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浙江省宁波市南三县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2026九上·宁波期末）下列是y关于x的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：对A选项，y=3x为一次函数，故A不符合题意；
对B选项，为分式，故B不符合题意；
对C选项，为三次函数，故C不符合题意；
对D选项，为二次函数，故D符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据二次函数的定义依次判断各选项即可得结果.
2．（2026九上·宁波期末）已知⊙O的半径为3，点A与点O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不能确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点A到圆心的距离5大于半径3，故点A在圆外.
故答案为：C .
【分析】由点A到圆心的距离与半径的大小关系可得位置关系.
3．（2026九上·宁波期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．经过路口，恰好遇到绿灯
B．全班45名同学至少有2人的生日在同一个月
C．打开电视，正在播放浙江卫视
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：对A选项，经过路口，遇到绿灯为随机事件，故A不符合题意；
对B选项， 全班45名同学至少有2人的生日在同一个月 为必然事件，故B符合题意；
对C选项，打开电视，正在播放浙江卫视为随机事件，故C不符合题意；
对D选项，抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上为随机事件，故D不符合题意；
故答案为： B.
【分析】根据各事件发生的可能性，依次判断即可.
4．（2026九上·宁波期末）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：P为AB的黄金分割点，故AP=.
故答案为： B.
【分析】直接由黄金分割比例可得AP的长.
5．（2026九上·宁波期末） 如图，在中，，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：在△ABC中，BC=，故sinA=.
故答案为：B .
【分析】由勾股定理可得BC的长，再由正弦的定义可得sinA的值.
6．（2026九上·宁波期末）如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质；相似多边形；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形与四边形位似，位似中心是，
∴四边形与四边形的相似比为，
∴四边形的周长四边形的周长，
∵四边形的周长为，
∴四边形的周长为，
故答案为：．
【分析】首先根据，根据比例性质可得出，进而根据位似图形的性质，即可得出四边形的周长为。
7．（2026九上·宁波期末） 二次函数 的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表，那么方程 的根是（　　）
x … -3 -2 -1 0 …
y … 0 2 2 …
A． B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由表格知当x=-2和x=0时，y=2，故二次函数的对称轴为直线x=，
同时当x=-3时，y=0，即抛物线与x轴的一个交点为(-3，0)，与抛物线的另一个交点为(1，0)，
故的根为，.
故答案为：C .
【分析】由表格数据知当x=-2和x=0时，y=2，可得抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可得函数与x轴的另一个交点，即可得方程的根.
8．（2026九上·宁波期末） 如图，在中，，按以下步骤作图：③以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交CB于点D，交CA于点E，连接DE；②以点B为圆心，以CD长为半径作弧，交BA于点F；③以点F为圆心，以DE的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接BG并延长交AC于点H，若H恰好为AC的中点，则AC的长为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵由作图知∠ABH=∠DCE，又∠A=∠A
∴△ABH~△ACB
∴
∵H为AC的中点
∴AH=AC
∴
∴AC2=8，即AC=
故答案为：C .
【分析】由作图知∠ABH=∠DCE，得△ABH~△ACB，由相似比例可得AC的长.
9．（2026九上·宁波期末） 在Rt中，，，分别以点B、点C为圆心，以AB、AC的长为半径画弧，分别交BC于点E、点D，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠B=∠C=45°
=.
故答案为： D.
【分析】由已知得∠B和∠C的度数，再利用面积割补可得阴影部分的面积.
10．（2026九上·宁波期末） 如图，内接于，已知AB是的直径，，，点D在直径AB上方的半圆上运动，连结CD交AB于点E， 则的最大值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，连接OD，过点D作DG⊥AB于点G，
∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∵AB=4，∠ABC=30°
∴AC=2，BC=
在△BCF中，CF=BC=
∵∠CEF=∠DEG，∠CFE=∠DGE=90°
∴△CEF~△DEG
∴
而DG≤2，故，当DG为半径时，取最大值.
故答案为：A .
