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河北省石家庄市长安区2025-2026学年八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026八上·河北期中）4的平方根为（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·河北期中）小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（　　）．
A． B． C． D．
3．（2026八上·河北期中）下列各组数中互为相反数的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
4．（2026八上·河北期中）已知图2中的两个三角形全等，则（　　）．
A． B． C． D．
5．（2026八上·河北期中） 一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（　　）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
6．（2026八上·河北期中）若x为正整数，则的结果为（　　）
A．正整数 B．负整数 C．非正整数 D．非负整数
7．（2026八上·河北期中）下列命题的逆命题是假命题的是(　　)
A．两直线平行，同位角相等 B．全等三角形的对应边相等
C．若，则 D．如果，那么，都是负数
8．（2026八上·河北期中）嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（　　）
判断题，对的打“√”，错的打“×”
①代数式、都是分式（×）
②当时，分式无意义（√）
③若分式的值为0，则（√）
④式子从左到右变形正确（√）
⑤分式是最简分式（√）
A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤
9．（2026八上·河北期中）若实数a，b满足，则的立方根为（　　）
A．2 B． C． D．8
10．（2026八上·河北期中）一项工程，甲独做需m小时完成，若与乙合作20小时完成，则乙单独完成需要的时间是（　　）
A． B． C． D．
11．（2026八上·河北期中）池塘两端A，B的距离无法直接测量，某校数学兴趣小组的学生设计了如下甲、乙两种方案测量A，B的距离：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，点B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，，，连接，测量出的长即为A，B的距离．
乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，测量出的长即为A，B的距离．
下列判断正确的是（　　）
A．只有方案甲可行 B．只有方案乙可行
C．方案甲和乙都可行 D．方案甲和乙都不可行
12．（2026八上·河北期中）题目：当时，定义一种新运算：
例：，．若，则的值为（　　）
A． B． C．或0 D．0
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13．（2026八上·河北期中）请你写出一个小于﹣1的无理数　 　.
14．（2026八上·河北期中）已知关于的分式方程有增根，则增根是　 　．
15．（2026八上·河北期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），作，则点所表示的数为　 　．
16．（2026八上·河北期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当　 　秒时，与全等．
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2026八上·河北期中）（1）计算：；
（2）比较大小：和．
18．（2026八上·河北期中）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，
（1）若只带一块去，则应该带第　 　块玻璃（填序号）；
（2）尺规作图：根据所带的那块玻璃碎片画出与原三角形玻璃全等的三角形（记作，保留作图痕迹，不写作法．）．
19．（2026八上·河北期中）计算下列各题
（1）；
（2）．
20．（2026八上·河北期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
21．（2026八上·河北期中）某校为了美化校园环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树棵，乙组比甲组每天多植树20棵．
（1）若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值；
（2）现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务．
①直接用含x的式子分别表示甲组完成该任务、乙组完成该任务所需要的天数；
②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确．（作差法：若，则；若，则；若，则．）
22．（2026八上·河北期中）【问题提出】如图1，在四边形中，，E是的中点，平分，平分，试判断和之间的数量关系．
【问题解决】小李为解决该问题画出了如下辅助线：如图2，延长，与的延长线相交于点F．
请你结合小李所画的辅助线，回答下面的问题，并将推理过程补充完整：
和之间的数量关系为 ．理由如下：
【拓展延伸】如图3，已知是的中线，，，°，试判断线段与的数量关系，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：根据平方根的定义：若一个数x的平方等于a，则x是a的平方根．对于4，解方程x2=4，得.
故答案为：B.
【分析】平方根的定义：若一个数x的平方等于a，则x是a的平方根．算术平方根仅取非负值，而平方根包含正负两个值．
2．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【解析】【解答】解：ABD、加固方式仅增加了平行线段，未形成三角形，无法增强稳定性，ABD错误；
C、加固的线段将四边形分割为三角形，利用三角形的稳定性，可有效防止变形，C正确．
故答案为：C.
