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浙江省杭州市保俶塔实验学校2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（2025九上·杭州期中） 若2x=3y， 则 xy的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由2x=3y得.
故答案为：C.
【分析】直接由比例的性质将乘法算式化为比例式.
2．（2025九上·杭州期中）二次函数 的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0.2） B．（0，-1） C．（0，0） D．（0，4）
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：对二次函数，令x=0，y=-1，即与y轴的交点为(0，-1).
故答案为：B.
【分析】直接令x=0，得y=-1，即可得函数与y轴的交点坐标.
3．（2025九上·杭州期中）已知⊙O的半径为3，OA＝4，则点A在（　　）
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为3，OA＝4，
∴OA>半径3，
∴点A在⊙O的外边，
故答案为：C.
【分析】利用点与圆的位置关系：点到圆心的距离为d，圆的半径为r，①若dr时，点在圆外。再分析求解即可.
4．（2025九上·杭州期中）小麦种子在相同条件下的发芽试验，结果如表所示：
每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的粒数m 96 282 382 567 949 1902 2850
发芽频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.949 0.951 0.950
则估计小麦发芽的概率是（　　）
A．0.950 B．0.960 C．0.945 D．0.940
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格中数据知随着粒数的增加，发芽频率在0.95附近波动，故小麦发芽的概率为0.95.
故答案为：A.
【分析】观察频率波动的规律，即知发芽频率为0.95.
5．（2025九上·杭州期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD的度数为(　　)
A．60° B．72° C．78° D．144°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OE、OD
由正五边形的性质得：
由圆周角定理得：（一条弧所对圆周角等于其所对圆心角的一半）
故选：B.
【分析】连接OA、OE、OD，根据正多边形性质可得∠AOE，根据角之间的关系可得∠AOD，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
6．（2025九上·杭州期中）已知（-3，y1）， （-2，y2）， （Ly3）是二次函数 图象上的点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数开口向下，且对称轴为直线x=-4，
当x<-4时，y随x的增大而增大，当x>-4时，y随x的增大而减小，
-3<-2<1，故y1故答案为：C.
【分析】由二次函数解析式知其开口方向和对称轴，根据x的大小关系，即知y的大小关系.
7．（2025九上·杭州期中）设二次函数 b， c是常数， a≠0）部分对应值如表： 当x=3时， y=（　　）
x … -2 -1 0 1 2 …
）. .. 5 0 -3 -4 -3 "
A．5 B．- 4 C．- 3 D．0
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表格知当x=0和2时，y=-3，故二次函数的对称轴为直线x=1，
设与x=3对称的点的横坐标为x0，即有，得x0=-1，当x=-1时，y=0，
故当x=3时，y=0.
故答案为：D.
【分析】由表格中知二次函数的对称轴为直线x=1，再由对称性知当x=-1和x=3时，y=0.
8．（2025九上·杭州期中） 如图， 在扇形AOB中， ∠AOB=90 °， C是OA 上一点， O关于 BC的对称点D 正好落在AB上. 若OC=2， 则AD的长为（　　）
A．π B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD，
由对称知OB=BD
∵OB=OD
∴BO=OD=BD
∴△BOD为等边三角形
∴∠BOD=60°
∴∠AOD=90°-∠BOD=90°-60°=30°
lAD=
故答案为：C.
【分析】连接OD，易知△BOD为等边三角形，即知∠AOD=30°，由此可得弧AD的长.
9．（2025九上·杭州期中）如图，点C，D 在以AB为直径的半圆上，与的度数之和为a，延长AC与BD交于点E，则∠E的度数为（　　）
A．180°-α B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接AD，
∵AB为直径
∴∠ADB=90°
∵与的度数之和为a
∴∠CAD=(180°-a)
∵∠E=90°-∠CAD
∴∠E=90°-(180°-a)
故答案为：B.
【分析】连接AD，直径所对圆周角为直角知∠ADB=90°，求出∠CAD的度数，即可得∠E的度数.
