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浙江省绍兴市联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)
1．（2025九上·绍兴月考）tan60°的值等于
A．1 B．
C． D．2
2．（2025九上·绍兴月考）二次函数 的图象的顶点坐标是(　　)
A．(-1，2) B．(1，2) C．(1，-2) D．(-1，-2)
3．（2025九上·绍兴月考）下列选项中的事件，属于必然事件的是(　　)
A．任意掷一枚硬币，正面朝上
B．若a、b是实数. 则|a-b|≥0
C．两数相乘，积为正数
D．运动员投篮时，连续两次投进篮筐
4．（2025九上·绍兴月考）在平面直角坐标系 中，⊙O的半径为2，点A（1， ）与⊙O的位置关系是（　　）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
5．（2025九上·绍兴月考） 如图， AB∥CD∥EF， 若 则DF的长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．（2025九上·绍兴月考）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC.若物体到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜的中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的(　　)
A． B． C． D．
7．（2025九上·绍兴月考） 如图， ⊙O中， 点C在AB上， ∠D， ∠E分别为AC、BC所对的圆周角. 若∠AOB=110°，∠D=20°， 则∠E的度数为(　　)
A．35° B．36° C．37° D．38°
8．（2025九上·绍兴月考） “赵爽弦图”被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，如图，连接AE，若大正方形ABCD的面积为25，△ABE的面积为8，则小正方形 EFGH的面积是 （　　）
A． B．1 C． D．2
9．（2025九上·绍兴月考）已知抛物线y=-(x-a)(x-b)(aA．若向左平移， 则a+b=m+n B．若向右平移， 则b-aC．若向上平移， 则a+b>m+n D．若向下平移， 则a+b=m+n
10．（2025九上·绍兴月考） 如图， AB 是⊙O 的直径， AB=4， C是上半圆AB的的中点，D是下半圆AB上一个动点，过点 A 作 CD 的垂线，垂足为E，则点 D 从点 A 运动到点 B 的过程中，点E 运动的路径长是(　　)
A．π B． C． D．2π
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·绍兴月考）若 则的值为　 　.
12．（2025九上·绍兴月考）若关于x的方程 没有实数根，则m的取值范围是　 　.
13．（2025九上·绍兴月考）如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1： 堤高BC=8m， 则坡面AB的长度　 　m.
14．（2025九上·绍兴月考）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点 C， D， 则sin∠ADC 的值为　 　.
15．（2025九上·绍兴月考） 当-3≤x≤2时， 二次函数y=a(x-2)2+1-4a(a≠0)的最大值为8，则a=　 　.
16．（2025九上·绍兴月考）如图，已知⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，D为劣弧AB 上一点，连接CD交A于点E，若BC= CE=9， tan∠BCD= 则 tan∠ABD 的值为　 　.
三、解答题(本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·绍兴月考） 计算：
18．（2025九上·绍兴月考）第十五届全运会开幕式上，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以活泼可爱的形象亮相，成为全场焦点.如图，现有三张正面分别印有“喜洋洋”、“乐融融”和“全运会会徽”图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同.将这三张卡片正面向下洗匀.
（1）小明从中随机抽取一张，求小明抽中“喜洋洋”卡片的概率；
（2）小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.用画树状图(或列表)的方法，求小明抽出的两张卡片图案不同的概率.
19．（2025九上·绍兴月考）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺分别按要求画出下列图形.
（1） 将图1中的△ABC绕点A 逆时针旋转90°， 画出旋转后的△AB'C'；
（2）如图2， 在AC上找一点D， 使△ABD的面积与△BCD的面积之比为3：1.
20．（2025九上·绍兴月考） 如图， 已知AB∥DC， 点E、F在线段BD上， AB=2DC， BE=2DF.
（1） 求证： △ABE∽△CDF；
（2） 若BD=8， DF=2， 求EF的长.
21．（2025九上·绍兴月考）黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景.如图，风力发电机舱在点O处，三片扇叶两两所成的角为120°，某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪进行了实地测量，他们在距离塔杆65米的点C处安放测角仪(测角仪高度AC=1米)，当扇叶a恰好与塔杆重合时，测得扇叶b的末端点B的仰角为54.5°，经查阅资料知此型号的发电机每片扇叶长26米，结合当地气候条件，当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高.请你判断该发电机机舱的高度是否合适.(参考数据： )
22．（2025九上·绍兴月考）如图，AB为⊙O的直径，C、D 为圆O上不同于A、B的两点，过点C作⊙O的切线CF 交直线AB 于点 F， 直线DB⊥CF于点 E.
（1） 求证： ∠ABD=2∠CAB；
（2）若 且 求 BF的长.
23．（2025九上·绍兴月考）已知二次函数 (a， b是实数， a≠0).
（1）求证：该函数图象与x轴一定有两个不同的交点；
（2） 若b=-2a， a>0， 该函数图象经过A(n+1， y1)， B(n-1， y2) 两点， 若A， B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1
（3）若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且过点(2，1)，求 的最小值.
24．（2025九上·绍兴月考）已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角线AC，BD相交于点E.
（1） 如图1， 若D为AC的中点， AE=DE， ∠ADC=128°， 则
①∠ABD的度数为 ； ②求证： AD∥BC.