【分析】四边形具有不稳定性（易变形），而三角形具有稳定性（形状固定）．
3．【答案】C
【知识点】判断两个数互为相反数；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，故，不是相反数，A错误；
B、第二个数是方程表达式，并非具体数值，无法判断，B错误；
C、，故 ，符合相反数定义，C正确；
D、，不是相反数，D错误．
故答案为：C.
【分析】先根据，进行化简，再根据互为相反数的定义（两数之和为0）进行运算判断结果是否为0即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵在左边三角形中，边c与边a分别对应的角为58°和72°，
∴由三角形内角和定理得，边a与边c的夹角为180°-58°-72°=50°.
∵左右两个三角形全等，
∴这两个三角形的边a与边c的夹角相等，即α=50°．
故答案为：D.
【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个角，再利用全等三角形性质，找出对应角相等即可.
5．【答案】C
【知识点】无理数的估值；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵一个正方形的面积是11
∴它的边长为
∴
故答案为：C
【分析】根据正方形的面积可得它的边长为，再估算无理数的范围即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】分式的化简求值；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：.
∵x为正整数，
∴x-1=0或正整数，即非负整数.
故答案为：D.
【分析】先对分子进行因式分解，约分后简化分式；再结合x的取值范围求出结果即可.
7．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS；真命题与假命题；逆命题；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、原命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是平行线的判定定理，为真命题，A错误；
B、原命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“对应边相等的三角形是全等三角形”（SSS判定），为真命题，B错误；
C、原命题“若a=b，则a2=b2”的逆命题是“若a2=b2，则a=b”．反例：a=1，b=-1时，a2=b2但a≠b，故逆命题为假命题，C正确；
D、原命题“如果ab>0，那么a，b都是负数”本身是假命题，其逆命题“如果a，b都是负数，那么ab>0”是真命题，D错误．
故答案为：C.
【分析】先构造逆命题（交换原命题的条件与结论），再通过定理，判定或举反例的方式，验证逆命题是否成立即可.
8．【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；最简分式的概念；分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：①：分式定义是“分母含字母的式子”．分母是常数，不是分式；分母含字母，是分式．原命题“都是分式”错误，打“×”，判断正确；
②：分式无意义的条件是分母为0，即a=3．原命题正确，打“√”，判断正确；
③：分式值为0的条件是“分子为0且分母不为0”，即|x|=2且x≠2，得x=-2．原命题说x=±2错误，打“√”，判断错误；
④：分式变形需“分子分母同乘（除）非零整式”，从到，分母乘了x+2，但未说明x+2≠0，变形错误．原命题错误，打“√”，判断错误；
⑤：最简分式是“分子分母无公因式”，分子分母无公因式，是最简分式．原命题正确，打“√”，判断正确．
综上，嘉淇做对的题目是①②⑤，B正确．
故答案为：B.
【分析】分别根据分式定义，分式无意义条件，分式值为零的条件，分式变形的等价性以及最简分式的判断，需逐一分析每个判断题的正误，结合嘉琪的判断（“√”或“×”）确定其是否正确即可．
9．【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∴a-2=0，b-3=0，
∴a=2，b=3.
∴a+2b的立方根为.
故答案为：A.
【分析】根据“非负数的和为0，则每一个非负数都为0”的性质，得出，进而求出a和b的值；再代入计算a+2b，最后求其立方根.
10．【答案】A
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【分析】由题意可得甲的工作效率为，两人合作的工作效率为，即可得到乙的工作效率，从而可以求得结果。
【解答】由题意得乙单独完成需要的时间是小时。
故选A.
【点评】解答本题的关键是读懂题意，正确表示出甲的工作效率为以及两人合作的工作效率。
11．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：方案甲：
∵CO=AO，DO=BO，
又∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB=CD，即测量CD的长度即可得AB的距离，
∴方案甲可行．
方案甲：
在△AOB和△COD中，只知道∠BDC=∠ADB，BD=BD，不能判断△AOB和△COD全等，故方案乙不可行.
