b= nd， 且(m，n)=1，
因为 为正整数，即 为正整数，所以m+n能整除 mdn。
又因为(m，n)=1， 所以(m，m+n)=1， (n，m+n)=1。
由于m+n能整除 mdn， 且(m，m+n)=1， (n，m+n)=1， 所以m+n能整除 mn。
因为m、n是正整数， m+n能整除 mn， 且m+n> 1， 所以d > 1， 即(a，b)> 1.
【知识点】数的整除性；最大公因数与最小公倍数
13．【答案】证明：如图1， 的弦CD切( 于E，EP是⊙ 的直径， 连接EF， EB，. 延长 交⊙ 于点P， 连接FP，
即 同理可得
如图2， 连接AB， AM， BN， CN， CM， EM，
∵四边形ACNM是( 的内接四边形，
NM，∠BNC=∠BNM+∠CNM，
∴∠BNC=∠BAG，
∵∠BFG=∠BAG=∠CFN，
∴∠CFN=∠CNB，
∵∠FCN=∠NCB，
∴△FCN∽△NCB，
即
即CN=CE，
∵∠AGF=∠ABC =∠AMC， ∠MCA=∠GCM，
∴△AMC∽△MGC，
即
即CM=CE，
∴CM=CE=CN， ∠CEM =∠CME，
∴∠CDN=∠CDM， ∠CNM =∠CMN， ∠CDM+∠EMD=∠CMN+∠EMN，
∵∠CDM =∠CNM =∠CMN，
∴∠EMN=∠EMD，
∴ CD是∠MDN的角平分线，EM是∠DMN的角平分线，
∴点E为 的内心.
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质；三角形的内切圆与内心；相交两圆的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】根据切割线定理及相似三角形的性质可得 则有CN=CM=CE，然后可得CD是 的角平分线，EM是 的角平分线，进而问题可求证.
14．【答案】解：如图所示，过点D作 于G，过点E作 于F，
，
又∵AD=BE=1，
如图所示，以点C为原点以CA，CB所在的直线分别为y轴，x轴建立平面直角坐标系，
设A(0，a)， B(b，0)， 直线AB的解析式为y=kx+b'，
设 则 C，
设直线CD的解析式为y=k'x，
∴直线CD的解析式为
∵CE平分
∴点E到直线CD的距离等于点E到直线CB的距离.
设
，
(-m+n)(b-c)，
或 (舍去)。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；角平分线的性质；勾股定理；平面直角坐标系的构成；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】过点D作 于G，过点E作. 于F，可证明 得到GD=BF，AG=EF，以点C为原点以CA，CB所在的直线分别为y轴，x轴建立平面直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，则直线AB的解析式为 设D 则 直线CD的解析式为 由角平分线的性质可得点E到直线CD的距离等于点E到直线CB的距离，则 设 =n，可证明 利用勾股定理可得 则 据此可得答案.
1 / 1浙江省温州市浙鳌中学2025自主招生数学试卷
一、填空题（本大题有10小题，每小题6分，共60分）
1．（2025·温州模拟）已知f（x）＝x2－3a2，g（x）＝(2a＋1)x，若f（x）＜g（x）有且只有一个整数解，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：令h(x)=f(x)-g(x)=x2-3a2-(2a+1)x=x2-(2a+1)x-3a2，
当a＝0时，h(x)=x2-x，
令h(x)<0，则x2-x<0，解得0当a≠0时，
当x=0时，h(0)=-3a2<0，
∵h(x)<0时，只有一个正数解，
∴，
解得，
故答案为：.
【分析】令h(x)=f(x)-g(x)，分为a＝0或a≠0时两种情况，根据题意列不等式组求出a的取值范围即可.
2．（2025·温州模拟）若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2＋ax－2a总不经过点P（x0－3，x02－16），则符合条件点P有且仅有　 　个．
【答案】2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵对于任意非零实数a，抛物线 总不经过点
当-4=0时，=4，此时点P在抛物线y=a的图象上，不符合题意，
当-4≠0时，根据等式的性质可得(+4)≠a(-1)
∴要满足题意则有=-4或=1，
∴点P的坐标为(-7，0)或(-2，-15)
故答案为：2.
【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线 总不经过点 即可求得点P的坐标，从而可以解答本题.
3．（2025·温州模拟）如图是函数y1＝与y2＝的图象，点A、B分别在y1、y2上，AB∥x轴，点C在x轴上，S△ABC＝4，则k2－k1＝　 　．
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设直线AB与y轴交于点D，连接AO，BO，则，
由反比例函数比例系数k的几何意义可知 ，
即 .
故答案为：8.
【分析】设直线AB与y轴交于点D，连接AO，BO，则，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义得到 ，然后代入计算即可.
4．（2025·温州模拟）如图，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连结EF，∠FEC＝45°，FH⊥BC于H，FH交BD于G，FG＝，则线段BC的长为　 　．
【答案】16
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BE.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD⊥BC.
∵点 E，F 分别是AO，DO 的中点，
∴∠ECH = ∠CEF = 45°，
∴∠HEC=45°，
∴EH=HC.