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，连接OD，过点D作DG⊥AB于点G，由特殊角的直角三角形可得CF=，借助△CEF~△DEG得，由DG≤2可得其最大值.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．（2026九上·宁波期末）若，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质；利用等式的性质将等式变形；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
故答案为：
【分析】首先根据等式的性质可得出，通过计算即可得出。
12．（2026九上·宁波期末） 2024年元旦假期，小明和爸爸、妈妈、妹妹去附近一家餐厅就餐，爸爸已经坐在④号座位．若小明在①～③号座位中随机选择一个座位就座，则小明恰好坐在爸爸正对面的概率为　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：若小明选定①或②或③，则爸爸有3种选择，坐在小明对面的情况有1种，故小明恰好坐在爸爸正对面的概率P=.
故答案为：.
【分析】小明任选一个位置，爸爸有3种选择，其中1种是坐小明对面，即知概率P.
13．（2026九上·宁波期末） 二次函数的顶点坐标为　 　.
【答案】(-1，-3)
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数的顶点横坐标为x=-，将x=-1代入得y=-3，故其顶点坐标为(-1，-3).
故答案为：(-1，-3) .
【分析】由二次函数一般式可知其顶点横坐标，代入可得纵坐标，即得其顶点坐标.
14．（2026九上·宁波期末） 如图，若，则的度数为　 　.
【答案】108°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD内接于圆O
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD=180°-126°=54°
∵∠BOD=2∠BAD
∴∠BOD=108°
故答案为：108° .
【分析】由圆内接四边形的性质可知∠BAD的度数，再由圆周角定理得∠BOD的度数.
15．（2026九上·宁波期末） 如图，点O为平行四边形ABCD内一点，以点O为圆心，OA为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：延长AO交BC于点F，连接CA、CO，如图所示，
∵ABCD为平行四边形
∴AD||BC，AD=BC
∴OA⊥AD
∴AF⊥BC
∴BF=CF=BC=5
∴AF=
设半径为r，则OC=OA=r，AF=12-r，在COF中，有即，解得r=.
故答案为： .
【分析】延长AO交BC于点F，连接CA、CO，由垂径定理知AF平分BC，由勾股定理得AF的长，设半径r，知OF=12-r，在△COF中，由定理可得，求解方程即得结果.
16．（2026九上·宁波期末） 如图，分别以 的三边为边长，向外作正方形 ABDE ，BCHI 和 ACFG ，连接 DF ，其中 ，，则 DF = 　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接AI，如图所示，
∵BCHI和ABDE为正方形
∴BA=BD，∠ABD=∠CBI=90°，BC=BI=5
∵∠ABD+∠DBI=∠FBI+∠DBI
∴∠ABI=∠DBF
∵BF=CF-BC=10-5=5
∴BF=BI
∴△ABI≌△DBF(SAS)
∴AI=DF
∴AI=
故答案为： .
【分析】连接AI，由正方形的性质BA=BD，BC=BI，∠ABD=∠CBI=90°，由此得∠ABI=∠DBF，BF=BI，得△ABI≌△DBF，AI=DF，由勾股定理得AI的长，即得DF的长.
三、计算题：本大题共1小题，共3分.
17．（2026九上·宁波期末） 计算：.
【答案】解： 原式=
=
=
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先求出特殊角的三角函数值，再计算加减法即得结果.
四、解答题：本题共7小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18．（2026九上·宁波期末）为更好地传承和发扬浙江美食文化，浙江省举办了主题为“味美浙江·百县千碗”的非遗美食挑战赛.宁波多道美食如：“宁波桂花糖水汤圆”，“宁海雪汁长街蛏”，“象山倒笃梭子蟹”，“奉化八宝芋艿头”成功上榜．
（1） 小甬想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则他选中“宁波桂花糖水汤圆”的概率为　 　；
（2） 某中学拟从这4道美食中选择2道作为美食节特色菜肴，若用A、B、C、D分别表示“宁波桂花糖水汤圆”，“宁海雪汁长街蛏”，“象山倒笃梭子蟹”，“奉化八宝芋艿头”，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中“宁海雪汁长街蛏”，“象山倒笃梭子蟹”的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中“宁海雪汁长街蛏”、“象山倒笃梭子蟹”的结果有2种，
所以恰好选中“宁海雪汁长街蛏”、“象山倒笃梭子蟹”的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：(1)由题意共有4道美食，故选中“宁波桂花糖水汤圆”的概率P=；
【分析】(1)直接由概率公式求出选中“宁波桂花糖水汤圆”的概率；
(2)借助树状图得12种结果，其中符合题意的结果有2种，即得其概率.