（2） 如图2， 若AC为⊙O 的直径， 求cos∠CAD的值；
（3） 如图3， 对角线AC为⊙O的直径， 过点D作DM⊥AC于点M， 延长DM交BC于点F， 若 求
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】根据tan60°=
即可得出答案．
故选C.
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k（a≠0），其顶点坐标为(h，k)，
∴二次函数y=(x-1)2+2，对应顶点式中h=1，k=2，
∴该函数图象的顶点坐标是(1，2)．
故答案为：B.
【分析】直接利用二次函数顶点式的性质：顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h，k)，对比题干中的函数式，即可得出顶点坐标．
3．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷硬币正面朝上是随机事件，不一定发生，A错误；
B、若a，b是实数，根据绝对值的性质，∣a-b∣≥0恒成立，故该事件必然发生，B正确；
C、两数相乘积为正数是随机事件（如异号两数相乘为负数），C错误；
D、运动员连续两次投进篮筐是随机事件，不一定发生，D错误．
故答案为：B.
【分析】必然事件：在一定条件下必然会发生的事件．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．
4．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（1， ），
∴由勾股定理可得：OA= ，
又∵⊙O的半径为2，
∴点A在⊙O上．
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出OA的长，再判断点和圆的位置关系即可。
5．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
又
∴，解得DF=12.
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AB∥CD∥EF，得到比例式，结合条件，代入数值即可求出DF的长度．
6．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ AD∥l ∥BC ，CG⊥l，BO⊥l，
∴四边形OBCG是矩形，
∴OB=CG，
∵AH⊥HO，BO⊥HO，即∠AHF1=∠BOF1，
又∠AF1H=∠BF1O，
∴△AHF1∽△BOF1，
∴，
∴，即，
∴ 物体被缩小到原来的 .
故答案为：D.
【分析】先利用矩形的判定与性质得到OB=CG，再通过相似三角形的判定得到△AHF1∽△BOF1，接着根据相似比求出，最后得出像与物的大小比为．
7．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆心角的概念
【解析】【解答】解：∵∠AOB=110°，
∴ .
∵∠D=20°，
∴.
∴.
∴.
故答案为：A.
【分析】先由圆心角∠AOB得到弧AB的度数，再由圆周角∠D得到弧AC的度数，进而求出弧BC的度数，最后得到圆周角∠E的度数．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设AH=BE=a，AG=BH=b，
∵大正方形ABCD的面积为25，
∴AB=5，
∴a2+b2=25，
∵△ABE的面积为8，
∴，
∴a=4(负值舍去)，
∴，
∴小正方形EFGH的面积是.
故答案为：B.
【分析】先设直角三角形的直角边为a，b，利用大正方形面积和勾股定理得到a2+b2=25；再根据△ABE的面积求出a=4；接着求出b=3，最后计算小正方形的边长a-b并得到面积为1．
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：∵原抛物线y=(x-a)(x-b)与x轴交点为(a，0)，(b，0)，
∴其对称轴为.
∵平移后抛物线与x轴交于(m，0)，(n，0)，
∴新对称轴为.
A、对称轴左移，，即a+b>m+n，A错误；
B、对称轴右移，，即a+bC、对称轴不变，，即a+b=m+n，C错误；
D、对称轴不变，，即a+b=m+n，D正确.
故答案为：D.
【分析】抛物线上下平移时，对称轴不变；左右平移时，对称轴随之移动．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接AC，OC，
∵C是上半圆AB的的中点，
∴，
∴∠AOC=∠BOC=90°.
由AB=4，得OA=OC=2.
在Rt△ACO中，由勾股定理得.
∵AE⊥CD，
∴ ∠AEC=90°，
根据圆周角定理的推论，得点E在以AC为直径的半圆上运动，
∴该半圆的弧长为，
即点E运动的路径长是.
故答案为：B.
【分析】先利用圆周角定理的推论（直角所对的弦为直径）确定点E的轨迹是以AC为直径的半圆，再根据C是上半圆中点和勾股定理求出AC=，最后用半圆的弧长公式计算出点E的运动路径长．
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴3y=4x，
∴.
故答案为：.
【分析】根据比例的性质，先对进行交叉相乘，得到3y=4x；再将等式两边同时除以4y，整理得到．
12．【答案】m<-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由，得Δ=b2-4ac=42-4×1×(3-m)=16-12+4m=4+4m.
∵方程无实数根，
∴Δ<0，即4+4m<0，解得m<-1.
故答案为：m<-1.
【分析】先利用一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac计算该方程的判别式，再根据“方程无实数根时Δ<0”列出不等式，最后解不等式得到m的取值范围．
13．【答案】16
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是，
∴，解得．
在Rt△ABC中，由勾股定理得.
故答案为：16.
【分析】先利用坡比的定义（坡比=垂直高度：水平宽度），求出水平宽度AC的长度；再在Rt△ABC中应用勾股定理，计算坡面AB的长度；最后得到结果．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；正弦的概念；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：∵AB为圆的直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠ADC与∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ADC=∠ABC．
在Rt△ABC中，，AC=2，
∴．
故答案为：.
