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浙江省绍兴市初中毕业生学业水平调测2025年中考三模数学练习卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·绍兴模拟）在有理数，，，中，最大的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：，
∴
∴最大，
故选：B．
【分析】根据负数比较大小，绝对值大的反而小解答即可．
2．（2025·绍兴模拟）榫卯是中国传统建筑的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”，通过榫和卯的精密配合，实现了构造的稳固性和可持续性，展现了人与自然的和谐关系．如下图是其中一种卯，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：其俯视图是
故选：D．
【分析】根据从上面看得到的图形，即可得到答案．
3．（2025·绍兴模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，运算错误，该选项不符合题意；
B、，运算错误，该选项不符合题意；
C、，运算错误，该选项不符合题意；
D、运算正确，该选项符合题意．
故选：D.
【分析】利用完全平方公式、积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法的运算法则逐项判断解答即可．
4．（2025·绍兴模拟）如图，CD是的中线，E，F分别是AC，DC的中点，，则BD的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴AD=2EF=2，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD=AD=2，
故选：B．
【分析】根据三角形的中位线性质得到AD=2EF=2，再根据直角三角形斜边上中线的性质解答即可．
5．（2025·绍兴模拟）一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得从袋中任意摸出一个球是白球的概率是：.
故答案为：.
【分析】从袋中随机的摸出一个小球，共有9种等可能的结果数，其中能摸到白色小球的结果数共有5种，从而即可根据概率公式算出答案.
6．（2025·绍兴模拟） 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设木长尺，绳子长y尺，根据题意，得：
.
故答案为：A。
【分析】 设木长尺，绳子长y尺，根据 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ，可得方程y-x=4.5；根据 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可得方程x-0.5y=1，联立即可得出方程组。
7．（2025·绍兴模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②SABCD＝AB AC；③OB＝AB：④OE＝BC．其中成立的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB＝BC，
，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S ABCD=AB AC，故②正确，
，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴AE=CE，
∴BE=CE，
∵OA=OC，
，故④正确．
故选B．
【分析】根据平行四边形的性质得到△ABE是等边三角形，然后根据等边对等角和三角形的外角得到①∠CAD=30°；即可得到AC⊥AB证明②S ABCD=AB AC；再根据三角形的中位线定理可得④OE＝BC，无法判断③ OB＝AB 解答即可．
8．（2025·绍兴模拟）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（　　）
A．1 B． C．3 D．2
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵将四边形沿折叠，点恰好落在边上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得．
故选D．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，利用折叠的性质即可得到，，即可得到，根据含30度角的直角三角形的性质得到，列方程求出x的值解答即可．
9．（2025·绍兴模拟）如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
②∵二次函数的图象经过点，
∴，
∵二次函数的图象经过点，，
∴对称轴为直线，
∴，，故②正确；
③∴当时，图象有最高点，即函数最大值为，
∴当时，，
∴，故③错误；
④∵对称轴为直线，开口向下，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y随x的增大而先增大后减小．故④错误；
∴共1个正确.
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的图象及性质逐项判断即可．
10．（2025·绍兴模拟）如图所示，为的直径，，交于点，交于点，，给出以下结论：①；②；③；④的长度是的2倍．其中正确的是（　　）．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
，，
，，
∵是直径，
∴．
∴，故①正确，
且，
∴，故②正确，
∵，，
∴，，故③错误；
∵，，
∴，，
∴，故④正确；
故正确的有①②④．
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，三角形的内角和直径所对的圆周角是直角等知识，逐项分析即可．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·绍兴模拟）因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】∵
=-a
=
故答案为： ．
【分析】因式分解，有公因式先提取公因式，再利用公式分解。
12．（2025·绍兴模拟）不等式 的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】根据不等式的性质，不等式两边同时除以2，得
，
即 ，
故答案为： .
【分析】两边同时除以2即可得答案.
