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四川省成都市青羊实验中学2024-2025学年七年级下学期月考数学试卷（3月份）
一、选择题
1．（2025七下·青羊月考）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】选项分析：
A.和不是同类项，无法合并，因此该选项错误。
B.的计算结果正确，但题目要求找出错误的选项，因此不符合题意。
C.的计算完全正确，符合题意。
D.的运算结果正确，但不符合题目要求。
正确答案：C
【分析】本题考查整式的运算规则，需要掌握以下知识点：1.合并同类项的前提条件
2.同底数幂的乘法法则
3.积的乘方运算法则
4.同底数幂的除法法则
解题关键在于准确运用整式运算的相关法则进行判断。
2．（2025七下·青羊月考）据说华为系列搭载了自家研发的麒麟处理器，这是一款采用5纳米工艺制造的芯片，性能更加强大，功耗更低，这一举突破了以美国为首的西方国家对我国的高新技术封锁。已知，0.000000005用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000005用科学记数法表示为，
故选：B
【分析】
本题考查科学记数法的规范形式 （），重点确定指数n的符号与数值. 本题需要将极小的正数0.000000005转化为科学记数法形式：先将小数点向右移动9位得到a=5，因原数小于1，故指数n=-9，最终表示为.
3．（2025七下·青羊月考）在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A中，根据对顶角的定义，∠1与∠2不具有共同的顶点，不是对顶角，所以A不符合题意．
B中，根据对顶角的定义，∠1与∠2具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，所以B符合题意．
C中，根据对顶角的定义，∠1与∠2的两边不互为反向延长线，不是对顶角，所以C不符合题意．
D中，根据对顶角的定义，∠1与∠2不具有共同的顶点，不是对顶角，所以D不符合题意．
故选：B．
【分析】本题主要考查对顶角，把具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，其中对顶角相等，据此作答，即可求解.
4．（2025七下·青羊月考）若有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：若有意义，
则，
解得：．
故选：B．
【分析】
本题根据负整数指数幂的定义，=，分式有意义的前提是分母不为0，因此只需底数，即可求出的取值范围.
5．（2025七下·青羊月考）下列乘法中，能运用完全平方公式进行运算的是（　　）
A．(x+a)(x-a) B．(b+m)(m-b) C．(-x-b)(x-b) D．(a+b)(-a-b)
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A、B、C、符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
D，后边提取负号得：-（a+b）（a+b），故能运用完全平方公式进行运算．
故答案为：D．
【分析】根据完全平方公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中两项完全相同．
6．（2025七下·青羊月考）若，，，比较a、b、c的大小（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：
，
，
，
，
故选：C．
【分析】本题考查了零指数和负整数指数幂的运算。解题关键是熟练掌握相关运算法则，通过计算结果比较大小。首先分别计算a、b、c三个数的值，然后比较它们的大小关系。
7．（2025七下·青羊月考）下列说法中错误的是（　　）
A．同角（或等角）的余角相等
B．在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段叫作点A到直线l的距离
【答案】D
【知识点】垂线的概念；点到直线的距离；相交线的相关概念
【解析】【解答】A选项：同角或等角的余角相等，该说法正确。
B选项：在平面几何中，两条直线的位置关系仅有相交和平行两种，该说法正确
C选项：在同一平面内，过定点存在唯一一条直线与已知直线垂直，该说法正确。
D选项：当点A向直线l作垂线时，垂足为B，此时线段的长度才是点A到直线l的距离，原说法存在错误。
综上所述，选择D选项。
【分析】本题考查几何基本概念，包括：余角性质（同角或等角的余角相等）、平面内直线位置关系（相交/平行）、垂线唯一性定理以及点到直线距离的定义。通过逐一分析各选项所述内容的准确性，可确定D选项存在错误。
8．（2025七下·青羊月考）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x（）．则①；②；③中，正确的是（　　）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】①根据图示分析可得：，该结论正确。②图示表明：，推导得出：，因此：，该结论正确。③图示显示：，结合①中，根据平方差公式：，即：，该结论正确。综上所述，正确的结论是①②③，故选：A。
【分析】本题通过几何图形验证了平方差公式和完全平方公式的变形应用：结论①直接由图形关系得出；结论②通过面积差与矩形面积的关系推导；结论③运用平方差公式进行代数转换。解题关键在于理解、和之间的相互转换关系。
二、填空题
9．（2025七下·青羊月考）已知，则　 　．
【答案】20
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：20．
【分析】
本题重点考查同底数幂乘法的逆应用，将拆分为，再代入已知、计算即可得到结果.