【分析】先利用圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）得到∠ACB=90°，再利用同弧所对的圆周角相等得到∠ADC=∠ABC，接着在Rt△ABC中应用勾股定理求出AB的长度，最后利用正弦的定义求出sin∠ABC，从而得到sin∠ADC的值．
15．【答案】或
【知识点】解一元一次方程；二次函数的最值；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：二次函数y=a(x-2)2+1-4a的对称轴为x=2．
当a>0时，抛物线开口向上，在区间-3≤x≤2上，函数在左端点x=-3处取得最大值，
∴a(-3-2)2+1-4a=8，解得；
当a<0时，抛物线开口向下，在区间 3≤x≤2上，函数在右端点x=2处取得最大值，
∴a(2-2)2+1-4a=8，解得.
综上，或.
故答案为：或.
【分析】先利用二次函数的顶点式性质确定对称轴为x=2，再根据二次函数的增减性分a>0和a<0两种情况讨论最大值的位置，最后分别代入对应点的坐标列方程求解，得到a的值．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点B作BP⊥CD于P，过点A作AQ⊥CD于Q．
已知，即，设BP=x，则CP=2x．
在Rt△BPC中，由勾股定理得BP2+CP2=BC2，即，
解得x=4（负值舍去），
∴BP=4，CP=8．
∵CE=9，
∴PE=CE-CP=9-8=1．
在Rt△BPE中，.
∵∠AQE=∠BPE=90°，∠AEQ=∠BEP，
∴△AQE～△BPE．
设EQ=k，则由相似比，得AQ=4k，AE=k，
∴．
∵AB=AC，
∴AC=(k+1)．
∴CQ=CE+EQ=9+k，AQ=4k.
在Rt△CQA中，CQ2+AQ2=AC2，即(9+k)2+(4k)2=[(k+1)]2，解得k=4.
∵∠ABD=∠ACD，
∴在Rt△AQC中，，
代入k=4得.
故答案为：.
【分析】先过B，A作CD的垂线，构造直角三角形，利用和勾股定理求出BP，CP及BE的长度；再根据对顶角和直角证明△AQE～△BPE，设比例系数k表示出AQ，AE及AC；最后在Rt△CQA中用勾股定理列方程求出k，结合圆周角相等，将tan∠ABD转化为tan∠ACD计算出结果．
17．【答案】解：
.
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用绝对值的性质化简为，再利用特殊角的三角函数值计算2sin60°为，接着利用负指数幂的性质计算为9，最后合并同类项得到结果．
18．【答案】（1）解：∵共有3张卡片，分别印有“喜洋洋”“乐融融”“全运会会徽”，且每张卡片被抽到的概率相等，
∴抽中“喜洋洋”卡片的概率为．
（2）解：画树状图如下：
第一次抽取：A，B，C
第二次抽取：A，B，C（放回后重新抽取）
总共有3×3=9种等可能的结果．
其中两张卡片图案不同的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，共6种．
.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】 (1) 先利用概率的定义，确定总共有3种等可能的结果，再确定抽中“喜洋洋”卡片的结果数为1，最后根据概率公式，即可计算得到概率；
(2) 先利用树状图法列出所有可能的结果为9种，再数出两张卡片图案不同的结果数为6种，最后根据概率公式计算得到概率．
19．【答案】（1）解：
如图，△AB'C'为所作三角形.
（2）解：
如图，取格点M，N，使AN：CM=3：1，连接MN交AC于点D，点D为所作的点.
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】 (1) 先利用旋转的性质，确定旋转中心，方向和角度，再分别找到点B，C旋转后的对应点B'，C'，最后连接对应点得到旋转后的三角形；
(2) 先利用三角形面积公式，得出两个三角形的面积比等于底边AD与CD的长度比，再根据面积比为3：1确定AD：CD=3：1，最后在AC上找到满足该比例的点D．
20．【答案】（1）证明：∵ AB∥DC，
∴∠B＝∠D，
∵AB＝2DC，BE＝2DF，
∴AB：DC＝BE：DF＝2，
∴△ABE∽△CDF；
（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，
∴BE＝4，
∵BD＝8，
∴EF＝BD-DF-BE＝8-2-4=2．
【知识点】平行线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】 (1) 先利用平行线的性质得到∠B=∠D，再根据已知条件得出两边的比例关系AB：DC＝BE：DF＝2，最后根据相似三角形的判定定理（两边成比例且夹角相等），从而证明△ABE～△CDF；
(2) 先利用已知条件BE=2DF求出BE的长度，再根据线段的和差关系EF=BD-BE-DF，最后代入数值计算得到EF的长度．
21．【答案】解：该发电机机舱的高度合适，
如图：过点A作AE⊥OD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，过点O作OG⊥BF，垂足为G，
由题意得：DE＝AC＝1米，AE＝CD＝65米，OG＝EF，OE＝GF，∠BOD＝120°，∠DOG＝90°，
∴∠BOG＝∠BOD﹣∠DOG＝30°，
在Rt△BOG中，OB＝26米，
∴BG＝OB＝13（米），OG＝BG＝13（米），
∴EF＝OG＝13米，
∴AF＝AE﹣EF＝（65﹣13）米，
在Rt△ABF中，∠BAF＝54.5°，
∴BF＝AF tan54.5°≈（65﹣13）×1.4＝（91﹣18.2）米，
∴OE＝GF＝BF﹣BG＝（78﹣18.2）米，
∴OD＝OE+DE＝79﹣18.2≈47.514（米），
∵当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高，
∴该发电机机舱的高度合适．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；正切的概念
【解析】【分析】先利用角的和差关系求出∠BOG=30°，再在Rt△BOG中应用含30°角的直角三角形性质求出BG和OG的长度，接着在Rt△ABF中应用正切的定义求出BF的长度，最后计算出机舱高度OD并判断其是否在45m到50m的范围内．
22．【答案】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠1，
∴2∠CAB＝∠2＝∠CAB+∠1，
∵OC是⊙O的半径，CF切⊙O于C，
∴OC⊥CF，
∵DB⊥CF，
∴OC∥DB，
∴∠ABD＝∠2，
∴∠ABD＝2∠CAB；
（2）解：∵∠ACD，∠ABD为所对圆周角，
∴∠ACD＝∠ABD，
.
