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浙江省杭州市弘益中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八上·杭州期中） 数学考试必备学习用具：黑色的水笔，铅笔、橡皮、圆规，三角板全套、量角器，下列学习用具所抽象出的几何图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：对A选项，为轴对称图形，故A不符合题意；
对B选项，为轴对称图形，故B不符合题意；
对C选项，不是轴对称图形，故C符合题意；
对D选项，为轴对称图形，故D不符合题意；
故答案：C.
【分析】直接由轴对称图形的性质：沿某直线折叠可完全重合，即可得结果.
2．（2025八上·杭州期中） 下列长度（单位：）的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．5，5，13 B．1，2，3 C．5，7，12 D．11，12，13
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：对A选项，5+5<13，不能构造三角形，故A不符合题意；
对B选项，1+2=3，不能构造三角形，故B不符合题意；
对A选项，5+7<12，不能构造三角形，故C不符合题意；
对D选项，11+12>13，能构造三角形，故D符合题意；
故答案：D.
【分析】直接由三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，依次判断即可.
3．（2025八上·杭州期中）a，b都是实数，且aA． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，故B错误；
C、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故C正确；
D、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断：
4．（2025八上·杭州期中）下列选项中，的值可以作为命题“若，则”是假命题的反例的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当时，有，此时，
∴用来证明命题“，则”是假命题的反例可以是：，
故答案为：C．
【分析】根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，结合选项进行求解即可.
5．（2025八上·杭州期中）如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝15°，∠B＝75° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a＝，b＝，c＝ D．a＝6，b＝10，c＝12
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
B、∵，
∴设，
∴，
解得：，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
D、∵，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形内角和定理求出，即可判断A不符合题意；设，利用三角形内角和定理列出关于的方程并解之可求出，即可判断B不符合题意；利用勾股定理逆定理即可判断C不符合题意，D符合题意.
6．（2025八上·杭州期中） 如图，，为使，可以补充的条件是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：对A选项， ，，边边角，无法证明，故A不符合题意；
对B选项， ，，边边角，无法证明，故B不符合题意；
对C选项， ∠1=∠2得∠BAD=∠CAE，又，可证明(SAS)，故C符合题意；
对D选项， ，，无法证明，故D不符合题意；
故答案：C.
【分析】根据各选项的条件，结合题中条件，依次判断能否证明全等即可.
7．（2025八上·杭州期中） 如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵E为AD的中点
∴
∴
∵F为EC的中点
∴
故答案：C.
【分析】分别由E、F为AD和CE的中点可得.
8．（2025八上·杭州期中） 如图所示，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ME、NF垂直平分AB、AC
∴MA=MB，NA=NC
∴∠BAM=∠B，∠CAN=∠C
∵∠B+∠C=180°-BAC
∴∠B+∠C=180°-130°=50°
∴∠BAM+∠CAN=50°
∴∠MAN=∠BAC-∠BAM-∠CAN=130°-50°=80°
故答案：A.
【分析】由垂直平分线的性质可得∠BAM=∠B，∠CAN=∠C，结合三角形内角和定理得∠B=∠C=50°，由此可得∠MAN的度数.
9．（2025八上·杭州期中） 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理知AC=，设B到AC的距离为d，
，
即有，得d=.
故答案：B.
【分析】由勾股定理知AC的长，同时求出△ABC的面积，由等面积法可得，由此可得点B到AC的距离.
10．（2025八上·杭州期中） 如图，在中，，平分，于点E，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=45°，BE⊥AC
∴∠BCE=90°-∠ACB=45°
∴BE=CE
∵EF⊥BC
∴BF=FC，故①正确；
∵∠A+∠ABE=90°，∠A+∠ACD=90°
∴∠ABE=∠ACD，故②正确；
过点H作HI⊥BC于点I，
∵CD平分∠ACB，HE⊥AC，HI⊥BC
∴HI=HE
∵在△BHI中，BH>HI
∴BH>HE，故③错误；
连接BG，
∵EB=EC，EF⊥BC
∴EF平分∠BEC
又∵CD平分∠ACB
∴BG平分∠EBC
∵∠ACB=∠EBC=45°
∴∠CBG=∠GCB=22.5°
∵∠DGB为△BGC的外角
∴∠DGB=∠GBC+∠GCB=22.5°+22.5°=45°
∴∠DBG=90°-∠DBG=90°-45°=45°
∴BD=DG，故④正确；
综上所述，①②④正确；
故答案：B.