10．（2025七下·青羊月考）如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是　 　，理由是　 　．
【答案】；垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由于PM垂直于EN于点M，因此最短的搭建方式是PM，依据是垂线段最短的原理，
故答案为：PM；垂线段最短．
【分析】此题主要考查垂线段最短的性质，关键要理解直线外一点到直线的最短距离就是该点到直线的垂线的长度。根据几何原理，点P到直线EN的最短距离就是垂线段PM的长度。
11．（2025七下·青羊月考）　 　．
【答案】10200
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
故答案为：10200
【分析】本题主要考查平方差公式的应用。通过将1012-1转化为(101+1)(101-1)的形式，可以简化计算过程。
12．（2025七下·青羊月考）将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做二阶行列式．若，则　 　．
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：依据二阶行列式的运算规则，可得到如下等式：将等式左边展开后得到：
去除括号后整理得：
合并同类项后得到：
最终解得：
因此，正确答案为：
【分析】本题考查了二阶行列式的运算、完全平方公式的应用、代数式的化简以及一元一次方程的求解。解题的关键在于：
1.正确理解二阶行列式的运算规则
2.准确应用完全平方公式展开表达式
3.正确处理代数式的展开和化简
4.正确求解一元一次方程
通过逐步展开和化简行列式表达式，最终转化为简单的一元一次方程，从而求得未知数x的值。
13．（2025七下·青羊月考）已知是完全平方式，则　 　．
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是完全平方式，
，
即：，
故答案为：．
【分析】掌握完全平方式的特征：①有三项；②两项符号相同且都可写成两数的平方形式；③另一项应是两数积的倍，符号不限．根据特征可得，由此即可得出的值．
三、计算题
14．（2025七下·青羊月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）首先计算负整数指数幂、乘方运算和零次幂，最后进行加减运算；
（2）按照幂的运算法则进行计算，然后将同类项合并；
（3）直接应用完全平方公式进行计算；
（4）综合运用完全平方公式和平方差公式进行计算。
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
15．（2025七下·青羊月考）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
，
当，时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式混合运算的化简求值，关键在于熟练掌握运算规则。解题步骤如下：首先展开原式中的括号，合并同类项后进行除法运算，最终代入给定的和数值进行计算。
四、解答题
16．（2025七下·青羊月考）如图，已知点O为直线上一点，， ，平分．
（1）求的度数；
（2）若与互余，求的度数．
【答案】（1）解：∵，，∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴.
（2）解：当点在上方时，∵与互余，
∴，
∵，
∴，
∵平分，由（1）知，
∴，
∴．
当点在下方时，
∵与互余，
∴，
∵平分，由（1）知，
∴，则，
∴．
即：的度数为或．
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【分析】本题综合考察平角、直角、余角的定义，角平分线的概念及角度和差运算.
（1）先由平角定义求出、，再结合角平分线概念得到，最后通过角度和计算；
（2）针对点的位置分两种情况讨论：先根据互余定义（和为）求出，再结合平角或角的和差关系计算.