10．（2025九上·杭州期中）如图，抛物线 与抛物线 围成一个封闭曲线，它们与y轴的交点分别为A， B， 点P（x0. m）和点Q（x0. n）在这条封闭曲线上， 且m>n， 若m-n的值始终不大于2，则线段AB长的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对函数和，分别令x=0，得y1=-，y2=-3a，
AB=-+3a； 同时，函数y1与y2与x轴的交点为(3，0)和(-1，0)，-1m，n，由题意知0m-n=
m-n始终不大于2，有，整理得，得
AB=-+3a，当a=1时，AB有最大值，ABmax=
故答案为：B.
【分析】分别令x=0，得y1和y2的值，即可得AB的表达式，由题意知x0的范围，同时求出m-n的表达式，由m-n始终不大于2可得a的范围，即可得AB的最大值.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025九上·杭州期中）一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球.从中任意摸出1个球是红球的概率为 　 　.
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：袋中共有4个球，其中3个红球，故摸出红球的概率P=.
故答案为：.
【分析】根据球的总数和红球的数量，即得概率.
12．（2025九上·杭州期中）抛物线y=x2-2x+3的对称轴是直线
　 　 。
【答案】x=1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解： 抛物线y=x2-2x+3=（x-1）2+2，
∴ 对称轴是直线 x=1.
故答案为： x=1.
【分析】把抛物线的解析式化成顶点式，即可求出抛物线的对称轴.
13．（2025九上·杭州期中）黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列.如图，点B是AC的黄金分割点（AB>BC）， 若AC的长度为8cm， 那么AB的长度是　 　.
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵B为AC的黄金分割点(AB>BC)
∴AB=AC
∵AC=8
∴AB=
故答案为：.
【分析】由黄金分割点的定义可知AB=AC，代入数据即得结果.
14．（2025九上·杭州期中）若一个扇形的圆心角是45°，半径是4，则这个扇形的面积是　 　.
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意知，n=45°，r=4，故.
故答案为：.
【分析】由扇形的面积公式直接代入数据即可得结果.
15．（2025九上·杭州期中）已知二次函数.y=（x-1）（x·3）图象过点（4， m）， （p， n）. 若m>n>0， 则p的取值范围是　 　
【答案】0【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二函数y=(x-1)(x-3)开口向上，与x轴的交点交(1，0)和(3，0)，对称轴为直线x=2，
当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大，
y>0时，则x<1或x>3，故n>0时，p<1或p>3
点(4，m)关于直线x=2的对称点为(0，m)，
而m>n，则0故0故答案为：0【分析】由二次函数解析式知开口方向和对称轴，同时知函数与x轴的交点坐标，由m>n>0，可得p的范围.
16．（2025九上·杭州期中） 如图， 等腰△ABC 内接于⊙O， AB=BC， E是圆上一点， 将AC沿AE折叠至AD， 使点D落在BC上. 且AD过点O， 则 　 　，=　 　.
【答案】67.5°；
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接OC，设∠ACB=x，
∵AB=AC
∴∠BAC=∠ACB=x，∠ABC=180°-2x
∵AC=AD
∴∠ADC=∠ACD=x，∠CAD=180°-2x
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA=180°-2x
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2(180°-2x)=4x-180°
∴∠AOC=2∠ABC=2(180°-2x)
∴4x-180°=2(180°-2x)，解得x=67.5°，∠ACB=67.5°
连接BO并延长交AC于点F，
∵AB=AC
∴BF⊥AC且∠CBF=∠ABF=22.5°，AF=CF
设OC=1，则OA=1，AC=，于是AD=，OD=-1，CF=
∵∠ODC=67.5°，∠FBC=67.5°
∴∠ODC=∠FBC
∴△ODC~△FCB
∴
故答案为：67.5°，.
【分析】连接OC，由等腰三角形的性质知∠ACD=∠ADC，∠BAC=∠ACB，设∠ACB=x，同时结合圆周角与圆心角的关系可得4x-180°=2(180°-2x)；连接BO并延长交AC于点F，由垂径定理知BF⊥AC且BF平分AC，设OC=1，可得OA和AC、OD的长，由△ODC~△FCB可得比值.
三、解答题（本大题共8题，共72分）
17．（2025九上·杭州期中）将3张分别写着字母A、B，C的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片.
