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浙江省宁波市南三县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2026八上·宁波期末）下列与运动相关的图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026八上·宁波期末）现有长度为2cm和4cm的两根小棒，在下列长度的小棒中，能与这两根小棒首尾相连构成三角形的是(　　)
A．1cm B．2cm C．4cm D．6cm
3．（2026八上·宁波期末）如果，那么下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·宁波期末）如图，下列关于学校位置的描述正确的是（　　）
A．位于小明家北偏东方向上的1200米处
B．位于小明家南偏西方向上的1200米处
C．位于小明家北偏东方向上的1200米处
D．位于小明家北偏西方向上的1200米处
5．（2026八上·宁波期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1< x2，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1< y2 B．y1>y2 C．y1＝y2 D．y1≤y2
6．（2026八上·宁波期末）已知平面直角坐标系中一点A (-1，2)，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点(　　)
A．(4，1) B．(4，3) C．(-4，1) D．(-4，3)
7．（2026八上·宁波期末） 如图，在中，，，以A为圆心任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若，则BC的长是（　　）
A． B． C． D．
8．（2026八上·宁波期末）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2026八上·宁波期末） 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为(　　)
A． B． C． D．
10．（2026八上·宁波期末） 如图，A，B是直线上任意两点（点A在点B的左侧），分别过点A，点B作y轴，x轴的垂线，两垂线交于点C，过点C作，垂足为点H. 与的面积之比为（　　）
A． B．
C． D．比值不确定，与b的值有关
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．（2026八上·宁波期末） 如图，在等腰中，，若，则的度数为　 　.
12．（2026八上·宁波期末）不等式组 的整数解为　 　．
13．（2026八上·宁波期末） 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为广泛流行的益智游戏. 如图，这是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“帅”的点的坐标分别为，，则表示棋子“车”的点的坐标为　 　.
14．（2026八上·宁波期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝　 　．
15．（2026八上·宁波期末） 在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A(0，3)，B(2，2)，C(3，0).同学们画出了经过这三个点中每两个点的直线，并得到对应的函数表达式，，.分别计算，，的值，其中最小的值等于　 　.
16．（2026八上·宁波期末） 如图，中，D是AC中点，过D作于点E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于F，G，且. 若，，则DG长为　 　.
三、计算题：本大题共1小题，共3分.
17．（2026八上·宁波期末）解不等式 ．
四、解答题：本题共7小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18．（2026八上·宁波期末） 如图，在 的正方形网格中， 的三个顶点都在格点上. 用无刻度直尺按照下列要求作图.
（1） 在图 1 中作出 关于直线 BC 对称的 .
（2） 在图 2 中作出 的高线 BE.
19．（2026八上·宁波期末） 如图，在中，，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，于点F，连接CM，CE.已知，.
（1） 求证：CE＝CM；
（2） 若AB＝4，求线段FC的长．
20．（2026八上·宁波期末） 如图，已知直线 过点 ，过点 A 的直线 交 x 轴于点 .
（1） 求两条直线对应的函数表达式.
（2） 观察图象，直接写出当 时 x 的取值范围.
21．（2026八上·宁波期末）某学校采购体育用品，需要购买三种球类，已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格相关信息如表：
①篮球、足球、排球各买一个总价为 140元
②购买 2个足球的价钱比购买一个篮球多40元
（1）求出篮球、足球的单价．
（2）现在想要购买篮球、足球共10个，足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费的总费用最少，最少是多少
22．（2026八上·宁波期末）已知甲、乙两地相距120km，小宁、小波两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段DE，线段OC分别表示小宁、小波离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）小宁行驶的速度为　 　 km/h．
（2）求小波离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数表达式；
（3）当时间t(h)为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20km．
23．（2026八上·宁波期末）
（1） 如图1， 和 都是等边三角形，点 B，C，D 在一条直线上，连接 AD，BE. 求证：.
（2） 如图2， 和 都是等边三角形，，，，连接 AD. 求 AD 的长.