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：当点在上方时，
∵与互余，
∴，
∵，
∴，
∵平分，由（1）知，
∴，
∴．
当点在下方时，
∵与互余，
∴，
∵平分，由（1）知，
∴，则，
∴．
即：的度数为或．
17．（2025七下·青羊月考）某校同学在社会实践的过程中，遇到一些各具特色的建筑，有在加拿大魁北克城举行的第32届世界遗产大会上正式被列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有新中式风格的传统民宿，同学们对于哪个建筑的占地面积更大展开了争论．
①组的同学们认为回字形福建土楼占地面积更大；
②组的同学们认为新中式民宿占地面积更大；
为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据的测量，数据如图所示．
（1）请你选择一组同学，帮助他们计算建筑物的占地面积为多少？
（2）村口王大叔告诉同学们，两栋建筑的占地面积均为，求a的值为多少？
【答案】（1）解：回字形福建土楼占地面积为：
；
新中式民宿占地面积为：
；
（2）解：，两栋建筑的占地面积均为，
，
，
（负值舍去），
即a的值为6．
【知识点】多项式乘多项式；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查多项式乘法的实际应用以及算术平方根的应用：（1）首先根据题目给出的条件，用含有变量a和b的代数式表示出图形的长度和宽度，然后运用多项式乘多项式的方法进行计算求解。
（2）在第二问中，结合已知条件a=b，且两栋建筑的占地面积均为324平方米，建立方程，通过解这个方程即可得到答案。
（1）解：回字形福建土楼占地面积为：
；
新中式民宿占地面积为：
；
（2）解：，两栋建筑的占地面积均为，
，
，
（负值舍去），
即a的值为6．
18．（2025七下·青羊月考）如图1，有边长分别为m，n的两个正方形和两个长宽分别为n，m的长方形，将它们拼成如图2所示的大正方形．四边形，，，的面积分别为．
（1）用两种方法表示图2的面积，可以得到一个关于m，n的等式为______；
（2）在图2中，若，则______；若，，则______；
（3）如图3，连接交于点N，连接．若与的面积之差为18，求m的值．
【答案】（1）
（2）12；74
（3）解：∵，
，
∴
，
∵与的面积之差为18，
∴，
∴，
解得：，负值舍去．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】
解：（1）大正方形的边长为，则面积为，大正方形看作四个四边形的面积之和，则面积为：，
∴关于m，n的等式为.
（2）∵若，∴，，
解得：负值舍去，
∴，
∴；
∵若，
∴，
∵，
∴
．
【分析】本题重点考查了完全平方公式的几何意义，面积法以及数形结合思想. 通过面积法推导完全平方公式，并利用公式进行相关计算与几何证明.
（1）用整体边长表示面积，用分割后四部分面积之和表示面积，从而得到；
（2）利用已知面积求及，根据，得，，可求出m、n的值，然后再求出即可；根据，得出，根据，利用完全平方公式变形求出值即可；
(3)通过面积差建立方程，求解m的值根据
得，求出m的值即可．
（1）解：大正方形的边长为，则面积为，
大正方形看作四个四边形的面积之和，则面积为：，
∴关于m，n的等式为；
（2）解：∵若，
∴，，
解得：负值舍去，
∴，
∴；
∵若，
∴，
∵，
∴
．
（3）解：∵，
，
∴
，
∵与的面积之差为18，
∴，
∴，
解得：，负值舍去．
五、填空题
19．（2025七下·青羊月考）若，，则的值等于　 　．
【答案】．
【知识点】幂的乘方运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】
答案．
【分析】
本题需要逆用幂的运算法则，将目标式变形为同底数幂除法与幂的乘方的组合形式，即，再将已知=6、=2代入计算即可得到结果.
20．（2025七下·青羊月考）已知展开的结果中不含项，则m的值为　 　．
【答案】2
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：，由于展开式中要求不含项，
因此令，解得：。
故填：2。
【分析】本题主要考查多项式乘法运算。解题时首先运用多项式乘法法则将给定表达式展开，得到。根据题意要求展开式中不含二次项，即令二次项系数为零，从而求出参数m的值。掌握多项式乘法法则和项系数的概念是解决此类问题的关键。
21．（2025七下·青羊月考）如果一个角的余角等于这个角的补角的，那么这个角的度数是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；余角；补角
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，
由题意得，，
解得，
∴这个角的度数为，
故答案为：．
【分析】
本题聚焦余角、补角的定义及一元一次方程的应用，先设未知角的度数为，根据余角（和为）、补角（和为）的定义分别表示出这个角的余角度数为，补角度数为；再依据“余角是补角的”这一等量关系列方程，解方程即可得到角的度数.
22．（2025七下·青羊月考）若，则代数式　 　．
【答案】13
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：已知方程，且。
由方程可得：
，
。
将目标表达式 进行变形：
；
最终结果为：13．
【分析】本题主要考查代数式求值，关键在于整体代入法的运用。由方程 可得：，。将目标表达式 拆分为：，最终转化为，通过整体代入得到结果13。
23．（2025七下·青羊月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．若的展开式中不含的项，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴
展开式中项为：，
根据题意得：，即，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】
本题核心考察杨辉三角的应用、多项式乘法法则、降次法求代数式的值. 先利用杨辉三角形或二项式定理展开，再将其与相乘，精准定位项的系数；令该系数为0，得到关于a的方程，最后通过降次法(用低次幂表示高次幂）代入目标代数式求值.
