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四川省雅安市2025年中考数学真题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的．
1．（2025·雅安）如果向东走5m记为+5m，那么向西走3m记为（　　）
A．3m B．﹣3m C．5m D．﹣5m
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵“向东”为正，则“向西”（与向东相反）为负，
∴向西走3m应记为-3m．
故答案为：B.
【分析】根据正负数的性质，即可求出答案.
2．（2025·雅安）如图，a∥b，∠1＝105°，则∠2的度数是（　　）
A．75° B．135° C．105° D．85°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴ ∠1=∠3，
又 ∠2=∠3，
∴ ∠2=∠1=105°.
故答案为：C.
【分析】先根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等），求出∠1=∠3；再根据”对角顶相等“∠2=∠3，即可求出∠2的度数.
3．（2025·雅安）如图，该图形可以折成一个正方形的盒子，折好后与“全”字相对的字是（　　）
A．牢 B．记 C．心 D．中
【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：正方形纸盒的展开图属于“1-4-1”型，此展开图中，“全”位于中间行的第一个面，与它相隔一个面的是“心”，因此“全”相对的字是“心”．
故答案为：C.
【分析】根据正方体展开图的特征，结合“1-4-1”型的规律（中间一行中，相隔一个面的两个面为相对面），即可得出答案.
4．（2025·雅安）在今年的中考体考中，某校九年级（1）班六人小组通过前期努力训练，取得优异成绩，成绩依次为：58分、60分、60分、59分、60分、57分，则该组体考成绩的众数是（　　）
A．60分 B．59分 C．58分 D．57分
【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在该组成绩（58分，60分，60分，59分，60分，57分）中，“60分”出现了3次，是出现次数最多的数，因此该组成绩的众数是60分．
故答案为：A.
【分析】根据众数的定义（一组数据中出现次数最多的数值），找出出现次数最多的分数即可得出答案．
5．（2025·雅安）如图，直线l1∥l2∥l3分别交直线l4，l5于点A，B，C，D，E，F，已知AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．6
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴ ABBC=DEEF，即24=3EF ，解得EF=6.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理（两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例），得出比例式代入求值即可．
6．（2025·雅安）如图，下面几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的顶部有一个凹槽，从上方看：整体是长方形，中间凹槽部分会呈现为“中间有矩形空缺，且空缺部分的边界用虚线表示（不可见轮廓）”，与选项C的图形一致．
故答案为：C.
【分析】根据俯视图的定义（从几何体上方观察得到的平面图形），结合几何体的凹槽结构即可确定俯视图形状．
7．（2025·雅安）下列运算结果为m5的是（　　）
A．（m2）3 B．m2 m3 C．m10÷m2 D．m2+m3
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、(m2)3=m2×3=m6，结果不是m5，A错误；
B、m2 m3=m2+3=m5，结果为m5，B正确；
C、m10÷m2=m10-2=m8，结果不是m5，C错误；
D、m2+m3，结果不是m5，D错误．
故答案为：B.
【分析】幂的运算法则：
幂的乘方：(am)n=amn；
同底数幂乘法：am an=am+n；
同底数幂除法：am÷an=am-n；
同类项才能合并，不同指数的幂不能直接相加．
8．（2025·雅安）某中学八年级（1）班同学在学习了《利用轴对称设计图案》一课后，一小组设计了如图所示的轴对称图案，某同学大胆提议，从a，b，c，d四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分依然是轴对称图形，则应选取的方格是（　　）
A．a B．b C．c D．d
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、填充方格a后，图形沿竖直中线折叠，左右阴影部分完全重合，保持轴对称，A正确；
B、填充方格b后，右侧无对应阴影区域，无法沿对称轴重合，B错误；
C、填充方格c后，上方无对应阴影区域，无法沿对称轴重合，C错误；
D、填充方格d后，左侧无对应阴影区域，无法沿对称轴重合，D错误．
故答案为：A.
【分析】先确定原图案的对称轴为竖直中线，再分别验证每个选项填充后是否仍能关于该对称轴完全重合，从而得出正确答案．
9．（2025·雅安）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B（2m﹣3，0），点C（1﹣m，0）在x轴上，且AB＝AC，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵点A在y轴上，
∴AO⊥BC，
又∵AB=AC，
∴CO=BO，即点B与点C关于y轴对称，
∴B，C横坐标互为相反数.
∵点B的横坐标为2m-3，点C的横坐标为1-m，
∴(2m-3)+(1-m)=0，解得m=2．
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质-三线合一，求出CO=BO；再根据坐标轴的对称性，建立方程，求解即可得出答案.
10．（2025·雅安）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+6x+3＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞6 B．m≤6且m≠3 C．m≥6 D．m＜6且m≠3
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程是一元二次方程，
∴二次项系数不能为0，即m-3≠0，得m≠3．
∵方程有两个实数根，
∴判别式Δ≥0．
∵该方程中a=m-3，b=6，c=3，
∴Δ=b2-4ac=62-4×(m-3)×3=36-12(m-3)=72-12m≥0，解得m≤6．
又∵m≠3，
∴m的取值范围是m≤6且m≠3．
故答案为：B.