（1）用树状图或列表法列出所有可能的结果.
（2）求取出的2张卡片中，字母相同的概率.
【答案】（1）解：树状图如下所示
（2）解：由(1)知共有9种结果，字母相同的结果有AA、BB、CC3种，故取2张卡片字母相同的概率P=.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)利用树状图将两份次摸球的情况展现出来；
(2)由树状图知共有9种结果，字母相同的结果有3种，即可得概率.
18．（2025九上·杭州期中）在平面直角坐标系中，抛物线 的图象经过点（2，6）.
（1）求a的值：
（2）若将此二次函数图象向下平移m个单位后与x轴只有一个公共点，求m的值.
【答案】（1）解：将点(2，6)代入函数得，，解得a=2；
（2）解：向下平移后的二次函数为
与x轴只有一个公共点，得，即
解得m=4.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点(2，6)代入二次函数解析式，即可得a的值；
(2)根据平移规则知平移后的二次函数解析式，可得m的值.
19．（2025九上·杭州期中）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：；
（2）若，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明：在⊙O中，
∵ OD⊥BC于D，
∴ BD=CD，
∴ AD垂直平分BC，
∴ AB=AC；
（2）解：连接OB，如图所示：
∵BC=8，由（1）得BD=CD，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ △ABC的面积：，
∴ △ABC的面积为32．
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得出答案；
（2）利用勾股定理和三角形面积即可得出答案。
20．（2025九上·杭州期中）用无刻度的真尺作图.
（1）如图， 点A， B， C在⊙O上.
①在图①中，画一个与∠B 互补的圆周角；
②在图②中，画一个与∠B互余的圆周角.
（2）在图③中， △ABC是⊙O的内接三角形， OD⊥BC于点D. 画出∠BAC的平分线并说明理由.
【答案】（1）解：①∠D即为所求，如图所示，
②∠EAC即为所求，如图所示，
（2）解：AF即为所求，如图所示，
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-角的和差
【解析】【分析】(1)①利用圆内接四边形对角互补，在弧AC上任取一点即可；
②连接AO并延长交圆于点E，连接EC，AC，知∠AEC=∠B，直径所对圆周角为直角可知∠EAC为B的余角；
(2)延长OD交圆于点F，连接AF即为∠BAC的平分线.
21．（2025九上·杭州期中）如图，矩形ABCD的四个顶点在等腰直角三角形EFG的边上， 已知EF长为 ， 设边长AB为x， 矩形ABCD 的面积为S.
求：
（1）S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
（2）S的最大值及此时x的值.
【答案】（1）解：∵ABCD为矩形
∴DC||AB，DC=AB=x
∴∠EDC=∠ECD=∠F=∠G=45°
∴DE=
∴DF=
∴AD=
∴，(0（2）解：由(1)知，S为x的二次函数，开口向下，
当x=时，S取最大值，Smax=.
【知识点】二次函数的其他应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)由矩形的性质知CD=AB=x，由此得DF=，得AD的长，即可得S关于x的二次函数关系式；
(2)由(1)中函数关系式知当x=3时，面积取最大值，将x=3代入即可得最大面积.
22．（2025九上·杭州期中）已知AB， CD是⊙O的弦， CD⊥AB于点E， 且. 连接BC， AD.
（1）如图1， 若AB是⊙O的直径， 求∠C的度数.
（2）如图2， 若∠ADC=50°， 求证： CD=CB.
（3）如图3， 连结AC， 延长DA至F， 记∠CAF=α， ∠ADC=β， 求α， β满足的关系式.