综上，方案甲可行，方案乙不可行.
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的判定：SAS（两边及其夹角相等），ASA（两角及其夹边相等），依次对两个方案进行判断即可.
12．【答案】A
【知识点】解分式方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：情况1：
当m>2时，
代入等式 ，得
，整理得-2(m-1)=m-2，解得.
又m>2，
∴
情况2：
当m<2时，
代入等式 ，得
，整理得4+2m=2-m，解得.
又m>2，
∴情况2无解.
综上，.
故答案为：A.
【分析】根据题目定义的新运算F(a，b)，分情况讨论m与2的大小关系（即m>2和m<2时）；建立方程并求解，再验证解的合理性，即可得出答案．
13．【答案】-1.010010001......(答案不唯一）
【知识点】实数的大小比较；无理数的概念
【解析】【解答】解： -1.010010001......(答案不唯一） .
故答案为： -1.010010001......(答案不唯一） .
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数进行解答.
14．【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵原分式方程有增根，
∴x-2=0且2-x=0，解得x=2，
∴该分式方程的增根是x=2．
故答案为：x=2.
【分析】根据分式方程增根的判定（使分式方程分母为0的根，即为该方程的增根），令分母等于0，求解即可．
15．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵正方形面积为10，
∴边长．
∵点A在数轴上表示的数为1，点M在A的右侧，
∴，
∴点M表示的数为．
故答案为：.
【分析】先利用算术平方根计算出正方形的边长AD；再确定M的位置，进而得出AM的长；最后利用数轴知识，计算点M对应的数值，即可得出答案.
16．【答案】2或或12
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形-动点问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：①如图1，Q在BC上，点P在AC上时，作PE⊥l，QF⊥l，
由题意得，AP=t，BQ=2t，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴CP=6-t，CQ=8-2t，
∵∠PEC=∠CFQ=∠ACB=90°，
∴∠CPE+∠PCE=∠PCE+∠FCQ=90°，
∴∠CPE=∠FCQ，
∵△PEC≌△CFQ，
∴PC=CQ，即6-t=8-2t，解得t=2；
②如图2，当点P与点Q重合时，
由题意得，AP=t，BQ=2t，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴CP=6-t，CQ=8-2t，
∵△PEC≌△QFC，
∴PC=CQ，∴6-t=2t-8，解得；
③如图3，当点Q与A重合时，
由题意得，AP=t，
∵AC=6cm，
∴CP=t-6，CQ=6，
∵∠QCF+∠CQF=∠QCF+∠PCE=90°，
∴∠CQF=∠PCE，
∵△PEC≌△CFQ，
∴PC=CQ，即t-6=6，解得t=12；
综上所述，当t=2秒或秒或12秒时，△PEC与△QFC全等.
故答案为：2或或12.
【分析】根据动点路径分析，即P在AC上，Q在BC上时；点P与点Q重合时；点Q与A重合时时分三个阶段讨论，利用全等条件（直角三角形全等需直角边对应相等），分别列方程求解，即6-t=8-2t，解得t=2；6-t=2t-8，解得t=；t+6=6，求解得t=12，并验证是否符合阶段范围即可．
17．【答案】（1）解：.
（2）解：∵，
∴3>2.8，
∴.
【知识点】实数的大小比较；有理数的加、减混合运算；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】 (1) 先根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，最后根据有理数的加减法进行运算，即可得出答案；
(2)先分别将无理数，带分数进行平方运算，再进行有理数的大小进行比较，即可得出答案.
18．【答案】（1）③
（2）如图，△ABC即为所求．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解：(1)要配完全一样的三角形玻璃，需利用全等三角形的判定条件．
第①块：仅含原三角形的部分边，无法确定三角形形状；
第②块：仅含原三角形的部分角，无法确定边长；
第③块：包含原三角形的“两角及夹边”，符合全等三角形的“ASA”判定条件，可唯一确定原三角形的形状和大小．
故答案为：③.