19．（2026九上·宁波期末） 如图，在 的正方形网格图中，小正方形的边长都为 1， 的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹.
（1） 在图 1 中画出 的外接圆圆心 O；
（2） 在图 2 中找一个格点 D 并作 （点 D 不与点 C 重合），使得 与 相似（作出一个符合条件的图形即可）．
【答案】（1）解：如下图所示，
分别作AB边和AC边的垂直平分线，
两条垂直平分线相交于点O，
点O即为所求；
（2）解：如下图所示，
连接点B与AC的中点D，
由网格可知，
，，
，
又，
，
即为所求作的图形.
【知识点】尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用格点与格线，分别作出AB和AC的垂直平分线即得圆心O；
(2)求出相应的线段长，利用比例可得点D.
20．（2026九上·宁波期末）践行 “绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动. 如图，在一个坡度的山坡 AB 上发现一棵古树 CD，测得古树底端 C 到山脚点 A 的距离 ，在距山脚点 A 水平距离 18m 的 E 处，测得古树顶端 D 的仰角 ，(古树 CD 与山坡 AB 的剖面、点 E 在同一平面上，古树 CD 与直线 AE 垂直)，求古树 CD 的高度 (参考数据：，，).
【答案】解： 如图，延长DC交E4的延长线于点F，则，
，即，
，则，
在中，，
，
，
.
，，
，
，
，
.
答：古树的高度约为46m.
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】延长DC交EF于点F，由比例可设CF=5k，则AF=12k，由勾股定理得k=2，由此得CF和EF的长，即可得CD的长.
21．（2026九上·宁波期末） 2025的夏天，浙江省城市篮球联赛（简称浙BA）火遍全网. 小甬同学观察发现篮球在空中的运行路线近似为一条抛物线，他将某球员投篮后的篮球运行路线绘制成下图. 已知篮圈中心距地面3.05m，球员在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m.
（1） 建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
（2） 在球出手后，未达到最高点时，若被防守队员出手拦截则属于盖帽，已知某防守球员的最大摸球高度为3.1m，若该球员在距离投篮球员1m处起跳盖帽，请通过计算说明篮球能否顺利投进篮圈.
【答案】（1）解： ∵抛物线的顶点坐标为(3，4)，
设抛物线的函数解析式为.
把(0，2.2)代入，得，
解得 ，
.
（2）解：当 时，.
∵，
∴ 不能成功盖帽.
把代入抛物线解析式，
得；
∵，
篮球不能顺利投进篮圈。
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】(1)由题意设二次函数的顶点式.将点(0，2.2)代入可得a的值，即得抛物线解析式；
(2)令x=1，得y=3.2>3.1，即不能成功盖帽，令x=5.5得y的值，即知篮球不能顺利投进.
22．（2026九上·宁波期末）如图，已知AB是的直径，D是上一点，连接OD、BD，点C为AB延长线上一点，连接CD，且.
（1） 证明：；
（2） 若的半径为2，，求BC的长.
【答案】（1）证明：∵， ，
∴.
又，
∴.
∴.
∴.
（2）解：∵ 的半径为2，
∴.
由（1）可得 ，
又 ，
∴.
∴.
∵，
∴.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由圆周角定理知，得，由此，由相似比例可得结论；
(2)由条件知AB=4，代入(1)中比例可得BC的值.
23．（2026九上·宁波期末）在平面直角坐标系 xOy 中，点 (2，3) 在抛物线 上，对称轴为直线 .
（1） t 的值为　 　；
（2） 当 时，y 的最大值为 9，求抛物线对应的函数表达式；
（3） 当 时，，求 的最大值.
【答案】（1）1
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线的对称轴为直线，且，
∴当时，函数值在处取得最大值9，
将，代入，得，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（3）解：由 (1) 可得：，对称轴为直线 ，
二次函数的解析式为，
，且当 x=1时，，
二次函数的最小值为，
当 m<-x关于 x的取值范围一定包含 1，
当 时，，解得： 或 ，
若 ，则 ，若 ，则 ，
综合上所述的最大值是 .
