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四川省绵阳市2024年中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求．
1．（2024·绵阳）下列实数中满足不等式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：(-2)3=-8，≈3.14，1<<2，=3，满足x>3的只有.
故答案：B.
【分析】分别化简或估算各选项的值，即可得结果.
2．（2024·绵阳）蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美.如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M 的对应点为M1，若点M的坐标为(-2，-3)，则点M1的坐标为 (　　)
A．(2，-3) B．(-3，2) C．(-2，3) D．(2，3)
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：由题意得，点M(-2，-3)与点. 关于y轴对称，所以点. 的坐标为(2，-3).故选 A.
【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到答案.
3．（2024·绵阳）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意知，得x>0.
故答案：C.
【分析】由分母不为零和二次根式被开方数非负可得x的范围.
4．（2024·绵阳）如图是某几何体的展开图，则此几何体是（　　）
A．五棱柱 B．五棱锥 C．六棱柱 D．六棱锥
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：几何体的展开图为长方形和六边形，据此可判断该几何体为六棱柱，即C正确．
故选：C．
【分析】根据简单几何体的展开图判断即可．
5．（2024·绵阳）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：已知，，
，
，
解得．
故选：D．
【分析】根据弧长公式解答即可．
6．（2024·绵阳）如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（　　）
A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设蜻蜓有x只，翅膀y只，则由题意得：
，解得.
故答案：A.
【分析】设蜻蜓有x只，翅膀y只，由题意列出二元一次方程组，求解方程组即可得结果.
7．（2024·绵阳）如图，在△中，，平分交于点，，垂足为，△的面积为5，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB
∴DE=DF
∵，AB=5
∴DF=2
∴DE=2
故答案：B.
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，由角平分线的性质知DF=DE，由面积可得DF的长，即得DE的长.
8．（2024·绵阳）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程有实根知，即，得-8k-4≥0，即.
故答案：D.
【分析】由方程有实根知，可得关于k的不等式，即可得k的值.
9．（2024·绵阳）如图，在边长为2的正六边形中，连接，点在上运动，点为的中点，当△的周长最小时，（　　）
A． B． C．12 D．13
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的应用-最短距离问题；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接CE，
∵ABCDEF为正六边形
∴∠D=∠DEF=
∵DC=DE
∴∠DEC=
∴∠CEG=∠DEF-∠DEC=120°-30°=90°
点A关于BE的对称点为点C，连接HC，则HC=HA，
AH+GH=HC+HG，当C、H、G三点共线时，△AGH的周长取最小值，
CE=2，CG=
故当△AGH周长最小时，AH+GH=
故答案：B.
【分析】连接CE，由正六边形的性质知∠CEG=90°，点A关于BE的对称点为C，HC=HA，当C、H、G共线时，取最小值，求出CG即为AH+GH的最小值.
10．（2024·绵阳）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有：
闭合两个的情况有：，，，，，，，，，，，，
闭合三个的情况有：，，，，，，，，，，，，
闭合四个的情况有：，，，，
故这些开关随机闭合至少两个共11种，
其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种，
将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为．
故选：D．
【分析】根据列举法得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
11．（2024·绵阳）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6，第行有个数．探究其中规律，你认为第行从左至右第3个数不可能是（　　）
A．36 B．96 C．226 D．426
【答案】C
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题知2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6....
从第三行怦，第n行的左起第三个数可表示为n(n-1)+6
36=5×6+6，故A不符合题意；
9×10+6=96，故B不符合题意；
14×15+6=216，216<226<246，故C符合题意；
20×21+6=426，故D不符合题意；
故答案：C.
【分析】根据每行最后一个数字的规律n(n-1)，可得每行第三个数字的规律n(n-1)+6，分别验证各选项即可得结果.
12．（2024·绵阳）如图，在四边形中，，，，，，，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥BC于点H，
∵DA=DE，DG⊥AE
∴AG=GE
∵AD||CF
∴∠A=∠BFC
∴△ADG~△FCB
∴AG：BF=AD：CF=1：2
∵∠DEB+∠BCD=180°，∠DEB+∠DEA=180°
∴∠DEG=∠DCH
∴△DEG~△DCH
∴
∵DGBH为矩形
∴DG=BH
设AG=m，则EG=m，BF=2m，DG=，BC=2，CH=，
，解得m=
BF=2m=.
故答案：D.
