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四川省成都市石室天府中学2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．（2025七下·成都月考）下列各图中，与是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A中，由的两边不是的两边的反向延长线，则与不是对顶角，故A不符合题意；
B中，由与没有公共顶点，不是对顶角，故B不符合题意；
C中，由与是对顶角，故C符合题意；
D中，由的两边不是的两边的反向延长线，则与不是对顶角，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查的是对顶角的判断，把有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此定义，逐项分析作答，即可得到答案.
2．（2025七下·成都月考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A选项：与不是同类项，不能合并，因此原计算错误，不符合题意。
B选项：完全平方公式展开应为，原计算错误，不符合题意。
C选项：同底数幂相乘法则应为，原计算错误，不符合题意。
D选项：同底数幂相除法则计算正确，符合题意。
综上，正确答案选择D。
【分析】本题考查了以下知识点：
1.合并同类项的前提是同类项
2.完全平方公式的展开
3.同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加
4.同底数幂除法法则：底数不变，指数相减
解题时需准确运用相关运算法则进行判断。
3．（2025七下·成都月考）华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是米．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．（2025七下·成都月考）已知，，则值为（　　）
A．7 B．10 C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】利用同底数幂相乘的逆运算，可得到mx+y=mx·my，再代入求值.
5．（2025七下·成都月考）如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：
，
故剩余部分面积是，
故答案为：B
【分析】根据阴影部分面积=大长方形面积-小长方形面积，结合长方形面积公式即可求出答案.
6．（2025七下·成都月考）∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，若∠3=125°，则∠2=（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1与∠3互补，∠3=125°，
∴∠1=55°，
∵∠1与∠2互余，
∴∠2=90°﹣55°=35°．
故选：A．
【分析】根据∠1与∠2互余，可知∠1=90°﹣∠2；由∠3与∠1互补，可知∠3=180°﹣∠1，代入∠2的度数计算即可．
7．（2025七下·成都月考）如图，下列能判定的条件有（　　）个．
（1）
（2）
（3）
（4）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：（1），
，符合题意；
（2），
，不符合题意；
（3），
，符合题意；
（4），
，符合题意；
综上所述，能判定的条件有3个，
故答案为：C．
【分析】利用同旁内角互补，两直线平行，可对（1）作出判断；利用内错角相等，两直线平行，可对（2）（3）作出判断；利用同位角相等，两直线平行，可对（4）作出判断，即可得到能判定AB∥CD的个数.
8．（2025七下·成都月考）下列语句正确的有（　　）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若直线， ，则．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行公理
【解析】【解答】①在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，原说法错误；
②经过直线外一点，只能作一条直线与已知直线平行，原说法错误；
③在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，原说法错误；
④若满足且，则可推出，该结论正确。
综上，选择D选项。
【分析】本题主要考查平行线的定义、平行公理以及垂线的基本性质。解题时需要准确理解这些几何概念和公理：
1. 在同一平面内，直线位置关系仅有相交和平行两种情况；
2. 平行公理指出过直线外一点有且只有一条平行线；
3. 垂线性质说明过一点有且仅有一条垂线；
4. 平行线的传递性是其重要特征。
正确掌握这些基础几何知识是解答本题的关键。
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9．（2025七下·成都月考）　 　．
【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：；
答案：
【分析】本题考查单项式除以单项式的运算。解题时直接运用单项式相除的法则：系数相除作为商的系数，同底数幂相除，底数不变指数相减。最终结果为负二分之三a的四次方b的五次方。
10．（2025七下·成都月考）如图，有三个快递员都从位于点P的快递站取到快递后，同时以相同的速度把取到的快递分别送到位于笔直公路l旁的三个快递点A，B，C．结果送到B快递点的快递员先到理由是：　 　．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意可知送到B快递点的快递员先到的理由是：垂线段最短；
故答案为：垂线段最短.
【分析】
本题主要考察垂线段的性质： 垂线段最短. 题中以快递配送为生活场景， 核心是比较从点P到直线l上三点A、B、C的距离. 已知三维快递员速度相同，因此配送路径的长短直接决定了到达时间的先后. 结合几何知识，点到直线的所有连接线段中，垂线段的长度是最短的，由此可判断出到B点的快递员路径最短，用时最少.