六、解答题
24．（2025七下·青羊月考）全民开展体育运动，人们对足球的需求量增加．某经理做市场调研，了解到如下信息：
信息一：成都某体育用品商城从厂家购进了A品牌足球30个，B品牌足球20个，共付款4400元．已知每个B品牌足球比每个A品牌足球进价贵20元．
信息二：成都某体育用品商城将A品牌足球按信息一中的进价提高后标价，B品牌足球按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时信息一中所购进的足球全部销售完后可获利860元，已知A品牌足球打八折．求：
（1）每个A品牌足球和每个B品牌足球进价分别为多少元？
（2）求出信息二中B品牌足球实际销售时打几折？
（3）在（1）（2）的条件下，该经理共购进A、B品牌的足球共50个，每售出一个B品牌足球，再返顾客a元，A品牌足球售价不变．若无论购进多少个A品牌足球，最终总的获利相同，求a的值．
【答案】（1）解：设每个A品牌足球的进价是x元，则每个B品牌足球的进价是元，根据题意，得，
解方程，得，
∴．
答：每个A品牌足球的进价是80元，每个B品牌足球的进价是100元；
（2）解：设信息二中B品牌足球实际销售时打y折，根据题意，得
解方程，得．
答：信息二中B品牌足球实际销售时打八五折；
（3）解：∵无论购进多少个A品牌足球，最终总的获利相同，∴A，B两种品牌足球的销售利润相同，
∴，
解方程，得．
答：a的值为3．
【知识点】解一元一次方程；一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次方程的实际应用-盈亏问题；解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】
（1）设每个A品牌足球的进价是x元，则每个B品牌足球的进价是元，利用总价=单价×数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即每个A品牌足球的进价），再将其代入中，即可求出每个B品牌足球的进价；
（2）设信息二中B品牌足球实际销售时打y折，利用总利润=每个A品牌足球的销售利润×销售数量+每个B品牌足球的销售利润×销售数量，可列出关于y的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）由无论购进多少个A品牌足球，最终总的获利相同，可得出A，B两种品牌足球的销售利润相同，进而可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出答案．
（1）解：设每个A品牌足球的进价是x元，则每个B品牌足球的进价是元，
根据题意，得，
解方程，得，
∴．
答：每个A品牌足球的进价是80元，每个B品牌足球的进价是100元；
（2）解：设信息二中B品牌足球实际销售时打y折，
根据题意，得，
解方程，得．
答：信息二中B品牌足球实际销售时打八五折；
（3）解：∵无论购进多少个A品牌足球，最终总的获利相同，
∴A，B两种品牌足球的销售利润相同，
∴，
解方程，得．
答：a的值为3．
25．（2025七下·青羊月考）阅读下列材料：
，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解次问题的思路方法叫做配方法．用配方法解决下列问题：
（1）____+1．
（2）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
（3）已知为的三边长，且满足，试判断此三角形的形状．
【答案】（1）.
（2）由题意得，
，
当，时，多项式有最小值5.