【分析】由等腰三角形”三线合一“知BF=FC，由垂直知∠A与∠ABE与∠ACD都互余，即得∠ABE=∠ACD，作HI⊥BC于点I，由角平分线的性质知HE=HI，又BH>HI得HB>HE，连接BG，由角平分线与外角的性质得∠BGD=45°，由此可得BD=DG.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八上·杭州期中） “与5的差大于的4倍”用不等式表示为　 　．
【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：由题意得.
故答案：.
【分析】直接由题中不等关系列出不等式即可.
12．（2025八上·杭州期中） 写出“全等三角形三边相等”的逆命题　 　．
【答案】两个三角形三边相等，则这两个三角形全等
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：逆命题为"两个三角形三边相等，则这两个三角形全等".
故答案：两个三角形三边相等，则这两个三角形全等.
【分析】直接将条件和结论对调即得其逆命题.
13．（2025八上·杭州期中）已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为　 　.
【答案】4或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：题目所给条件未明确说明两边的关系，需分情况讨论：
①当5为斜边，3为直角边时，则第三边长为4；
②当5和3均为直角边时，则第三边长为；
故答案为：4或。
【分析】根据题目所给条件，要分析出所给两边的关系，在利用勾股定理进行求解即可。
14．（2025八上·杭州期中） 如图所示，在中，，平分，交于点，且，则的面积是　 　．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DE⊥BC
∴DE=AD=2
∴
故答案：5.
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，由角平分线的性质知DE=AD=2，由此可得△BCD的面积.
15．（2025八上·杭州期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在AB，BC上，连结 CD，DE，若BC= BD，AC=1，∠CDE=45°， 则BE的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝BD=1
∴AB=，∠A＝∠B＝45°．
∵∠CDB＝∠A＋∠ACD＝∠CDE＋∠BDE，∠CDE＝45°，
∴∠ACD＝∠BDE，
∴△CAD△DBE，
∴BE=AD=AB-BD=．
故答案是：
【分析】先利用勾股定理求出AB=，然后利用AAS得到△CAD△DBE，即可得到BE=AD解题即可．
16．（2025八上·杭州期中） 如图，中，，，，点是的中点，点是边上一个动点，将沿着折叠得到．
⑴当时，的长为　 　；
⑵当时，的长为　 　．
【答案】；或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：(1)∵D为AB的中点
∴AD=AB=2
∵由折叠AD=A'D，又AD⊥A'D
∴AA'=
(2)如图，有以下2种情况，
①过点D作DF⊥AC于点F，DF=AD=1，AF=，
由折叠知△AED≌△A'ED，∠AEA'=90°，得∠AED=∠A'ED=135°，
∠FED=∠A'ED-90°=135°-90°=45°，
EF=DF=1，故AE=
②同理作DF⊥AC于点F，由折叠知△AED≌△A'ED，A'E⊥AC，故∠DEF=45°，EF=DF=1，
AF=，得AE=
综上所述，AE的长为或.
【分析】(1)由折叠的性质和知ADA'为等腰直角三角形，即可得AA'的长；
(2)由题意画出满足题意的2种情形，利用折叠的性质可分别得到AE的长.
三、解答题（本题8小题，17、18、19、20、21每题8分，22、23每题10分，24每题12分，共72分，各小题都必须写出解答过程）
17．（2025八上·杭州期中）
（1）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来．
（2）若，比较和的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：5x>3x-6+2
5x-3x>-4
2x>-4
x>-2
（2）解：x>y得-x<-y
得
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】(1)去括号后移项再合并同类项，系数化1即得不等式的解集，在数轴上表示其解集；
(2)根据不等式的性质即可得两代数式的大小.
18．（2025八上·杭州期中） 如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于；
（2）连接，求证：平分．
【答案】（1）解：
（2）解：如图
∵DE垂直平分AC
∴AD=CD
∴∠DAC=∠DCA=36°
∵AB=AC
∴∠ACB=
∴∠ACB=2∠ACD
∴CD平分∠ACB
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)根据垂直平分线的作图方法作图即可；
(2)由垂直平分线的性质知DA=DC，即得∠DCA=36°，由等腰三角形的性质知∠ACB=72°，由此可证角平分线.