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴，
∴，
∴，
∴OB＝OC＝3，
∴，
∴设EF＝4x，BE＝3x，则BF＝5x，
∵BE⊥CF，OC⊥CF，
∴OC∥BE，
∴△BEF～△OCF，
∴，
∴，
∴，
∴BF＝5x＝2．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】 (1) 先连接OC，利用等腰三角形的性质得到∠CAB=∠1，再利用三角形外角的性质得到∠2=2∠CAB，接着利用切线的性质和平行线的判定得到OC∥DB，最后利用平行线的性质得到∠ABD=∠2，从而完成证明；
(2) 先利用圆周角定理得到∠ACD=∠ABD，再在Rt△ABD中应用正切的定义和勾股定理求出AB的长度，接着设EF=4x，BE=3x，利用相似三角形的判定与性质列方程求解x，最后计算出BF的长度．
23．【答案】（1）证明：Δ＝b2-4a(-5a)=b2+20a2，
∵a≠0，
∴b2≥0，20a2＞0，
∴Δ＝b2+20a2＞0，
∴该函数图象与x轴一定有两个不同的交点.
（2）解：∵若b＝﹣2a，则抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵a＞0，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，
则1﹣（n﹣1）＞n+1﹣1且n+1＞1，
解得0＜n＜1，
故n的取值范围是0＜n＜1.
（3）解：图象过点（2，1），
则4a+2b﹣5a＝1，则a＝2b﹣1，
当x≥0时，总有y随x的增大而减小，
则a＜0，b≤0，
则b2﹣2a＝b2﹣4b+2，
∵b≤0，函数的对称轴为直线b＝2，
故当b＝0时，函数取得最小值为2，
即b2﹣2a的最小值是2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】 (1)先利用一元二次方程根的判别式计算Δ=b2+20a2，再根据a≠0得出Δ>0，最后根据判别式的性质得出函数图象与x轴有两个不同交点的结论；
(2)先利用二次函数对称轴公式求出对称轴为x=1，再根据A，B两点在对称轴两侧且y1(3)先利用函数过点(2，1)并求出a=2b-1，再根据二次函数的增减性得出a<0且b≤0，接着将a=2b-1代入b2-2a得到关于b的二次函数，最后根据b≤0求出该二次函数的最小值．
24．【答案】（1）①26°；
②证明：∵AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA，∵∠ACB＝∠EDA，∴∠EAD＝∠ACB，∴AD∥BC；
（2）解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
在直角三角形ABC中，AB＝BC，
由勾股定理，得，∠ACB＝∠BAC＝45°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠BDA＝∠BCA＝45°＝∠BAE，
∴△BAD∽△BEA，
∴，
∴，
∴.
（3）解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°；
∵DF⊥AC，
∴∠ACD+∠FDC＝90°，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠FDC＝∠DBC，
又∵∠FCD＝∠DCB，
∴△FCD∽△DCB，
∴，
∴，
∴可设BF＝4m，CF＝3m，
∴BC＝BF+CF＝7m，
∴CD2＝CF BF＝21m2，
∴CD＝m或CD＝﹣m（不合题意，舍去），
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解： (1) ①∵D为的中点，
∴，∠ABD=∠CBD．
∵AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA．
∵∠ADC=128°，
∴．
∵∠ACB=∠EDA，
∴∠ACB=26°．
又∵∠ABD=∠ACB，
∴∠ABD=26°．
故答案为：26°.
【分析】(1) ① 先利用弧中点的性质得到，再根据AE=DE和∠ADC=128°求出∠EAD=26°，接着利用圆周角定理得到∠ACB=∠EDA和∠ABD=∠ACB，最后得出∠ABD=26°；②先利用等腰三角形的性质得到∠EAD=∠EDA，再利用圆周角定理得到∠ACB=∠EDA，从而得到∠EAD=∠ACB，最后根据平行线的判定定理证明AD∥BC；
(2) 先利用圆周角定理得到∠ABC=90°，再根据AB=BC得出△ABC为等腰直角三角形，接着利用相似三角形的判定得到△BAD～△BEA，从而求出，最后在Rt△ADC中应用余弦的定义求出cos∠CAD的值；
(3) 先利用圆周角定理得到∠ABC=90°，再根据DF⊥AC和角的互余关系得到∠FDC=∠DBC，接着利用相似三角形的判定得到△FCD～△DCB，从而得出CD2=CF×BC，最后设BF=4m，CF=3m，代入计算得到的值．
1 / 1浙江省绍兴市联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)
1．（2025九上·绍兴月考）tan60°的值等于
A．1 B．
C． D．2
【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】根据tan60°=
即可得出答案．
故选C.