【分析】先根据“一元二次方程”的定义，限制二次项系数不为0，求得m≠3；再根据“有两个实数根”的要求，利用判别式Δ≥0列不等式，求得m≤6；最后结合两个条件，得到m的取值范围m≤6且m≠3．
11．（2025·雅安）甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵设乙每小时加工x个零件，
∴甲每小时加工的零件数为x+20个．
∴甲加工200个零件的时间为，乙加工160个零件的时间为．
∵甲，乙所用时间相等，
∴可列方程．
故答案为：D.
【分析】先根据题意设乙的工作效率为x，推导甲的工作效率为x+20；再利用“时间=总量÷效率”，分别表示甲的工作时间，乙的工作时间；最后根据“时间相等”的条件，联立两个时间表达式得到方程．
12．（2025·雅安）我们规定，例如，min{1，3}＝1，min{3，﹣4}＝﹣4，如果y＝min{﹣x2+2x+3，x+1}，那么y的最大值是（　　）
A．0 B．1 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵定义min{a，b}表示取a，b中的较小值，
∴需先求-x2+2x+3与x+1的大小关系，令-x2+2x+3=x+1，
∵化简得-x2+x+2=0，即x2-x-2=0，解得x=-1或x=2，
∴分区间讨论：
当x≤-1时，-x2+2x+3≤x+1，则y=-x2+2x+3，此时y随x增大而增大，最大值为x=-1时的0；
当-1x+1，则y=x+1，此时y随x增大而增大，最大值接近x=2时的3；
当x≥2时，-x2+2x+3≤x+1，则y=-x2+2x+3，此时y随x增大而减小，最大值为x=2时的3．
∵综合各区间最大值，
∴y的最大值是3．
故答案为：C.
【分析】先通过因式分解法解方程-x2+2x+3=x+1找到两个函数相等的x值（x=-1或x=2），并划分自变量区间；再在每个区间内（x≤-1时，-1二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上．
13．（2025·雅安）正六边形的外角和是　 　 度．
【答案】360
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： 正六边形的外角和360度．
故答案为：360.
【分析】任意多边形的外角和都是360度.
14．（2025·雅安）某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为　 　 ．
【答案】40°
【知识点】概率的简单应用；圆心角的概念
【解析】【解答】解：一等奖区域对应的圆心角度数为.
故答案为：40°.
【分析】利用“概率与圆心角的关系”：转盘区域的概率对应其圆心角占周角（360°）的比例，用周角度数乘以一等奖区域的概率，即可得到对应的圆心角度数40°．
15．（2025·雅安）化简：＝　 　 ．
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先分别对分子（平方差公式），分母（完全平方公式）进行因式分解；再消去分子分母的公共因式(x-3)，即可得到最简分式.
16．（2025·雅安）已知2xm+2y3和﹣3xy2n﹣1是同类项，则nm＝　 　 ．
【答案】
【知识点】有理数的乘方法则；同类项的概念
【解析】【解答】解：∵2xm+2y3和﹣3xy2n﹣1是同类项，
∴m+2=1，3=2n-1，解得m=-1，n=2.
∴
故答案为：
【分析】根据同类项的定义，分别求出m，n的值；再代入利用乘方法则进行求解即可.
17．（2025·雅安）如图，E，F分别是正方形ABCD边BC，CD上的点，且△CEF的周长是正方形ABCD边长的2倍，AE交BD于点M，AF交BD于点N，若，则MN＝ 　 　 ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；轴对称的性质；半角模型
【解析】【解答】解：过点A作AP⊥AF，交CB的延长线于点P，过点B作BQ⊥BD交AP于点Q，连接QM，
∴∠PAF=90°，∠QBM=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，∠ADN=∠ABM=45°，
∴∠ABP=∠ADF=90°，∠PAF=∠BAD=90°，
∴∠PAF-∠BAF=∠BAD-∠BAF，
∴∠BAP=∠DAF，
在△ABP和△ADF中，
，
∴△ABP≌△ADF（SAS），
∴BP=DF，AP=AF，
∴EP=BE+BP=BE+DF，
∵△CEF的周长是正方形ABCD边长的2倍，
∴CE+CF+EF=BC+CD，
∵BC=CE+BE，CD=CF+DF，
∴CE+CF+EF=CE+BE+CF+DF，
∴EF=BE+DF，
∴EP=EF，
在△APE和△AFE中，
∴△APE≌△AFE（SSS），
∴∠PAE=∠FAE，即∠QAM=∠NAM，
∵∠QBM=90°，∠ABM=45°，
∴∠ABQ=∠QBM-∠ABM=45°，
∴∠ABQ=∠ADN=45°，
∵∠BAP=∠DAF，
∴∠BAQ=∠DAN，
在△ABQ和△ADN中，
，
∴△ABQ≌△ADN（ASA），
∴AQ=AN，BQ=DN，
∵DN=2，
∴BQ=DN=2，
在△AQM和△ANM中，
，
∴△AQM≌△ANM（SAS），
∴QM=MN，
在Rt△BMQ中，，
由勾股定理，得，
∴QM=MN=．
故答案为：.
