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第2章：一元二次方程培优训练试题
一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（ ）
A．3 B．2 C．2或3 D．5
2．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
3．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（ ）．
A．且 B． C． D．
4．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x的方程恰有一个实根，则满足条件的实数a的值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，则m的值为（ ）
A．1或 B．0或 C．1 D．0
8．已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　）
A． B． C．1 D．4
9.某景区推出一款文创产品，每件成本30元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是50元时，平均每天能售出40件；当销售单价每降低2元时，平均每天就能多售出15件．该景区想要这款文创产品的销售利润平均每天达到1200元，每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是和则
12．已知实数满足方程，则的值是 ．
13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和且如果是正整数，则
14．已知m，n是方程的两根，则
15．暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价___________
16．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接，，，．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则 ； ．（以上均用含a，b的代数式表示）
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）解下列方程：
(1)； (2)．
18．（本题6分）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值．
19．（本题8分）如图，一条长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为米，如果梯子的顶端下滑米，那么底端滑动的距离与梯子顶端滑动的距离相等吗？若相等，请说明理由；若不相等，回答下列问题：
（1）梯子顶端下滑米，则底端滑动几米？（2）梯子顶端下滑多少米正好等于底端滑动的距离？
20．（本题8分）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．
(1)求甲工程队每小时修的路面长度；
(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
21．（本题10分）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________；
(2)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
22．（本题10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
(2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个．
①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？
②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明．
23．(sg jgh212wv )阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”．
(1)“友好方程”的“超强代码”是________；
(2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；
(3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值
24．（本题12分）阅读下面的例题：
求代数式的最小值．
解：．
，，
的最小值是1．
请利用以上方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值．
(2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值．
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第2章：一元二次方程培优训练试题答案
一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：C
解析：根据题意，由常数项为2，
则，
解得：或，
∵，
∴，
∴或都符合题意．
故选择：C．
2.答案：C
解析：∵方程是一元二次方程，
∴，
∵方程有实数根，
∴判别式，
解得
综上，且，
故选择：C．
3.答案：B
解析：设一元二次方程的两个根为，，
由题意得，，，
由根与系数的关系可得，，，
解得：，
∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴k的取值范围是．
故选择：B．
4.答案：D
解析：∵，
∴，
∵关于的一元二次方程有一根为，
∴有一根为，
解得，
∴一元二次方程必有一根为，
故选择：D．
5.答案：C
解析：把去分母，
得．
方程的根的情况有两种：
第一种情况：方程有两个相等的实数根，
即．
解得．
当时，则，
整理得
得．
第二种情况：方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，
即，解得或
即方程有一个根为0或2．
当时，代入式得，即．
当时，解方程，
整理得，
解得或．
而是增根，即这时方程①的另一个根是．它不使分母为零，确实是原方程的唯一根．
当时，代入①式，得，即．
当时，解方程，
则，或
此时是增根，故为方程的唯一实根；
因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是，4，6，共3个．
故选择：C．
6.答案：A
解析：设，则方程可化为，
∴，是方程的解，
则方程可化为，
∴或，即或，
∴或，即，．
故选择：．
7.答案：C
解析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
即
解得：且．
故选择：C．
8.答案：B
解析：方程的解为和，
方程的解为（需），
因为两方程解完全相同，故根的和与积相等：
∴，
解得：，
，
代入得：，
解得，
故选择：B．
9.答案：C
解析：设这款文创产品每件降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量是件，根据题意得：
，
故选择：C．
10.答案：D
解析：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，
根据题意，得，
∴，
解得： (负值舍去)，
∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：
，
∵将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，
∴，即：，
∴，即：．
故选择：D．
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
答案：16
解析：方程化为一般形式为 ，设两根分别为 ，，
则由根与系数的关系，有 ，即 ，
解得 ．
又 ，即 ，
代入
得 ，
∴ ．
故答案为：．
12.答案：3
解析：令，
则原式为，
解得，
当时，，方程有实数根，
当时，，方程没有实数根，
，
故答案为：3．
13.答案：或．
解析：∵关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，
∴，
∵，
∴，
即可得出：，，
∵整数，是正整数，
∴或，
根据题意可知：，
当时，则，，
把，代入，
解得：，
当时，，满足题意，
当时，则，，
把，代入，
解得：，
当时，，满足题意，
综上：或．
故答案为：或．
14.答案：8
解析：、是一元二次方程的两个根，
，，
，，
，，
．
故答案为：8．
15.答案：80
解析：设每件文化衫应定价为元，
，
解得：，，
∵该文化衫的售价不能超过进价的倍，
∴，
∴每件文化衫应定价为元，
故答案为：．
16.答案：
解析：由题意得，
∵正方形的面积为，
，
∵阴影部分的面积为，
，
，
，
，即，
（负值已舍），
，
故答案为：，．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）
或
解得，；
（2）解：
或
解得，．
18.解析：（1）证明：
．
∵，
∴．
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得，．
∵m是正整数，方程的两个实数根都是整数，
∴或3．
19.解析：底端滑动的距离与梯子顶端滑动的距离不相等．
由题意知，，，，
．
（1）设底端滑动x米，
由题意得，，
解得，（不合题意，舍去），
即梯子顶端下滑米，则底端滑动米；
（2）设梯子顶端下滑y米正好等于底端滑动的距离，
由题意得，，
解得，（不舍题意，舍去），
即梯子顶端下滑2米正好等于底端滑动的距离．
20.解析：（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，
根据题意得，，
解得：，
则，
∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米；
（2）解：根据题意得，
，
整理得，，
解得：（舍去），
∴m的值为18．
21.解析：（1）由题意得：；
（2）当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵，为整数，
∴，也是整数，
∴当时，S为“完美数”；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为．
22.解析：（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元，
①由题意得：，
解得：，，
当时，月销售量为个；
当时，月销售量为个，
因需要尽快减少库存，故应选择销售量大的方案，所以，舍去，
，
答：该品牌头盔的实际售价每个应定为55元；
②不能实现，理由如下：
由题意得：，
整理得：，
，
方程无实数根，
不能实现利润为12500元．
23.解析：（1）“友好方程”的“超强代码”是：，
故答案为：；
（2）解：∵是“友好方程”，
∴且为完全平方数，
∵，
∴，
∴=36或49或64，
∴或或，
∵为整数，
∴，
将代入原方程，则，
∴，
∴方程的“超强代码”为；
（3）解：方程的“超强代码”为：
，
由得：
方程的“超强代码”为：
，
由得：
∵是的“最佳搭子方程”，
∴，
即，
整理得，，
∵，均为正整数且，
∴，
∴，
即，
又∵的一个根是的一个根的2倍，
∴①当时，得：，，
②当时，，，（舍），
③当时，得：（舍），
综上所述：，．
24.解析：（1）．
，
，
的最小值是2．
（2）．
，
，
有最大值，最大值为．
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