24．（2026八上·宁波期末） 图 1，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为 (1，0)，点 B 坐标为 (0，3)，以线段 AB 为底边向右作等腰直角 .
（1） 求边 AC 的长和点 C 的坐标.
（2） 如图 2，将等腰直角 向右平移 m 个单位，记平移后的三角形为 ，点 F 恰好在直线 上，求直线 DF 对应的函数表达式.
（3） 在(2)的条件下，若点 G 为直线 DF 上的动点，使 ，请直接写出点 G 的坐标.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项的运动相关图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项的运动相关图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项的运动相关图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项的运动相关图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三根小棒的长度为 xcm，
由题意得：4-2解得：2故选： C.
【分析】设第三根小棒的长度为 xcm，根据三角形的三边关系可得4-23．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A：x＞y，则x+5＞y+5，原选项错误，不合题意；
B：x＞y，则x-5＞y-5，原选项错误，不合题意；
C：x＞y，则5x＞5y，原选项正确，符合题意；
D：x＞y，则-5x＜-5y，原选项错误，不合题意；
故答案为：C
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键。 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。 根据不等式的性质对选项逐一判断，可得正确结论。
4．【答案】A
【知识点】方位角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：
∵如图，EF||OA
∴∠FEO+∠EOA=180°
∴∠FEO=180°-∠EOA=180°-115°=65°
∴学校在小明家北偏东65°，1200米处.
故答案为： A.
【分析】由平行线内错角相等得∠FEO=65°，由此可得学校在小明家的位置.
5．【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：对正比例函数y=3x，3>0，故y随x的增大而增大，若 x1< x2，则 y1< y2.
故答案为：A .
【分析】根据正比例函数的性质可得函数值的大小关系.
6．【答案】A
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：已知平面直角坐标系中一点A(-1，2)，若将点A向下平移，再向右平移，得到的点的横坐标大于-1，纵坐标小于2，
故符合题意的只有点(4，1).
故选：A.
【分析】根据坐标系中点的平移规则，左减右加，上加下减，进行判断即可.
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵由作图痕迹知AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠DAB=∠CAB
∵∠CAB=90°-∠B
∴∠CAB=60°
∴∠DAB=∠DAC=30°
∴AD=BD，AD=2CD=6
∴BC=BD+CD=6+3=9
故答案为：A .
【分析】由作图痕迹知AD平分∠CAB，求出∠DAC和∠DAB的度数，即知AD=2CD且BD=AD，由此可得BC的长.
8．【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察图形，该容器有半径各不相同的三个圆柱组成，最下面的圆柱半径最小，故水面高度上升的最快；中间的圆柱半径最大，故水面高度上升最慢；
故容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是：
故答案为：C.
【分析】根据容器的组成可知最下面圆柱半径最小，中间圆柱半径最大，故注水过程水的高度变化速度先快后慢再快，即可判断答案.
9．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得2a-1≤2a<0，即有.
故答案为：B .
【分析】求解不等式组可得其解集，根据3个整数角可得2a的范围，即得a的范围.
10．【答案】B
【知识点】一次函数的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设A(m，)，B(n，)，则C(n，)
BC=，AC=n-m，于是
∵∠BCH+∠ACH=90°，∠BCH+∠ABC=90°
∴∠ACH=∠ABC
∴△BCH~△CAH
∴
故答案为：B .
【分析】分别设A、B的坐标，可得点C的坐标，表示AC和BC的长度，由此得，再由相似△BCH~△CAH可得其面积比.
11．【答案】72°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴
故答案为： 72°.
【分析】直接由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得底角∠B的度数.
12．【答案】3
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①，得x≥3；
解不等式②，得x<4；
所以不等式组的解集为3≤x<4，
所以不等式组的整数解为3；
故答案为：3.
【分析】分别求解两个不等式，进而求出不等式组的解集，再确定整数解即可.
