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云南省昆明市嵩明县2024-2025学年八年级上期末数学试卷
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八上·嵩明期末）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项进行判断即可得出答案。
2．（2025八上·嵩明期末）下列长度的三根木条首尾相连，能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．8，7，15 C．2，2，3 D．5，5，11
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、8+7=15，不能组成三角形；
C、2+2＞3，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边的关系逐项判断即可。
3．（2025八上·嵩明期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（　　）
A．三角形的不稳定性 B．三角形的稳定性
C．四边形的不稳定性 D．四边形的稳定性
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：跨海大桥上的结构有许多三角形，这样可以使得大桥更加牢固，体现了三角形的稳定性．
故答案为：B
【分析】本题结合图中信息以及三角形的特征可知，图中大桥根据三角形的稳定性原理，从而得到答案．
4．（2025八上·嵩明期末）华为 手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 。
故答案为：D。
【分析】用科学记数法表示一个绝对值非常小的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0。
5．（2025八上·嵩明期末）下列运算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加可判断A；根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘可判断B；根据积的乘方法则：积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断C；根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减可判断D.
6．（2025八上·嵩明期末）要使分式有意义，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义，
．
解得：．
故答案为：D．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
7．（2025八上·嵩明期末）根据图中的数据，可得的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故选：B．
【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键.
8．（2025八上·嵩明期末）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵、，
在和中，
，
∴．
故答案为：B．
【分析】本题结合条件可知、，结合图形中的对顶角相等得出，最后根据“”即可证明．
9．（2025八上·嵩明期末）已知等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角等于（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为时，则它的两个底角度数都；
当等腰三角形的底角为时，则它的顶角度数；
综上所述：这个等腰三角形的顶角等于或，
故选：D
【分析】有两种情况（顶角是和底角是时），用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数.
10．（2025八上·嵩明期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点若，，则的值为（　　）
A．24 B．36 C．48 D．60
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点H，
由作图可知，是的角平分线，
又，
，
的值为，
故选：A．
【分析】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出AB边上的高是解题的关键.
11．（2025八上·嵩明期末）如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，若的周长为27，则的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于，
∴，
∵的周长为27，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得，然后由三角形周长计算公式推出，代入的值即可得到答案.
12．（2025八上·嵩明期末）如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A：根据AA可证得，所以A不符合题意；
B：根据AA可证得，所以A不符合题意；
C：由条件可得出，且∠C=∠C，满足的是两边对应成比例，但是相等的角不是夹角，故而不能判定相似，所以C符合题意；
D：由条件可得：，且∠C=∠C，满足SAS，故而可得出，所以D不符合题意。
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定逐项进行判断，即可得出答案。
13．（2025八上·嵩明期末）随着快递业务量的增加，某快递公司为快递物品更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意得，
故答案为：D．
【分析】根据题意求出即可作答。
14．（2025八上·嵩明期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：点A的坐标是，以为边在右侧作等边，过点作x轴的垂线，垂足为点，
，，
，点纵坐标是 ，
以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，
，，
，
点纵坐标是 ，即，
以为边在右侧作等边三角形，
同理，得点纵坐标是 ，
按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即，
故选：．
【分析】利用等边三角形的性质，通过角度关系证明线段平行，进而得出相关线段相等，找出点纵坐标的变化规律来求解.
15．（2025八上·嵩明期末）已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确
∵，
∴，
∴．故③正确，
∵．，
∴，
∴，故④正确，
若，则，，与题干条件不符，
∴无法判断，故②错误，
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的性质可得，，从而利用“边角边”证明，由全等三角形的对应角相等得，然后根据三角形外角性质、等量代换及角的构成可推出，从而可判断①；由直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，由函30°角直角三角形的性质得BP=2PQ，据此可判断③；根据等量减去等量差相等得出BD=CE，然后根据线段和差、等量代换可推出AE+BD=AB，据此可判断④；利用反证法可判断②不成立.
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分．
16．（2025八上·嵩明期末）因式分解：2a2﹣8=　 　．
【答案】2（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2a2﹣8=2（a2﹣4）=2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
17．（2025八上·嵩明期末）如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是正　 　边形．
【答案】5
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：这个正多边形的边数：
故答案为：5
【分析】正多边形的外角和是，用外角和除以每个外角的度数得到边数.