11．（2025七下·成都月考）计算：　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：，故填：。
【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算性质。解题的关键在于将原式变形为的形式，通过计算得出结果。
12．（2025七下·成都月考）如图，和都是直角，若，则　 　．
【答案】
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：因为和都是直角，所以，
已知，
可求得，
因此。
故填：。
【分析】先求出的度数，再根据的关系，代入具体数值计算即可得到结果。
13．（2025七下·成都月考）若，则　 　．
【答案】4
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：根据题目条件，将表达式 进行变形：
。
故填：4。
【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式将原式变形后，代入已知条件即可简化计算。解题关键在于合理运用平方差公式，并将已知条件代入化简。
三、解答题（共48分）
14．（2025七下·成都月考）计算题
（1）；
（2）
（3）；（用乘法公式计算）
（4）．
【答案】（1）解：
（2）解：

（3）解：
（4）解：
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；整数指数幂的运算
【解析】【分析】本题主要考查零指数幂的意义、有理数的混合运算以及整式的乘法运算：1.需要先计算乘方和零次幂，然后将结果进行合并；
2.先进行积的乘方运算，然后进行单项式与多项式的乘法运算，最后合并同类项；
3.将原式变形为，然后运用平方差公式求解；
4.先运用平方差公式和多项式乘法法则进行运算，最后合并同类项。
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
15．（2025七下·成都月考）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
；
当，时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；单项式除以单项式
【解析】【分析】本题主要考查整式的混合运算和化简求值。解题步骤如下：1. 先计算括号内的整式乘法运算；
2. 合并同类项进行化简；
3. 最后进行单项式除以单项式的运算，得到最简结果；
4. 将给定值，代入化简后的表达式求值。
16．（2025七下·成都月考）已知一个角的余角是这个角的补角的，求这个角的度数．
【答案】解：设这个角的度数为x，由题意得，，
解得，
∴这个角的度数为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；余角；补角
【解析】【分析】本题考查了余角和补角的相关计算。设所求角的度数为x，根据定义可得：
- 余角为
- 补角为
通过建立方程即可求解该问题。
17．（2025七下·成都月考）如图，，，．试说明．
【答案】解：∵，∴．
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】垂线的概念；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】本题考查平行线的判定定理，核心依据是“同旁内角互补，两直线平行”。解题步骤如下：1. 计算∠BAD的度数：由已知条件可得；
2. 验证角度关系：通过计算得出，满足平行判定条件。
18．（2025七下·成都月考）【背景】对于两数和（差）的完全平方公式中的三个代数式：，和，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题：
【应用】（1）若，，求的值；
【迁移】（2）如图，在长方形中，，，点分别是边上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为60，求图中两个正方形的面积之和．
【答案】解：（1）∵，，∴，即，
∴，
∴，
（2）∵，，且，
∴，，
∵长方形的面积为60，
∴，
图中两个正方形的面积之和为：
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】本题考查完全平方公式的变形应用。（1）根据题意直接应用完全平方公式即可求解；（2）根据题意先表示出，然后通过完全平方公式的变形运算即可得出答案。
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2025七下·成都月考）已知，则　 　．
【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】首先对表达式进行变形：
根据已知条件，代入计算：
故填：11
【分析】本题考查完全平方公式的应用。关键步骤是将 转化为完全平方式 的形式，然后代入已知条件求解。
20．（2025七下·成都月考）如果的乘积中不含项，则=　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
的乘积中不含项，
故答案为：．
【分析】
本题需要先将按多项式乘法法则展开，再合并同类项. 根据“乘积中不含项”这一条件，令项的系数为0，建立关于a的方程，求解即可得到a的值.