【分析】先作辅助线，证明∠BAP=∠DAF，进而依据“SAS”判定△ABP和△ADF全等得BP=DF，AP=AF，由此得EP=BE+BP=BE+DF；再根据△CEF的周长是正方形ABCD边长的2倍得CE+CF+EF=BC+CD，继而得EF=BE+DF，则EP=EF，进而依据“SSS”判定△APE和△AFE全等得∠PAE=∠FAE，证明△ABQ和△ADN全等得AQ=AN，BQ=DN=2；然后证明△AQM和△ANM全等得QM=MN；最后在Rt△BMQ中，由勾股定理求出QM=，即可得出MN的长．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．
18．（2025·雅安）（1）计算：；
（2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】（1）解：
（2）解：，
解不等式①，得x≤3，
解不等式②，得x<1，
∴不等式组的解集为x<1，
在数轴上表示为：

【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】 (1)分别利用绝对值，零指数幂，立方根的性质化简各部分，再进行加减运算即可；
(2)分别解每个不等式，取解集的公共部分，再将结果表示在数轴上．
19．（2025·雅安）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图．
请你根据图中的信息解答下列问题：
（1）求该班此次调查的学生人数；
（2）求m的值，并补全条形统计图；
（3）开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率．
【答案】（1）解：∵"非遗传承人"类别的人数为10人，占比25%，
∴
（2）解：∵“今天我当家”类别的人数为8人，
∴，即m=20.
∵总人数为40人，已知其他类别人数：10（非遗），12（睡眠），8（当家），
∴运动打卡师人数=40-10-12-8=10人.
补全条形统计如下：

（3）解：用列表法列出所有可能的结果：
　 甲 乙 丙 丁
甲 - 甲、乙 甲、丙 甲、丁
乙 乙、甲 - 乙、丙 乙、丁
丙 丙、甲 丙、乙 - 丙、丁
丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙 -
总共有4×3=12种等可能的结果，其中恰好选到“甲”和“乙”的结果有2种：(甲，乙)，(乙，甲)．
∴恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】 (1) 先从条形图中得到“非遗传承人”的人数为10人，再从扇形图中得到其占比25%，最后根据“部分量÷对应占比=总量”求出总人数；
(2)先根据“今天我当家”的人数和总人数算出其百分比得到m的值，再用总人数减去其他三类的人数得到“运动打卡师”的人数，最后补全条形图；
(3) 先列出从4名同学中选2名的所有等可能结果，再找出恰好选到“甲”和“乙”的结果数，最后根据概率公式计算概率．
20．（2025·雅安）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高AC为3m．
（1）如图2，墙AC上有一扇窗户CF（CF＝2.2m），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚AB的宽度为0.8m，此时∠ABF＝　 　 ．
（2）如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角∠α＝68°，被遮挡形成的阴影CD＝1.5cm，则展开后的遮阳棚AB'＝　 　 .（参考数据：sin68°≈0.92，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）
（3）小强的爸爸准备将房后一块长16m，宽12m的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为xm，求x的值．
【答案】（1）45°
（2）2.7m
（3）解：依题意得，
，
整理，得x2-28x+96=0，
解得x1=4，x2=24(舍去)，
∴x=4m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解： (1)∵AC=3m，CF=2.2m，
∴AF=AC-CF=3-2.2=0.8m.
∵遮阳棚AB=0.8m，
∴AF=AB．
又BF⊥AC，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴∠ABF=45°.
故答案为：45°.
(2)过D作DH⊥AB'于H，则四边形ACDH是矩形，
∴DH=AC=3m，AH=CD=1.5m，∠DHB'=90°，
∵AB'∥CD，
∴∠HB'D=∠B'DE=68°，
∵tan68°≈2.50，
∴，即，解得B'H=1.2m，
∴AB'=AH+HB'=1.5+1.2=2.7m．
故答案为：2.7m.
【分析】 (1)先计算AF长度，发现AF=AB，结合BF⊥AC判定△ABF为等腰直角三角形，从而得到∠ABF=45°；
(2)作B'H⊥AC构造直角三角形，利用平行线性质得到∠HB'D=68°，再用正切求出B'H，最后计算AB'=AH+B'H；
(3)先计算荒地面积，再根据小路面积为一半得到花园面积，通过平移小路将花园转化为规则矩形，建立方程求解并验证．
21．（2025·雅安）如图，△ABC中，AB＝BC，现进行如下操作：（1）以点C为圆心，任意长为半径画弧交BC于点E，交AC于点F；（2）以点A为圆心，CE长为半径画弧交AC于点H；（3）以点H为圆心，EF长为半径画弧，交前面的弧于点G；（4）过点G作射线AQ；（5）以点A为圆心，BC长为半径画弧交AQ于点D，连接CD得四边形ABCD．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）连接DF，BH，求证：DF＝BH．
【答案】（1）解：由作图步骤可知，AH=CF，，
∴∠CAQ=∠ACB．
∴AD∥BC．
又AD=BC，且AB=BC，
∴AD=BC且AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形
（2）解：由作图步骤可知CF=AH.
在菱形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，
∴∠FCD=∠GAB.
∴△FCD≌△GAB（SAS）．
∴DF=BH
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】 (1)先由作图步骤得到∠CAQ=∠ACB，从而AD∥BC；再结合AD=BC，判定四边形ABCD为平行四边形；最后结合AB=BC，即可证明平行四边形ABCD是菱形；
(2)先由作图得到CF=AG，再利用菱形性质得到AB=CD和∠FCD=∠GAB，通过SAS证明△FCD≌△GAB，从而得到DF=BH．
22．（2025·雅安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+b与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是﹣4和3．
（1）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（2）求出一次函数和反比例函数的表达式；
（3）将直线AB向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，求△PBC的面积．
【答案】（1）解：-43
（2）解：∵一次函数为y1=x+b，
∴A(-4，-4+b)，B(3，3+b)．
∵两点都在反比例函数y2=xk上，
∴(-4)×(-4+b)=3×(3+b)，解得b=1.