18．（2025八上·嵩明期末）如图，在中，点D，E分别在，边上，，若，则　 　．
【答案】
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为：
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
19．（2025八上·嵩明期末）如图，在中，，，为的中点．点在线段上以的速度从点向点运动，同时，点在线段上从点向点运动．若点的运动速度为，则当与全等时的值为　 　．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的性质；线段的中点；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：设运动时间是，
为的中点，，
，
当与全等时有两种情况，
①，即，
解得，
，
，
解得；
②，
，
，
即运动时间，
，
，
解得，
故答案为：或．
【分析】本题首先依据中点定义以及等腰三角形性质，得出；而与全等，则需要分时和两种情况，分别列式计算求v即可。
三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20．（2025八上·嵩明期末）如图，点、在上，，，．求证：．
【答案】证明：在和中，
，
∴，
∵．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】结合条件利用SAS证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．
21．（2025八上·嵩明期末）化简：．
【答案】解：原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】根据平方差公式计算得出，完全平方公式计算得出，整式的除法计算得出，最后进一步合并同类型进行计算即可求出答案．
22．（2025八上·嵩明期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）在图中作出关于x轴的对称图形；
（2）请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标______；
（3）在y轴上找一点P，使得的值最小保留作图痕迹．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）
（3）解：如上图，连接交y轴于点P，连接，
此时，为最小值，
则点P即为所求．
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（2）解：点关于y轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
【分析】（1）根据轴对称性质，关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，找到对应的点连接即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等即可；
（3）根据轴对称的性质，作点C关于y轴对称的点，连接交y轴于点P，此时PA+PC=PA+=，根据两点之间线段最短，为最小值，所以点P即为所求.
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：点关于y轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：如图，连接交y轴于点P，连接，
此时，为最小值，
则点P即为所求．
23．（2025八上·嵩明期末）先化简，再求值： ，其中x=3．
【答案】解：原式=
= ，
当x=3时，原式= =4
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
24．（2025八上·嵩明期末）如图，是的高，、是的角平分线，且．
（1）求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：平分，，
，
是的高，即，
。
（2）解：=70°，，
，
，
平分，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的外角和
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，最后据此根据三角形内角和定理列式计算即可；
（2）结合条件，利用三角形外角的性质求出，再由三角形内角和定理得到，接着由角平分线的定义得到，最后角度最差即可得答案．
（1）解：平分，，
，
是的高，
，
；
（2）解：，，
，
，
平分，
，
．
25．（2025八上·嵩明期末）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？
【答案】解：设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解且符合实际意义，
即型汽车的进价为每辆10万元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】结合条件“ 每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍 ”，此时可以假设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元， 用1500万元购进A型汽车的数量为辆；1200万元购进B型汽车的数量为辆，而“ 用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆 ”，此时即可列出分式方程，求解x后进行检验，以免产生增根。
26．（2025八上·嵩明期末）如图，将一个边长为的正方形分割成四部分边长分别为a，b的正方形、边长为a和b长方形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）请用两种方法分别表示正方形的面积用含a、b的代数式表示：
①______；②______．
由此可以验证一个重要的公式是______．
（2）若图中a，b满足，，求的值．
（3）若，求的值．
【答案】（1） ；；
（2）解：，，
，
，
；
（3）解：设，，则，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：①大正方形的边长为，
∴面积为，
故答案为：；
②拼成图中大正方形的4部分的面积和为，
故答案为：；
由①②可得；
故答案为：；
【分析】（1）需先直接用边长表示正方形面积，再通过分割后四部分面积之和表示，从而验证完全平方公式；
（2）利用完全平方公式将已知和的值代入，求出后开平方的；
（3）设，，则，根据题意可得，先求，再代入已知已知的值求出即可。
（1）解：①大正方形的边长为，
∴面积为，
故答案为：；
②拼成图中大正方形的4部分的面积和为，
故答案为：；
由①②可得；
故答案为：；
（2）解：，，
，
，
；
（3）解：设，，则，
，
．
27．（2025八上·嵩明期末）在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接
（1）若点D在线段上时如图，则 ______填“>”、“<”或“=”，______；
（2）设直线与直线的交点为
①当动点D在线段的延长线上时如图，试判断与的数量关系，并说明理由；
②当动点D在射线上时，求的值．
【答案】（1）=；30
（2）解：①理由如下：
和都是等边三角形，
，，，
，，
，
，
；
②当点D在线段上时，如图1，
和都是等边三角形，
，，，
，
，
∴，
是等边三角形，，线段为边上的中线，
，
，
，
，
；
当点D在线段的延长线上时，如图2，
同理可得，
，
，
，
；
综上所述，的度数是或
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（1）解：是等边三角形，
，，
线段为边上的中线，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
故答案为：=；30；
【分析】（1）由等边三角形性质得AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，由角的构成及等量减去等量差相等推出∠ACD=∠ECB，从而用“SAS”证△ACD≌△BCE，由全等三角形的对应边相等得AD=BE；根据等腰三角形的三线合一可得∠CAM=∠BAC=30°；