2．（2025九上·绍兴月考）二次函数 的图象的顶点坐标是(　　)
A．(-1，2) B．(1，2) C．(1，-2) D．(-1，-2)
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k（a≠0），其顶点坐标为(h，k)，
∴二次函数y=(x-1)2+2，对应顶点式中h=1，k=2，
∴该函数图象的顶点坐标是(1，2)．
故答案为：B.
【分析】直接利用二次函数顶点式的性质：顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h，k)，对比题干中的函数式，即可得出顶点坐标．
3．（2025九上·绍兴月考）下列选项中的事件，属于必然事件的是(　　)
A．任意掷一枚硬币，正面朝上
B．若a、b是实数. 则|a-b|≥0
C．两数相乘，积为正数
D．运动员投篮时，连续两次投进篮筐
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷硬币正面朝上是随机事件，不一定发生，A错误；
B、若a，b是实数，根据绝对值的性质，∣a-b∣≥0恒成立，故该事件必然发生，B正确；
C、两数相乘积为正数是随机事件（如异号两数相乘为负数），C错误；
D、运动员连续两次投进篮筐是随机事件，不一定发生，D错误．
故答案为：B.
【分析】必然事件：在一定条件下必然会发生的事件．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．
4．（2025九上·绍兴月考）在平面直角坐标系 中，⊙O的半径为2，点A（1， ）与⊙O的位置关系是（　　）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（1， ），
∴由勾股定理可得：OA= ，
又∵⊙O的半径为2，
∴点A在⊙O上．
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出OA的长，再判断点和圆的位置关系即可。
5．（2025九上·绍兴月考） 如图， AB∥CD∥EF， 若 则DF的长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
又
∴，解得DF=12.
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AB∥CD∥EF，得到比例式，结合条件，代入数值即可求出DF的长度．
6．（2025九上·绍兴月考）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC.若物体到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜的中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ AD∥l ∥BC ，CG⊥l，BO⊥l，
∴四边形OBCG是矩形，
∴OB=CG，
∵AH⊥HO，BO⊥HO，即∠AHF1=∠BOF1，
又∠AF1H=∠BF1O，
∴△AHF1∽△BOF1，
∴，
∴，即，
∴ 物体被缩小到原来的 .
故答案为：D.
【分析】先利用矩形的判定与性质得到OB=CG，再通过相似三角形的判定得到△AHF1∽△BOF1，接着根据相似比求出，最后得出像与物的大小比为．
7．（2025九上·绍兴月考） 如图， ⊙O中， 点C在AB上， ∠D， ∠E分别为AC、BC所对的圆周角. 若∠AOB=110°，∠D=20°， 则∠E的度数为(　　)
A．35° B．36° C．37° D．38°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆心角的概念
【解析】【解答】解：∵∠AOB=110°，
∴ .
∵∠D=20°，
∴.
∴.
∴.
故答案为：A.
【分析】先由圆心角∠AOB得到弧AB的度数，再由圆周角∠D得到弧AC的度数，进而求出弧BC的度数，最后得到圆周角∠E的度数．
8．（2025九上·绍兴月考） “赵爽弦图”被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，如图，连接AE，若大正方形ABCD的面积为25，△ABE的面积为8，则小正方形 EFGH的面积是 （　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设AH=BE=a，AG=BH=b，
∵大正方形ABCD的面积为25，
∴AB=5，
∴a2+b2=25，
∵△ABE的面积为8，
∴，
∴a=4(负值舍去)，
∴，
∴小正方形EFGH的面积是.
故答案为：B.
【分析】先设直角三角形的直角边为a，b，利用大正方形面积和勾股定理得到a2+b2=25；再根据△ABE的面积求出a=4；接着求出b=3，最后计算小正方形的边长a-b并得到面积为1．
9．（2025九上·绍兴月考）已知抛物线y=-(x-a)(x-b)(aA．若向左平移， 则a+b=m+n B．若向右平移， 则b-aC．若向上平移， 则a+b>m+n D．若向下平移， 则a+b=m+n
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：∵原抛物线y=(x-a)(x-b)与x轴交点为(a，0)，(b，0)，
∴其对称轴为.
∵平移后抛物线与x轴交于(m，0)，(n，0)，
∴新对称轴为.
A、对称轴左移，，即a+b>m+n，A错误；
B、对称轴右移，，即a+bC、对称轴不变，，即a+b=m+n，C错误；
D、对称轴不变，，即a+b=m+n，D正确.
故答案为：D.
【分析】抛物线上下平移时，对称轴不变；左右平移时，对称轴随之移动．
10．（2025九上·绍兴月考） 如图， AB 是⊙O 的直径， AB=4， C是上半圆AB的的中点，D是下半圆AB上一个动点，过点 A 作 CD 的垂线，垂足为E，则点 D 从点 A 运动到点 B 的过程中，点E 运动的路径长是(　　)
A．π B． C． D．2π
【答案】B
【知识点】勾股定理；弧长的计算；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接AC，OC，
∵C是上半圆AB的的中点，
∴，
∴∠AOC=∠BOC=90°.