13．（2025·绍兴模拟）已知点在第四象限，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第四象限，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据第四象限的点的坐标特征得到，求出m的取值范围即可．
14．（2025·绍兴模拟）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为　 　．
【答案】
【知识点】垂线的概念；矩形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形ACBD为矩形，
∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r 6）2＋82，
解得：，
即的半径为．
故答案为：．
【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，即可得到四边形ACBD是矩形，在Rt△AOD中，根据勾股定理得到，求出圆O的半径解答即可．
15．（2025·绍兴模拟）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形，B点坐标为，A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为，连结，点E、点F分别从A点、B点出发，在上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作交x轴于H点，交y轴于G点，连结、，在运动过程中，的最大面积为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵矩形，B点坐标为，
，
，
设直线的解析式为，
把D点坐标为代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
∴的最大面积为，
故答案为：．
【分析】利用待定系数法求出的解析式，再设直线的解析式为，即可得到，进而得到哦啊，根据可得，根据二次函数的顶点坐标求出最值解答即可．
16．（2025·绍兴模拟）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于的取法种数k进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若时，则k的值为　 　；若，则k的值为　 　．
【答案】12；187
【知识点】探索数与式的规律；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵当时，即差值不大于1时，有，共1种取法，则，
当时，即差值不大于1.5时，有和，共2种取法，则，
当时，即差值不大于2时，有，，，，，共5种取法，则，
当时，即差值不大于2.5时，~有种：，，~有2种：，，~有2种：，，~有1种：，共7种取法，则，
当时，即差值不大于3时，~有种：，，，~有种：，，，~有种：，，，
~有种：，，~有种：，共9种取法，则，
......
∴当时，即差值不大于11.5时，~有种，~有种，…，~有种，~有种，~有种，…，~有种，
共种取法，
故答案为：12，187．
【分析】先根据前几个值所对应值，找到变化规律即可.
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·绍兴模拟）计算：．
【答案】原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，计算乘方、绝对值、负整数指数幂的运算，在合并解答即可．
18．（2025·绍兴模拟）为落实“双减”工作，推行“五育并举”，某学校计划成立五个体育兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．足球，B．引体向上，C．篮球，D．排球，E．羽毛球．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角的度数为_______．
（2）若该校有4800名学生，估计该校参加C组（篮球）的学生人数；
（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人去市内进行比赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）解：①由题意知，被调查的总人数为（人），
所以小组人数为（人），
∴补全图形如下：
②
（2）解：（名），
∴该校参加组（篮球）的学生大概有1120名.
（3）解：列表格如下：
　 男 男 女 女
男 　 (男，男) （女，男） （女，男）
男 (男，男) 　 （女，男） （女，男）
女 （女，男） （女，男） 　 （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） 　
由表格可知，共有12种等可能的结果，而其中一名男生和一名女生的结果数为8，
∴恰好抽到一名男生一名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）②扇形统计图中的圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】（1）①先用B小组人数÷所对应的百分比可得被调查的总人数，再用总人数减其他小组人数之和即可求出D小组人数，从而补全图形；
②用乘以小组人数占被调查人数的比例即可；
（2）用总人数乘以样本中小组人数占被调查人数的比例即可估算出参加C组（篮球）的学生人数；
（3）列表格列举出所有等可能结果，再从树状图中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案．
（1）解：由题意知，被调查的总人数为（人），
所以小组人数为（人），
补全图形如下：
②扇形统计图中的圆心角的度数为，
故答案为：；
（2）（名），
答：估计该校参加组（篮球）的学生有1120名；
（3）画树状图为：
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为．
19．（2025·绍兴模拟）如图，矩形的对角线相交于点O，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：
四边形是平行四边形
四边形是矩形
四边形是菱形；
（2）解：如图：连接OE，于CD相交于点M，
，
为等边三角形，
，
平行四边形为菱形，
平分和
平行四边形为菱形
由勾股定理得
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据一组邻边相等的平行四边形的菱形证明即可；
（2）连接OE，与CD相交于点M，即可得到△DOC为等边三角形，再根据菱形的性质得到CD=20，根据勾股定理求出，利用求出菱形的面积即可.
（1）证明：
四边形是平行四边形
四边形是矩形
四边形是菱形；
（2）如图：连接OE，于CD相交于点M，
为等边三角形
平行四边形为菱形
平分和
平行四边形为菱形
由勾股定理得
．
20．（2025·绍兴模拟）图1，图2，图3均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，画出满足要求的一种情况即可．
（1）在图1中找一个格点P，连结，使．
（2）在图2中找两个格点P，Q，连结，使直线．
（3）在图3中找两个格点P，Q，连结交线段于点C，使．
【答案】（1）解：如图1，和即为所求格点；
（2）解：如图2，即为所求；
（3）解：如图3，即为所求.