∴一次函数为y1=x+1.
∴A(-4，-3)，B(3，4)，
∴将A，B代入反比例函数，得k=(-4)×(-3)=12，
∴反比例函数为
（3）解：∵一次函数y=x+1，
∴P(0，1).
又B(3，4)，
∴.
∵直线y=x+1与x轴的夹角为45°，
∴直线y=x+1向左平移2个单位长度，两条平行的距离h为，
∴点C到PB的距离为.
∴ △PBC的面积为
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】 (1)先根据交点横坐标划分区间，再结合图像判断一次函数在反比例函数上方的区间，直接写出解集；
(2)先根据一次函数为y1=x+b设出交点坐标A(-4，-4+b)，B(3，3+b)，利用两点在反比例函数上的条件建立方程求出b=1，再代入A(-4，-3)，B(3，4)求出k=12，从而得到两个函数的表达式．
(3)先求出直线AB与y轴的交点P(0，1)，并根据坐标系中两点的距离公式计算出BP的长度；再根据平移距离求出两平行线的距离h，最后用三角形的面积公式，即可计算出△PBC的面积．
23．（2025·雅安）如图，△ABC中，∠B＝90°，AM是角平分线，O是AC上一点，经过点A、点M的⊙O分别交AB，AC于点E，点F．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：CM2＝CF CA；
（3）若，求AE的长．
【答案】（1）解：连接OM．
∵OA=OM，
∴∠OAM=∠OMA．
∵AM是角平分线，
∴∠OAM=∠BAM．
∴∠OMA=∠BAM，
∴OM∥AB．
∵∠B=90°，
∴OM⊥BC．
∵OM是⊙O的半径，且OM⊥BC，
∴BC与⊙O相切
（2）证明：连接MF．
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CMA=∠MFC（弦切角等于所夹弧所对的圆周角）．
又∠C=∠C，
∴△CMA～△CFM（AA）．
∴，
∴ CM2＝CF·CA
（3）解：在Rt△OMC中，．
设OM=3x，则OC=5x，OF=OM=3x．
∵CF=OC-OF=5x-3x=2x=2，
∴x=1，OM=3，OC=5．
∴AC=OA+OC=3+5=8．
由(2)得CM2=CF·CA=2×8=16，
∴CM=4．
在Rt△OMC中，．
∵OM∥AB，
∴△COM～△CAB．
∴，
∴．
∵AF是直径，
∴∠AEF=90°．
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B=90°，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 (1)先连接OM，利用角平分线和平行线的判定得到OM∥AB；再结合∠B=90°推出OM⊥BC，从而判定BC与⊙O相切；
(2)先连接MF，利用弦切角定理得到∠CMA=∠MFC；再结合∠C=∠C证明△CMA～△CFM，从而得到比例式并变形得到CM2＝CF·CA ；
(3)先在Rt△OMC中，利用sinC设未知数求出OM和OC；再由(2)的结论求出MC；接着利用相似三角形求出AB；最后结合直径所对的圆周角为直角，即可求出AE．
24．（2025·雅安）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足∠QAB＝∠OBC，请求出点Q的坐标；
（3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c过点A(-3，0)和C(0，-3)，
∴，解得，
∴ 二次函数的表达为y＝x2+2x-3
（2）解：如图1，过点Q作QG⊥x轴于点G，设Q(t，t2+2t-3)，
∵点Q是抛物线在第三象限上的一点，
∴-3∴x=-3或1，
∴B(1，0)，
∴OB=1，
∵C(0，-3)，
∴OC=3，
∵∠QAB=∠OBC，
∴tan∠QAB=tan∠OBC，
∴，
∴GQ=3AG，
∴-t2-2t+3=3(t+3)，解得t=-2或-3（舍去），
∴Q(-2，-3)
（3）解：y=x2+2x-3=(x+1)2-4，
∴抛物线的对称轴是直线x=-1，
如图2，四边形ACFE是平行四边形，
∵A(-3，0)，C(0，-3)，点E的横坐标为-1，
∴点F的横坐标为2，
∴F(2，5)；
如图3，四边形ACEF是平行四边形，
同理可得点F的横坐标为-4，∴F(-4，5)；
如图4，四边形AFCE是平行四边形，此时CF∥x轴，点E在x轴上，
∴F(-2，-3)，
综上，点F的坐标为(2，5)或(-4，5)或(-2，-3)
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】 (1)由待定系数法，代入已知点A，C的坐标，建立方程组求解b和c，从而得到二次函数表达式；
(2)先作辅助线，求出点B的坐标，计算tan∠OBC；再设点Q的坐标，利用角度相等得到tan∠QAB=3，建立方程求解并验证即可；
(3)先确定抛物线的对称轴，再根据平行四边形的性质分“AC为边”和“AC为对角线”两种情况，利用平行四边形对边平行且相等的性质求出点F的坐标．
1 / 1四川省雅安市2025年中考数学真题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的．
1．（2025·雅安）如果向东走5m记为+5m，那么向西走3m记为（　　）
A．3m B．﹣3m C．5m D．﹣5m
2．（2025·雅安）如图，a∥b，∠1＝105°，则∠2的度数是（　　）
A．75° B．135° C．105° D．85°
3．（2025·雅安）如图，该图形可以折成一个正方形的盒子，折好后与“全”字相对的字是（　　）
A．牢 B．记 C．心 D．中
4．（2025·雅安）在今年的中考体考中，某校九年级（1）班六人小组通过前期努力训练，取得优异成绩，成绩依次为：58分、60分、60分、59分、60分、57分，则该组体考成绩的众数是（　　）
A．60分 B．59分 C．58分 D．57分
5．（2025·雅安）如图，直线l1∥l2∥l3分别交直线l4，l5于点A，B，C，D，E，F，已知AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．6
6．（2025·雅安）如图，下面几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·雅安）下列运算结果为m5的是（　　）
A．（m2）3 B．m2 m3 C．m10÷m2 D．m2+m3
8．（2025·雅安）某中学八年级（1）班同学在学习了《利用轴对称设计图案》一课后，一小组设计了如图所示的轴对称图案，某同学大胆提议，从a，b，c，d四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分依然是轴对称图形，则应选取的方格是（　　）