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：(1)将点(2，3)代入得即有b=-2a，对称轴为x=-，即t=1；
【分析】(1)将点(2，3）代入抛物线解析式得b=-2a，由此得t=1；
(2)结合抛物线的开口和对称轴知当x=-1时，y取最大值，求出a的值即得抛物线解析式；
(3)由对称轴和开口方向，当x=1时y=3-a得x的范围包含1，当y=3a+3时，求出x的值，即知n-m的最大值.
24．（2026九上·宁波期末）如图1，AB 是半圆 的直径，点 是半圆上一点，在直径 AB 上取点 ，使得.
（1） 求证：；
（2） 如图2，在AC延长线上取一点E，使得，连结BE，过点D作于点F，交BC于点G，求的度数；
（3） 在(2)的条件下，若，，求CD的长.
【答案】（1）证明：设，则，
∵AB是直径，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由 (1) 知 ，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长DF至点K， 使， 连接BK，
∵，
∴， ，
∴，
∴，
又∵， ，
∴，
∴，
设， 则，
∴，
又∵， ，
∴，
∴， 即，
解得，
在中， 由勾股定理可得： 即，
解得： ， (舍去)，
∵， ， ，
∴， ，
∴，
∴，
过点 C 作 于点 M，
∴，
∴，
又 ∵，
∴，
∴，
由 (2) 得 ，
∴.
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)设∠ACD=α知∠ABC=2α，得∠DCB=∠CDB=90°-α，即得BC=BD；
(2)由(1)知∠E=45°+α，∠FDB=45°，由此可得∠CDG的度数；
(3)延长DF至点K， 使，连接BK，可证△BDK≌△CBE，由此得BK=CE，设FG=x，BE=5x，DF=4x，由，得BF=2x，由勾股定理得x的值，即得CG的长，由此可得CD的长.
1 / 1浙江省宁波市南三县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2026九上·宁波期末）下列是y关于x的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026九上·宁波期末）已知⊙O的半径为3，点A与点O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不能确定
3．（2026九上·宁波期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．经过路口，恰好遇到绿灯
B．全班45名同学至少有2人的生日在同一个月
C．打开电视，正在播放浙江卫视
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上
4．（2026九上·宁波期末）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB＝2，则AP为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026九上·宁波期末） 如图，在中，，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2026九上·宁波期末）如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026九上·宁波期末） 二次函数 的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表，那么方程 的根是（　　）
x … -3 -2 -1 0 …
y … 0 2 2 …
A． B．，
C．， D．，
8．（2026九上·宁波期末） 如图，在中，，按以下步骤作图：③以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交CB于点D，交CA于点E，连接DE；②以点B为圆心，以CD长为半径作弧，交BA于点F；③以点F为圆心，以DE的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接BG并延长交AC于点H，若H恰好为AC的中点，则AC的长为（　　）
A． B．3 C． D．
9．（2026九上·宁波期末） 在Rt中，，，分别以点B、点C为圆心，以AB、AC的长为半径画弧，分别交BC于点E、点D，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2026九上·宁波期末） 如图，内接于，已知AB是的直径，，，点D在直径AB上方的半圆上运动，连结CD交AB于点E， 则的最大值为 (　　)
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．（2026九上·宁波期末）若，则　 　．
12．（2026九上·宁波期末） 2024年元旦假期，小明和爸爸、妈妈、妹妹去附近一家餐厅就餐，爸爸已经坐在④号座位．若小明在①～③号座位中随机选择一个座位就座，则小明恰好坐在爸爸正对面的概率为　 　．
13．（2026九上·宁波期末） 二次函数的顶点坐标为　 　.
14．（2026九上·宁波期末） 如图，若，则的度数为　 　.
15．（2026九上·宁波期末） 如图，点O为平行四边形ABCD内一点，以点O为圆心，OA为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为　 　.
16．（2026九上·宁波期末） 如图，分别以 的三边为边长，向外作正方形 ABDE ，BCHI 和 ACFG ，连接 DF ，其中 ，，则 DF = 　 　.
三、计算题：本大题共1小题，共3分.