（3）由题意得，
，
，
，，
，，
，
是等边三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】
解：（1）∵，∴
【分析】本题主要考查完全平方公司、完全平方式的非负性，考察配方法的应用，利用完全平方式的非负性解决最值问题与三角形形状判断问题．
（1）需将，利用完全平方公式展开求解；
（2）需将多项式配方为，结合非负性求最小值；
（3）需将等式配方为，利用非负性判断三角形形状．
26．（2025七下·青羊月考）如图，已知，在内部且．
（1）作平分，证明：；
（2）在外部分别作、的余角、，求的值．
【答案】（1）证明：∵，，∴．
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解析】本题主要考察余角、补角的概念理解，角平分线的定义以及角度计算。解题的核心思路是通过合理设定变量，建立代数关系式来表达各角度之间的关系。
设∠AOC的度数为x，根据角平分线的性质可得：
（角平分线将角分成两个相等的部分）
利用角的和差关系可以得到：
（根据余角定义）
（根据补角关系）
通过以上建立的代数表达式，即可完成问题的求解。
（1）证明：∵，，
∴．
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，，，
∴，
∵，
∴．
1 / 1四川省成都市青羊实验中学2024-2025学年七年级下学期月考数学试卷（3月份）
一、选择题
1．（2025七下·青羊月考）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·青羊月考）据说华为系列搭载了自家研发的麒麟处理器，这是一款采用5纳米工艺制造的芯片，性能更加强大，功耗更低，这一举突破了以美国为首的西方国家对我国的高新技术封锁。已知，0.000000005用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·青羊月考）在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·青羊月考）若有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·青羊月考）下列乘法中，能运用完全平方公式进行运算的是（　　）
A．(x+a)(x-a) B．(b+m)(m-b) C．(-x-b)(x-b) D．(a+b)(-a-b)
6．（2025七下·青羊月考）若，，，比较a、b、c的大小（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·青羊月考）下列说法中错误的是（　　）
A．同角（或等角）的余角相等
B．在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段叫作点A到直线l的距离
8．（2025七下·青羊月考）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x（）．则①；②；③中，正确的是（　　）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
二、填空题
9．（2025七下·青羊月考）已知，则　 　．
10．（2025七下·青羊月考）如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是　 　，理由是　 　．
11．（2025七下·青羊月考）　 　．
12．（2025七下·青羊月考）将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做二阶行列式．若，则　 　．
13．（2025七下·青羊月考）已知是完全平方式，则　 　．
三、计算题
14．（2025七下·青羊月考）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
15．（2025七下·青羊月考）先化简，再求值：，其中，．
四、解答题
16．（2025七下·青羊月考）如图，已知点O为直线上一点，， ，平分．
（1）求的度数；
（2）若与互余，求的度数．
17．（2025七下·青羊月考）某校同学在社会实践的过程中，遇到一些各具特色的建筑，有在加拿大魁北克城举行的第32届世界遗产大会上正式被列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有新中式风格的传统民宿，同学们对于哪个建筑的占地面积更大展开了争论．
①组的同学们认为回字形福建土楼占地面积更大；
②组的同学们认为新中式民宿占地面积更大；
为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据的测量，数据如图所示．
（1）请你选择一组同学，帮助他们计算建筑物的占地面积为多少？
（2）村口王大叔告诉同学们，两栋建筑的占地面积均为，求a的值为多少？
18．（2025七下·青羊月考）如图1，有边长分别为m，n的两个正方形和两个长宽分别为n，m的长方形，将它们拼成如图2所示的大正方形．四边形，，，的面积分别为．
（1）用两种方法表示图2的面积，可以得到一个关于m，n的等式为______；
（2）在图2中，若，则______；若，，则______；
（3）如图3，连接交于点N，连接．若与的面积之差为18，求m的值．
五、填空题
19．（2025七下·青羊月考）若，，则的值等于　 　．
20．（2025七下·青羊月考）已知展开的结果中不含项，则m的值为　 　．
21．（2025七下·青羊月考）如果一个角的余角等于这个角的补角的，那么这个角的度数是　 　．
22．（2025七下·青羊月考）若，则代数式　 　．
23．（2025七下·青羊月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．若的展开式中不含的项，则代数式的值为　 　．
六、解答题
24．（2025七下·青羊月考）全民开展体育运动，人们对足球的需求量增加．某经理做市场调研，了解到如下信息：
信息一：成都某体育用品商城从厂家购进了A品牌足球30个，B品牌足球20个，共付款4400元．已知每个B品牌足球比每个A品牌足球进价贵20元．
信息二：成都某体育用品商城将A品牌足球按信息一中的进价提高后标价，B品牌足球按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时信息一中所购进的足球全部销售完后可获利860元，已知A品牌足球打八折．求：
（1）每个A品牌足球和每个B品牌足球进价分别为多少元？
（2）求出信息二中B品牌足球实际销售时打几折？
（3）在（1）（2）的条件下，该经理共购进A、B品牌的足球共50个，每售出一个B品牌足球，再返顾客a元，A品牌足球售价不变．若无论购进多少个A品牌足球，最终总的获利相同，求a的值．
25．（2025七下·青羊月考）阅读下列材料：
，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解次问题的思路方法叫做配方法．用配方法解决下列问题：
（1）____+1．
（2）当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
（3）已知为的三边长，且满足，试判断此三角形的形状．
26．（2025七下·青羊月考）如图，已知，在内部且．
（1）作平分，证明：；
（2）在外部分别作、的余角、，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】选项分析：
A.和不是同类项，无法合并，因此该选项错误。
B.的计算结果正确，但题目要求找出错误的选项，因此不符合题意。
C.的计算完全正确，符合题意。
D.的运算结果正确，但不符合题目要求。
正确答案：C
【分析】本题考查整式的运算规则，需要掌握以下知识点：1.合并同类项的前提条件
2.同底数幂的乘法法则
3.积的乘方运算法则
4.同底数幂的除法法则
解题关键在于准确运用整式运算的相关法则进行判断。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000005用科学记数法表示为，
故选：B
【分析】
本题考查科学记数法的规范形式 （），重点确定指数n的符号与数值. 本题需要将极小的正数0.000000005转化为科学记数法形式：先将小数点向右移动9位得到a=5，因原数小于1，故指数n=-9，最终表示为.