19．（2025八上·杭州期中） 如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）当，，时，求的长．
【答案】（1）解：∵CF||AB
∴∠DCF=∠DBE
∵AD为BC边上的中线
∴BD=CD
又∵∠BDE=∠CDF
∴△BDE≌△CDF(ASA)
∴BE=CF
（2）解：∵AD为BC边上的中线，AD⊥BC
∴AB=AC
∵AB=AE+BE=3+5=8
∴AC=8
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)由CF||AB得∠DCF=∠DBE，结合中线和对顶角可证△BDE≌△CDF，即得BE=CF；
(2)由"AD为中线且AD⊥BC"知AB=AC，BE=CF，可得AB的长，即为AC的长.
20．（2025八上·杭州期中） 已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值．
【答案】解：由不等式得6x-5x>-2-1即x>-3，其最小整数为-2，代入方程得
-4+2a=3，解得a=
将a=代入得
原式=
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】求解不等式即可得最小整数解，代入方程可得a的值，再将a的值代入代数式即得结果.
21．（2025八上·杭州期中） 如图，，，，，，
（1）判断的形状并说明理由；
（2）计算四边形的面积．
【答案】（1）解：连接AC，AC=，
，即有
故是直角三角形
（2）解：
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】(1)连接AC，由勾股定理得AC=5，由此得，即可判断△ACD为直角三角形；
(2)用△ACD的面积减去△ABC的面积即得四边形ABCD的面积.
22．（2025八上·杭州期中） 如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点，连结，，取的中点为点．
（1）求证：；
（2）当时，求证：是等腰直角三角形；
（3）在（2）的条件下，当时，求的长．
【答案】（1）解：∵CE⊥AB，BD⊥AC，F为BC的中点
∴EF=BC，DF=BC
∴EF=DF
∵G为DE的中点
∴FG⊥DE
（2）解：∵EF=BF
∴∠FEB=∠FBE
∴∠EFB=180°-∠FEB-∠FBE=180°-2∠FBE
同理∠DFC=180°-2∠DCF
∵∠EFD=180°-∠EBB-∠DFC
∴∠EFD=180°-(180°-2∠FBE)-(180°-2∠DCF)=2(∠FBE+∠DCF)-180°
∵∠FBE+∠DCF=180°-∠A=180°-45°=135°
∴∠EFD=2×135°-180°=90°
∵FE=FD
∴△EFD为等腰直角三角形
（3）解：由(1)(2)知FE=FD=BC=2
DE=
∵F为DE的中点
∴FG=DE=
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半可知EF=DF，由等腰三角形的的性质得FG⊥DE；
(2)由(1)等腰三角形的性质得∠EFD=2(∠FBE+∠DCF)-180°，∠FBE+∠DCF=135°，由此可得∠EFD=90°，即知△EFD为等腰直角三角形；
(3)由勾股定理得DE的=2，由直角三角形的性质得GF的长.
23．（2025八上·杭州期中） 【探究与发现】
数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题：
（1）【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（　　）
A． B． C． D．
（2）【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是　 　；
（3）【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：．
【答案】（1）B
（2）
（3）解：延长AE至点H，使EH=AE，连接CH，
∵E为BC的中点
∴EB=EC
∵∠AEB=∠HEC
∴△ABE≌△HEC(SAS)
∴∠BAE=∠H，AB=CH
∵GF平分∠BGC
∴∠BGF=∠CGF
∵ED||GF
∴∠D=∠CGF，∠DAG=∠BGF
∴∠D=∠BAE
∴∠D=∠H
∴CD=CH
∴AB=CD
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：(1)∵E为BC的中点
∴EB=EC
∵在△ABE和△FCE中
∴(SAS)
(2)延长AD至点E，使DE=AD，连接CE
∵D为BC的中点
∴DB=DC
又∵∠ADB=∠CDE
∴△ABD≌△ECD(SAS)
∴CE=AB=5
在△ACE中，AC-CE故答案为：2【分析】(1)根据题中条件DB=DC，∠ADB=∠CDE，即得全等的依据；
(2)延长AD至点E，使DE=AD，连接CE，可证△ABD≌△ECD，在△ACE中，由三边关系可得AD的范围；
(3)延长AE至H使EH=AE，连接CH，可证△ABE≌△HEC，得AB=CD，∠ABE=∠H，同时由角平分线和平行的性质得∠BAE=∠D，由此得∠D=∠H，得CD=CH，即知AB=CD.