【答案】（1）解：∵AB为直径
∴的度数为180°
∵
∴的度数为60°
∴∠ACD=30°
（2）解：∵∠ADC=∠ABC
∴∠ABC=50°
∵CD⊥AB
∴∠ABC=90°-∠BCD=90°-50°=40°
∵
∴∠ABD=∠BCD=20°
∵∠BDC=90°-∠ABD
∴∠BDC=90°-20°=70°
∴∠BCD=180°-∠BCD-∠BDC=180°-40°-70°=70°
∴∠BCD=∠CBD
∴CD=CB
（3）解：∵ADCB内接于圆O
∴∠CBD=∠CAF= α
∵∠ADC= β
∴∠ABC= β ，∠DAB=90°- β
∵
∴∠DAB=∠DCB=2∠ABD
∴∠ABD=
于是+β=α，即2α-β=90°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】(1)根据半圆的角度和弧的关系，可得∠C的度数；
(2)由∠ADC=50°可得∠ABC=50°，由弧的关系可得∠ABD的度数，由此得∠BDC=∠BCD，由此可得结论；
(3)由圆内接四边形外角的性质知∠CBD=α，由弧的关系可得∠DAB=∠DCB=2∠ABD，由此可得 α， β满足的关系式.
23．（2025九上·杭州期中）设抛物线 （b为常数）经过点（-1， 0）.
（1）求二次函数表达式.
（2）过点A（0， t）（其中t<4）与x轴平行的直线交抛物线于B， C两点， 若AB=2AC，求t的值.
（3）若点（m-1，y1）（m，y2）在抛物线上， 且始终满足y1＜y2的取值范围.
【答案】（1）解：将(-1，0)代入函数得-1-b+4=0，得b=3，
故二次函数表达式为
（2）解：如图，设B、C的横坐标为xB、xC，
令y=t，即，得
xB+xC=3①，xBxC=t-4②
而AB=2AC，即xB=-2xC，代入①得xC=-1，xB=2，代入②得
t-4=-2，解得t=2；
（3）解：二次函数开口向下，且对称轴为直线x=，
当x<时，y随x的增大而增大，当x>时，y随x的增大而减小，
而m-1【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)当点(-1，0)代入抛物线表达式，求出b的值，即可得二次函数表达式；
(2)结合图像，令y=t，可得方程，由韦达定理和AB=2AC可得t的值；
(3)结合二次函数的开口和对称轴，可得m的范围.
24．（2025九上·杭州期中）已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，E是弧AC的中点， 连结OE，交AC于点D，射线AE交BC的延长线于点 F.
（1）如图1，
① 求证： AC=CF；
② 若OA=5， AB=6， 求BC的长；
（2）若直线OD与直线BC交于点G， 且BG=CF， 求∠ABC的度数.
【答案】（1）解：①∵E为中点
∴∠ABC=2∠CAE
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC
∵∠ACB=∠CAE+∠F
∴∠CAE=∠F
∴AC=CF
②连接OC
∵AB=AC
∴
∴OA⊥BC，BH=CH=BC
∵AB=6
∴AC=AB=6
∵E为中点
∴OE⊥AC，AD=DC=AC=3
∴OD=
∴，即有，得CH=
故BC=2CH=
（2）解：①当点G在线段BC上时，如图所示，连接AG
设∠ABC=2x，则∠ACB=2x，
∵由(1)知AC=CF
∴∠CAF=∠AFC=x
∵BG=CF，AB=AC
∴AB=BG
∴∠BAG=90°-x
∵OE垂直平分AC
∴∠GAC=∠ACG=2x
∵∠BAC=∠BAG+∠GAC=90°-x+2x=90°+x，BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-4x
∴90°+x=180°-4x，解得x=18°，∠ABC=2x=36°
②当点G在CB延长线上时，如图所示，连接AG，
设∠ABC=2y，则∠ACB=2y，
∵由(1)知AC=CF
∴∠CAF=∠AFC=y
∵AB=AC，BG=CF
∴AB=BG
∴∠BGA=∠BAG=y
∵EG垂直平分AC
∴∠GAC=∠GCA=90°-y，即90°-y=2y，得y=72°，即∠ABC=72°
综上所述，∠ABC的度数为36°或72°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；等积变换
【解析】【分析】(1)①由弧的关系知∠ABC=2∠CAE，结合等腰三角形和外角的性质得∠CAE=∠F，即得AC=CF；
②连接OC，由垂径定理知AD=3，由勾股定理得OD的长，再由等面积法可得CH的长，即得BC的长；
(2)分点G在线段BC上或BC延长线上2种情况，根据等腰三角形的性质和三角形内角和、外角的性质可得∠ABC的度数.