【分析】过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥BC于点H，由等腰三角形的性质知AG=EG，同时△ADG~△FCB、△DEG~△DCH，设AG=m，可得DG、CH的长度，由相似比例可得m的值，即可得BF的长.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．
13．（2024·绵阳）因式分解：　 　 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：.
故答案：.
【分析】提公因式2，可由完全平方式进行因式分解即可.
14．（2024·绵阳）中国是茶叶的故乡，产量多年位居世界第一，据统计：2023年我国全年茶叶产量为355万吨，将数据3550000用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
15．（2024·绵阳）已知单项式与是同类项，则　 　．
【答案】2
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵单项式与是同类项，
∴，解得：．
故答案为：2．
【分析】直接利用同类项的定义“含有相同字母，并且相同字母的指数也相同的项是同类项”即可求得n的值．
16．（2024·绵阳）如图，直线，点在上，以为圆心画弧，交于不同两点，．若，则　 　．
【答案】92
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵
∴∠ABO=θ
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=θ
∵∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA
∴∠AOB=180°-44°-44°=92°
故答案：92.
【分析】由平行的性质知∠BOA=θ，由等腰三角形的性质可得∠AOB的度数.
17．（2024·绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：3月份的价格为500×(1+20%)=600元，设4、5月份降价率为x，则由题意得：
600(1-x)2=486，解得x=10%或1.9(舍去).
故答案：.
【分析】先求出3月份的价格，设张价百分率为x，由题意列出方程，求解方程即可得结果.
18．（2024·绵阳）如图，在矩形中，点在上运动，△的内切圆与相切于点，将△沿翻折，点落在点处，连接．当点恰为的三等分点（靠近点时，且，，则　 　 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；切线长定理；求余弦值；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点F作MN⊥CD于点M，交AB于点N，
∵圆O为△ADE的内切圆
∴AH=AI，EH=EG=，DI=DG=
设AH=AI=x，由勾股定理得，即
解得x1=3-，x2=-3-(舍去)，即AH=AI=3-，
故AE=，AD=3-++1=4，
∵E为AB的三等分点
∴AB=3AE=6
∵由折叠∠DFE=90°，EF=AE=2，DF=AD=4
∴∠DFM+∠EFN=90°
又∵∠DFM+∠FDM=90°
∴∠MDF=∠EFN
∴△DFM~△FEN
∴
设EN=m，则MF=2m，FN=4-2m，得DM=8-4m
8-4m=2+m，解得m=
BN=AB-AE-EN=6-2-=，FN=4-2
得BF=
故cos∠ABF=.
故答案：.
【分析】由切线长定理知AH=AI，DG=DI，EG=EH，设AH=x，则可得AE和AD的长，由勾股定理得x的值，由此得AE和AD的长，由一线三垂直得△DFM~△FEN，由相似比例可得EN的长，由此可得BN和FN的长，求出BF的长，即可得∠ABF的余弦值.
三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2024·绵阳）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】(1)先分别化简乘方、二次根式、零指数幂、特殊角的余弦值，再去绝对值，计算加减法即得结果；
(2)通分后再计算乘法，代入数据后可得结果.
20．（2024·绵阳）某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下：
甲 7 9 7 9 10 6
乙 5 8 9 10 10 6
（1）根据表格中的数据填空：
甲的平均成绩是 　 　 环，乙的平均成绩是 　 　 环；甲成绩的中位数是 　 　 环，乙成绩的众数是 　 　 环．
（2）求甲、乙测试成绩的方差；
（3）你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由．
【答案】（1）8；8；8；10
（2）解：；
；
（3）解：推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下：
因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）甲的平均成绩是（环，
乙的平均成绩是（环，
甲成绩的中位数是（环，
乙成绩的众数是10环．
故答案为：8，8，8，10；
【分析】(1)根据平均值、中位数、众数的概念分别求解即可；
(2)由方差公式分别求出甲、乙的方差即可；
(3)比较两份的平均值和方差，即可知甲更加稳定.