21．（2025七下·成都月考）若多项式是关于的完全平方式，则　 　．
【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：已知多项式是关于x的完全平方式。根据完全平方公式，可得：
因此有：
解得：或
故答案为：11或-13。
【分析】本题考查完全平方式的参数求解。利用完全平方公式的结构特征，通过比较系数建立方程求解。关键要掌握完全平方公式的展开形式。
22．（2025七下·成都月考）若，则满足条件的的值为　 　．
【答案】或
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：分三种情况讨论：1. 底数为1：
当时，解得。
此时指数，计算得，符合条件。
2. 底数为-1且指数为偶数：
当时，解得。
此时指数，计算得，不符合条件。
3. 指数为0且底数不为0：
当时，解得。
此时底数，计算得，符合条件。
综上，满足条件的x值为或，故答案为：0或1/2。
【分析】本题考查幂运算的特殊情况，重点掌握以下三种情形：
1. 任何数的0次幂（底数≠0）等于1
2. 1的任何次幂都等于1
3. -1的偶数次幂等于1
通过分类讨论所有可能情况，确保不遗漏解。
23．（2025七下·成都月考）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如，，，，，，，，）从上面的例子中可以看到所有大于3的奇数都是智慧数，则第26个“智慧数”是　 　；2025是第　 　个“智慧数”．
【答案】37；1517
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：根据题目给出的计算方法：∵
∴
因此第26个"智慧数"是37。
同理，对于2025这个数：
∵
∴
因此2025是第1517个"智慧数"。
故填：37；1517。
【分析】本题考查的是数字规律的探索。解题关键在于发现正整数分组后每组包含智慧数的规律：
1. 将正整数每4个分为一组
2. 第一组包含1个智慧数
3. 后续每组包含3个智慧数
4. 每组中第二个数不是智慧数
根据这个规律，可以计算出任意位置的智慧数，或者确定某个数在智慧数序列中的位置。
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（2025七下·成都月考）如图，直线交于点O，，垂足为O，．
（1）求的度数；
（2）若平分，求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵直线交于点O，，∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查对顶角相等、邻补角互补、垂直的定义及角平分线的定义．
（1）利用邻补角互补求出，再结合（垂直得），通过角度差计算；
（2）先由对顶角性质得到，再根据角平分线概念（将角分成两个相等的角）求出，最后通过计算结果．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵直线交于点O，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
25．（2025七下·成都月考）把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：．
例如：将配方如下：．
请根据阅读材料解决下列问题：
【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方；
【类比应用】（2）求代数式的最小值；
【拓展应用】已知，求的值．
【答案】解：（1）；
（2）
，
∵，，
∴；
∴的最小值为；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
解得：，，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；偶次方的非负性；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解析】本题主要考查完全平方式的逆用、非负数的性质以及负整数指数幂的意义，解题关键在于熟练掌握完全平方公式的逆向运用。（1）通过完全平方公式的逆运算进行计算；（2）将原式变形为，再利用非负数的性质求解；（3）将方程转化为，结合非负数的性质进一步求解。
26．（2025七下·成都月考）若规定，且m，n为正整数，例如，，．
（1）计算；
（2）试说明：；
（3）利用（2）中的方法解决下面的问题，记，．
①a，b的值分别为多少？②试确定的个位数字．
【答案】（1）解：∵，，∴；
（2）解：∵，，
∴
，
∵，
∴；
（3）解：①由（2）可得：，，，….，，∴，
同理可得：，
②∵，，
∴，
∵，，，，….
∴的个位数字以8，4，2，6为一个循环组依次循环，
∵，
∴的各位数字是6．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；多项式乘多项式；探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）按照题目给定的运算规则进行计算即可；（2）根据运算定义先求出f(n， m+1)和f(n-1， m+1)，然后计算f(n， m+1) - f(n-1， m+1)，通过代数变形即可证明结论；
（3）①利用(2)的结论，通过计算得出a = (1/3)[f(27，3) - f(0，3)] = 7308，b = (1/4)[f(11，4) - f(10，4)] = 1144；
②分析8^n的个位数字规律，发现其以8，4，2，6为一个循环周期循环变化，据此可得最终答案。
（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，
，
∴
，
∵，
∴；
（3）解：①由（2）可得：，，，….，，
∴，
同理可得：，
②∵，，
∴，
∵，，，，….