24．（2025八上·杭州期中） 定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．
（1）如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为　 　，的度数为　 　．
（2）如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点按顺时针排列），，交于点D，连结，，当时，求证：是的智慧线．
（3）如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积．
【答案】（1）；
（2）解：∵△ABC和△AEF为等腰直角三角形
∴AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°
∴∠BAE=∠CAF
∴△ABE≌△ACF(SAS)
∴∠ABE=∠ACF=180°-∠ACB=180°-45°=135°
∵∠ABC=45°
∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=135°-45°=90°
∴△BDE为直角三角形
∵∠BDE为△CDE的外角
∴∠BDE=∠BCE+∠CED
∵∠BDE=2∠BCE
∴∠BCE=∠CED
∴△CDE为等腰三角形
∴DE为△BCE的智慧线
（3）解：如图，有两种情况即过点C作CD1⊥AB，CD2⊥AC，
①设AD=x，则AB=5+x，由勾股定理得，即有，解得x=3，
得CD1=4，
②∠ACD1+∠D2CD1=90°，∠CAD+∠ACD1=90°
∴∠CAD1=∠D1CD2
∴△ACD1~△AD2C
∴，即得AD2=，BD2=5+=，；
故△BCD的面积为16或
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：(1)在△ACD中，由勾股定理得AD=，
△ABC为智慧三角形，△ABD为等腰三角形，得BD=AD=，∠B=45°；
故答案为：；.
【分析】(1)由智慧三角形的定义可知△ABD为等腰直角三角形，求出AD的长即得BD的长，同时知B的度数；
(2)由旋转知△ABE≌△ACF，得∠ABE=∠ACF得CBE=90，由外角的性质∠BDE=∠BCE+∠CED和∠BDE=2∠BCE得∠BCE=∠CED，知△CDE为等腰三角形，得DE为△BCE的智慧线；
(3)由题意作作CD1⊥AB，CD2⊥AC，分别根据勾股定理和相似三角形可得AD1和AD2的长，由此可得△BCD的面积.
1 / 1浙江省杭州市弘益中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八上·杭州期中） 数学考试必备学习用具：黑色的水笔，铅笔、橡皮、圆规，三角板全套、量角器，下列学习用具所抽象出的几何图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·杭州期中） 下列长度（单位：）的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．5，5，13 B．1，2，3 C．5，7，12 D．11，12，13
3．（2025八上·杭州期中）a，b都是实数，且aA． B．
C． D．
4．（2025八上·杭州期中）下列选项中，的值可以作为命题“若，则”是假命题的反例的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·杭州期中）如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝15°，∠B＝75° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a＝，b＝，c＝ D．a＝6，b＝10，c＝12
6．（2025八上·杭州期中） 如图，，为使，可以补充的条件是（　　）．
A． B． C． D．
7．（2025八上·杭州期中） 如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八上·杭州期中） 如图所示，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八上·杭州期中） 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八上·杭州期中） 如图，在中，，平分，于点E，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八上·杭州期中） “与5的差大于的4倍”用不等式表示为　 　．
12．（2025八上·杭州期中） 写出“全等三角形三边相等”的逆命题　 　．
13．（2025八上·杭州期中）已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为　 　.
14．（2025八上·杭州期中） 如图所示，在中，，平分，交于点，且，则的面积是　 　．
15．（2025八上·杭州期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在AB，BC上，连结 CD，DE，若BC= BD，AC=1，∠CDE=45°， 则BE的长为　 　．
16．（2025八上·杭州期中） 如图，中，，，，点是的中点，点是边上一个动点，将沿着折叠得到．
⑴当时，的长为　 　；
⑵当时，的长为　 　．
三、解答题（本题8小题，17、18、19、20、21每题8分，22、23每题10分，24每题12分，共72分，各小题都必须写出解答过程）
17．（2025八上·杭州期中）
（1）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来．
（2）若，比较和的大小，并说明理由．
18．（2025八上·杭州期中） 如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于；
（2）连接，求证：平分．
19．（2025八上·杭州期中） 如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）当，，时，求的长．
20．（2025八上·杭州期中） 已知不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值．
21．（2025八上·杭州期中） 如图，，，，，，
（1）判断的形状并说明理由；
（2）计算四边形的面积．
22．（2025八上·杭州期中） 如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点，连结，，取的中点为点．
（1）求证：；
（2）当时，求证：是等腰直角三角形；
（3）在（2）的条件下，当时，求的长．
23．（2025八上·杭州期中） 【探究与发现】
数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题：
（1）【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（　　）
A． B． C． D．
（2）【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是　 　；
（3）【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：．
24．（2025八上·杭州期中） 定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．
（1）如图1，在智慧三角形中，，为该三角形的智慧线，，，则长为　 　，的度数为　 　．
（2）如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连结，以为直角边作等腰直角三角形（点按顺时针排列），，交于点D，连结，，当时，求证：是的智慧线．
（3）如图3，中，，，若是智慧三角形，且为智慧线，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：对A选项，为轴对称图形，故A不符合题意；
对B选项，为轴对称图形，故B不符合题意；
对C选项，不是轴对称图形，故C符合题意；
对D选项，为轴对称图形，故D不符合题意；
故答案：C.