【知识点】作图﹣相似变换；等腰直角三角形；尺规作图-垂线；8字型相似模型
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形两内角等于45°可知，以为斜边作等腰直角三角形，则直角顶点即为所求的格点P；
（2）AB是2×3的网格对角线，结合垂直的概念，在网格中找3×2的网格对角线PQ即可，答案不唯一；
（3）根据相似三角形的性质，利用“8字型相似“模型，取格点P，Q，使，且，则，得，于是，故P，Q即为所求．
21．（2025·绍兴模拟）血乳酸浓度是衡量运动强度的重要指标，最大血乳酸浓度指人体在极限运动时血液中乳酸含量的峰值．某校运动科学小组以“探究年龄与最大血乳酸浓度的关系”为主题开展实验研究．小组通过运动生理实验室测得不同年龄的最大血乳酸浓度数据如下，发现最大血乳酸浓度L（）与年龄（周岁）符合一次函数关系：
年龄x/周岁 15 20 25 30 35 40 45
最大血乳酸浓度/（） 12.0 11.5 11.0 10.5 10.0 9.5 9.0
（1）求关于的函数关系式；
（2）已知不同运动目标对应的血乳酸浓度范围如表所示，28岁的小刘计划进行提升无氧耐力的训练，他的运动血乳酸浓度应控制在什么范围？（结果保留一位小数）
运动目标 血乳酸浓度占最大浓度的百分比
有氧耐力训练
无氧耐力训练
【答案】（1）解：设关于的函数关系式为（、为常数，且），
∵当时，，时，，
∴ ，
∴，
关于的函数关系式为．
（2）解：当时，．
，
，
小刘的运动血乳酸浓度应控制在这个范围内．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设关于的函数关系式为（、为常数，且），将，，，代入即可；
（2）将代入，求得，然后根据无氧耐力训练的血乳酸浓度占最大浓度的百分比计算即可．
（1）解：设关于的函数关系式为（、为常数，且）．
将，和，分别代入中，
得 ，解得，
关于的函数关系式为．
（2）解：当时，．
28岁的小刘最大血乳酸浓度为是．
，
，
小刘的运动血乳酸浓度应控制在这个范围内．
22．（2025·绍兴模拟）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
实践探究：（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
问题解决：（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
【答案】解：（1）四边形是矩形，，
将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，，
，
，
，
四边形是矩形，
∴，
，
；
（2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，
又矩形中，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
设，
平分，，，
，，
设，则，
，
，
解得，
，
．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由折叠的性质知，，则由已知知在中有，则，可求出答案；
（2）由折叠知是直角，则可证，由相似的性质可得DE的长，最后再应用勾股定理即可；
（3）由于角平分线上的点到角两边距离相等，因此可过点作于点，则NG等于NA，且可证明，由于NF等于AN+DF，即NF等于AD的一半，也等于BF的一半，则由相似比可得AN等于AB的一半，FG是AF的一半，此时可设，，则，在直角三角形ABF中应用勾股定理可得，则AB与BC的数量关系可得．
23．（2025·绍兴模拟）已知一次函数（为常数，且）．
（1）若此一次函数的图象经过，两点，求的值．
（2）若，点在该一次函数图象上，求证：．
【答案】（1）解：把，代入函数表达式得，
，
得，；

（2）证明：∵点在该一次函数图象上，∴③，
∵，
∴④，
得，．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；不等式的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（）运用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（）把点的坐标代入解析式得，再根据，利用解题即可.