【分析】(1)根据三角形全等的判定-ASA（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等），通过含“两角及夹边”的碎片确定原三角形的形状；
(2)根据尺规作图-作三角形，先作等于原长的边BC，再作∠B=∠1，∠C=∠2，最后延长BF，CE交于A，即可作出△ABC.
19．【答案】（1）解：
（2）解：

【知识点】分式的乘除法；分式的化简求值；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】 (1)先将分式进行通分，再进行减法运算即可；
(2)先分解因式并转化为乘法，再约分求解即可。
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴△CDF≌△EBA(ASA).
（2）解：由(1) △CDF≌△EBA得∠E=∠FCD=45°，
在△EBA中，∠ABE=180°-∠A-∠E=180°-80°-45°=55°，
∵∠DBE+∠ABE=180°，
∴∠DBE=180°-55°=125°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】 (1)先根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等），求出∠FDC=∠EBA；再根据三角形全等的判定-ASA条件，即可证明△CDF≌△EBA；
(2)先根据三角形全等的性质，得出∠E=∠FCD；再利用三角形内角和定理，求出∠ABE；最后根据邻补角的性质，即可求出∠DBE的度数.
21．【答案】（1）解：因为甲组每天植树x棵，所以乙组每天植树(x+20)棵，依题意得
，
整理得1000(x+20)=1200x，
解得x=100.
经检验，x=100是原方程的解，且x>80符合题意.
故x的值为100.
（2）解：①甲组：天；乙组：天；
②，
∵x>80，∴-40x+3200<0，x(x+20)>0，
∴，即.
故甲组完成任务的时间更少，嘉淇的说法正确．
【知识点】实数的大小比较；分式的加减法；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】 (1)根据“时间=工作量÷工作效率”，结合时间相同列出分式方程，求解并检验即可；
(2)①根据“时间=工作量÷工作效率”，列出代数式即可；
②先通过作差法进行通分化简，再根据x的值分析分子与分母的大小关系，最后进行比较大小，即可判断嘉淇说法是正确的.
22．【答案】【问题解决】解：理由如下：
∵AB∥DC，
∴∠ABE=∠F.
∴E是AD中点，
∴AE=DE，
又∠AEB=∠DEF（对顶角相等），
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴AB=DF.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
又∵∠ABE=∠F，
∴∠CBE=∠F，
∴BC=CF.
∵CF=CD+DF，AB=DF，
∴BC=CD+AB．
故答案为：BC=CD+CB.
【拓展延伸】数量关系：EF=2AD.
证明：延长AD至G，使DG=AD，连接CG.
∵AD是中线，
∴BD=CD.
又∠ADB=∠GDC，
∴△ABD≌△GCD（SAS），
∴AD=GD，AB=CG，∠BAD=∠G.
∵AB=AE，
∴AE=CG.
∵∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°．
∵∠BAD=∠G.
∴AB∥CG，
∴∠BAC＝∠GCA，
∴∠EAF=∠GCA.
在△AEF和△CGA中，
∴△AEF≌△CGA（SAS），
∴EF=AG.
∵AD=GD，即AG=2AD，
∴EF=2AD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】【问题解决】先根据平行线的性质和线段的中线，证明△ABE≌△DFE（AAS），进而求出AB＝DF；再根据角平分线的性质，得出∠ABE=∠CBE；接着通过角度的等量代换，得出∠CBE=∠F，从而根据等角对等边，求出BC＝CF；最后根据边的等量代换，即可证明BC=CD+CB.
【拓展延伸】先通过作辅助线，得出DG＝AD，结合中线的性质，证明△ABD≌△GCD（SAS）；再根据全等三角形的性质，得出AB=CG，∠BAD=∠G，并结合已知条件AB=AE，得出AE=CG；接着根据已知条件∠BAE=∠CAF=90°，利用平行线的性质证明∠EAF=∠GCA，从而证明△AEF≌△CGA（SAS），从而得出EF=AG；最后通过边的等量代换，即可证明EF=2AD.