17．（2026九上·宁波期末） 计算：.
四、解答题：本题共7小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18．（2026九上·宁波期末）为更好地传承和发扬浙江美食文化，浙江省举办了主题为“味美浙江·百县千碗”的非遗美食挑战赛.宁波多道美食如：“宁波桂花糖水汤圆”，“宁海雪汁长街蛏”，“象山倒笃梭子蟹”，“奉化八宝芋艿头”成功上榜．
（1） 小甬想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则他选中“宁波桂花糖水汤圆”的概率为　 　；
（2） 某中学拟从这4道美食中选择2道作为美食节特色菜肴，若用A、B、C、D分别表示“宁波桂花糖水汤圆”，“宁海雪汁长街蛏”，“象山倒笃梭子蟹”，“奉化八宝芋艿头”，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中“宁海雪汁长街蛏”，“象山倒笃梭子蟹”的概率．
19．（2026九上·宁波期末） 如图，在 的正方形网格图中，小正方形的边长都为 1， 的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹.
（1） 在图 1 中画出 的外接圆圆心 O；
（2） 在图 2 中找一个格点 D 并作 （点 D 不与点 C 重合），使得 与 相似（作出一个符合条件的图形即可）．
20．（2026九上·宁波期末）践行 “绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动. 如图，在一个坡度的山坡 AB 上发现一棵古树 CD，测得古树底端 C 到山脚点 A 的距离 ，在距山脚点 A 水平距离 18m 的 E 处，测得古树顶端 D 的仰角 ，(古树 CD 与山坡 AB 的剖面、点 E 在同一平面上，古树 CD 与直线 AE 垂直)，求古树 CD 的高度 (参考数据：，，).
21．（2026九上·宁波期末） 2025的夏天，浙江省城市篮球联赛（简称浙BA）火遍全网. 小甬同学观察发现篮球在空中的运行路线近似为一条抛物线，他将某球员投篮后的篮球运行路线绘制成下图. 已知篮圈中心距地面3.05m，球员在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m.
（1） 建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
（2） 在球出手后，未达到最高点时，若被防守队员出手拦截则属于盖帽，已知某防守球员的最大摸球高度为3.1m，若该球员在距离投篮球员1m处起跳盖帽，请通过计算说明篮球能否顺利投进篮圈.
22．（2026九上·宁波期末）如图，已知AB是的直径，D是上一点，连接OD、BD，点C为AB延长线上一点，连接CD，且.
（1） 证明：；
（2） 若的半径为2，，求BC的长.
23．（2026九上·宁波期末）在平面直角坐标系 xOy 中，点 (2，3) 在抛物线 上，对称轴为直线 .
（1） t 的值为　 　；
（2） 当 时，y 的最大值为 9，求抛物线对应的函数表达式；
（3） 当 时，，求 的最大值.
24．（2026九上·宁波期末）如图1，AB 是半圆 的直径，点 是半圆上一点，在直径 AB 上取点 ，使得.
（1） 求证：；
（2） 如图2，在AC延长线上取一点E，使得，连结BE，过点D作于点F，交BC于点G，求的度数；
（3） 在(2)的条件下，若，，求CD的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：对A选项，y=3x为一次函数，故A不符合题意；
对B选项，为分式，故B不符合题意；
对C选项，为三次函数，故C不符合题意；
对D选项，为二次函数，故D符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据二次函数的定义依次判断各选项即可得结果.
2．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点A到圆心的距离5大于半径3，故点A在圆外.
故答案为：C .
【分析】由点A到圆心的距离与半径的大小关系可得位置关系.
3．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：对A选项，经过路口，遇到绿灯为随机事件，故A不符合题意；
对B选项， 全班45名同学至少有2人的生日在同一个月 为必然事件，故B符合题意；
对C选项，打开电视，正在播放浙江卫视为随机事件，故C不符合题意；
对D选项，抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上为随机事件，故D不符合题意；
故答案为： B.
【分析】根据各事件发生的可能性，依次判断即可.
4．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：P为AB的黄金分割点，故AP=.
故答案为： B.
【分析】直接由黄金分割比例可得AP的长.
5．【答案】B
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：在△ABC中，BC=，故sinA=.