由AB=4，得OA=OC=2.
在Rt△ACO中，由勾股定理得.
∵AE⊥CD，
∴ ∠AEC=90°，
根据圆周角定理的推论，得点E在以AC为直径的半圆上运动，
∴该半圆的弧长为，
即点E运动的路径长是.
故答案为：B.
【分析】先利用圆周角定理的推论（直角所对的弦为直径）确定点E的轨迹是以AC为直径的半圆，再根据C是上半圆中点和勾股定理求出AC=，最后用半圆的弧长公式计算出点E的运动路径长．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·绍兴月考）若 则的值为　 　.
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴3y=4x，
∴.
故答案为：.
【分析】根据比例的性质，先对进行交叉相乘，得到3y=4x；再将等式两边同时除以4y，整理得到．
12．（2025九上·绍兴月考）若关于x的方程 没有实数根，则m的取值范围是　 　.
【答案】m<-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由，得Δ=b2-4ac=42-4×1×(3-m)=16-12+4m=4+4m.
∵方程无实数根，
∴Δ<0，即4+4m<0，解得m<-1.
故答案为：m<-1.
【分析】先利用一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac计算该方程的判别式，再根据“方程无实数根时Δ<0”列出不等式，最后解不等式得到m的取值范围．
13．（2025九上·绍兴月考）如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1： 堤高BC=8m， 则坡面AB的长度　 　m.
【答案】16
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是，
∴，解得．
在Rt△ABC中，由勾股定理得.
故答案为：16.
【分析】先利用坡比的定义（坡比=垂直高度：水平宽度），求出水平宽度AC的长度；再在Rt△ABC中应用勾股定理，计算坡面AB的长度；最后得到结果．
14．（2025九上·绍兴月考）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点 C， D， 则sin∠ADC 的值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；正弦的概念；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：∵AB为圆的直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠ADC与∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ADC=∠ABC．
在Rt△ABC中，，AC=2，
∴．
故答案为：.
【分析】先利用圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）得到∠ACB=90°，再利用同弧所对的圆周角相等得到∠ADC=∠ABC，接着在Rt△ABC中应用勾股定理求出AB的长度，最后利用正弦的定义求出sin∠ABC，从而得到sin∠ADC的值．
15．（2025九上·绍兴月考） 当-3≤x≤2时， 二次函数y=a(x-2)2+1-4a(a≠0)的最大值为8，则a=　 　.
【答案】或
【知识点】解一元一次方程；二次函数的最值；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：二次函数y=a(x-2)2+1-4a的对称轴为x=2．
当a>0时，抛物线开口向上，在区间-3≤x≤2上，函数在左端点x=-3处取得最大值，
∴a(-3-2)2+1-4a=8，解得；
当a<0时，抛物线开口向下，在区间 3≤x≤2上，函数在右端点x=2处取得最大值，
∴a(2-2)2+1-4a=8，解得.
综上，或.
故答案为：或.
【分析】先利用二次函数的顶点式性质确定对称轴为x=2，再根据二次函数的增减性分a>0和a<0两种情况讨论最大值的位置，最后分别代入对应点的坐标列方程求解，得到a的值．
16．（2025九上·绍兴月考）如图，已知⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，D为劣弧AB 上一点，连接CD交A于点E，若BC= CE=9， tan∠BCD= 则 tan∠ABD 的值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点B作BP⊥CD于P，过点A作AQ⊥CD于Q．
已知，即，设BP=x，则CP=2x．
在Rt△BPC中，由勾股定理得BP2+CP2=BC2，即，
解得x=4（负值舍去），
∴BP=4，CP=8．
∵CE=9，
∴PE=CE-CP=9-8=1．
在Rt△BPE中，.
∵∠AQE=∠BPE=90°，∠AEQ=∠BEP，
∴△AQE～△BPE．
设EQ=k，则由相似比，得AQ=4k，AE=k，
∴．
∵AB=AC，
∴AC=(k+1)．
∴CQ=CE+EQ=9+k，AQ=4k.
在Rt△CQA中，CQ2+AQ2=AC2，即(9+k)2+(4k)2=[(k+1)]2，解得k=4.
∵∠ABD=∠ACD，
∴在Rt△AQC中，，
代入k=4得.
故答案为：.
【分析】先过B，A作CD的垂线，构造直角三角形，利用和勾股定理求出BP，CP及BE的长度；再根据对顶角和直角证明△AQE～△BPE，设比例系数k表示出AQ，AE及AC；最后在Rt△CQA中用勾股定理列方程求出k，结合圆周角相等，将tan∠ABD转化为tan∠ACD计算出结果．
三、解答题(本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·绍兴月考） 计算：
【答案】解：
.
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用绝对值的性质化简为，再利用特殊角的三角函数值计算2sin60°为，接着利用负指数幂的性质计算为9，最后合并同类项得到结果．
18．（2025九上·绍兴月考）第十五届全运会开幕式上，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以活泼可爱的形象亮相，成为全场焦点.如图，现有三张正面分别印有“喜洋洋”、“乐融融”和“全运会会徽”图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同.将这三张卡片正面向下洗匀.