1 / 1河北省石家庄市长安区2025-2026学年八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026八上·河北期中）4的平方根为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：根据平方根的定义：若一个数x的平方等于a，则x是a的平方根．对于4，解方程x2=4，得.
故答案为：B.
【分析】平方根的定义：若一个数x的平方等于a，则x是a的平方根．算术平方根仅取非负值，而平方根包含正负两个值．
2．（2026八上·河北期中）小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【解析】【解答】解：ABD、加固方式仅增加了平行线段，未形成三角形，无法增强稳定性，ABD错误；
C、加固的线段将四边形分割为三角形，利用三角形的稳定性，可有效防止变形，C正确．
故答案为：C.
【分析】四边形具有不稳定性（易变形），而三角形具有稳定性（形状固定）．
3．（2026八上·河北期中）下列各组数中互为相反数的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【知识点】判断两个数互为相反数；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，故，不是相反数，A错误；
B、第二个数是方程表达式，并非具体数值，无法判断，B错误；
C、，故 ，符合相反数定义，C正确；
D、，不是相反数，D错误．
故答案为：C.
【分析】先根据，进行化简，再根据互为相反数的定义（两数之和为0）进行运算判断结果是否为0即可.
4．（2026八上·河北期中）已知图2中的两个三角形全等，则（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵在左边三角形中，边c与边a分别对应的角为58°和72°，
∴由三角形内角和定理得，边a与边c的夹角为180°-58°-72°=50°.
∵左右两个三角形全等，
∴这两个三角形的边a与边c的夹角相等，即α=50°．
故答案为：D.
【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个角，再利用全等三角形性质，找出对应角相等即可.
5．（2026八上·河北期中） 一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（　　）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵一个正方形的面积是11
∴它的边长为
∴
故答案为：C
【分析】根据正方形的面积可得它的边长为，再估算无理数的范围即可求出答案.
6．（2026八上·河北期中）若x为正整数，则的结果为（　　）
A．正整数 B．负整数 C．非正整数 D．非负整数
【答案】D
【知识点】分式的化简求值；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：.
∵x为正整数，
∴x-1=0或正整数，即非负整数.
故答案为：D.
【分析】先对分子进行因式分解，约分后简化分式；再结合x的取值范围求出结果即可.
7．（2026八上·河北期中）下列命题的逆命题是假命题的是(　　)
A．两直线平行，同位角相等 B．全等三角形的对应边相等
C．若，则 D．如果，那么，都是负数
【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定-SSS；真命题与假命题；逆命题；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、原命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是平行线的判定定理，为真命题，A错误；
B、原命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“对应边相等的三角形是全等三角形”（SSS判定），为真命题，B错误；
C、原命题“若a=b，则a2=b2”的逆命题是“若a2=b2，则a=b”．反例：a=1，b=-1时，a2=b2但a≠b，故逆命题为假命题，C正确；
D、原命题“如果ab>0，那么a，b都是负数”本身是假命题，其逆命题“如果a，b都是负数，那么ab>0”是真命题，D错误．
故答案为：C.
【分析】先构造逆命题（交换原命题的条件与结论），再通过定理，判定或举反例的方式，验证逆命题是否成立即可.
8．（2026八上·河北期中）嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（　　）
判断题，对的打“√”，错的打“×”
①代数式、都是分式（×）
②当时，分式无意义（√）
③若分式的值为0，则（√）
④式子从左到右变形正确（√）
⑤分式是最简分式（√）
A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤
【答案】B
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；最简分式的概念；分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：①：分式定义是“分母含字母的式子”．分母是常数，不是分式；分母含字母，是分式．原命题“都是分式”错误，打“×”，判断正确；
②：分式无意义的条件是分母为0，即a=3．原命题正确，打“√”，判断正确；
③：分式值为0的条件是“分子为0且分母不为0”，即|x|=2且x≠2，得x=-2．原命题说x=±2错误，打“√”，判断错误；
④：分式变形需“分子分母同乘（除）非零整式”，从到，分母乘了x+2，但未说明x+2≠0，变形错误．原命题错误，打“√”，判断错误；
⑤：最简分式是“分子分母无公因式”，分子分母无公因式，是最简分式．原命题正确，打“√”，判断正确．
综上，嘉淇做对的题目是①②⑤，B正确．
故答案为：B.