A．a B．b C．c D．d
9．（2025·雅安）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B（2m﹣3，0），点C（1﹣m，0）在x轴上，且AB＝AC，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
10．（2025·雅安）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+6x+3＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞6 B．m≤6且m≠3 C．m≥6 D．m＜6且m≠3
11．（2025·雅安）甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025·雅安）我们规定，例如，min{1，3}＝1，min{3，﹣4}＝﹣4，如果y＝min{﹣x2+2x+3，x+1}，那么y的最大值是（　　）
A．0 B．1 C．3 D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上．
13．（2025·雅安）正六边形的外角和是　 　 度．
14．（2025·雅安）某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为　 　 ．
15．（2025·雅安）化简：＝　 　 ．
16．（2025·雅安）已知2xm+2y3和﹣3xy2n﹣1是同类项，则nm＝　 　 ．
17．（2025·雅安）如图，E，F分别是正方形ABCD边BC，CD上的点，且△CEF的周长是正方形ABCD边长的2倍，AE交BD于点M，AF交BD于点N，若，则MN＝ 　 　 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．
18．（2025·雅安）（1）计算：；
（2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．
19．（2025·雅安）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图．
请你根据图中的信息解答下列问题：
（1）求该班此次调查的学生人数；
（2）求m的值，并补全条形统计图；
（3）开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率．
20．（2025·雅安）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高AC为3m．
（1）如图2，墙AC上有一扇窗户CF（CF＝2.2m），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚AB的宽度为0.8m，此时∠ABF＝　 　 ．
（2）如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角∠α＝68°，被遮挡形成的阴影CD＝1.5cm，则展开后的遮阳棚AB'＝　 　 .（参考数据：sin68°≈0.92，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）
（3）小强的爸爸准备将房后一块长16m，宽12m的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为xm，求x的值．
21．（2025·雅安）如图，△ABC中，AB＝BC，现进行如下操作：（1）以点C为圆心，任意长为半径画弧交BC于点E，交AC于点F；（2）以点A为圆心，CE长为半径画弧交AC于点H；（3）以点H为圆心，EF长为半径画弧，交前面的弧于点G；（4）过点G作射线AQ；（5）以点A为圆心，BC长为半径画弧交AQ于点D，连接CD得四边形ABCD．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）连接DF，BH，求证：DF＝BH．
22．（2025·雅安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+b与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是﹣4和3．
（1）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（2）求出一次函数和反比例函数的表达式；
（3）将直线AB向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，求△PBC的面积．
23．（2025·雅安）如图，△ABC中，∠B＝90°，AM是角平分线，O是AC上一点，经过点A、点M的⊙O分别交AB，AC于点E，点F．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：CM2＝CF CA；
（3）若，求AE的长．
24．（2025·雅安）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足∠QAB＝∠OBC，请求出点Q的坐标；
（3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵“向东”为正，则“向西”（与向东相反）为负，
∴向西走3m应记为-3m．
故答案为：B.
【分析】根据正负数的性质，即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴ ∠1=∠3，
又 ∠2=∠3，
∴ ∠2=∠1=105°.
故答案为：C.
【分析】先根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等），求出∠1=∠3；再根据”对角顶相等“∠2=∠3，即可求出∠2的度数.
3．【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：正方形纸盒的展开图属于“1-4-1”型，此展开图中，“全”位于中间行的第一个面，与它相隔一个面的是“心”，因此“全”相对的字是“心”．
故答案为：C.
【分析】根据正方体展开图的特征，结合“1-4-1”型的规律（中间一行中，相隔一个面的两个面为相对面），即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在该组成绩（58分，60分，60分，59分，60分，57分）中，“60分”出现了3次，是出现次数最多的数，因此该组成绩的众数是60分．
故答案为：A.