∵E 为 AO 的中点，AB = BO，
∴BE⊥EC，
∴∠BEC=90°，则∠EBC=45°，
∴△EBC 是等腰直角三角形，∴BH=HE=
∠FEG = 90°.
又 ∵ ∠BGH = ∠FGE，
在 Rt△EGF 中，
解得 BC=16.
故答案为：16.
【分析】连接BE，根据三角形的中位线定理得到然后得到△EBC 是等腰直角三角形，再证明，得到HG=EG，然后根据勾股定理解答即可.
5．（2025·温州模拟）如图，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，将△ABE沿AE翻折至△AEG，AB＝4，BC＝3，CD交AG于点H，交EG于点F，EF＝FH，则cos∠DAG＝　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；求余弦值
【解析】【解答】解：设BE=x，
∵ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，CD=AB=4，AD==BC=3，
由折叠可得EG=BE=x，∠G=∠B=90°，AG=AB=4，
∴∠C=∠G=90°，
由∵∠CFE=∠GFH，EF=FH，
∴△CEF≌△GHF，
∴CF=GF，CE=GH=3-x，
∴EF=CH=x，AH=4-(3-x)=x+1，
∴DH=4-x，
在Rt△ADH中，AD2+DH2=AH2，即32+(4-x)2=(x+1)2，
解得x=2.4，
∴AH=3.4，
∴cos∠DAG＝，
故答案为：.
【分析】设BE=x，根据矩形的性质和折叠的性质得到△CEF≌△GHF，即可得到CF=GF，CE=GH，进而求出AH=x+1，DH=4-x，在Rt△ADH中利用勾股定理求出x的值计算即可.
6．（2025·温州模拟）如图，CE是□ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连结AC、BE、DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF＝BE；④S△COD∶S四边形AFOE＝2∶3．其中正确的结论有　 　．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
，
∵ EC是AB的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形ACBE是平行四边形，
，
∴四边形ACBE是菱形，
∴①正确；
∵四边形ACBE是菱形 ，
，
，
，
，
∴②正确；
∵四边形ACBE是菱形，
，
，
，
，
，
，
∴③错误；
设则 ，
，，
，
∴④正确；
故答案为： ①②④.
【分析】根据平行四边形的性质得到CD=2AO，然后证明△AOE∽△DCE，得到EO=OC，得到四边形ACBE是菱形判断①；根据菱形的性质和平行线的性质判断②；证明△AOF∽△CDF，根据对应边成比例判断③；设表示，判断④解答即可.
7．（2025·温州模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝3，OC＝4，将△AOB沿对角线OB翻折，使点A落在点D处，点D的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接AD交OB于点E，过点E作EF⊥OC于点E，
由折叠可得，AD⊥OB，且AE=ED，BC=OA=3，
∵OABC是矩形，
∴∠OAB=90°，AB=OC=4，
∴AB=，
∵，
∴，
∴，
又∵EF⊥OC，BC⊥OC，
∴EF∥BC，
∴△OEF∽△OBC，
∴，即，
解得：，，
∴点E的坐标为，
然后根据中点坐标公式得到点D的坐标为，
故答案为：.
【分析】根据折叠得到点E是AD的中点，然后根据勾股定理求出OB长，然后根据面积法和勾股定理求出OE长，再根据相似求出点E的坐标，利用中点坐标公式计算解答即可.
8．（2025·温州模拟）如图，在等腰Rt△ABO中，∠A＝90°，点B的坐标为（0，2），若直线y＝mx＋m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：(x+1)，
∴函数y=mx+m-定过点((-1，0)，
当x=0时，y=m，
∴点C的坐标为(0，m)
当直线l与OA相交时，很显然直线l不可能把 B分成面积相等的两部分，
∴直线l一定与直线AB相交，才可能将 分成面积相等的两部分，
由题意可得，直线AB的解析式为y=-x+2，
得 ，
∵直线l：y=mx+m(m≠0)把 分成面积相等的两部分，
解得 (舍去)，
故答案为：
【分析】先得到直线y＝mx＋m 过(-1，0)，然后分析得到直线l一定与直线AB相交，才可能将 分成面积相等的两部分，求出求出直线y=mx+m与直线AB的交点坐标，利用三角形的面积公式列方程求出m的值即可.
9．（2025·温州模拟）定义max{a，b }＝，已知函数f（x）＝max{│2x－1│，ax2＋b}，其中a＜0，若f（x）的最小值为1，则a＋b＝　 　．
【答案】1
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；y=|ax+ b|的图象与性质；数形结合
【解析】【解答】解：作出 与 的函数图象，如图所示：
∵f(x)的最小值为1，
恰好经过点(1，1)，
故答案为：
【分析】利用定义判断b的范围，作出两函数 与y 的函数图象，根据f(x)定义判断y=a 与点(1，1)的关系，得出a+b的值.