【分析】直接由轴对称图形的性质：沿某直线折叠可完全重合，即可得结果.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：对A选项，5+5<13，不能构造三角形，故A不符合题意；
对B选项，1+2=3，不能构造三角形，故B不符合题意；
对A选项，5+7<12，不能构造三角形，故C不符合题意；
对D选项，11+12>13，能构造三角形，故D符合题意；
故答案：D.
【分析】直接由三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，依次判断即可.
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，故B错误；
C、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故C正确；
D、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断：
4．【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当时，有，此时，
∴用来证明命题“，则”是假命题的反例可以是：，
故答案为：C．
【分析】根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，结合选项进行求解即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
B、∵，
∴设，
∴，
解得：，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
D、∵，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形内角和定理求出，即可判断A不符合题意；设，利用三角形内角和定理列出关于的方程并解之可求出，即可判断B不符合题意；利用勾股定理逆定理即可判断C不符合题意，D符合题意.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：对A选项， ，，边边角，无法证明，故A不符合题意；
对B选项， ，，边边角，无法证明，故B不符合题意；
对C选项， ∠1=∠2得∠BAD=∠CAE，又，可证明(SAS)，故C符合题意；
对D选项， ，，无法证明，故D不符合题意；
故答案：C.
【分析】根据各选项的条件，结合题中条件，依次判断能否证明全等即可.
7．【答案】C
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵E为AD的中点
∴
∴
∵F为EC的中点
∴
故答案：C.
【分析】分别由E、F为AD和CE的中点可得.
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ME、NF垂直平分AB、AC
∴MA=MB，NA=NC
∴∠BAM=∠B，∠CAN=∠C
∵∠B+∠C=180°-BAC
∴∠B+∠C=180°-130°=50°
∴∠BAM+∠CAN=50°
∴∠MAN=∠BAC-∠BAM-∠CAN=130°-50°=80°
故答案：A.
【分析】由垂直平分线的性质可得∠BAM=∠B，∠CAN=∠C，结合三角形内角和定理得∠B=∠C=50°，由此可得∠MAN的度数.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理知AC=，设B到AC的距离为d，
，
即有，得d=.
故答案：B.
【分析】由勾股定理知AC的长，同时求出△ABC的面积，由等面积法可得，由此可得点B到AC的距离.
10．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=45°，BE⊥AC
∴∠BCE=90°-∠ACB=45°
∴BE=CE
∵EF⊥BC
∴BF=FC，故①正确；
∵∠A+∠ABE=90°，∠A+∠ACD=90°
∴∠ABE=∠ACD，故②正确；
过点H作HI⊥BC于点I，
∵CD平分∠ACB，HE⊥AC，HI⊥BC
∴HI=HE
∵在△BHI中，BH>HI
∴BH>HE，故③错误；
连接BG，
∵EB=EC，EF⊥BC
∴EF平分∠BEC
又∵CD平分∠ACB
∴BG平分∠EBC
∵∠ACB=∠EBC=45°
∴∠CBG=∠GCB=22.5°
∵∠DGB为△BGC的外角
∴∠DGB=∠GBC+∠GCB=22.5°+22.5°=45°
∴∠DBG=90°-∠DBG=90°-45°=45°
∴BD=DG，故④正确；
综上所述，①②④正确；
故答案：B.
【分析】由等腰三角形”三线合一“知BF=FC，由垂直知∠A与∠ABE与∠ACD都互余，即得∠ABE=∠ACD，作HI⊥BC于点I，由角平分线的性质知HE=HI，又BH>HI得HB>HE，连接BG，由角平分线与外角的性质得∠BGD=45°，由此可得BD=DG.