1 / 1浙江省杭州市保俶塔实验学校2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（2025九上·杭州期中） 若2x=3y， 则 xy的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·杭州期中）二次函数 的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0.2） B．（0，-1） C．（0，0） D．（0，4）
3．（2025九上·杭州期中）已知⊙O的半径为3，OA＝4，则点A在（　　）
A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定
4．（2025九上·杭州期中）小麦种子在相同条件下的发芽试验，结果如表所示：
每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的粒数m 96 282 382 567 949 1902 2850
发芽频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.949 0.951 0.950
则估计小麦发芽的概率是（　　）
A．0.950 B．0.960 C．0.945 D．0.940
5．（2025九上·杭州期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD的度数为(　　)
A．60° B．72° C．78° D．144°
6．（2025九上·杭州期中）已知（-3，y1）， （-2，y2）， （Ly3）是二次函数 图象上的点，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·杭州期中）设二次函数 b， c是常数， a≠0）部分对应值如表： 当x=3时， y=（　　）
x … -2 -1 0 1 2 …
）. .. 5 0 -3 -4 -3 "
A．5 B．- 4 C．- 3 D．0
8．（2025九上·杭州期中） 如图， 在扇形AOB中， ∠AOB=90 °， C是OA 上一点， O关于 BC的对称点D 正好落在AB上. 若OC=2， 则AD的长为（　　）
A．π B． C． D．
9．（2025九上·杭州期中）如图，点C，D 在以AB为直径的半圆上，与的度数之和为a，延长AC与BD交于点E，则∠E的度数为（　　）
A．180°-α B． C． D．
10．（2025九上·杭州期中）如图，抛物线 与抛物线 围成一个封闭曲线，它们与y轴的交点分别为A， B， 点P（x0. m）和点Q（x0. n）在这条封闭曲线上， 且m>n， 若m-n的值始终不大于2，则线段AB长的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025九上·杭州期中）一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球.从中任意摸出1个球是红球的概率为 　 　.
12．（2025九上·杭州期中）抛物线y=x2-2x+3的对称轴是直线
　 　 。
13．（2025九上·杭州期中）黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列.如图，点B是AC的黄金分割点（AB>BC）， 若AC的长度为8cm， 那么AB的长度是　 　.
14．（2025九上·杭州期中）若一个扇形的圆心角是45°，半径是4，则这个扇形的面积是　 　.
15．（2025九上·杭州期中）已知二次函数.y=（x-1）（x·3）图象过点（4， m）， （p， n）. 若m>n>0， 则p的取值范围是　 　
16．（2025九上·杭州期中） 如图， 等腰△ABC 内接于⊙O， AB=BC， E是圆上一点， 将AC沿AE折叠至AD， 使点D落在BC上. 且AD过点O， 则 　 　，=　 　.
三、解答题（本大题共8题，共72分）
17．（2025九上·杭州期中）将3张分别写着字母A、B，C的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片.
（1）用树状图或列表法列出所有可能的结果.
（2）求取出的2张卡片中，字母相同的概率.
18．（2025九上·杭州期中）在平面直角坐标系中，抛物线 的图象经过点（2，6）.
（1）求a的值：
（2）若将此二次函数图象向下平移m个单位后与x轴只有一个公共点，求m的值.
19．（2025九上·杭州期中）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：；
（2）若，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
20．（2025九上·杭州期中）用无刻度的真尺作图.
（1）如图， 点A， B， C在⊙O上.
①在图①中，画一个与∠B 互补的圆周角；
②在图②中，画一个与∠B互余的圆周角.
（2）在图③中， △ABC是⊙O的内接三角形， OD⊥BC于点D. 画出∠BAC的平分线并说明理由.
21．（2025九上·杭州期中）如图，矩形ABCD的四个顶点在等腰直角三角形EFG的边上， 已知EF长为 ， 设边长AB为x， 矩形ABCD 的面积为S.
求：
（1）S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
（2）S的最大值及此时x的值.
22．（2025九上·杭州期中）已知AB， CD是⊙O的弦， CD⊥AB于点E， 且. 连接BC， AD.
（1）如图1， 若AB是⊙O的直径， 求∠C的度数.