13．【答案】
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：根据“炮”和“帅”的坐标可建立平面直角坐标系，如图所示，
故“车”的坐标为(-2，-1).
故答案为： .
【分析】根据“炮”和“帅”的坐标可建立平面直角坐标系，由此可得“车”的坐标.
14．【答案】135°
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示：
可知：AB=CD=3，BC=DE=1，∠B=∠D=90°，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠3，
则∠1+∠2=∠2+∠3=135°．
故答案为：135°．
【分析】利用SAS证明△ABC≌△CDE，即可得到∠1=∠3，然后根据正方形的性质解答即可．
15．【答案】2
【知识点】一次函数的图象；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：过AB、BC、AC的三条直线如图所示，
当x=1时，y1=k1+b，y2=k2+b，y3=k3+b
由图像知直线AC上对应的点的纵坐标即为最小值，设直线AC的表达式为y=kx+b，
将点A(0，3)和C(3，0)代入得，解得，故AC的解析式为y=-x+3
令x=1，y=2，故最小值为2.
故答案为：2 .
【分析】连接AB、AC、BC，根据函数图象知当x=1时的最小值点在AC上，求出AC的表达式，即可得最小值.
16．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：连接BG、CG，过点C作CH⊥DE于点H，如图所示，
∵GF垂直平分BC，且GF=BC
∴BG=CG，∠BGC=90°
∴∠BGE+∠CGH=90°
又∵∠BGE+∠GBE=90°
∴∠GBE=∠CGH
∵∠BEG=∠CHG
∴△BEG≌△GHC(AAS)
∴GH=BE=5
∵D为AC的中点
∴DA=DC
又∵∠AED=∠CHD，∠ADE=∠CDH
∴△ADE≌△CDH(AAS)
∴CH=AE=2，DE=DH
设DG=x，则DH=5x，于是2+x=5-x，解得x=
故答案为： .
【分析】连接BG、CG，过点C作CH⊥DE于点H，由GF垂直平分BC，且GF=BC知BGC为等腰直角三角形，由此得△BEG≌△GHC，同时△ADE≌△CDH，由全等的性质，设DG=x，得2+x=5-x，求解方程即可.
17．【答案】解：
3(2+x)≥2(1-x)-6，
6+3x≥2-2x-6，
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解.
18．【答案】（1）解：如图所示，点A关于直线BC的对称点为点D.
如图所示，即为所求.
（2）解：如图1所示，
可知， .
∴.
∴.
∴.
∴.
如图2所示，线段BE即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据对称的性质找到点D，连接BD、CD即可；
(2)利用格点构造全等找到格点M，连接BM即为所求.
19．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，
∴MC＝MA＝MB．
∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B．
∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°．
∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°．
∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°．
∴∠MEC＝∠EMC．
∴CE＝CM．
（2）解：∵，
∴.
∵， ，
∴.
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的性质、结合条件中的角度，可得∠MEC=∠EMC，即得CE=CM；(2)由直角三角形的性质知CE的长，利用特殊角可得FC的长.
20．【答案】（1）解：代入，得，
解得，
；
把点A(-2， -4)，点B(-4， 0)代入，得
，
解得
；
（2）解：由观察图象可知，当 时 x 的取值范围为 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)将点A坐标代入y=mx可得m的值，即得y1的表达式，同时将A、B坐标代入y=nx+b，得到关于n、b的值，即可得y2的表达式；
(2)观察函数图象知x的范围.
21．【答案】（1）解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
根据题意得：
解得
答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元；
（2）解：设该学校购买篮球m个，则购买足球((10-m)个，
根据题意得：10-m≤2m，
解得
又∵
设学校要购买篮球、足球的总费用为w元，
根据题意得：w=60m+50(10-m)=10m+500，
∴w随m的增大而增大，
且m为正整数，
∴当m=4时，w最小，最小值为540.