（1）解：把，代入函数表达式得，
，
得，；
（2）证明：∵点在该一次函数图象上，
∴③，
∵，
∴④，
得，．
24．（2025·绍兴模拟）如图，四边形是的内接四边形，．
（1） ；
（2）如图2，若半径．
①求证：；
②若，求的值．
（3）如图3，过作于点，交于点，的延长线恰好经过点F，若，，求的长．
【答案】（1）
（2）①证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②连接，连接延长交于点，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（3）解：过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同（2）可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，
在和中，，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，再根据，即可得出答案；
（2）①连接，由垂直的定义可得，再说明，进而可推导出，即可得证；
②连接，连接延长交于点，由AA说明，则，设，则，，分别求出，，即可得；
（3）过点作交于点，先证明，可得，再证明得，从而证明，设，，则，，由方程组，求出，求出，，，再求，，，可得，根据，求得，即可求．
（1）连接，如图：
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：①证明：连接，如图：
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②连接，连接延长交于点，如图：
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
在中，
，
∵，
∴，
在中，
，
∴；
（3）解：过点作交于点，如图：
，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同（2）可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，
在和中，，
解得：，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
1 / 1浙江省绍兴市初中毕业生学业水平调测2025年中考三模数学练习卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·绍兴模拟）在有理数，，，中，最大的数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·绍兴模拟）榫卯是中国传统建筑的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”，通过榫和卯的精密配合，实现了构造的稳固性和可持续性，展现了人与自然的和谐关系．如下图是其中一种卯，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·绍兴模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·绍兴模拟）如图，CD是的中线，E，F分别是AC，DC的中点，，则BD的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025·绍兴模拟）一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·绍兴模拟） 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·绍兴模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②SABCD＝AB AC；③OB＝AB：④OE＝BC．其中成立的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．（2025·绍兴模拟）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（　　）
A．1 B． C．3 D．2
9．（2025·绍兴模拟）如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025·绍兴模拟）如图所示，为的直径，，交于点，交于点，，给出以下结论：①；②；③；④的长度是的2倍．其中正确的是（　　）．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·绍兴模拟）因式分解： 　 　．
12．（2025·绍兴模拟）不等式 的解集是　 　．
13．（2025·绍兴模拟）已知点在第四象限，则的取值范围是　 　．
14．（2025·绍兴模拟）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为　 　．
15．（2025·绍兴模拟）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形，B点坐标为，A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为，连结，点E、点F分别从A点、B点出发，在上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作交x轴于H点，交y轴于G点，连结、，在运动过程中，的最大面积为　 　．
16．（2025·绍兴模拟）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于的取法种数k进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若时，则k的值为　 　；若，则k的值为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·绍兴模拟）计算：．
18．（2025·绍兴模拟）为落实“双减”工作，推行“五育并举”，某学校计划成立五个体育兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．足球，B．引体向上，C．篮球，D．排球，E．羽毛球．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角的度数为_______．
（2）若该校有4800名学生，估计该校参加C组（篮球）的学生人数；
（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人去市内进行比赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
19．（2025·绍兴模拟）如图，矩形的对角线相交于点O，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
20．（2025·绍兴模拟）图1，图2，图3均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，画出满足要求的一种情况即可．
（1）在图1中找一个格点P，连结，使．
（2）在图2中找两个格点P，Q，连结，使直线．
（3）在图3中找两个格点P，Q，连结交线段于点C，使．
21．（2025·绍兴模拟）血乳酸浓度是衡量运动强度的重要指标，最大血乳酸浓度指人体在极限运动时血液中乳酸含量的峰值．某校运动科学小组以“探究年龄与最大血乳酸浓度的关系”为主题开展实验研究．小组通过运动生理实验室测得不同年龄的最大血乳酸浓度数据如下，发现最大血乳酸浓度L（）与年龄（周岁）符合一次函数关系：
年龄x/周岁 15 20 25 30 35 40 45
最大血乳酸浓度/（） 12.0 11.5 11.0 10.5 10.0 9.5 9.0
（1）求关于的函数关系式；
（2）已知不同运动目标对应的血乳酸浓度范围如表所示，28岁的小刘计划进行提升无氧耐力的训练，他的运动血乳酸浓度应控制在什么范围？（结果保留一位小数）
运动目标 血乳酸浓度占最大浓度的百分比
有氧耐力训练
无氧耐力训练
22．（2025·绍兴模拟）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
实践探究：（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
问题解决：（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
23．（2025·绍兴模拟）已知一次函数（为常数，且）．
（1）若此一次函数的图象经过，两点，求的值．
（2）若，点在该一次函数图象上，求证：．
24．（2025·绍兴模拟）如图，四边形是的内接四边形，．
（1） ；
（2）如图2，若半径．
①求证：；
②若，求的值．
（3）如图3，过作于点，交于点，的延长线恰好经过点F，若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：，
∴
∴最大，
故选：B．
【分析】根据负数比较大小，绝对值大的反而小解答即可．
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：其俯视图是
故选：D．
【分析】根据从上面看得到的图形，即可得到答案．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，运算错误，该选项不符合题意；
B、，运算错误，该选项不符合题意；
C、，运算错误，该选项不符合题意；
D、运算正确，该选项符合题意．
故选：D.
【分析】利用完全平方公式、积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法的运算法则逐项判断解答即可．
4．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴AD=2EF=2，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD=AD=2，
故选：B．
【分析】根据三角形的中位线性质得到AD=2EF=2，再根据直角三角形斜边上中线的性质解答即可．
5．【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得从袋中任意摸出一个球是白球的概率是：.
故答案为：.