（2）①AD=BE，理由如下：由等边三角形性质得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由角的构成及等量加等量和相等推出∠ACD=∠BCE，从而用“SAS”证△ACD≌△BCE，由全等三角形的对应边相等得AD=BE；
②分两种情况讨论：当点D在线段上时，同（1）证△ACD≌△BCE，由全等三角形的对应角相等得∠CBE=∠CAD=30°，然后根据三角形内角和定理可求出∠AOE的度数；当点D在线段的延长线上时，同理证△ACD≌△BCE，由全等三角形的对应角相等得∠CBE=∠CAD=30°，然后根据三角形外角性质可求出∠AOE的度数.
（1）解：是等边三角形，
，，
线段为边上的中线，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
故答案为：=；；
（2）①理由如下：
和都是等边三角形，
，，，
，，
，
，
；
②当点D在线段上时，如图1，
和都是等边三角形，
，，，
，
，
，，
是等边三角形，，线段为边上的中线，
，
，
，
，
；
当点D在线段的延长线上时，如图2，
同理可得，
，
，
，
；
综上所述，的度数是
1 / 1云南省昆明市嵩明县2024-2025学年八年级上期末数学试卷
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八上·嵩明期末）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·嵩明期末）下列长度的三根木条首尾相连，能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．8，7，15 C．2，2，3 D．5，5，11
3．（2025八上·嵩明期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（　　）
A．三角形的不稳定性 B．三角形的稳定性
C．四边形的不稳定性 D．四边形的稳定性
4．（2025八上·嵩明期末）华为 手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）.
A． B． C． D．
5．（2025八上·嵩明期末）下列运算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·嵩明期末）要使分式有意义，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·嵩明期末）根据图中的数据，可得的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八上·嵩明期末）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八上·嵩明期末）已知等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角等于（　　）
A． B． C．或 D．或
10．（2025八上·嵩明期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点若，，则的值为（　　）
A．24 B．36 C．48 D．60
11．（2025八上·嵩明期末）如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，若的周长为27，则的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
12．（2025八上·嵩明期末）如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
13．（2025八上·嵩明期末）随着快递业务量的增加，某快递公司为快递物品更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意列方程为（　　）
A． B．
C． D．
14．（2025八上·嵩明期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（　　）
A． B． C． D．
15．（2025八上·嵩明期末）已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①，②，③，④，其正确的个数有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分．
16．（2025八上·嵩明期末）因式分解：2a2﹣8=　 　．
17．（2025八上·嵩明期末）如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是正　 　边形．
18．（2025八上·嵩明期末）如图，在中，点D，E分别在，边上，，若，则　 　．
19．（2025八上·嵩明期末）如图，在中，，，为的中点．点在线段上以的速度从点向点运动，同时，点在线段上从点向点运动．若点的运动速度为，则当与全等时的值为　 　．
三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20．（2025八上·嵩明期末）如图，点、在上，，，．求证：．
21．（2025八上·嵩明期末）化简：．
22．（2025八上·嵩明期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）在图中作出关于x轴的对称图形；
（2）请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标______；
（3）在y轴上找一点P，使得的值最小保留作图痕迹．
23．（2025八上·嵩明期末）先化简，再求值： ，其中x=3．
24．（2025八上·嵩明期末）如图，是的高，、是的角平分线，且．
（1）求的度数；
（2）若，求的度数．
25．（2025八上·嵩明期末）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？
26．（2025八上·嵩明期末）如图，将一个边长为的正方形分割成四部分边长分别为a，b的正方形、边长为a和b长方形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）请用两种方法分别表示正方形的面积用含a、b的代数式表示：
①______；②______．
由此可以验证一个重要的公式是______．
（2）若图中a，b满足，，求的值．
（3）若，求的值．
27．（2025八上·嵩明期末）在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接
（1）若点D在线段上时如图，则 ______填“>”、“<”或“=”，______；
（2）设直线与直线的交点为
①当动点D在线段的延长线上时如图，试判断与的数量关系，并说明理由；
②当动点D在射线上时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项进行判断即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、8+7=15，不能组成三角形；
C、2+2＞3，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边的关系逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：跨海大桥上的结构有许多三角形，这样可以使得大桥更加牢固，体现了三角形的稳定性．
故答案为：B
【分析】本题结合图中信息以及三角形的特征可知，图中大桥根据三角形的稳定性原理，从而得到答案．
4．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 。
故答案为：D。
【分析】用科学记数法表示一个绝对值非常小的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0。
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加可判断A；根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘可判断B；根据积的乘方法则：积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断C；根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减可判断D.