（2）如图2， 若∠ADC=50°， 求证： CD=CB.
（3）如图3， 连结AC， 延长DA至F， 记∠CAF=α， ∠ADC=β， 求α， β满足的关系式.
23．（2025九上·杭州期中）设抛物线 （b为常数）经过点（-1， 0）.
（1）求二次函数表达式.
（2）过点A（0， t）（其中t<4）与x轴平行的直线交抛物线于B， C两点， 若AB=2AC，求t的值.
（3）若点（m-1，y1）（m，y2）在抛物线上， 且始终满足y1＜y2的取值范围.
24．（2025九上·杭州期中）已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，E是弧AC的中点， 连结OE，交AC于点D，射线AE交BC的延长线于点 F.
（1）如图1，
① 求证： AC=CF；
② 若OA=5， AB=6， 求BC的长；
（2）若直线OD与直线BC交于点G， 且BG=CF， 求∠ABC的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由2x=3y得.
故答案为：C.
【分析】直接由比例的性质将乘法算式化为比例式.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：对二次函数，令x=0，y=-1，即与y轴的交点为(0，-1).
故答案为：B.
【分析】直接令x=0，得y=-1，即可得函数与y轴的交点坐标.
3．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为3，OA＝4，
∴OA>半径3，
∴点A在⊙O的外边，
故答案为：C.
【分析】利用点与圆的位置关系：点到圆心的距离为d，圆的半径为r，①若dr时，点在圆外。再分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格中数据知随着粒数的增加，发芽频率在0.95附近波动，故小麦发芽的概率为0.95.
故答案为：A.
【分析】观察频率波动的规律，即知发芽频率为0.95.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OE、OD
由正五边形的性质得：
由圆周角定理得：（一条弧所对圆周角等于其所对圆心角的一半）
故选：B.
【分析】连接OA、OE、OD，根据正多边形性质可得∠AOE，根据角之间的关系可得∠AOD，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数开口向下，且对称轴为直线x=-4，
当x<-4时，y随x的增大而增大，当x>-4时，y随x的增大而减小，
-3<-2<1，故y1故答案为：C.
【分析】由二次函数解析式知其开口方向和对称轴，根据x的大小关系，即知y的大小关系.
7．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由表格知当x=0和2时，y=-3，故二次函数的对称轴为直线x=1，
设与x=3对称的点的横坐标为x0，即有，得x0=-1，当x=-1时，y=0，
故当x=3时，y=0.
故答案为：D.
【分析】由表格中知二次函数的对称轴为直线x=1，再由对称性知当x=-1和x=3时，y=0.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD，
由对称知OB=BD
∵OB=OD
∴BO=OD=BD
∴△BOD为等边三角形
∴∠BOD=60°
∴∠AOD=90°-∠BOD=90°-60°=30°
lAD=
故答案为：C.
【分析】连接OD，易知△BOD为等边三角形，即知∠AOD=30°，由此可得弧AD的长.
9．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接AD，
∵AB为直径
∴∠ADB=90°
∵与的度数之和为a
∴∠CAD=(180°-a)
∵∠E=90°-∠CAD
∴∠E=90°-(180°-a)
故答案为：B.
【分析】连接AD，直径所对圆周角为直角知∠ADB=90°，求出∠CAD的度数，即可得∠E的度数.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对函数和，分别令x=0，得y1=-，y2=-3a，
AB=-+3a； 同时，函数y1与y2与x轴的交点为(3，0)和(-1，0)，-1m，n，由题意知0m-n=
m-n始终不大于2，有，整理得，得
AB=-+3a，当a=1时，AB有最大值，ABmax=
故答案为：B.
【分析】分别令x=0，得y1和y2的值，即可得AB的表达式，由题意知x0的范围，同时求出m-n的表达式，由m-n始终不大于2可得a的范围，即可得AB的最大值.
11．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：袋中共有4个球，其中3个红球，故摸出红球的概率P=.
故答案为：.
【分析】根据球的总数和红球的数量，即得概率.
12．【答案】x=1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解： 抛物线y=x2-2x+3=（x-1）2+2，
∴ 对称轴是直线 x=1.
故答案为： x=1.