∴的个位数字以8，4，2，6为一个循环组依次循环，
∵，
∴的各位数字是6．
1 / 1四川省成都市石室天府中学2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．（2025七下·成都月考）下列各图中，与是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·成都月考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·成都月考）华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是米．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·成都月考）已知，，则值为（　　）
A．7 B．10 C． D．
5．（2025七下·成都月考）如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·成都月考）∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，若∠3=125°，则∠2=（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
7．（2025七下·成都月考）如图，下列能判定的条件有（　　）个．
（1）
（2）
（3）
（4）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025七下·成都月考）下列语句正确的有（　　）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若直线， ，则．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9．（2025七下·成都月考）　 　．
10．（2025七下·成都月考）如图，有三个快递员都从位于点P的快递站取到快递后，同时以相同的速度把取到的快递分别送到位于笔直公路l旁的三个快递点A，B，C．结果送到B快递点的快递员先到理由是：　 　．
11．（2025七下·成都月考）计算：　 　．
12．（2025七下·成都月考）如图，和都是直角，若，则　 　．
13．（2025七下·成都月考）若，则　 　．
三、解答题（共48分）
14．（2025七下·成都月考）计算题
（1）；
（2）
（3）；（用乘法公式计算）
（4）．
15．（2025七下·成都月考）先化简，再求值：，其中，．
16．（2025七下·成都月考）已知一个角的余角是这个角的补角的，求这个角的度数．
17．（2025七下·成都月考）如图，，，．试说明．
18．（2025七下·成都月考）【背景】对于两数和（差）的完全平方公式中的三个代数式：，和，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题：
【应用】（1）若，，求的值；
【迁移】（2）如图，在长方形中，，，点分别是边上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为60，求图中两个正方形的面积之和．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2025七下·成都月考）已知，则　 　．
20．（2025七下·成都月考）如果的乘积中不含项，则=　 　．
21．（2025七下·成都月考）若多项式是关于的完全平方式，则　 　．
22．（2025七下·成都月考）若，则满足条件的的值为　 　．
23．（2025七下·成都月考）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如，，，，，，，，）从上面的例子中可以看到所有大于3的奇数都是智慧数，则第26个“智慧数”是　 　；2025是第　 　个“智慧数”．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（2025七下·成都月考）如图，直线交于点O，，垂足为O，．
（1）求的度数；
（2）若平分，求的度数．
25．（2025七下·成都月考）把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：．
例如：将配方如下：．
请根据阅读材料解决下列问题：
【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方；
【类比应用】（2）求代数式的最小值；
【拓展应用】已知，求的值．
26．（2025七下·成都月考）若规定，且m，n为正整数，例如，，．
（1）计算；
（2）试说明：；
（3）利用（2）中的方法解决下面的问题，记，．
①a，b的值分别为多少？②试确定的个位数字．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A中，由的两边不是的两边的反向延长线，则与不是对顶角，故A不符合题意；
B中，由与没有公共顶点，不是对顶角，故B不符合题意；
C中，由与是对顶角，故C符合题意；
D中，由的两边不是的两边的反向延长线，则与不是对顶角，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查的是对顶角的判断，把有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此定义，逐项分析作答，即可得到答案.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A选项：与不是同类项，不能合并，因此原计算错误，不符合题意。
B选项：完全平方公式展开应为，原计算错误，不符合题意。
C选项：同底数幂相乘法则应为，原计算错误，不符合题意。
D选项：同底数幂相除法则计算正确，符合题意。
综上，正确答案选择D。
【分析】本题考查了以下知识点：
1.合并同类项的前提是同类项
2.完全平方公式的展开
3.同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加
4.同底数幂除法法则：底数不变，指数相减
解题时需准确运用相关运算法则进行判断。
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：D．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】利用同底数幂相乘的逆运算，可得到mx+y=mx·my，再代入求值.
5．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：
，
故剩余部分面积是，
故答案为：B
【分析】根据阴影部分面积=大长方形面积-小长方形面积，结合长方形面积公式即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1与∠3互补，∠3=125°，
∴∠1=55°，
∵∠1与∠2互余，
∴∠2=90°﹣55°=35°．
故选：A．
【分析】根据∠1与∠2互余，可知∠1=90°﹣∠2；由∠3与∠1互补，可知∠3=180°﹣∠1，代入∠2的度数计算即可．
7．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：（1），
，符合题意；
（2），
，不符合题意；
（3），
，符合题意；
（4），
，符合题意；
综上所述，能判定的条件有3个，
故答案为：C．
【分析】利用同旁内角互补，两直线平行，可对（1）作出判断；利用内错角相等，两直线平行，可对（2）（3）作出判断；利用同位角相等，两直线平行，可对（4）作出判断，即可得到能判定AB∥CD的个数.