6．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义，
．
解得：．
故答案为：D．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故选：B．
【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵、，
在和中，
，
∴．
故答案为：B．
【分析】本题结合条件可知、，结合图形中的对顶角相等得出，最后根据“”即可证明．
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为时，则它的两个底角度数都；
当等腰三角形的底角为时，则它的顶角度数；
综上所述：这个等腰三角形的顶角等于或，
故选：D
【分析】有两种情况（顶角是和底角是时），用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数.
10．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点H，
由作图可知，是的角平分线，
又，
，
的值为，
故选：A．
【分析】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出AB边上的高是解题的关键.
11．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于，
∴，
∵的周长为27，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得，然后由三角形周长计算公式推出，代入的值即可得到答案.
12．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A：根据AA可证得，所以A不符合题意；
B：根据AA可证得，所以A不符合题意；
C：由条件可得出，且∠C=∠C，满足的是两边对应成比例，但是相等的角不是夹角，故而不能判定相似，所以C符合题意；
D：由条件可得：，且∠C=∠C，满足SAS，故而可得出，所以D不符合题意。
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定逐项进行判断，即可得出答案。
13．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意得，
故答案为：D．
【分析】根据题意求出即可作答。
14．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：点A的坐标是，以为边在右侧作等边，过点作x轴的垂线，垂足为点，
，，
，点纵坐标是 ，
以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，
，，
，
点纵坐标是 ，即，
以为边在右侧作等边三角形，
同理，得点纵坐标是 ，
按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即，
故选：．
【分析】利用等边三角形的性质，通过角度关系证明线段平行，进而得出相关线段相等，找出点纵坐标的变化规律来求解.
15．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确
∵，
∴，
∴．故③正确，
∵．，
∴，
∴，故④正确，
若，则，，与题干条件不符，
∴无法判断，故②错误，
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的性质可得，，从而利用“边角边”证明，由全等三角形的对应角相等得，然后根据三角形外角性质、等量代换及角的构成可推出，从而可判断①；由直角三角形两锐角互余求出∠PBQ=30°，由函30°角直角三角形的性质得BP=2PQ，据此可判断③；根据等量减去等量差相等得出BD=CE，然后根据线段和差、等量代换可推出AE+BD=AB，据此可判断④；利用反证法可判断②不成立.
16．【答案】2（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2a2﹣8=2（a2﹣4）=2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
17．【答案】5
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：这个正多边形的边数：
故答案为：5
【分析】正多边形的外角和是，用外角和除以每个外角的度数得到边数.