【分析】分别根据分式定义，分式无意义条件，分式值为零的条件，分式变形的等价性以及最简分式的判断，需逐一分析每个判断题的正误，结合嘉琪的判断（“√”或“×”）确定其是否正确即可．
9．（2026八上·河北期中）若实数a，b满足，则的立方根为（　　）
A．2 B． C． D．8
【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∴a-2=0，b-3=0，
∴a=2，b=3.
∴a+2b的立方根为.
故答案为：A.
【分析】根据“非负数的和为0，则每一个非负数都为0”的性质，得出，进而求出a和b的值；再代入计算a+2b，最后求其立方根.
10．（2026八上·河北期中）一项工程，甲独做需m小时完成，若与乙合作20小时完成，则乙单独完成需要的时间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【分析】由题意可得甲的工作效率为，两人合作的工作效率为，即可得到乙的工作效率，从而可以求得结果。
【解答】由题意得乙单独完成需要的时间是小时。
故选A.
【点评】解答本题的关键是读懂题意，正确表示出甲的工作效率为以及两人合作的工作效率。
11．（2026八上·河北期中）池塘两端A，B的距离无法直接测量，某校数学兴趣小组的学生设计了如下甲、乙两种方案测量A，B的距离：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，点B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，，，连接，测量出的长即为A，B的距离．
乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，测量出的长即为A，B的距离．
下列判断正确的是（　　）
A．只有方案甲可行 B．只有方案乙可行
C．方案甲和乙都可行 D．方案甲和乙都不可行
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：方案甲：
∵CO=AO，DO=BO，
又∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB=CD，即测量CD的长度即可得AB的距离，
∴方案甲可行．
方案甲：
在△AOB和△COD中，只知道∠BDC=∠ADB，BD=BD，不能判断△AOB和△COD全等，故方案乙不可行.
综上，方案甲可行，方案乙不可行.
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的判定：SAS（两边及其夹角相等），ASA（两角及其夹边相等），依次对两个方案进行判断即可.
12．（2026八上·河北期中）题目：当时，定义一种新运算：
例：，．若，则的值为（　　）
A． B． C．或0 D．0
【答案】A
【知识点】解分式方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：情况1：
当m>2时，
代入等式 ，得
，整理得-2(m-1)=m-2，解得.
又m>2，
∴
情况2：
当m<2时，
代入等式 ，得
，整理得4+2m=2-m，解得.
又m>2，
∴情况2无解.
综上，.
故答案为：A.
【分析】根据题目定义的新运算F(a，b)，分情况讨论m与2的大小关系（即m>2和m<2时）；建立方程并求解，再验证解的合理性，即可得出答案．
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13．（2026八上·河北期中）请你写出一个小于﹣1的无理数　 　.
【答案】-1.010010001......(答案不唯一）
【知识点】实数的大小比较；无理数的概念
【解析】【解答】解： -1.010010001......(答案不唯一） .
故答案为： -1.010010001......(答案不唯一） .
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数进行解答.
14．（2026八上·河北期中）已知关于的分式方程有增根，则增根是　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵原分式方程有增根，
∴x-2=0且2-x=0，解得x=2，
∴该分式方程的增根是x=2．
故答案为：x=2.
【分析】根据分式方程增根的判定（使分式方程分母为0的根，即为该方程的增根），令分母等于0，求解即可．
15．（2026八上·河北期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），作，则点所表示的数为　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵正方形面积为10，
∴边长．
∵点A在数轴上表示的数为1，点M在A的右侧，
∴，
∴点M表示的数为．
故答案为：.