（1）小明从中随机抽取一张，求小明抽中“喜洋洋”卡片的概率；
（2）小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.用画树状图(或列表)的方法，求小明抽出的两张卡片图案不同的概率.
【答案】（1）解：∵共有3张卡片，分别印有“喜洋洋”“乐融融”“全运会会徽”，且每张卡片被抽到的概率相等，
∴抽中“喜洋洋”卡片的概率为．
（2）解：画树状图如下：
第一次抽取：A，B，C
第二次抽取：A，B，C（放回后重新抽取）
总共有3×3=9种等可能的结果．
其中两张卡片图案不同的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，共6种．
.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】 (1) 先利用概率的定义，确定总共有3种等可能的结果，再确定抽中“喜洋洋”卡片的结果数为1，最后根据概率公式，即可计算得到概率；
(2) 先利用树状图法列出所有可能的结果为9种，再数出两张卡片图案不同的结果数为6种，最后根据概率公式计算得到概率．
19．（2025九上·绍兴月考）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺分别按要求画出下列图形.
（1） 将图1中的△ABC绕点A 逆时针旋转90°， 画出旋转后的△AB'C'；
（2）如图2， 在AC上找一点D， 使△ABD的面积与△BCD的面积之比为3：1.
【答案】（1）解：
如图，△AB'C'为所作三角形.
（2）解：
如图，取格点M，N，使AN：CM=3：1，连接MN交AC于点D，点D为所作的点.
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】 (1) 先利用旋转的性质，确定旋转中心，方向和角度，再分别找到点B，C旋转后的对应点B'，C'，最后连接对应点得到旋转后的三角形；
(2) 先利用三角形面积公式，得出两个三角形的面积比等于底边AD与CD的长度比，再根据面积比为3：1确定AD：CD=3：1，最后在AC上找到满足该比例的点D．
20．（2025九上·绍兴月考） 如图， 已知AB∥DC， 点E、F在线段BD上， AB=2DC， BE=2DF.
（1） 求证： △ABE∽△CDF；
（2） 若BD=8， DF=2， 求EF的长.
【答案】（1）证明：∵ AB∥DC，
∴∠B＝∠D，
∵AB＝2DC，BE＝2DF，
∴AB：DC＝BE：DF＝2，
∴△ABE∽△CDF；
（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，
∴BE＝4，
∵BD＝8，
∴EF＝BD-DF-BE＝8-2-4=2．
【知识点】平行线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】 (1) 先利用平行线的性质得到∠B=∠D，再根据已知条件得出两边的比例关系AB：DC＝BE：DF＝2，最后根据相似三角形的判定定理（两边成比例且夹角相等），从而证明△ABE～△CDF；
(2) 先利用已知条件BE=2DF求出BE的长度，再根据线段的和差关系EF=BD-BE-DF，最后代入数值计算得到EF的长度．
21．（2025九上·绍兴月考）黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景.如图，风力发电机舱在点O处，三片扇叶两两所成的角为120°，某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪进行了实地测量，他们在距离塔杆65米的点C处安放测角仪(测角仪高度AC=1米)，当扇叶a恰好与塔杆重合时，测得扇叶b的末端点B的仰角为54.5°，经查阅资料知此型号的发电机每片扇叶长26米，结合当地气候条件，当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高.请你判断该发电机机舱的高度是否合适.(参考数据： )
【答案】解：该发电机机舱的高度合适，
如图：过点A作AE⊥OD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，过点O作OG⊥BF，垂足为G，
由题意得：DE＝AC＝1米，AE＝CD＝65米，OG＝EF，OE＝GF，∠BOD＝120°，∠DOG＝90°，
∴∠BOG＝∠BOD﹣∠DOG＝30°，
在Rt△BOG中，OB＝26米，
∴BG＝OB＝13（米），OG＝BG＝13（米），
∴EF＝OG＝13米，
∴AF＝AE﹣EF＝（65﹣13）米，
在Rt△ABF中，∠BAF＝54.5°，
∴BF＝AF tan54.5°≈（65﹣13）×1.4＝（91﹣18.2）米，
∴OE＝GF＝BF﹣BG＝（78﹣18.2）米，
∴OD＝OE+DE＝79﹣18.2≈47.514（米），
∵当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高，
∴该发电机机舱的高度合适．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；正切的概念
【解析】【分析】先利用角的和差关系求出∠BOG=30°，再在Rt△BOG中应用含30°角的直角三角形性质求出BG和OG的长度，接着在Rt△ABF中应用正切的定义求出BF的长度，最后计算出机舱高度OD并判断其是否在45m到50m的范围内．
22．（2025九上·绍兴月考）如图，AB为⊙O的直径，C、D 为圆O上不同于A、B的两点，过点C作⊙O的切线CF 交直线AB 于点 F， 直线DB⊥CF于点 E.
（1） 求证： ∠ABD=2∠CAB；
（2）若 且 求 BF的长.
【答案】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠1，
∴2∠CAB＝∠2＝∠CAB+∠1，
∵OC是⊙O的半径，CF切⊙O于C，
∴OC⊥CF，
∵DB⊥CF，
∴OC∥DB，
∴∠ABD＝∠2，
∴∠ABD＝2∠CAB；
（2）解：∵∠ACD，∠ABD为所对圆周角，
∴∠ACD＝∠ABD，
.