11．【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：由题意得.
故答案：.
【分析】直接由题中不等关系列出不等式即可.
12．【答案】两个三角形三边相等，则这两个三角形全等
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：逆命题为"两个三角形三边相等，则这两个三角形全等".
故答案：两个三角形三边相等，则这两个三角形全等.
【分析】直接将条件和结论对调即得其逆命题.
13．【答案】4或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：题目所给条件未明确说明两边的关系，需分情况讨论：
①当5为斜边，3为直角边时，则第三边长为4；
②当5和3均为直角边时，则第三边长为；
故答案为：4或。
【分析】根据题目所给条件，要分析出所给两边的关系，在利用勾股定理进行求解即可。
14．【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DE⊥BC
∴DE=AD=2
∴
故答案：5.
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，由角平分线的性质知DE=AD=2，由此可得△BCD的面积.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝BD=1
∴AB=，∠A＝∠B＝45°．
∵∠CDB＝∠A＋∠ACD＝∠CDE＋∠BDE，∠CDE＝45°，
∴∠ACD＝∠BDE，
∴△CAD△DBE，
∴BE=AD=AB-BD=．
故答案是：
【分析】先利用勾股定理求出AB=，然后利用AAS得到△CAD△DBE，即可得到BE=AD解题即可．
16．【答案】；或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：(1)∵D为AB的中点
∴AD=AB=2
∵由折叠AD=A'D，又AD⊥A'D
∴AA'=
(2)如图，有以下2种情况，
①过点D作DF⊥AC于点F，DF=AD=1，AF=，
由折叠知△AED≌△A'ED，∠AEA'=90°，得∠AED=∠A'ED=135°，
∠FED=∠A'ED-90°=135°-90°=45°，
EF=DF=1，故AE=
②同理作DF⊥AC于点F，由折叠知△AED≌△A'ED，A'E⊥AC，故∠DEF=45°，EF=DF=1，
AF=，得AE=
综上所述，AE的长为或.
【分析】(1)由折叠的性质和知ADA'为等腰直角三角形，即可得AA'的长；
(2)由题意画出满足题意的2种情形，利用折叠的性质可分别得到AE的长.
17．【答案】（1）解：5x>3x-6+2
5x-3x>-4
2x>-4
x>-2
（2）解：x>y得-x<-y
得
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】(1)去括号后移项再合并同类项，系数化1即得不等式的解集，在数轴上表示其解集；
(2)根据不等式的性质即可得两代数式的大小.
18．【答案】（1）解：
（2）解：如图
∵DE垂直平分AC
∴AD=CD
∴∠DAC=∠DCA=36°
∵AB=AC
∴∠ACB=
∴∠ACB=2∠ACD
∴CD平分∠ACB
【知识点】线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)根据垂直平分线的作图方法作图即可；
(2)由垂直平分线的性质知DA=DC，即得∠DCA=36°，由等腰三角形的性质知∠ACB=72°，由此可证角平分线.
19．【答案】（1）解：∵CF||AB
∴∠DCF=∠DBE
∵AD为BC边上的中线
∴BD=CD
又∵∠BDE=∠CDF
∴△BDE≌△CDF(ASA)
∴BE=CF
（2）解：∵AD为BC边上的中线，AD⊥BC
∴AB=AC
∵AB=AE+BE=3+5=8
∴AC=8
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)由CF||AB得∠DCF=∠DBE，结合中线和对顶角可证△BDE≌△CDF，即得BE=CF；
(2)由"AD为中线且AD⊥BC"知AB=AC，BE=CF，可得AB的长，即为AC的长.
20．【答案】解：由不等式得6x-5x>-2-1即x>-3，其最小整数为-2，代入方程得
-4+2a=3，解得a=
将a=代入得
原式=
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】求解不等式即可得最小整数解，代入方程可得a的值，再将a的值代入代数式即得结果.
21．【答案】（1）解：连接AC，AC=，
，即有
故是直角三角形
（2）解：
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】(1)连接AC，由勾股定理得AC=5，由此得，即可判断△ACD为直角三角形；
(2)用△ACD的面积减去△ABC的面积即得四边形ABCD的面积.