10．（2025·温州模拟）某条道路一排共10盏路灯（灯的编号各不相同），为节约用电，晚上只打开其中的3盏灯．若要求：①第一盏灯与最后一盏灯均不亮；②每连续三盏灯中至少有一盏是亮的．则这样亮灯的方法有　 　种．
【答案】4
【知识点】列出事件所有的可能性；枚举法
【解析】【解答】解：根据条件中的要求，可以把10盏路灯从左到右编号1， 2， ……10号，
要满足条件任何连续三盏路灯中至少一盏是亮的且首尾两盏灯均不打开，
则可以亮的路灯号码是： 2， 5， 8； 3， 5， 8； 3， 6， 9； 3， 6， 8，共有4种结果，
故答案为： 4.
【分析】根据题意，先把10盏路灯从左到右编号1， 2， ...10号，要满足条件任何连续三盏路灯中至少一盏是亮的且首尾两盏灯均不打开，用列举的方法得到结果.
二、解答题（本大题有3小题，共40分）
11．（2025·温州模拟）已知a、b为整数，方程3x2－3(a＋b)x＋4ab＝0的两个实数根满足α、β满足α(α＋1)＋β(β＋1)＝(α＋1)(β＋1)．试求所有的整数对（a，b）．
【答案】解：因为
所以
所以
代入①得(
所以
a-b=±1，
而a>b，
所以a-b=1，所以a=b+1，
在原方程中，
整理，并把(a=b+1代进去可知
两边加1并用平方和公式知：
所以-2≤2b+1≤2，
而b为整数，
b=-1或0，
当b=-1时，
a=0，符合题意，
b=0，a=1符合题意，
所以(a，b)为(0，-1)或(1，0).
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出a与b的关系，再根据根的判别式求出b的取值范围，从而判断出a、b的值.
12．（2025·温州模拟）已知a、b、均为正整数，求证：（a，b）＞1．(（a，b）表示a、b的最大公因数）.
【答案】证明：设(a，b)=d， 存在正整数m、n， 使得a= md， b= nd， 且(m，n)=1，
因为 为正整数，即 为正整数，所以m+n能整除 mdn。
又因为(m，n)=1， 所以(m，m+n)=1， (n，m+n)=1。
由于m+n能整除 mdn， 且(m，m+n)=1， (n，m+n)=1， 所以m+n能整除 mn。
因为m、n是正整数， m+n能整除 mn， 且m+n> 1， 所以d > 1， 即(a，b)> 1.
【知识点】数的整除性；最大公因数与最小公倍数
13．（2025·温州模拟）如图，⊙O1与⊙O2交于点A、B，⊙O1的弦CD切⊙O2于E，BC交⊙O2于F，CA的延长线交⊙O2于G，射线GF交⊙O1于M、N，连结DM、DN．求证：点E为△MDN的内心．
【答案】证明：如图1， 的弦CD切( 于E，EP是⊙ 的直径， 连接EF， EB，. 延长 交⊙ 于点P， 连接FP，
即 同理可得
如图2， 连接AB， AM， BN， CN， CM， EM，
∵四边形ACNM是( 的内接四边形，
NM，∠BNC=∠BNM+∠CNM，
∴∠BNC=∠BAG，
∵∠BFG=∠BAG=∠CFN，
∴∠CFN=∠CNB，
∵∠FCN=∠NCB，
∴△FCN∽△NCB，
即
即CN=CE，
∵∠AGF=∠ABC =∠AMC， ∠MCA=∠GCM，
∴△AMC∽△MGC，
即
即CM=CE，
∴CM=CE=CN， ∠CEM =∠CME，
∴∠CDN=∠CDM， ∠CNM =∠CMN， ∠CDM+∠EMD=∠CMN+∠EMN，
∵∠CDM =∠CNM =∠CMN，
∴∠EMN=∠EMD，
∴ CD是∠MDN的角平分线，EM是∠DMN的角平分线，
∴点E为 的内心.
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质；三角形的内切圆与内心；相交两圆的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】根据切割线定理及相似三角形的性质可得 则有CN=CM=CE，然后可得CD是 的角平分线，EM是 的角平分线，进而问题可求证.
14．（2025·温州模拟）如图，在Rt△ABC中，D、E是斜边AB上两点，CE平分∠DCB，若AD=BE=1，求CE的长.
【答案】解：如图所示，过点D作 于G，过点E作 于F，
，
又∵AD=BE=1，
如图所示，以点C为原点以CA，CB所在的直线分别为y轴，x轴建立平面直角坐标系，
设A(0，a)， B(b，0)， 直线AB的解析式为y=kx+b'，
设 则 C，
设直线CD的解析式为y=k'x，
∴直线CD的解析式为
∵CE平分
∴点E到直线CD的距离等于点E到直线CB的距离.
设
，
(-m+n)(b-c)，
或 (舍去)。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；角平分线的性质；勾股定理；平面直角坐标系的构成；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】过点D作 于G，过点E作. 于F，可证明 得到GD=BF，AG=EF，以点C为原点以CA，CB所在的直线分别为y轴，x轴建立平面直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，则直线AB的解析式为 设D 则 直线CD的解析式为 由角平分线的性质可得点E到直线CD的距离等于点E到直线CB的距离，则 设 =n，可证明 利用勾股定理可得 则 据此可得答案.
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