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴，
∴，
∴，
∴OB＝OC＝3，
∴，
∴设EF＝4x，BE＝3x，则BF＝5x，
∵BE⊥CF，OC⊥CF，
∴OC∥BE，
∴△BEF～△OCF，
∴，
∴，
∴，
∴BF＝5x＝2．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】 (1) 先连接OC，利用等腰三角形的性质得到∠CAB=∠1，再利用三角形外角的性质得到∠2=2∠CAB，接着利用切线的性质和平行线的判定得到OC∥DB，最后利用平行线的性质得到∠ABD=∠2，从而完成证明；
(2) 先利用圆周角定理得到∠ACD=∠ABD，再在Rt△ABD中应用正切的定义和勾股定理求出AB的长度，接着设EF=4x，BE=3x，利用相似三角形的判定与性质列方程求解x，最后计算出BF的长度．
23．（2025九上·绍兴月考）已知二次函数 (a， b是实数， a≠0).
（1）求证：该函数图象与x轴一定有两个不同的交点；
（2） 若b=-2a， a>0， 该函数图象经过A(n+1， y1)， B(n-1， y2) 两点， 若A， B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1
（3）若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且过点(2，1)，求 的最小值.
【答案】（1）证明：Δ＝b2-4a(-5a)=b2+20a2，
∵a≠0，
∴b2≥0，20a2＞0，
∴Δ＝b2+20a2＞0，
∴该函数图象与x轴一定有两个不同的交点.
（2）解：∵若b＝﹣2a，则抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵a＞0，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，
则1﹣（n﹣1）＞n+1﹣1且n+1＞1，
解得0＜n＜1，
故n的取值范围是0＜n＜1.
（3）解：图象过点（2，1），
则4a+2b﹣5a＝1，则a＝2b﹣1，
当x≥0时，总有y随x的增大而减小，
则a＜0，b≤0，
则b2﹣2a＝b2﹣4b+2，
∵b≤0，函数的对称轴为直线b＝2，
故当b＝0时，函数取得最小值为2，
即b2﹣2a的最小值是2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】 (1)先利用一元二次方程根的判别式计算Δ=b2+20a2，再根据a≠0得出Δ>0，最后根据判别式的性质得出函数图象与x轴有两个不同交点的结论；
(2)先利用二次函数对称轴公式求出对称轴为x=1，再根据A，B两点在对称轴两侧且y1(3)先利用函数过点(2，1)并求出a=2b-1，再根据二次函数的增减性得出a<0且b≤0，接着将a=2b-1代入b2-2a得到关于b的二次函数，最后根据b≤0求出该二次函数的最小值．
24．（2025九上·绍兴月考）已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角线AC，BD相交于点E.
（1） 如图1， 若D为AC的中点， AE=DE， ∠ADC=128°， 则
①∠ABD的度数为 ； ②求证： AD∥BC.
（2） 如图2， 若AC为⊙O 的直径， 求cos∠CAD的值；
（3） 如图3， 对角线AC为⊙O的直径， 过点D作DM⊥AC于点M， 延长DM交BC于点F， 若 求
【答案】（1）①26°；
②证明：∵AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA，∵∠ACB＝∠EDA，∴∠EAD＝∠ACB，∴AD∥BC；
（2）解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
在直角三角形ABC中，AB＝BC，
由勾股定理，得，∠ACB＝∠BAC＝45°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠BDA＝∠BCA＝45°＝∠BAE，
∴△BAD∽△BEA，
∴，
∴，
∴.
（3）解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°；
∵DF⊥AC，
∴∠ACD+∠FDC＝90°，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠FDC＝∠DBC，
又∵∠FCD＝∠DCB，
∴△FCD∽△DCB，
∴，
∴，
∴可设BF＝4m，CF＝3m，
∴BC＝BF+CF＝7m，
∴CD2＝CF BF＝21m2，
∴CD＝m或CD＝﹣m（不合题意，舍去），
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解： (1) ①∵D为的中点，
∴，∠ABD=∠CBD．
∵AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA．
∵∠ADC=128°，
∴．
∵∠ACB=∠EDA，
∴∠ACB=26°．
又∵∠ABD=∠ACB，
∴∠ABD=26°．
故答案为：26°.
【分析】(1) ① 先利用弧中点的性质得到，再根据AE=DE和∠ADC=128°求出∠EAD=26°，接着利用圆周角定理得到∠ACB=∠EDA和∠ABD=∠ACB，最后得出∠ABD=26°；②先利用等腰三角形的性质得到∠EAD=∠EDA，再利用圆周角定理得到∠ACB=∠EDA，从而得到∠EAD=∠ACB，最后根据平行线的判定定理证明AD∥BC；
(2) 先利用圆周角定理得到∠ABC=90°，再根据AB=BC得出△ABC为等腰直角三角形，接着利用相似三角形的判定得到△BAD～△BEA，从而求出，最后在Rt△ADC中应用余弦的定义求出cos∠CAD的值；
(3) 先利用圆周角定理得到∠ABC=90°，再根据DF⊥AC和角的互余关系得到∠FDC=∠DBC，接着利用相似三角形的判定得到△FCD～△DCB，从而得出CD2=CF×BC，最后设BF=4m，CF=3m，代入计算得到的值．
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