故答案为：B .
【分析】由勾股定理可得BC的长，再由正弦的定义可得sinA的值.
6．【答案】B
【知识点】比例的性质；相似多边形；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形与四边形位似，位似中心是，
∴四边形与四边形的相似比为，
∴四边形的周长四边形的周长，
∵四边形的周长为，
∴四边形的周长为，
故答案为：．
【分析】首先根据，根据比例性质可得出，进而根据位似图形的性质，即可得出四边形的周长为。
7．【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由表格知当x=-2和x=0时，y=2，故二次函数的对称轴为直线x=，
同时当x=-3时，y=0，即抛物线与x轴的一个交点为(-3，0)，与抛物线的另一个交点为(1，0)，
故的根为，.
故答案为：C .
【分析】由表格数据知当x=-2和x=0时，y=2，可得抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可得函数与x轴的另一个交点，即可得方程的根.
8．【答案】C
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵由作图知∠ABH=∠DCE，又∠A=∠A
∴△ABH~△ACB
∴
∵H为AC的中点
∴AH=AC
∴
∴AC2=8，即AC=
故答案为：C .
【分析】由作图知∠ABH=∠DCE，得△ABH~△ACB，由相似比例可得AC的长.
9．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠B=∠C=45°
=.
故答案为： D.
【分析】由已知得∠B和∠C的度数，再利用面积割补可得阴影部分的面积.
10．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，连接OD，过点D作DG⊥AB于点G，
∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∵AB=4，∠ABC=30°
∴AC=2，BC=
在△BCF中，CF=BC=
∵∠CEF=∠DEG，∠CFE=∠DGE=90°
∴△CEF~△DEG
∴
而DG≤2，故，当DG为半径时，取最大值.
故答案为：A .
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，连接OD，过点D作DG⊥AB于点G，由特殊角的直角三角形可得CF=，借助△CEF~△DEG得，由DG≤2可得其最大值.
11．【答案】
【知识点】比例的性质；利用等式的性质将等式变形；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
故答案为：
【分析】首先根据等式的性质可得出，通过计算即可得出。
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：若小明选定①或②或③，则爸爸有3种选择，坐在小明对面的情况有1种，故小明恰好坐在爸爸正对面的概率P=.
故答案为：.
【分析】小明任选一个位置，爸爸有3种选择，其中1种是坐小明对面，即知概率P.
13．【答案】(-1，-3)
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数的顶点横坐标为x=-，将x=-1代入得y=-3，故其顶点坐标为(-1，-3).
故答案为：(-1，-3) .
【分析】由二次函数一般式可知其顶点横坐标，代入可得纵坐标，即得其顶点坐标.
14．【答案】108°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD内接于圆O
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD=180°-126°=54°
∵∠BOD=2∠BAD
∴∠BOD=108°
故答案为：108° .
【分析】由圆内接四边形的性质可知∠BAD的度数，再由圆周角定理得∠BOD的度数.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：延长AO交BC于点F，连接CA、CO，如图所示，
∵ABCD为平行四边形
∴AD||BC，AD=BC
∴OA⊥AD
∴AF⊥BC
∴BF=CF=BC=5
∴AF=
设半径为r，则OC=OA=r，AF=12-r，在COF中，有即，解得r=.
故答案为： .
【分析】延长AO交BC于点F，连接CA、CO，由垂径定理知AF平分BC，由勾股定理得AF的长，设半径r，知OF=12-r，在△COF中，由定理可得，求解方程即得结果.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接AI，如图所示，
∵BCHI和ABDE为正方形
∴BA=BD，∠ABD=∠CBI=90°，BC=BI=5
∵∠ABD+∠DBI=∠FBI+∠DBI
∴∠ABI=∠DBF
∵BF=CF-BC=10-5=5
∴BF=BI
∴△ABI≌△DBF(SAS)
∴AI=DF
∴AI=
故答案为： .
【分析】连接AI，由正方形的性质BA=BD，BC=BI，∠ABD=∠CBI=90°，由此得∠ABI=∠DBF，BF=BI，得△ABI≌△DBF，AI=DF，由勾股定理得AI的长，即得DF的长.