21．（2024·绵阳）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株．
（1）求甲、乙两种花卉每株的价格；
（2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值．
【答案】（1）解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
所以．
答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元．
（2）解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，由题意得：，解得：，
∵m为正整数，
∴，
∴购买这两种花卉有6种方案，
设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，
由题意得：，
∵，
∴y随m的增大而减小，
∴当时，y有最小值．
答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种花卉每株的价格为x元，根据“购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株”列分式方程求出x的值检验解答即可；
（2）设该部门需购买甲种花卉m株，根据“甲花卉的资金不超过1000元”列一元一次不等式组求出m的取值范围，再设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，列y关于m的一次函数关系式，然后根据增减性解答即可．
（1）解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
所以．
答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元．
（2）解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，
由题意得：，解得：，
∵m为正整数，
∴，
∴购买这两种花卉有6种方案，
设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，
由题意得：，
∵，
∴y随m的增大而减小，
∴当时，y有最小值．
答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元．
22．（2024·绵阳）如图，在正方形中，，对角线与相交于点，点在线段上（与端点不重合），线段绕点逆时针旋转到的位置，点恰好落在线段上，，垂足为．
（1）求证：△△；
（2）设，求的最小值．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
由旋转得：，，
，
，
在△和△中，
，
△△；
（2）解：四边形是正方形，
，，，
△△，
，，
，
，
，
点在线段上（与端点不重合），
，
当时，的最小值是．
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由正方形的性质知AC⊥BD，由BE⊥EF利用互余关系得，由此得 △△；
(2)由全等可得CF=，由此可得关于x的二次函数关系，当时取最小值.
23．（2024·绵阳）如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点，边在轴上，，，点在反比例函数的图象上．
（1）求点，，的坐标及反比例函数的解析式；
（2）将菱形向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点，求点到轴的距离．
【答案】（1）解：过点作于点．
四边形是菱形，
，，
，
△是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，，，，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：对于反比例函数，
当时，，
当点恰好在反比例函数的图象上时，点的对应点，
菱形向右平移了4个单位，
，的对应点，，，
直线的解析式为，
由，
解得或，
，
点的坐标为，，
点到轴的距离为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】(1)过点作于点，由菱形的性质可得ABD为等边三角形，得BH=AH=2，由此得D、C的坐标，代入反比例函数中，即可得k的值，即得反比例函数解析式；
(2)求出点E'的坐标并求出B'C'的解析式，联立直线与反比例函数可得F的坐标，即得点F到x轴的距离.
24．（2024·绵阳）如图，为△的外接圆，弦，垂足为，直径交于点，连接，．若，．
（1）证明：四边形为平行四边形；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，
由（1）知，，
，
△△，
，
；
（3）解：过点作于，
在△中，，
，
，
，
△△，
，
，
，，
，
，
，
，
在△中，，
．
【知识点】圆周角定理；求正弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)BF为直径知AF⊥AB结合CD⊥AB知CD||AF，由圆周角定理得AD||GF即得ADGF为平行四边形；
(2)设BE=x，则AE=5-x，由勾股定理得，得x=2由此可得，结合△△，可得结果；
(3)过点作于，求出CE的长，结合△△，由此得AD和CD的长，由等面积法得DH的长，由此可得∠CAD的正弦值.
25．（2024·绵阳）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接和，点在抛物线上运动，连接，和．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）点在抛物线上从点运动到点的过程中（点与点，不重合），作点关于轴的对称点，连接，，记△的面积为，记△的面积为，若满足，求△的面积；
（3）在（2）的条件下，试探究在轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：，
则，则，
则抛物线的表达式为：，
该抛物线的对称轴为直线，
当时，，即顶点坐标为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，
设点，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，则点，
同理由点、的坐标得，直线的表达式为：，
连接交于点，设直线交轴于点，则点，
则，
同理可得：，
解得：（舍去）或，
即点，；
则△的面积；
（3）解：存在，理由：
由（2）知，，；
由点、的坐标得，；
当点在点的上方时，则，
由点、的坐标得，，
过点作于点，
设，则，
则，
解得：，
则，，
则，
则，
即点，；
当点在点下方时，
同理可得：，
则点，；
综上，，或，．
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)设二次函数的交点式，由c=3可得a=-1，即得抛物线解析式，由此可得抛物线的顶点坐标；
(2)设点得P1的坐标，求出AC的表达式可得E(m，m+3)，求出BP的解析式得S1，同理得S2，由此可得m的值，即可求出△ABP的面积；
(3)分点在点的上方和点Q'在点下方两种情况，过点作于点，先求出PCQ的正切值，设PH=QH=x，求出点x的值，即可得点Q的坐标.