3．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A中，根据对顶角的定义，∠1与∠2不具有共同的顶点，不是对顶角，所以A不符合题意．
B中，根据对顶角的定义，∠1与∠2具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，所以B符合题意．
C中，根据对顶角的定义，∠1与∠2的两边不互为反向延长线，不是对顶角，所以C不符合题意．
D中，根据对顶角的定义，∠1与∠2不具有共同的顶点，不是对顶角，所以D不符合题意．
故选：B．
【分析】本题主要考查对顶角，把具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，其中对顶角相等，据此作答，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：若有意义，
则，
解得：．
故选：B．
【分析】
本题根据负整数指数幂的定义，=，分式有意义的前提是分母不为0，因此只需底数，即可求出的取值范围.
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A、B、C、符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
D，后边提取负号得：-（a+b）（a+b），故能运用完全平方公式进行运算．
故答案为：D．
【分析】根据完全平方公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中两项完全相同．
6．【答案】C
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：
，
，
，
，
故选：C．
【分析】本题考查了零指数和负整数指数幂的运算。解题关键是熟练掌握相关运算法则，通过计算结果比较大小。首先分别计算a、b、c三个数的值，然后比较它们的大小关系。
7．【答案】D
【知识点】垂线的概念；点到直线的距离；相交线的相关概念
【解析】【解答】A选项：同角或等角的余角相等，该说法正确。
B选项：在平面几何中，两条直线的位置关系仅有相交和平行两种，该说法正确
C选项：在同一平面内，过定点存在唯一一条直线与已知直线垂直，该说法正确。
D选项：当点A向直线l作垂线时，垂足为B，此时线段的长度才是点A到直线l的距离，原说法存在错误。
综上所述，选择D选项。
【分析】本题考查几何基本概念，包括：余角性质（同角或等角的余角相等）、平面内直线位置关系（相交/平行）、垂线唯一性定理以及点到直线距离的定义。通过逐一分析各选项所述内容的准确性，可确定D选项存在错误。
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】①根据图示分析可得：，该结论正确。②图示表明：，推导得出：，因此：，该结论正确。③图示显示：，结合①中，根据平方差公式：，即：，该结论正确。综上所述，正确的结论是①②③，故选：A。
【分析】本题通过几何图形验证了平方差公式和完全平方公式的变形应用：结论①直接由图形关系得出；结论②通过面积差与矩形面积的关系推导；结论③运用平方差公式进行代数转换。解题关键在于理解、和之间的相互转换关系。
9．【答案】20
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：20．
【分析】
本题重点考查同底数幂乘法的逆应用，将拆分为，再代入已知、计算即可得到结果.