17．【答案】解： 原式=
=
=
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先求出特殊角的三角函数值，再计算加减法即得结果.
18．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中“宁海雪汁长街蛏”、“象山倒笃梭子蟹”的结果有2种，
所以恰好选中“宁海雪汁长街蛏”、“象山倒笃梭子蟹”的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：(1)由题意共有4道美食，故选中“宁波桂花糖水汤圆”的概率P=；
【分析】(1)直接由概率公式求出选中“宁波桂花糖水汤圆”的概率；
(2)借助树状图得12种结果，其中符合题意的结果有2种，即得其概率.
19．【答案】（1）解：如下图所示，
分别作AB边和AC边的垂直平分线，
两条垂直平分线相交于点O，
点O即为所求；
（2）解：如下图所示，
连接点B与AC的中点D，
由网格可知，
，，
，
又，
，
即为所求作的图形.
【知识点】尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用格点与格线，分别作出AB和AC的垂直平分线即得圆心O；
(2)求出相应的线段长，利用比例可得点D.
20．【答案】解： 如图，延长DC交E4的延长线于点F，则，
，即，
，则，
在中，，
，
，
.
，，
，
，
，
.
答：古树的高度约为46m.
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】延长DC交EF于点F，由比例可设CF=5k，则AF=12k，由勾股定理得k=2，由此得CF和EF的长，即可得CD的长.
21．【答案】（1）解： ∵抛物线的顶点坐标为(3，4)，
设抛物线的函数解析式为.
把(0，2.2)代入，得，
解得 ，
.
（2）解：当 时，.
∵，
∴ 不能成功盖帽.
把代入抛物线解析式，
得；
∵，
篮球不能顺利投进篮圈。
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】(1)由题意设二次函数的顶点式.将点(0，2.2)代入可得a的值，即得抛物线解析式；
(2)令x=1，得y=3.2>3.1，即不能成功盖帽，令x=5.5得y的值，即知篮球不能顺利投进.
22．【答案】（1）证明：∵， ，
∴.
又，
∴.
∴.
∴.
（2）解：∵ 的半径为2，
∴.
由（1）可得 ，
又 ，
∴.
∴.
∵，
∴.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由圆周角定理知，得，由此，由相似比例可得结论；
(2)由条件知AB=4，代入(1)中比例可得BC的值.
23．【答案】（1）1
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线的对称轴为直线，且，
∴当时，函数值在处取得最大值9，
将，代入，得，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（3）解：由 (1) 可得：，对称轴为直线 ，
二次函数的解析式为，
，且当 x=1时，，
二次函数的最小值为，
当 m<-x关于 x的取值范围一定包含 1，
当 时，，解得： 或 ，
若 ，则 ，若 ，则 ，
综合上所述的最大值是 .
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：(1)将点(2，3)代入得即有b=-2a，对称轴为x=-，即t=1；
【分析】(1)将点(2，3）代入抛物线解析式得b=-2a，由此得t=1；
(2)结合抛物线的开口和对称轴知当x=-1时，y取最大值，求出a的值即得抛物线解析式；
(3)由对称轴和开口方向，当x=1时y=3-a得x的范围包含1，当y=3a+3时，求出x的值，即知n-m的最大值.
24．【答案】（1）证明：设，则，
∵AB是直径，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由 (1) 知 ，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：延长DF至点K， 使， 连接BK，
∵，
∴， ，
∴，
∴，
又∵， ，
∴，
∴，
设， 则，
∴，
又∵， ，
∴，
∴， 即，
解得，
在中， 由勾股定理可得： 即，
解得： ， (舍去)，
∵， ， ，
∴， ，
∴，
∴，
过点 C 作 于点 M，
∴，
∴，
又 ∵，
∴，
∴，
由 (2) 得 ，
∴.
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)设∠ACD=α知∠ABC=2α，得∠DCB=∠CDB=90°-α，即得BC=BD；
(2)由(1)知∠E=45°+α，∠FDB=45°，由此可得∠CDG的度数；
(3)延长DF至点K， 使，连接BK，可证△BDK≌△CBE，由此得BK=CE，设FG=x，BE=5x，DF=4x，由，得BF=2x，由勾股定理得x的值，即得CG的长，由此可得CD的长.
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