1 / 1四川省绵阳市2024年中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每个小题只有一个选项符合题目要求．
1．（2024·绵阳）下列实数中满足不等式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·绵阳）蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美.如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M 的对应点为M1，若点M的坐标为(-2，-3)，则点M1的坐标为 (　　)
A．(2，-3) B．(-3，2) C．(-2，3) D．(2，3)
3．（2024·绵阳）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·绵阳）如图是某几何体的展开图，则此几何体是（　　）
A．五棱柱 B．五棱锥 C．六棱柱 D．六棱锥
5．（2024·绵阳）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·绵阳）如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（　　）
A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2
7．（2024·绵阳）如图，在△中，，平分交于点，，垂足为，△的面积为5，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
8．（2024·绵阳）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024·绵阳）如图，在边长为2的正六边形中，连接，点在上运动，点为的中点，当△的周长最小时，（　　）
A． B． C．12 D．13
10．（2024·绵阳）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024·绵阳）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6，第行有个数．探究其中规律，你认为第行从左至右第3个数不可能是（　　）
A．36 B．96 C．226 D．426
12．（2024·绵阳）如图，在四边形中，，，，，，，则(　　)
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．
13．（2024·绵阳）因式分解：　 　 ．
14．（2024·绵阳）中国是茶叶的故乡，产量多年位居世界第一，据统计：2023年我国全年茶叶产量为355万吨，将数据3550000用科学记数法表示为　 　．
15．（2024·绵阳）已知单项式与是同类项，则　 　．
16．（2024·绵阳）如图，直线，点在上，以为圆心画弧，交于不同两点，．若，则　 　．
17．（2024·绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则　 　．
18．（2024·绵阳）如图，在矩形中，点在上运动，△的内切圆与相切于点，将△沿翻折，点落在点处，连接．当点恰为的三等分点（靠近点时，且，，则　 　 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2024·绵阳）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
20．（2024·绵阳）某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下：
甲 7 9 7 9 10 6
乙 5 8 9 10 10 6
（1）根据表格中的数据填空：
甲的平均成绩是 　 　 环，乙的平均成绩是 　 　 环；甲成绩的中位数是 　 　 环，乙成绩的众数是 　 　 环．
（2）求甲、乙测试成绩的方差；
（3）你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由．
21．（2024·绵阳）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株．
（1）求甲、乙两种花卉每株的价格；
（2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值．
22．（2024·绵阳）如图，在正方形中，，对角线与相交于点，点在线段上（与端点不重合），线段绕点逆时针旋转到的位置，点恰好落在线段上，，垂足为．
（1）求证：△△；
（2）设，求的最小值．
23．（2024·绵阳）如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点，边在轴上，，，点在反比例函数的图象上．
（1）求点，，的坐标及反比例函数的解析式；
（2）将菱形向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，边与函数图象交于点，求点到轴的距离．
24．（2024·绵阳）如图，为△的外接圆，弦，垂足为，直径交于点，连接，．若，．
（1）证明：四边形为平行四边形；
（2）求的值；
（3）求的值．
25．（2024·绵阳）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接和，点在抛物线上运动，连接，和．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）点在抛物线上从点运动到点的过程中（点与点，不重合），作点关于轴的对称点，连接，，记△的面积为，记△的面积为，若满足，求△的面积；
（3）在（2）的条件下，试探究在轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：(-2)3=-8，≈3.14，1<<2，=3，满足x>3的只有.
故答案：B.
【分析】分别化简或估算各选项的值，即可得结果.
2．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：由题意得，点M(-2，-3)与点. 关于y轴对称，所以点. 的坐标为(2，-3).故选 A.
【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意知，得x>0.
故答案：C.
【分析】由分母不为零和二次根式被开方数非负可得x的范围.
4．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：几何体的展开图为长方形和六边形，据此可判断该几何体为六棱柱，即C正确．
故选：C．
【分析】根据简单几何体的展开图判断即可．
5．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：已知，，
，
，
解得．
故选：D．
【分析】根据弧长公式解答即可．
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设蜻蜓有x只，翅膀y只，则由题意得：
，解得.
故答案：A.
【分析】设蜻蜓有x只，翅膀y只，由题意列出二元一次方程组，求解方程组即可得结果.
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB
∴DE=DF
∵，AB=5
∴DF=2
∴DE=2
故答案：B.
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，由角平分线的性质知DF=DE，由面积可得DF的长，即得DE的长.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程有实根知，即，得-8k-4≥0，即.
故答案：D.