8．【答案】D
【知识点】垂线的概念；平行公理
【解析】【解答】①在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，原说法错误；
②经过直线外一点，只能作一条直线与已知直线平行，原说法错误；
③在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，原说法错误；
④若满足且，则可推出，该结论正确。
综上，选择D选项。
【分析】本题主要考查平行线的定义、平行公理以及垂线的基本性质。解题时需要准确理解这些几何概念和公理：
1. 在同一平面内，直线位置关系仅有相交和平行两种情况；
2. 平行公理指出过直线外一点有且只有一条平行线；
3. 垂线性质说明过一点有且仅有一条垂线；
4. 平行线的传递性是其重要特征。
正确掌握这些基础几何知识是解答本题的关键。
9．【答案】
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：；
答案：
【分析】本题考查单项式除以单项式的运算。解题时直接运用单项式相除的法则：系数相除作为商的系数，同底数幂相除，底数不变指数相减。最终结果为负二分之三a的四次方b的五次方。
10．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意可知送到B快递点的快递员先到的理由是：垂线段最短；
故答案为：垂线段最短.
【分析】
本题主要考察垂线段的性质： 垂线段最短. 题中以快递配送为生活场景， 核心是比较从点P到直线l上三点A、B、C的距离. 已知三维快递员速度相同，因此配送路径的长短直接决定了到达时间的先后. 结合几何知识，点到直线的所有连接线段中，垂线段的长度是最短的，由此可判断出到B点的快递员路径最短，用时最少.
11．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：，故填：。
【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算性质。解题的关键在于将原式变形为的形式，通过计算得出结果。
12．【答案】
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：因为和都是直角，所以，
已知，
可求得，
因此。
故填：。
【分析】先求出的度数，再根据的关系，代入具体数值计算即可得到结果。
13．【答案】4
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：根据题目条件，将表达式 进行变形：
。
故填：4。
【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式将原式变形后，代入已知条件即可简化计算。解题关键在于合理运用平方差公式，并将已知条件代入化简。
14．【答案】（1）解：
（2）解：

（3）解：
（4）解：
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；整数指数幂的运算
【解析】【分析】本题主要考查零指数幂的意义、有理数的混合运算以及整式的乘法运算：1.需要先计算乘方和零次幂，然后将结果进行合并；
2.先进行积的乘方运算，然后进行单项式与多项式的乘法运算，最后合并同类项；
3.将原式变形为，然后运用平方差公式求解；
4.先运用平方差公式和多项式乘法法则进行运算，最后合并同类项。
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
15．【答案】解：
；
当，时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；单项式除以单项式
【解析】【分析】本题主要考查整式的混合运算和化简求值。解题步骤如下：1. 先计算括号内的整式乘法运算；
2. 合并同类项进行化简；
3. 最后进行单项式除以单项式的运算，得到最简结果；
4. 将给定值，代入化简后的表达式求值。
16．【答案】解：设这个角的度数为x，由题意得，，
解得，
∴这个角的度数为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；余角；补角
【解析】【分析】本题考查了余角和补角的相关计算。设所求角的度数为x，根据定义可得：
- 余角为
- 补角为
通过建立方程即可求解该问题。
17．【答案】解：∵，∴．
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】垂线的概念；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】本题考查平行线的判定定理，核心依据是“同旁内角互补，两直线平行”。解题步骤如下：1. 计算∠BAD的度数：由已知条件可得；
2. 验证角度关系：通过计算得出，满足平行判定条件。
18．【答案】解：（1）∵，，∴，即，
∴，
∴，
（2）∵，，且，
∴，，
∵长方形的面积为60，
∴，
图中两个正方形的面积之和为：
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】本题考查完全平方公式的变形应用。（1）根据题意直接应用完全平方公式即可求解；（2）根据题意先表示出，然后通过完全平方公式的变形运算即可得出答案。
19．【答案】11
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】首先对表达式进行变形：
根据已知条件，代入计算：
故填：11
【分析】本题考查完全平方公式的应用。关键步骤是将 转化为完全平方式 的形式，然后代入已知条件求解。
20．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
的乘积中不含项，
故答案为：．
【分析】
本题需要先将按多项式乘法法则展开，再合并同类项. 根据“乘积中不含项”这一条件，令项的系数为0，建立关于a的方程，求解即可得到a的值.