22．【答案】（1）解：∵CE⊥AB，BD⊥AC，F为BC的中点
∴EF=BC，DF=BC
∴EF=DF
∵G为DE的中点
∴FG⊥DE
（2）解：∵EF=BF
∴∠FEB=∠FBE
∴∠EFB=180°-∠FEB-∠FBE=180°-2∠FBE
同理∠DFC=180°-2∠DCF
∵∠EFD=180°-∠EBB-∠DFC
∴∠EFD=180°-(180°-2∠FBE)-(180°-2∠DCF)=2(∠FBE+∠DCF)-180°
∵∠FBE+∠DCF=180°-∠A=180°-45°=135°
∴∠EFD=2×135°-180°=90°
∵FE=FD
∴△EFD为等腰直角三角形
（3）解：由(1)(2)知FE=FD=BC=2
DE=
∵F为DE的中点
∴FG=DE=
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半可知EF=DF，由等腰三角形的的性质得FG⊥DE；
(2)由(1)等腰三角形的性质得∠EFD=2(∠FBE+∠DCF)-180°，∠FBE+∠DCF=135°，由此可得∠EFD=90°，即知△EFD为等腰直角三角形；
(3)由勾股定理得DE的=2，由直角三角形的性质得GF的长.
23．【答案】（1）B
（2）
（3）解：延长AE至点H，使EH=AE，连接CH，
∵E为BC的中点
∴EB=EC
∵∠AEB=∠HEC
∴△ABE≌△HEC(SAS)
∴∠BAE=∠H，AB=CH
∵GF平分∠BGC
∴∠BGF=∠CGF
∵ED||GF
∴∠D=∠CGF，∠DAG=∠BGF
∴∠D=∠BAE
∴∠D=∠H
∴CD=CH
∴AB=CD
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：(1)∵E为BC的中点
∴EB=EC
∵在△ABE和△FCE中
∴(SAS)
(2)延长AD至点E，使DE=AD，连接CE
∵D为BC的中点
∴DB=DC
又∵∠ADB=∠CDE
∴△ABD≌△ECD(SAS)
∴CE=AB=5
在△ACE中，AC-CE故答案为：2【分析】(1)根据题中条件DB=DC，∠ADB=∠CDE，即得全等的依据；
(2)延长AD至点E，使DE=AD，连接CE，可证△ABD≌△ECD，在△ACE中，由三边关系可得AD的范围；
(3)延长AE至H使EH=AE，连接CH，可证△ABE≌△HEC，得AB=CD，∠ABE=∠H，同时由角平分线和平行的性质得∠BAE=∠D，由此得∠D=∠H，得CD=CH，即知AB=CD.
24．【答案】（1）；
（2）解：∵△ABC和△AEF为等腰直角三角形
∴AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°
∴∠BAE=∠CAF
∴△ABE≌△ACF(SAS)
∴∠ABE=∠ACF=180°-∠ACB=180°-45°=135°
∵∠ABC=45°
∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=135°-45°=90°
∴△BDE为直角三角形
∵∠BDE为△CDE的外角
∴∠BDE=∠BCE+∠CED
∵∠BDE=2∠BCE
∴∠BCE=∠CED
∴△CDE为等腰三角形
∴DE为△BCE的智慧线
（3）解：如图，有两种情况即过点C作CD1⊥AB，CD2⊥AC，
①设AD=x，则AB=5+x，由勾股定理得，即有，解得x=3，
得CD1=4，
②∠ACD1+∠D2CD1=90°，∠CAD+∠ACD1=90°
∴∠CAD1=∠D1CD2
∴△ACD1~△AD2C
∴，即得AD2=，BD2=5+=，；
故△BCD的面积为16或
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：(1)在△ACD中，由勾股定理得AD=，
△ABC为智慧三角形，△ABD为等腰三角形，得BD=AD=，∠B=45°；
故答案为：；.
【分析】(1)由智慧三角形的定义可知△ABD为等腰直角三角形，求出AD的长即得BD的长，同时知B的度数；
(2)由旋转知△ABE≌△ACF，得∠ABE=∠ACF得CBE=90，由外角的性质∠BDE=∠BCE+∠CED和∠BDE=2∠BCE得∠BCE=∠CED，知△CDE为等腰三角形，得DE为△BCE的智慧线；
(3)由题意作作CD1⊥AB，CD2⊥AC，分别根据勾股定理和相似三角形可得AD1和AD2的长，由此可得△BCD的面积.
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