【分析】由方程有实根知，可得关于k的不等式，即可得k的值.
9．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的应用-最短距离问题；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接CE，
∵ABCDEF为正六边形
∴∠D=∠DEF=
∵DC=DE
∴∠DEC=
∴∠CEG=∠DEF-∠DEC=120°-30°=90°
点A关于BE的对称点为点C，连接HC，则HC=HA，
AH+GH=HC+HG，当C、H、G三点共线时，△AGH的周长取最小值，
CE=2，CG=
故当△AGH周长最小时，AH+GH=
故答案：B.
【分析】连接CE，由正六边形的性质知∠CEG=90°，点A关于BE的对称点为C，HC=HA，当C、H、G共线时，取最小值，求出CG即为AH+GH的最小值.
10．【答案】D
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有：
闭合两个的情况有：，，，，，，，，，，，，
闭合三个的情况有：，，，，，，，，，，，，
闭合四个的情况有：，，，，
故这些开关随机闭合至少两个共11种，
其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种，
将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为．
故选：D．
【分析】根据列举法得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
11．【答案】C
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题知2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6....
从第三行怦，第n行的左起第三个数可表示为n(n-1)+6
36=5×6+6，故A不符合题意；
9×10+6=96，故B不符合题意；
14×15+6=216，216<226<246，故C符合题意；
20×21+6=426，故D不符合题意；
故答案：C.
【分析】根据每行最后一个数字的规律n(n-1)，可得每行第三个数字的规律n(n-1)+6，分别验证各选项即可得结果.
12．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥BC于点H，
∵DA=DE，DG⊥AE
∴AG=GE
∵AD||CF
∴∠A=∠BFC
∴△ADG~△FCB
∴AG：BF=AD：CF=1：2
∵∠DEB+∠BCD=180°，∠DEB+∠DEA=180°
∴∠DEG=∠DCH
∴△DEG~△DCH
∴
∵DGBH为矩形
∴DG=BH
设AG=m，则EG=m，BF=2m，DG=，BC=2，CH=，
，解得m=
BF=2m=.
故答案：D.
【分析】过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥BC于点H，由等腰三角形的性质知AG=EG，同时△ADG~△FCB、△DEG~△DCH，设AG=m，可得DG、CH的长度，由相似比例可得m的值，即可得BF的长.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：.
故答案：.
【分析】提公因式2，可由完全平方式进行因式分解即可.
14．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
15．【答案】2
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵单项式与是同类项，
∴，解得：．
故答案为：2．
【分析】直接利用同类项的定义“含有相同字母，并且相同字母的指数也相同的项是同类项”即可求得n的值．
16．【答案】92
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵
∴∠ABO=θ
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=θ
∵∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA
∴∠AOB=180°-44°-44°=92°
故答案：92.
【分析】由平行的性质知∠BOA=θ，由等腰三角形的性质可得∠AOB的度数.
17．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：3月份的价格为500×(1+20%)=600元，设4、5月份降价率为x，则由题意得：
600(1-x)2=486，解得x=10%或1.9(舍去).
故答案：.
【分析】先求出3月份的价格，设张价百分率为x，由题意列出方程，求解方程即可得结果.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；切线长定理；求余弦值；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点F作MN⊥CD于点M，交AB于点N，
∵圆O为△ADE的内切圆
∴AH=AI，EH=EG=，DI=DG=
设AH=AI=x，由勾股定理得，即
解得x1=3-，x2=-3-(舍去)，即AH=AI=3-，
故AE=，AD=3-++1=4，
∵E为AB的三等分点
∴AB=3AE=6
∵由折叠∠DFE=90°，EF=AE=2，DF=AD=4
∴∠DFM+∠EFN=90°
又∵∠DFM+∠FDM=90°
∴∠MDF=∠EFN
∴△DFM~△FEN
∴
设EN=m，则MF=2m，FN=4-2m，得DM=8-4m
8-4m=2+m，解得m=
BN=AB-AE-EN=6-2-=，FN=4-2
得BF=
故cos∠ABF=.
故答案：.
【分析】由切线长定理知AH=AI，DG=DI，EG=EH，设AH=x，则可得AE和AD的长，由勾股定理得x的值，由此得AE和AD的长，由一线三垂直得△DFM~△FEN，由相似比例可得EN的长，由此可得BN和FN的长，求出BF的长，即可得∠ABF的余弦值.