【分析】根据众数的定义（一组数据中出现次数最多的数值），找出出现次数最多的分数即可得出答案．
5．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴ ABBC=DEEF，即24=3EF ，解得EF=6.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理（两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例），得出比例式代入求值即可．
6．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的顶部有一个凹槽，从上方看：整体是长方形，中间凹槽部分会呈现为“中间有矩形空缺，且空缺部分的边界用虚线表示（不可见轮廓）”，与选项C的图形一致．
故答案为：C.
【分析】根据俯视图的定义（从几何体上方观察得到的平面图形），结合几何体的凹槽结构即可确定俯视图形状．
7．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、(m2)3=m2×3=m6，结果不是m5，A错误；
B、m2 m3=m2+3=m5，结果为m5，B正确；
C、m10÷m2=m10-2=m8，结果不是m5，C错误；
D、m2+m3，结果不是m5，D错误．
故答案为：B.
【分析】幂的运算法则：
幂的乘方：(am)n=amn；
同底数幂乘法：am an=am+n；
同底数幂除法：am÷an=am-n；
同类项才能合并，不同指数的幂不能直接相加．
8．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、填充方格a后，图形沿竖直中线折叠，左右阴影部分完全重合，保持轴对称，A正确；
B、填充方格b后，右侧无对应阴影区域，无法沿对称轴重合，B错误；
C、填充方格c后，上方无对应阴影区域，无法沿对称轴重合，C错误；
D、填充方格d后，左侧无对应阴影区域，无法沿对称轴重合，D错误．
故答案为：A.
【分析】先确定原图案的对称轴为竖直中线，再分别验证每个选项填充后是否仍能关于该对称轴完全重合，从而得出正确答案．
9．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵点A在y轴上，
∴AO⊥BC，
又∵AB=AC，
∴CO=BO，即点B与点C关于y轴对称，
∴B，C横坐标互为相反数.
∵点B的横坐标为2m-3，点C的横坐标为1-m，
∴(2m-3)+(1-m)=0，解得m=2．
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质-三线合一，求出CO=BO；再根据坐标轴的对称性，建立方程，求解即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程是一元二次方程，
∴二次项系数不能为0，即m-3≠0，得m≠3．
∵方程有两个实数根，
∴判别式Δ≥0．
∵该方程中a=m-3，b=6，c=3，
∴Δ=b2-4ac=62-4×(m-3)×3=36-12(m-3)=72-12m≥0，解得m≤6．
又∵m≠3，
∴m的取值范围是m≤6且m≠3．
故答案为：B.
【分析】先根据“一元二次方程”的定义，限制二次项系数不为0，求得m≠3；再根据“有两个实数根”的要求，利用判别式Δ≥0列不等式，求得m≤6；最后结合两个条件，得到m的取值范围m≤6且m≠3．
11．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵设乙每小时加工x个零件，
∴甲每小时加工的零件数为x+20个．
∴甲加工200个零件的时间为，乙加工160个零件的时间为．
∵甲，乙所用时间相等，
∴可列方程．
故答案为：D.
【分析】先根据题意设乙的工作效率为x，推导甲的工作效率为x+20；再利用“时间=总量÷效率”，分别表示甲的工作时间，乙的工作时间；最后根据“时间相等”的条件，联立两个时间表达式得到方程．
12．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵定义min{a，b}表示取a，b中的较小值，
∴需先求-x2+2x+3与x+1的大小关系，令-x2+2x+3=x+1，
∵化简得-x2+x+2=0，即x2-x-2=0，解得x=-1或x=2，
∴分区间讨论：
当x≤-1时，-x2+2x+3≤x+1，则y=-x2+2x+3，此时y随x增大而增大，最大值为x=-1时的0；
当-1x+1，则y=x+1，此时y随x增大而增大，最大值接近x=2时的3；
当x≥2时，-x2+2x+3≤x+1，则y=-x2+2x+3，此时y随x增大而减小，最大值为x=2时的3．
∵综合各区间最大值，
∴y的最大值是3．
故答案为：C.
【分析】先通过因式分解法解方程-x2+2x+3=x+1找到两个函数相等的x值（x=-1或x=2），并划分自变量区间；再在每个区间内（x≤-1时，-113．【答案】360
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： 正六边形的外角和360度．
故答案为：360.
【分析】任意多边形的外角和都是360度.
14．【答案】40°
【知识点】概率的简单应用；圆心角的概念
【解析】【解答】解：一等奖区域对应的圆心角度数为.
故答案为：40°.
【分析】利用“概率与圆心角的关系”：转盘区域的概率对应其圆心角占周角（360°）的比例，用周角度数乘以一等奖区域的概率，即可得到对应的圆心角度数40°．
15．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】先分别对分子（平方差公式），分母（完全平方公式）进行因式分解；再消去分子分母的公共因式(x-3)，即可得到最简分式.
16．【答案】
【知识点】有理数的乘方法则；同类项的概念
【解析】【解答】解：∵2xm+2y3和﹣3xy2n﹣1是同类项，
∴m+2=1，3=2n-1，解得m=-1，n=2.
∴
故答案为：
【分析】根据同类项的定义，分别求出m，n的值；再代入利用乘方法则进行求解即可.