10．【答案】；垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由于PM垂直于EN于点M，因此最短的搭建方式是PM，依据是垂线段最短的原理，
故答案为：PM；垂线段最短．
【分析】此题主要考查垂线段最短的性质，关键要理解直线外一点到直线的最短距离就是该点到直线的垂线的长度。根据几何原理，点P到直线EN的最短距离就是垂线段PM的长度。
11．【答案】10200
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
故答案为：10200
【分析】本题主要考查平方差公式的应用。通过将1012-1转化为(101+1)(101-1)的形式，可以简化计算过程。
12．【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：依据二阶行列式的运算规则，可得到如下等式：将等式左边展开后得到：
去除括号后整理得：
合并同类项后得到：
最终解得：
因此，正确答案为：
【分析】本题考查了二阶行列式的运算、完全平方公式的应用、代数式的化简以及一元一次方程的求解。解题的关键在于：
1.正确理解二阶行列式的运算规则
2.准确应用完全平方公式展开表达式
3.正确处理代数式的展开和化简
4.正确求解一元一次方程
通过逐步展开和化简行列式表达式，最终转化为简单的一元一次方程，从而求得未知数x的值。
13．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是完全平方式，
，
即：，
故答案为：．
【分析】掌握完全平方式的特征：①有三项；②两项符号相同且都可写成两数的平方形式；③另一项应是两数积的倍，符号不限．根据特征可得，由此即可得出的值．
14．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）首先计算负整数指数幂、乘方运算和零次幂，最后进行加减运算；
（2）按照幂的运算法则进行计算，然后将同类项合并；
（3）直接应用完全平方公式进行计算；
（4）综合运用完全平方公式和平方差公式进行计算。
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
15．【答案】解：原式
，
当，时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式混合运算的化简求值，关键在于熟练掌握运算规则。解题步骤如下：首先展开原式中的括号，合并同类项后进行除法运算，最终代入给定的和数值进行计算。
16．【答案】（1）解：∵，，∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴.
（2）解：当点在上方时，∵与互余，
∴，
∵，
∴，
∵平分，由（1）知，
∴，
∴．
当点在下方时，
∵与互余，
∴，
∵平分，由（1）知，
∴，则，
∴．
即：的度数为或．
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【分析】本题综合考察平角、直角、余角的定义，角平分线的概念及角度和差运算.
（1）先由平角定义求出、，再结合角平分线概念得到，最后通过角度和计算；
（2）针对点的位置分两种情况讨论：先根据互余定义（和为）求出，再结合平角或角的和差关系计算.
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：当点在上方时，
∵与互余，
∴，
∵，
∴，
∵平分，由（1）知，
∴，
∴．
当点在下方时，
∵与互余，
∴，
∵平分，由（1）知，
∴，则，
∴．
即：的度数为或．
17．【答案】（1）解：回字形福建土楼占地面积为：
；
新中式民宿占地面积为：
；
（2）解：，两栋建筑的占地面积均为，
，
，
（负值舍去），
即a的值为6．
【知识点】多项式乘多项式；算术平方根的实际应用
【解析】【分析】本题主要考查多项式乘法的实际应用以及算术平方根的应用：（1）首先根据题目给出的条件，用含有变量a和b的代数式表示出图形的长度和宽度，然后运用多项式乘多项式的方法进行计算求解。
（2）在第二问中，结合已知条件a=b，且两栋建筑的占地面积均为324平方米，建立方程，通过解这个方程即可得到答案。
（1）解：回字形福建土楼占地面积为：
；
新中式民宿占地面积为：
；
（2）解：，两栋建筑的占地面积均为，
，
，
（负值舍去），
即a的值为6．
18．【答案】（1）
（2）12；74
（3）解：∵，
，
∴
，
∵与的面积之差为18，
∴，
∴，
解得：，负值舍去．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】
解：（1）大正方形的边长为，则面积为，大正方形看作四个四边形的面积之和，则面积为：，
∴关于m，n的等式为.
（2）∵若，∴，，
解得：负值舍去，
∴，
∴；
∵若，
∴，
∵，
∴
．
【分析】本题重点考查了完全平方公式的几何意义，面积法以及数形结合思想. 通过面积法推导完全平方公式，并利用公式进行相关计算与几何证明.
（1）用整体边长表示面积，用分割后四部分面积之和表示面积，从而得到；
（2）利用已知面积求及，根据，得，，可求出m、n的值，然后再求出即可；根据，得出，根据，利用完全平方公式变形求出值即可；
(3)通过面积差建立方程，求解m的值根据
得，求出m的值即可．
（1）解：大正方形的边长为，则面积为，
大正方形看作四个四边形的面积之和，则面积为：，
∴关于m，n的等式为；
（2）解：∵若，
∴，，
解得：负值舍去，
∴，
∴；
∵若，
∴，
∵，
∴
．
（3）解：∵，
，
∴
，
∵与的面积之差为18，
∴，
∴，
解得：，负值舍去．
19．【答案】．
【知识点】幂的乘方运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】
答案．
【分析】
本题需要逆用幂的运算法则，将目标式变形为同底数幂除法与幂的乘方的组合形式，即，再将已知=6、=2代入计算即可得到结果.