【分析】从袋中随机的摸出一个小球，共有9种等可能的结果数，其中能摸到白色小球的结果数共有5种，从而即可根据概率公式算出答案.
6．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设木长尺，绳子长y尺，根据题意，得：
.
故答案为：A。
【分析】 设木长尺，绳子长y尺，根据 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ，可得方程y-x=4.5；根据 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可得方程x-0.5y=1，联立即可得出方程组。
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB＝BC，
，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S ABCD=AB AC，故②正确，
，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴AE=CE，
∴BE=CE，
∵OA=OC，
，故④正确．
故选B．
【分析】根据平行四边形的性质得到△ABE是等边三角形，然后根据等边对等角和三角形的外角得到①∠CAD=30°；即可得到AC⊥AB证明②S ABCD=AB AC；再根据三角形的中位线定理可得④OE＝BC，无法判断③ OB＝AB 解答即可．
8．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵将四边形沿折叠，点恰好落在边上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得．
故选D．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，利用折叠的性质即可得到，，即可得到，根据含30度角的直角三角形的性质得到，列方程求出x的值解答即可．
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
②∵二次函数的图象经过点，
∴，
∵二次函数的图象经过点，，
∴对称轴为直线，
∴，，故②正确；
③∴当时，图象有最高点，即函数最大值为，
∴当时，，
∴，故③错误；
④∵对称轴为直线，开口向下，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y随x的增大而先增大后减小．故④错误；
∴共1个正确.
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的图象及性质逐项判断即可．
10．【答案】B
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，
，，
，，
∵是直径，
∴．
∴，故①正确，
且，
∴，故②正确，
∵，，
∴，，故③错误；
∵，，
∴，，
∴，故④正确；
故正确的有①②④．
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，三角形的内角和直径所对的圆周角是直角等知识，逐项分析即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】∵
=-a
=
故答案为： ．
【分析】因式分解，有公因式先提取公因式，再利用公式分解。
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】根据不等式的性质，不等式两边同时除以2，得
，
即 ，
故答案为： .
【分析】两边同时除以2即可得答案.
13．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第四象限，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据第四象限的点的坐标特征得到，求出m的取值范围即可．
14．【答案】
【知识点】垂线的概念；矩形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形ACBD为矩形，
∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r 6）2＋82，
解得：，
即的半径为．
故答案为：．
【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，即可得到四边形ACBD是矩形，在Rt△AOD中，根据勾股定理得到，求出圆O的半径解答即可．
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵矩形，B点坐标为，
，
，
设直线的解析式为，
把D点坐标为代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
∴的最大面积为，
故答案为：．
【分析】利用待定系数法求出的解析式，再设直线的解析式为，即可得到，进而得到哦啊，根据可得，根据二次函数的顶点坐标求出最值解答即可．
16．【答案】12；187
【知识点】探索数与式的规律；实数的绝对值
【解析】【解答】解：∵当时，即差值不大于1时，有，共1种取法，则，
当时，即差值不大于1.5时，有和，共2种取法，则，
当时，即差值不大于2时，有，，，，，共5种取法，则，
当时，即差值不大于2.5时，~有种：，，~有2种：，，~有2种：，，~有1种：，共7种取法，则，
当时，即差值不大于3时，~有种：，，，~有种：，，，~有种：，，，
~有种：，，~有种：，共9种取法，则，
......
∴当时，即差值不大于11.5时，~有种，~有种，…，~有种，~有种，~有种，…，~有种，
共种取法，
故答案为：12，187．
【分析】先根据前几个值所对应值，找到变化规律即可.
17．【答案】原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，计算乘方、绝对值、负整数指数幂的运算，在合并解答即可．
18．【答案】（1）解：①由题意知，被调查的总人数为（人），
所以小组人数为（人），
∴补全图形如下：
②
（2）解：（名），
∴该校参加组（篮球）的学生大概有1120名.