17．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；轴对称的性质；半角模型
【解析】【解答】解：过点A作AP⊥AF，交CB的延长线于点P，过点B作BQ⊥BD交AP于点Q，连接QM，
∴∠PAF=90°，∠QBM=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，∠ADN=∠ABM=45°，
∴∠ABP=∠ADF=90°，∠PAF=∠BAD=90°，
∴∠PAF-∠BAF=∠BAD-∠BAF，
∴∠BAP=∠DAF，
在△ABP和△ADF中，
，
∴△ABP≌△ADF（SAS），
∴BP=DF，AP=AF，
∴EP=BE+BP=BE+DF，
∵△CEF的周长是正方形ABCD边长的2倍，
∴CE+CF+EF=BC+CD，
∵BC=CE+BE，CD=CF+DF，
∴CE+CF+EF=CE+BE+CF+DF，
∴EF=BE+DF，
∴EP=EF，
在△APE和△AFE中，
∴△APE≌△AFE（SSS），
∴∠PAE=∠FAE，即∠QAM=∠NAM，
∵∠QBM=90°，∠ABM=45°，
∴∠ABQ=∠QBM-∠ABM=45°，
∴∠ABQ=∠ADN=45°，
∵∠BAP=∠DAF，
∴∠BAQ=∠DAN，
在△ABQ和△ADN中，
，
∴△ABQ≌△ADN（ASA），
∴AQ=AN，BQ=DN，
∵DN=2，
∴BQ=DN=2，
在△AQM和△ANM中，
，
∴△AQM≌△ANM（SAS），
∴QM=MN，
在Rt△BMQ中，，
由勾股定理，得，
∴QM=MN=．
故答案为：.
【分析】先作辅助线，证明∠BAP=∠DAF，进而依据“SAS”判定△ABP和△ADF全等得BP=DF，AP=AF，由此得EP=BE+BP=BE+DF；再根据△CEF的周长是正方形ABCD边长的2倍得CE+CF+EF=BC+CD，继而得EF=BE+DF，则EP=EF，进而依据“SSS”判定△APE和△AFE全等得∠PAE=∠FAE，证明△ABQ和△ADN全等得AQ=AN，BQ=DN=2；然后证明△AQM和△ANM全等得QM=MN；最后在Rt△BMQ中，由勾股定理求出QM=，即可得出MN的长．
18．【答案】（1）解：
（2）解：，
解不等式①，得x≤3，
解不等式②，得x<1，
∴不等式组的解集为x<1，
在数轴上表示为：

【知识点】解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】 (1)分别利用绝对值，零指数幂，立方根的性质化简各部分，再进行加减运算即可；
(2)分别解每个不等式，取解集的公共部分，再将结果表示在数轴上．
19．【答案】（1）解：∵"非遗传承人"类别的人数为10人，占比25%，
∴
（2）解：∵“今天我当家”类别的人数为8人，
∴，即m=20.
∵总人数为40人，已知其他类别人数：10（非遗），12（睡眠），8（当家），
∴运动打卡师人数=40-10-12-8=10人.
补全条形统计如下：

（3）解：用列表法列出所有可能的结果：
　 甲 乙 丙 丁
甲 - 甲、乙 甲、丙 甲、丁
乙 乙、甲 - 乙、丙 乙、丁
丙 丙、甲 丙、乙 - 丙、丁
丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙 -
总共有4×3=12种等可能的结果，其中恰好选到“甲”和“乙”的结果有2种：(甲，乙)，(乙，甲)．
∴恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】 (1) 先从条形图中得到“非遗传承人”的人数为10人，再从扇形图中得到其占比25%，最后根据“部分量÷对应占比=总量”求出总人数；
(2)先根据“今天我当家”的人数和总人数算出其百分比得到m的值，再用总人数减去其他三类的人数得到“运动打卡师”的人数，最后补全条形图；
(3) 先列出从4名同学中选2名的所有等可能结果，再找出恰好选到“甲”和“乙”的结果数，最后根据概率公式计算概率．
20．【答案】（1）45°
（2）2.7m
（3）解：依题意得，
，
整理，得x2-28x+96=0，
解得x1=4，x2=24(舍去)，
∴x=4m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解： (1)∵AC=3m，CF=2.2m，
∴AF=AC-CF=3-2.2=0.8m.
∵遮阳棚AB=0.8m，
∴AF=AB．
又BF⊥AC，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴∠ABF=45°.
故答案为：45°.
(2)过D作DH⊥AB'于H，则四边形ACDH是矩形，
∴DH=AC=3m，AH=CD=1.5m，∠DHB'=90°，
∵AB'∥CD，
∴∠HB'D=∠B'DE=68°，
∵tan68°≈2.50，
∴，即，解得B'H=1.2m，
∴AB'=AH+HB'=1.5+1.2=2.7m．
故答案为：2.7m.
【分析】 (1)先计算AF长度，发现AF=AB，结合BF⊥AC判定△ABF为等腰直角三角形，从而得到∠ABF=45°；
(2)作B'H⊥AC构造直角三角形，利用平行线性质得到∠HB'D=68°，再用正切求出B'H，最后计算AB'=AH+B'H；
(3)先计算荒地面积，再根据小路面积为一半得到花园面积，通过平移小路将花园转化为规则矩形，建立方程求解并验证．
21．【答案】（1）解：由作图步骤可知，AH=CF，，
∴∠CAQ=∠ACB．
∴AD∥BC．
又AD=BC，且AB=BC，
∴AD=BC且AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形
（2）解：由作图步骤可知CF=AH.
在菱形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，
∴∠FCD=∠GAB.