20．【答案】2
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：，由于展开式中要求不含项，
因此令，解得：。
故填：2。
【分析】本题主要考查多项式乘法运算。解题时首先运用多项式乘法法则将给定表达式展开，得到。根据题意要求展开式中不含二次项，即令二次项系数为零，从而求出参数m的值。掌握多项式乘法法则和项系数的概念是解决此类问题的关键。
21．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；余角；补角
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，
由题意得，，
解得，
∴这个角的度数为，
故答案为：．
【分析】
本题聚焦余角、补角的定义及一元一次方程的应用，先设未知角的度数为，根据余角（和为）、补角（和为）的定义分别表示出这个角的余角度数为，补角度数为；再依据“余角是补角的”这一等量关系列方程，解方程即可得到角的度数.
22．【答案】13
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：已知方程，且。
由方程可得：
，
。
将目标表达式 进行变形：
；
最终结果为：13．
【分析】本题主要考查代数式求值，关键在于整体代入法的运用。由方程 可得：，。将目标表达式 拆分为：，最终转化为，通过整体代入得到结果13。
23．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴
展开式中项为：，
根据题意得：，即，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】
本题核心考察杨辉三角的应用、多项式乘法法则、降次法求代数式的值. 先利用杨辉三角形或二项式定理展开，再将其与相乘，精准定位项的系数；令该系数为0，得到关于a的方程，最后通过降次法(用低次幂表示高次幂）代入目标代数式求值.
24．【答案】（1）解：设每个A品牌足球的进价是x元，则每个B品牌足球的进价是元，根据题意，得，
解方程，得，
∴．
答：每个A品牌足球的进价是80元，每个B品牌足球的进价是100元；
（2）解：设信息二中B品牌足球实际销售时打y折，根据题意，得
解方程，得．
答：信息二中B品牌足球实际销售时打八五折；
（3）解：∵无论购进多少个A品牌足球，最终总的获利相同，∴A，B两种品牌足球的销售利润相同，
∴，
解方程，得．
答：a的值为3．
【知识点】解一元一次方程；一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次方程的实际应用-盈亏问题；解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】
（1）设每个A品牌足球的进价是x元，则每个B品牌足球的进价是元，利用总价=单价×数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即每个A品牌足球的进价），再将其代入中，即可求出每个B品牌足球的进价；
（2）设信息二中B品牌足球实际销售时打y折，利用总利润=每个A品牌足球的销售利润×销售数量+每个B品牌足球的销售利润×销售数量，可列出关于y的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）由无论购进多少个A品牌足球，最终总的获利相同，可得出A，B两种品牌足球的销售利润相同，进而可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出答案．
（1）解：设每个A品牌足球的进价是x元，则每个B品牌足球的进价是元，
根据题意，得，
解方程，得，
∴．
答：每个A品牌足球的进价是80元，每个B品牌足球的进价是100元；
（2）解：设信息二中B品牌足球实际销售时打y折，
根据题意，得，
解方程，得．
答：信息二中B品牌足球实际销售时打八五折；
（3）解：∵无论购进多少个A品牌足球，最终总的获利相同，
∴A，B两种品牌足球的销售利润相同，
∴，
解方程，得．
答：a的值为3．
25．【答案】（1）.
（2）由题意得，
，
当，时，多项式有最小值5.
（3）由题意得，
，
，
，，
，，
，
是等边三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】
解：（1）∵，∴
【分析】本题主要考查完全平方公司、完全平方式的非负性，考察配方法的应用，利用完全平方式的非负性解决最值问题与三角形形状判断问题．
（1）需将，利用完全平方公式展开求解；
（2）需将多项式配方为，结合非负性求最小值；
（3）需将等式配方为，利用非负性判断三角形形状．
26．【答案】（1）证明：∵，，∴．
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解析】本题主要考察余角、补角的概念理解，角平分线的定义以及角度计算。解题的核心思路是通过合理设定变量，建立代数关系式来表达各角度之间的关系。
设∠AOC的度数为x，根据角平分线的性质可得：
（角平分线将角分成两个相等的部分）
利用角的和差关系可以得到：
（根据余角定义）
（根据补角关系）
通过以上建立的代数表达式，即可完成问题的求解。
（1）证明：∵，，
∴．
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，则，，，
∴，
∵，
∴．
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