【分析】先利用算术平方根计算出正方形的边长AD；再确定M的位置，进而得出AM的长；最后利用数轴知识，计算点M对应的数值，即可得出答案.
16．（2026八上·河北期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当　 　秒时，与全等．
【答案】2或或12
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形-动点问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：①如图1，Q在BC上，点P在AC上时，作PE⊥l，QF⊥l，
由题意得，AP=t，BQ=2t，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴CP=6-t，CQ=8-2t，
∵∠PEC=∠CFQ=∠ACB=90°，
∴∠CPE+∠PCE=∠PCE+∠FCQ=90°，
∴∠CPE=∠FCQ，
∵△PEC≌△CFQ，
∴PC=CQ，即6-t=8-2t，解得t=2；
②如图2，当点P与点Q重合时，
由题意得，AP=t，BQ=2t，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴CP=6-t，CQ=8-2t，
∵△PEC≌△QFC，
∴PC=CQ，∴6-t=2t-8，解得；
③如图3，当点Q与A重合时，
由题意得，AP=t，
∵AC=6cm，
∴CP=t-6，CQ=6，
∵∠QCF+∠CQF=∠QCF+∠PCE=90°，
∴∠CQF=∠PCE，
∵△PEC≌△CFQ，
∴PC=CQ，即t-6=6，解得t=12；
综上所述，当t=2秒或秒或12秒时，△PEC与△QFC全等.
故答案为：2或或12.
【分析】根据动点路径分析，即P在AC上，Q在BC上时；点P与点Q重合时；点Q与A重合时时分三个阶段讨论，利用全等条件（直角三角形全等需直角边对应相等），分别列方程求解，即6-t=8-2t，解得t=2；6-t=2t-8，解得t=；t+6=6，求解得t=12，并验证是否符合阶段范围即可．
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2026八上·河北期中）（1）计算：；
（2）比较大小：和．
【答案】（1）解：.
（2）解：∵，
∴3>2.8，
∴.
【知识点】实数的大小比较；有理数的加、减混合运算；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】 (1) 先根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，最后根据有理数的加减法进行运算，即可得出答案；
(2)先分别将无理数，带分数进行平方运算，再进行有理数的大小进行比较，即可得出答案.
18．（2026八上·河北期中）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，
（1）若只带一块去，则应该带第　 　块玻璃（填序号）；
（2）尺规作图：根据所带的那块玻璃碎片画出与原三角形玻璃全等的三角形（记作，保留作图痕迹，不写作法．）．
【答案】（1）③
（2）如图，△ABC即为所求．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解：(1)要配完全一样的三角形玻璃，需利用全等三角形的判定条件．
第①块：仅含原三角形的部分边，无法确定三角形形状；
第②块：仅含原三角形的部分角，无法确定边长；
第③块：包含原三角形的“两角及夹边”，符合全等三角形的“ASA”判定条件，可唯一确定原三角形的形状和大小．
故答案为：③.
【分析】(1)根据三角形全等的判定-ASA（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等），通过含“两角及夹边”的碎片确定原三角形的形状；
(2)根据尺规作图-作三角形，先作等于原长的边BC，再作∠B=∠1，∠C=∠2，最后延长BF，CE交于A，即可作出△ABC.
19．（2026八上·河北期中）计算下列各题
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：

【知识点】分式的乘除法；分式的化简求值；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】 (1)先将分式进行通分，再进行减法运算即可；
(2)先分解因式并转化为乘法，再约分求解即可。
20．（2026八上·河北期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴△CDF≌△EBA(ASA).