∴△FCD≌△GAB（SAS）．
∴DF=BH
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】 (1)先由作图步骤得到∠CAQ=∠ACB，从而AD∥BC；再结合AD=BC，判定四边形ABCD为平行四边形；最后结合AB=BC，即可证明平行四边形ABCD是菱形；
(2)先由作图得到CF=AG，再利用菱形性质得到AB=CD和∠FCD=∠GAB，通过SAS证明△FCD≌△GAB，从而得到DF=BH．
22．【答案】（1）解：-43
（2）解：∵一次函数为y1=x+b，
∴A(-4，-4+b)，B(3，3+b)．
∵两点都在反比例函数y2=xk上，
∴(-4)×(-4+b)=3×(3+b)，解得b=1.
∴一次函数为y1=x+1.
∴A(-4，-3)，B(3，4)，
∴将A，B代入反比例函数，得k=(-4)×(-3)=12，
∴反比例函数为
（3）解：∵一次函数y=x+1，
∴P(0，1).
又B(3，4)，
∴.
∵直线y=x+1与x轴的夹角为45°，
∴直线y=x+1向左平移2个单位长度，两条平行的距离h为，
∴点C到PB的距离为.
∴ △PBC的面积为
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】 (1)先根据交点横坐标划分区间，再结合图像判断一次函数在反比例函数上方的区间，直接写出解集；
(2)先根据一次函数为y1=x+b设出交点坐标A(-4，-4+b)，B(3，3+b)，利用两点在反比例函数上的条件建立方程求出b=1，再代入A(-4，-3)，B(3，4)求出k=12，从而得到两个函数的表达式．
(3)先求出直线AB与y轴的交点P(0，1)，并根据坐标系中两点的距离公式计算出BP的长度；再根据平移距离求出两平行线的距离h，最后用三角形的面积公式，即可计算出△PBC的面积．
23．【答案】（1）解：连接OM．
∵OA=OM，
∴∠OAM=∠OMA．
∵AM是角平分线，
∴∠OAM=∠BAM．
∴∠OMA=∠BAM，
∴OM∥AB．
∵∠B=90°，
∴OM⊥BC．
∵OM是⊙O的半径，且OM⊥BC，
∴BC与⊙O相切
（2）证明：连接MF．
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CMA=∠MFC（弦切角等于所夹弧所对的圆周角）．
又∠C=∠C，
∴△CMA～△CFM（AA）．
∴，
∴ CM2＝CF·CA
（3）解：在Rt△OMC中，．
设OM=3x，则OC=5x，OF=OM=3x．
∵CF=OC-OF=5x-3x=2x=2，
∴x=1，OM=3，OC=5．
∴AC=OA+OC=3+5=8．
由(2)得CM2=CF·CA=2×8=16，
∴CM=4．
在Rt△OMC中，．
∵OM∥AB，
∴△COM～△CAB．
∴，
∴．
∵AF是直径，
∴∠AEF=90°．
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B=90°，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 (1)先连接OM，利用角平分线和平行线的判定得到OM∥AB；再结合∠B=90°推出OM⊥BC，从而判定BC与⊙O相切；
(2)先连接MF，利用弦切角定理得到∠CMA=∠MFC；再结合∠C=∠C证明△CMA～△CFM，从而得到比例式并变形得到CM2＝CF·CA ；
(3)先在Rt△OMC中，利用sinC设未知数求出OM和OC；再由(2)的结论求出MC；接着利用相似三角形求出AB；最后结合直径所对的圆周角为直角，即可求出AE．
24．【答案】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c过点A(-3，0)和C(0，-3)，
∴，解得，
∴ 二次函数的表达为y＝x2+2x-3
（2）解：如图1，过点Q作QG⊥x轴于点G，设Q(t，t2+2t-3)，
∵点Q是抛物线在第三象限上的一点，
∴-3∴x=-3或1，
∴B(1，0)，
∴OB=1，
∵C(0，-3)，
∴OC=3，
∵∠QAB=∠OBC，
∴tan∠QAB=tan∠OBC，
∴，
∴GQ=3AG，
∴-t2-2t+3=3(t+3)，解得t=-2或-3（舍去），
∴Q(-2，-3)
（3）解：y=x2+2x-3=(x+1)2-4，
∴抛物线的对称轴是直线x=-1，
如图2，四边形ACFE是平行四边形，
∵A(-3，0)，C(0，-3)，点E的横坐标为-1，
∴点F的横坐标为2，
∴F(2，5)；
如图3，四边形ACEF是平行四边形，
同理可得点F的横坐标为-4，∴F(-4，5)；
如图4，四边形AFCE是平行四边形，此时CF∥x轴，点E在x轴上，
∴F(-2，-3)，
综上，点F的坐标为(2，5)或(-4，5)或(-2，-3)
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】 (1)由待定系数法，代入已知点A，C的坐标，建立方程组求解b和c，从而得到二次函数表达式；
(2)先作辅助线，求出点B的坐标，计算tan∠OBC；再设点Q的坐标，利用角度相等得到tan∠QAB=3，建立方程求解并验证即可；
(3)先确定抛物线的对称轴，再根据平行四边形的性质分“AC为边”和“AC为对角线”两种情况，利用平行四边形对边平行且相等的性质求出点F的坐标．
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