18．【答案】
【知识点】A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为：
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
19．【答案】或
【知识点】等腰三角形的性质；线段的中点；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：设运动时间是，
为的中点，，
，
当与全等时有两种情况，
①，即，
解得，
，
，
解得；
②，
，
，
即运动时间，
，
，
解得，
故答案为：或．
【分析】本题首先依据中点定义以及等腰三角形性质，得出；而与全等，则需要分时和两种情况，分别列式计算求v即可。
20．【答案】证明：在和中，
，
∴，
∵．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】结合条件利用SAS证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．
21．【答案】解：原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】根据平方差公式计算得出，完全平方公式计算得出，整式的除法计算得出，最后进一步合并同类型进行计算即可求出答案．
22．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）
（3）解：如上图，连接交y轴于点P，连接，
此时，为最小值，
则点P即为所求．
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（2）解：点关于y轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
【分析】（1）根据轴对称性质，关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，找到对应的点连接即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等即可；
（3）根据轴对称的性质，作点C关于y轴对称的点，连接交y轴于点P，此时PA+PC=PA+=，根据两点之间线段最短，为最小值，所以点P即为所求.
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：点关于y轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：如图，连接交y轴于点P，连接，
此时，为最小值，
则点P即为所求．
23．【答案】解：原式=
= ，
当x=3时，原式= =4
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
24．【答案】（1）解：平分，，
，
是的高，即，
。
（2）解：=70°，，
，
，
平分，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的外角和
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，最后据此根据三角形内角和定理列式计算即可；
（2）结合条件，利用三角形外角的性质求出，再由三角形内角和定理得到，接着由角平分线的定义得到，最后角度最差即可得答案．
（1）解：平分，，
，
是的高，
，
；
（2）解：，，
，
，
平分，
，
．
25．【答案】解：设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解且符合实际意义，
即型汽车的进价为每辆10万元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】结合条件“ 每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍 ”，此时可以假设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元， 用1500万元购进A型汽车的数量为辆；1200万元购进B型汽车的数量为辆，而“ 用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆 ”，此时即可列出分式方程，求解x后进行检验，以免产生增根。
26．【答案】（1） ；；
（2）解：，，
，
，
；
（3）解：设，，则，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：①大正方形的边长为，
∴面积为，
故答案为：；
②拼成图中大正方形的4部分的面积和为，
故答案为：；
由①②可得；
故答案为：；
【分析】（1）需先直接用边长表示正方形面积，再通过分割后四部分面积之和表示，从而验证完全平方公式；
（2）利用完全平方公式将已知和的值代入，求出后开平方的；
（3）设，，则，根据题意可得，先求，再代入已知已知的值求出即可。
（1）解：①大正方形的边长为，
∴面积为，
故答案为：；
②拼成图中大正方形的4部分的面积和为，
故答案为：；
由①②可得；
故答案为：；
（2）解：，，
，
，
；
（3）解：设，，则，
，
．
27．【答案】（1）=；30
（2）解：①理由如下：
和都是等边三角形，
，，，
，，
，
，
；
②当点D在线段上时，如图1，
和都是等边三角形，
，，，
，
，
∴，
是等边三角形，，线段为边上的中线，
，
，
，
，
；
当点D在线段的延长线上时，如图2，
同理可得，
，
，
，
；
综上所述，的度数是或
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（1）解：是等边三角形，
，，
线段为边上的中线，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
故答案为：=；30；
【分析】（1）由等边三角形性质得AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，由角的构成及等量减去等量差相等推出∠ACD=∠ECB，从而用“SAS”证△ACD≌△BCE，由全等三角形的对应边相等得AD=BE；根据等腰三角形的三线合一可得∠CAM=∠BAC=30°；
（2）①AD=BE，理由如下：由等边三角形性质得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由角的构成及等量加等量和相等推出∠ACD=∠BCE，从而用“SAS”证△ACD≌△BCE，由全等三角形的对应边相等得AD=BE；
②分两种情况讨论：当点D在线段上时，同（1）证△ACD≌△BCE，由全等三角形的对应角相等得∠CBE=∠CAD=30°，然后根据三角形内角和定理可求出∠AOE的度数；当点D在线段的延长线上时，同理证△ACD≌△BCE，由全等三角形的对应角相等得∠CBE=∠CAD=30°，然后根据三角形外角性质可求出∠AOE的度数.
（1）解：是等边三角形，
，，
线段为边上的中线，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
故答案为：=；；
（2）①理由如下：
和都是等边三角形，
，，，
，，
，
，
；
②当点D在线段上时，如图1，
和都是等边三角形，
，，，
，
，
，，
是等边三角形，，线段为边上的中线，
，
，
，
，
；
当点D在线段的延长线上时，如图2，
同理可得，
，
，
，
；
综上所述，的度数是
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