【分析】把抛物线的解析式化成顶点式，即可求出抛物线的对称轴.
13．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵B为AC的黄金分割点(AB>BC)
∴AB=AC
∵AC=8
∴AB=
故答案为：.
【分析】由黄金分割点的定义可知AB=AC，代入数据即得结果.
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意知，n=45°，r=4，故.
故答案为：.
【分析】由扇形的面积公式直接代入数据即可得结果.
15．【答案】0【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二函数y=(x-1)(x-3)开口向上，与x轴的交点交(1，0)和(3，0)，对称轴为直线x=2，
当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大，
y>0时，则x<1或x>3，故n>0时，p<1或p>3
点(4，m)关于直线x=2的对称点为(0，m)，
而m>n，则0故0故答案为：0【分析】由二次函数解析式知开口方向和对称轴，同时知函数与x轴的交点坐标，由m>n>0，可得p的范围.
16．【答案】67.5°；
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接OC，设∠ACB=x，
∵AB=AC
∴∠BAC=∠ACB=x，∠ABC=180°-2x
∵AC=AD
∴∠ADC=∠ACD=x，∠CAD=180°-2x
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA=180°-2x
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2(180°-2x)=4x-180°
∴∠AOC=2∠ABC=2(180°-2x)
∴4x-180°=2(180°-2x)，解得x=67.5°，∠ACB=67.5°
连接BO并延长交AC于点F，
∵AB=AC
∴BF⊥AC且∠CBF=∠ABF=22.5°，AF=CF
设OC=1，则OA=1，AC=，于是AD=，OD=-1，CF=
∵∠ODC=67.5°，∠FBC=67.5°
∴∠ODC=∠FBC
∴△ODC~△FCB
∴
故答案为：67.5°，.
【分析】连接OC，由等腰三角形的性质知∠ACD=∠ADC，∠BAC=∠ACB，设∠ACB=x，同时结合圆周角与圆心角的关系可得4x-180°=2(180°-2x)；连接BO并延长交AC于点F，由垂径定理知BF⊥AC且BF平分AC，设OC=1，可得OA和AC、OD的长，由△ODC~△FCB可得比值.
17．【答案】（1）解：树状图如下所示
（2）解：由(1)知共有9种结果，字母相同的结果有AA、BB、CC3种，故取2张卡片字母相同的概率P=.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)利用树状图将两份次摸球的情况展现出来；
(2)由树状图知共有9种结果，字母相同的结果有3种，即可得概率.
18．【答案】（1）解：将点(2，6)代入函数得，，解得a=2；
（2）解：向下平移后的二次函数为
与x轴只有一个公共点，得，即
解得m=4.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点(2，6)代入二次函数解析式，即可得a的值；
(2)根据平移规则知平移后的二次函数解析式，可得m的值.
19．【答案】（1）证明：在⊙O中，
∵ OD⊥BC于D，
∴ BD=CD，
∴ AD垂直平分BC，
∴ AB=AC；
（2）解：连接OB，如图所示：
∵BC=8，由（1）得BD=CD，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ △ABC的面积：，
∴ △ABC的面积为32．
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质即可得出答案；
（2）利用勾股定理和三角形面积即可得出答案。
20．【答案】（1）解：①∠D即为所求，如图所示，
②∠EAC即为所求，如图所示，
（2）解：AF即为所求，如图所示，
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-角的和差
【解析】【分析】(1)①利用圆内接四边形对角互补，在弧AC上任取一点即可；
②连接AO并延长交圆于点E，连接EC，AC，知∠AEC=∠B，直径所对圆周角为直角可知∠EAC为B的余角；
(2)延长OD交圆于点F，连接AF即为∠BAC的平分线.
21．【答案】（1）解：∵ABCD为矩形
∴DC||AB，DC=AB=x
∴∠EDC=∠ECD=∠F=∠G=45°
∴DE=
∴DF=
∴AD=
∴，(0（2）解：由(1)知，S为x的二次函数，开口向下，
当x=时，S取最大值，Smax=.