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】(1)先分别化简乘方、二次根式、零指数幂、特殊角的余弦值，再去绝对值，计算加减法即得结果；
(2)通分后再计算乘法，代入数据后可得结果.
20．【答案】（1）8；8；8；10
（2）解：；
；
（3）解：推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下：
因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）甲的平均成绩是（环，
乙的平均成绩是（环，
甲成绩的中位数是（环，
乙成绩的众数是10环．
故答案为：8，8，8，10；
【分析】(1)根据平均值、中位数、众数的概念分别求解即可；
(2)由方差公式分别求出甲、乙的方差即可；
(3)比较两份的平均值和方差，即可知甲更加稳定.
21．【答案】（1）解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
所以．
答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元．
（2）解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，由题意得：，解得：，
∵m为正整数，
∴，
∴购买这两种花卉有6种方案，
设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，
由题意得：，
∵，
∴y随m的增大而减小，
∴当时，y有最小值．
答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种花卉每株的价格为x元，根据“购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株”列分式方程求出x的值检验解答即可；
（2）设该部门需购买甲种花卉m株，根据“甲花卉的资金不超过1000元”列一元一次不等式组求出m的取值范围，再设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，列y关于m的一次函数关系式，然后根据增减性解答即可．
（1）解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
所以．
答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元．
（2）解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，
由题意得：，解得：，
∵m为正整数，
∴，
∴购买这两种花卉有6种方案，
设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，
由题意得：，
∵，
∴y随m的增大而减小，
∴当时，y有最小值．
答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元．
22．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
由旋转得：，，
，
，
在△和△中，
，
△△；
（2）解：四边形是正方形，
，，，
△△，
，，
，
，
，
点在线段上（与端点不重合），
，
当时，的最小值是．
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由正方形的性质知AC⊥BD，由BE⊥EF利用互余关系得，由此得 △△；
(2)由全等可得CF=，由此可得关于x的二次函数关系，当时取最小值.
23．【答案】（1）解：过点作于点．
四边形是菱形，
，，
，
△是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，，，，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：对于反比例函数，
当时，，
当点恰好在反比例函数的图象上时，点的对应点，
菱形向右平移了4个单位，
，的对应点，，，
直线的解析式为，
由，
解得或，
，
点的坐标为，，
点到轴的距离为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】(1)过点作于点，由菱形的性质可得ABD为等边三角形，得BH=AH=2，由此得D、C的坐标，代入反比例函数中，即可得k的值，即得反比例函数解析式；
(2)求出点E'的坐标并求出B'C'的解析式，联立直线与反比例函数可得F的坐标，即得点F到x轴的距离.
24．【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，
由（1）知，，
，
△△，
，
；
（3）解：过点作于，
在△中，，
，
，
，
△△，
，
，
，，
，
，
，
，
在△中，，
．
【知识点】圆周角定理；求正弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)BF为直径知AF⊥AB结合CD⊥AB知CD||AF，由圆周角定理得AD||GF即得ADGF为平行四边形；
(2)设BE=x，则AE=5-x，由勾股定理得，得x=2由此可得，结合△△，可得结果；
(3)过点作于，求出CE的长，结合△△，由此得AD和CD的长，由等面积法得DH的长，由此可得∠CAD的正弦值.
25．【答案】（1）解：由题意得：，
则，则，
则抛物线的表达式为：，
该抛物线的对称轴为直线，
当时，，即顶点坐标为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，
设点，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，则点，
同理由点、的坐标得，直线的表达式为：，
连接交于点，设直线交轴于点，则点，
则，
同理可得：，
解得：（舍去）或，
即点，；
则△的面积；
（3）解：存在，理由：
由（2）知，，；
由点、的坐标得，；
当点在点的上方时，则，
由点、的坐标得，，
过点作于点，
设，则，
则，
解得：，
则，，
则，
则，
即点，；
当点在点下方时，
同理可得：，
则点，；
综上，，或，．
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)设二次函数的交点式，由c=3可得a=-1，即得抛物线解析式，由此可得抛物线的顶点坐标；
(2)设点得P1的坐标，求出AC的表达式可得E(m，m+3)，求出BP的解析式得S1，同理得S2，由此可得m的值，即可求出△ABP的面积；
(3)分点在点的上方和点Q'在点下方两种情况，过点作于点，先求出PCQ的正切值，设PH=QH=x，求出点x的值，即可得点Q的坐标.
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