（3）解：列表格如下：
　 男 男 女 女
男 　 (男，男) （女，男） （女，男）
男 (男，男) 　 （女，男） （女，男）
女 （女，男） （女，男） 　 （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） 　
由表格可知，共有12种等可能的结果，而其中一名男生和一名女生的结果数为8，
∴恰好抽到一名男生一名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）②扇形统计图中的圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】（1）①先用B小组人数÷所对应的百分比可得被调查的总人数，再用总人数减其他小组人数之和即可求出D小组人数，从而补全图形；
②用乘以小组人数占被调查人数的比例即可；
（2）用总人数乘以样本中小组人数占被调查人数的比例即可估算出参加C组（篮球）的学生人数；
（3）列表格列举出所有等可能结果，再从树状图中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案．
（1）解：由题意知，被调查的总人数为（人），
所以小组人数为（人），
补全图形如下：
②扇形统计图中的圆心角的度数为，
故答案为：；
（2）（名），
答：估计该校参加组（篮球）的学生有1120名；
（3）画树状图为：
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为．
19．【答案】（1）证明：
四边形是平行四边形
四边形是矩形
四边形是菱形；
（2）解：如图：连接OE，于CD相交于点M，
，
为等边三角形，
，
平行四边形为菱形，
平分和
平行四边形为菱形
由勾股定理得
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据一组邻边相等的平行四边形的菱形证明即可；
（2）连接OE，与CD相交于点M，即可得到△DOC为等边三角形，再根据菱形的性质得到CD=20，根据勾股定理求出，利用求出菱形的面积即可.
（1）证明：
四边形是平行四边形
四边形是矩形
四边形是菱形；
（2）如图：连接OE，于CD相交于点M，
为等边三角形
平行四边形为菱形
平分和
平行四边形为菱形
由勾股定理得
．
20．【答案】（1）解：如图1，和即为所求格点；
（2）解：如图2，即为所求；
（3）解：如图3，即为所求.
【知识点】作图﹣相似变换；等腰直角三角形；尺规作图-垂线；8字型相似模型
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形两内角等于45°可知，以为斜边作等腰直角三角形，则直角顶点即为所求的格点P；
（2）AB是2×3的网格对角线，结合垂直的概念，在网格中找3×2的网格对角线PQ即可，答案不唯一；
（3）根据相似三角形的性质，利用“8字型相似“模型，取格点P，Q，使，且，则，得，于是，故P，Q即为所求．
21．【答案】（1）解：设关于的函数关系式为（、为常数，且），
∵当时，，时，，
∴ ，
∴，
关于的函数关系式为．
（2）解：当时，．
，
，
小刘的运动血乳酸浓度应控制在这个范围内．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设关于的函数关系式为（、为常数，且），将，，，代入即可；
（2）将代入，求得，然后根据无氧耐力训练的血乳酸浓度占最大浓度的百分比计算即可．
（1）解：设关于的函数关系式为（、为常数，且）．
将，和，分别代入中，
得 ，解得，
关于的函数关系式为．
（2）解：当时，．
28岁的小刘最大血乳酸浓度为是．
，
，
小刘的运动血乳酸浓度应控制在这个范围内．
22．【答案】解：（1）四边形是矩形，，
将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，，
，
，
，
四边形是矩形，
∴，
，
；
（2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，
又矩形中，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
设，
平分，，，
，，
设，则，
，
，
解得，
，
．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由折叠的性质知，，则由已知知在中有，则，可求出答案；
（2）由折叠知是直角，则可证，由相似的性质可得DE的长，最后再应用勾股定理即可；
（3）由于角平分线上的点到角两边距离相等，因此可过点作于点，则NG等于NA，且可证明，由于NF等于AN+DF，即NF等于AD的一半，也等于BF的一半，则由相似比可得AN等于AB的一半，FG是AF的一半，此时可设，，则，在直角三角形ABF中应用勾股定理可得，则AB与BC的数量关系可得．
23．【答案】（1）解：把，代入函数表达式得，
，
得，；

（2）证明：∵点在该一次函数图象上，∴③，
∵，
∴④，
得，．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；不等式的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（）运用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（）把点的坐标代入解析式得，再根据，利用解题即可.
（1）解：把，代入函数表达式得，
，
得，；
（2）证明：∵点在该一次函数图象上，
∴③，
∵，
∴④，
得，．
24．【答案】（1）
（2）①证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②连接，连接延长交于点，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（3）解：过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同（2）可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，
在和中，，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，再根据，即可得出答案；
（2）①连接，由垂直的定义可得，再说明，进而可推导出，即可得证；
②连接，连接延长交于点，由AA说明，则，设，则，，分别求出，，即可得；
（3）过点作交于点，先证明，可得，再证明得，从而证明，设，，则，，由方程组，求出，求出，，，再求，，，可得，根据，求得，即可求．
（1）连接，如图：
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：①证明：连接，如图：
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②连接，连接延长交于点，如图：
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
在中，
，
∵，
∴，
在中，
，
∴；
（3）解：过点作交于点，如图：
，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同（2）可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，
在和中，，
解得：，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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