【知识点】二次函数的其他应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)由矩形的性质知CD=AB=x，由此得DF=，得AD的长，即可得S关于x的二次函数关系式；
(2)由(1)中函数关系式知当x=3时，面积取最大值，将x=3代入即可得最大面积.
22．【答案】（1）解：∵AB为直径
∴的度数为180°
∵
∴的度数为60°
∴∠ACD=30°
（2）解：∵∠ADC=∠ABC
∴∠ABC=50°
∵CD⊥AB
∴∠ABC=90°-∠BCD=90°-50°=40°
∵
∴∠ABD=∠BCD=20°
∵∠BDC=90°-∠ABD
∴∠BDC=90°-20°=70°
∴∠BCD=180°-∠BCD-∠BDC=180°-40°-70°=70°
∴∠BCD=∠CBD
∴CD=CB
（3）解：∵ADCB内接于圆O
∴∠CBD=∠CAF= α
∵∠ADC= β
∴∠ABC= β ，∠DAB=90°- β
∵
∴∠DAB=∠DCB=2∠ABD
∴∠ABD=
于是+β=α，即2α-β=90°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】(1)根据半圆的角度和弧的关系，可得∠C的度数；
(2)由∠ADC=50°可得∠ABC=50°，由弧的关系可得∠ABD的度数，由此得∠BDC=∠BCD，由此可得结论；
(3)由圆内接四边形外角的性质知∠CBD=α，由弧的关系可得∠DAB=∠DCB=2∠ABD，由此可得 α， β满足的关系式.
23．【答案】（1）解：将(-1，0)代入函数得-1-b+4=0，得b=3，
故二次函数表达式为
（2）解：如图，设B、C的横坐标为xB、xC，
令y=t，即，得
xB+xC=3①，xBxC=t-4②
而AB=2AC，即xB=-2xC，代入①得xC=-1，xB=2，代入②得
t-4=-2，解得t=2；
（3）解：二次函数开口向下，且对称轴为直线x=，
当x<时，y随x的增大而增大，当x>时，y随x的增大而减小，
而m-1【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)当点(-1，0)代入抛物线表达式，求出b的值，即可得二次函数表达式；
(2)结合图像，令y=t，可得方程，由韦达定理和AB=2AC可得t的值；
(3)结合二次函数的开口和对称轴，可得m的范围.
24．【答案】（1）解：①∵E为中点
∴∠ABC=2∠CAE
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC
∵∠ACB=∠CAE+∠F
∴∠CAE=∠F
∴AC=CF
②连接OC
∵AB=AC
∴
∴OA⊥BC，BH=CH=BC
∵AB=6
∴AC=AB=6
∵E为中点
∴OE⊥AC，AD=DC=AC=3
∴OD=
∴，即有，得CH=
故BC=2CH=
（2）解：①当点G在线段BC上时，如图所示，连接AG
设∠ABC=2x，则∠ACB=2x，
∵由(1)知AC=CF
∴∠CAF=∠AFC=x
∵BG=CF，AB=AC
∴AB=BG
∴∠BAG=90°-x
∵OE垂直平分AC
∴∠GAC=∠ACG=2x
∵∠BAC=∠BAG+∠GAC=90°-x+2x=90°+x，BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-4x
∴90°+x=180°-4x，解得x=18°，∠ABC=2x=36°
②当点G在CB延长线上时，如图所示，连接AG，
设∠ABC=2y，则∠ACB=2y，
∵由(1)知AC=CF
∴∠CAF=∠AFC=y
∵AB=AC，BG=CF
∴AB=BG
∴∠BGA=∠BAG=y
∵EG垂直平分AC
∴∠GAC=∠GCA=90°-y，即90°-y=2y，得y=72°，即∠ABC=72°
综上所述，∠ABC的度数为36°或72°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；等积变换
【解析】【分析】(1)①由弧的关系知∠ABC=2∠CAE，结合等腰三角形和外角的性质得∠CAE=∠F，即得AC=CF；
②连接OC，由垂径定理知AD=3，由勾股定理得OD的长，再由等面积法可得CH的长，即得BC的长；
(2)分点G在线段BC上或BC延长线上2种情况，根据等腰三角形的性质和三角形内角和、外角的性质可得∠ABC的度数.
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