21．【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：已知多项式是关于x的完全平方式。根据完全平方公式，可得：
因此有：
解得：或
故答案为：11或-13。
【分析】本题考查完全平方式的参数求解。利用完全平方公式的结构特征，通过比较系数建立方程求解。关键要掌握完全平方公式的展开形式。
22．【答案】或
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：分三种情况讨论：1. 底数为1：
当时，解得。
此时指数，计算得，符合条件。
2. 底数为-1且指数为偶数：
当时，解得。
此时指数，计算得，不符合条件。
3. 指数为0且底数不为0：
当时，解得。
此时底数，计算得，符合条件。
综上，满足条件的x值为或，故答案为：0或1/2。
【分析】本题考查幂运算的特殊情况，重点掌握以下三种情形：
1. 任何数的0次幂（底数≠0）等于1
2. 1的任何次幂都等于1
3. -1的偶数次幂等于1
通过分类讨论所有可能情况，确保不遗漏解。
23．【答案】37；1517
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：根据题目给出的计算方法：∵
∴
因此第26个"智慧数"是37。
同理，对于2025这个数：
∵
∴
因此2025是第1517个"智慧数"。
故填：37；1517。
【分析】本题考查的是数字规律的探索。解题关键在于发现正整数分组后每组包含智慧数的规律：
1. 将正整数每4个分为一组
2. 第一组包含1个智慧数
3. 后续每组包含3个智慧数
4. 每组中第二个数不是智慧数
根据这个规律，可以计算出任意位置的智慧数，或者确定某个数在智慧数序列中的位置。
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵直线交于点O，，∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查对顶角相等、邻补角互补、垂直的定义及角平分线的定义．
（1）利用邻补角互补求出，再结合（垂直得），通过角度差计算；
（2）先由对顶角性质得到，再根据角平分线概念（将角分成两个相等的角）求出，最后通过计算结果．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵直线交于点O，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
25．【答案】解：（1）；
（2）
，
∵，，
∴；
∴的最小值为；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
解得：，，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；偶次方的非负性；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解析】本题主要考查完全平方式的逆用、非负数的性质以及负整数指数幂的意义，解题关键在于熟练掌握完全平方公式的逆向运用。（1）通过完全平方公式的逆运算进行计算；（2）将原式变形为，再利用非负数的性质求解；（3）将方程转化为，结合非负数的性质进一步求解。
26．【答案】（1）解：∵，，∴；
（2）解：∵，，
∴
，
∵，
∴；
（3）解：①由（2）可得：，，，….，，∴，
同理可得：，
②∵，，
∴，
∵，，，，….
∴的个位数字以8，4，2，6为一个循环组依次循环，
∵，
∴的各位数字是6．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；多项式乘多项式；探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）按照题目给定的运算规则进行计算即可；（2）根据运算定义先求出f(n， m+1)和f(n-1， m+1)，然后计算f(n， m+1) - f(n-1， m+1)，通过代数变形即可证明结论；
（3）①利用(2)的结论，通过计算得出a = (1/3)[f(27，3) - f(0，3)] = 7308，b = (1/4)[f(11，4) - f(10，4)] = 1144；
②分析8^n的个位数字规律，发现其以8，4，2，6为一个循环周期循环变化，据此可得最终答案。
（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，
，
∴
，
∵，
∴；
（3）解：①由（2）可得：，，，….，，
∴，
同理可得：，
②∵，，
∴，
∵，，，，….
∴的个位数字以8，4，2，6为一个循环组依次循环，
∵，
∴的各位数字是6．
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