（2）解：由(1) △CDF≌△EBA得∠E=∠FCD=45°，
在△EBA中，∠ABE=180°-∠A-∠E=180°-80°-45°=55°，
∵∠DBE+∠ABE=180°，
∴∠DBE=180°-55°=125°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】 (1)先根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等），求出∠FDC=∠EBA；再根据三角形全等的判定-ASA条件，即可证明△CDF≌△EBA；
(2)先根据三角形全等的性质，得出∠E=∠FCD；再利用三角形内角和定理，求出∠ABE；最后根据邻补角的性质，即可求出∠DBE的度数.
21．（2026八上·河北期中）某校为了美化校园环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树棵，乙组比甲组每天多植树20棵．
（1）若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值；
（2）现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务．
①直接用含x的式子分别表示甲组完成该任务、乙组完成该任务所需要的天数；
②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确．（作差法：若，则；若，则；若，则．）
【答案】（1）解：因为甲组每天植树x棵，所以乙组每天植树(x+20)棵，依题意得
，
整理得1000(x+20)=1200x，
解得x=100.
经检验，x=100是原方程的解，且x>80符合题意.
故x的值为100.
（2）解：①甲组：天；乙组：天；
②，
∵x>80，∴-40x+3200<0，x(x+20)>0，
∴，即.
故甲组完成任务的时间更少，嘉淇的说法正确．
【知识点】实数的大小比较；分式的加减法；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】 (1)根据“时间=工作量÷工作效率”，结合时间相同列出分式方程，求解并检验即可；
(2)①根据“时间=工作量÷工作效率”，列出代数式即可；
②先通过作差法进行通分化简，再根据x的值分析分子与分母的大小关系，最后进行比较大小，即可判断嘉淇说法是正确的.
22．（2026八上·河北期中）【问题提出】如图1，在四边形中，，E是的中点，平分，平分，试判断和之间的数量关系．
【问题解决】小李为解决该问题画出了如下辅助线：如图2，延长，与的延长线相交于点F．
请你结合小李所画的辅助线，回答下面的问题，并将推理过程补充完整：
和之间的数量关系为 ．理由如下：
【拓展延伸】如图3，已知是的中线，，，°，试判断线段与的数量关系，并加以证明．
【答案】【问题解决】解：理由如下：
∵AB∥DC，
∴∠ABE=∠F.
∴E是AD中点，
∴AE=DE，
又∠AEB=∠DEF（对顶角相等），
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴AB=DF.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
又∵∠ABE=∠F，
∴∠CBE=∠F，
∴BC=CF.
∵CF=CD+DF，AB=DF，
∴BC=CD+AB．
故答案为：BC=CD+CB.
【拓展延伸】数量关系：EF=2AD.
证明：延长AD至G，使DG=AD，连接CG.
∵AD是中线，
∴BD=CD.
又∠ADB=∠GDC，
∴△ABD≌△GCD（SAS），
∴AD=GD，AB=CG，∠BAD=∠G.
∵AB=AE，
∴AE=CG.
∵∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°．
∵∠BAD=∠G.
∴AB∥CG，
∴∠BAC＝∠GCA，
∴∠EAF=∠GCA.
在△AEF和△CGA中，
∴△AEF≌△CGA（SAS），
∴EF=AG.
∵AD=GD，即AG=2AD，
∴EF=2AD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】【问题解决】先根据平行线的性质和线段的中线，证明△ABE≌△DFE（AAS），进而求出AB＝DF；再根据角平分线的性质，得出∠ABE=∠CBE；接着通过角度的等量代换，得出∠CBE=∠F，从而根据等角对等边，求出BC＝CF；最后根据边的等量代换，即可证明BC=CD+CB.
【拓展延伸】先通过作辅助线，得出DG＝AD，结合中线的性质，证明△ABD≌△GCD（SAS）；再根据全等三角形的性质，得出AB=CG，∠BAD=∠G，并结合已知条件AB=AE，得出AE=CG；接着根据已知条件∠BAE=∠CAF=90°，利用平行线的性质证明∠EAF=∠GCA，从而证明△AEF≌△CGA（SAS），从而得出EF=AG；最后通过边的等量代换，即可证明EF=2AD.
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