答：购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据题意列出方程组，解方程组即可；
(2)设该学校购买篮球m个，则购买足球((10-m)个，根据“足球的个数不超过篮球个数的2倍”，列出不等式求出m的取值范围；再设学校要购买篮球、足球的总费用为w元，根据总费用=购买篮球和足球的费用之和列出函数解析式，由函数的性质求最值.
22．【答案】（1）60
（2）解：由题意，设OC为，S=kt，又过点(3，80)，
（3）解：由题意，设小波的路程为S'=kt+b(k≠0，k，b为常数)，
把(1，0)，(3，120)代入得
∴相遇前，
相遇后，
∴小红出发1.2h或2.4h后两人相距20km，
即当t=1.2或2.4h时，都在行驶中两人恰好相距20km.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)由题意，结合图象可得，小宁行驶的速度
为：(千米/时)。
故答案为：60；
【分析】(1)依据题意，结合图象根据速度=路程÷时间解答即可；
(2)依据题意，设OC为S=kt，又过点(3，80)，求出k后即可判断得解；
(3)依据题意，设小明的路程为S=kt+b(k≠0，k，b为常数)，把(1，0)，(3，120)代入求得函数解析式S=60t-60，进而分相遇前和相遇后列式计算可以得解.
23．【答案】（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
点B，C，D在一条直线上，
，
，
，
.
（2）解：连接BE，如图所示：
和 都是等边三角形，
，，，
，即 ，
，
，
，，
，
.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质知CA=CB，∠ACB=∠DCE，CD=CE，得ACD=BCE，可得△ACD≌△BCE，即得AD=BE；
(2)连接BE，同(1)理可得△ACD≌△BCE，由全等的性质知∠BAE=90°，由勾股定理得AD的长.
24．【答案】（1）解：过C点作轴垂足为N，过B点作轴，BM与CN交于M点，
==，
，
，
，
，
点A坐标为(1，0)，点B坐标为(0，3)，
，
，
等腰直角，
，
设C点坐标为(a，b)，
，
，
，
，
C点坐标为(2，2)
（2）解：∵C点坐标为(2，2)，点A坐标为(1，0)，将等腰直角向右平移m个单位得到，
∴，，
又∵点F恰好在直线上，
∴，
解得，
∴F(6，2)，D(5，0)，
设直线DF对应的函数表达式为，
，
，，
∴直线DF对应的函数表达式为.
（3）或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】(3)解：如图，过 E 点作 轴于 H 点，在 x轴上截取，连接 E H 交 DF 于 点，作 关于 F 的对称点 ，由（2）可知等腰直角 向右平移 4 个单位，记平移后的三角形为 ，
点坐标为：(4，3)，，
等腰直角，
，
，
，
，
即，
，
设 E H 直线为： ，
故，
，
∵EI直线为： ，
∴为EI与DF的交点，
∴
解得： ， ，
∴；
∴作关于F的对称点，
∴， 即， F为中点，
设，
∴，，
解得，；
∴
∴综上， G的点坐标为： 或.
【分析】(1)过C点作轴垂足为N，过B点作轴，由一线三角模型可得，由全等的性质可得AN=CM，BM=CN，设点C(a，b)由此得a=b=2，即得点C的坐标；
(2)求出点F、D的坐标并将点F坐标代入直线，由此得m的值F、D的坐标，求出直线FD的表达式；
(3)过 E 点作 轴于 H 点，在 x轴上截取，连接 E H 交 DF 于 点，作 关于 F 的对称点 ，由(1)的结论知点E的坐标和I的坐标，求出直线EH的表达式，并求出EI与DF的交点G1的坐标，利用对称的性质可得G2的坐标.
1 / 1浙江省宁波市南三县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2026八上·宁波期末）下列与运动相关的图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项的运动相关图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项的运动相关图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、此选项的运动相关图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项的运动相关图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．（2026八上·宁波期末）现有长度为2cm和4cm的两根小棒，在下列长度的小棒中，能与这两根小棒首尾相连构成三角形的是(　　)
A．1cm B．2cm C．4cm D．6cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三根小棒的长度为 xcm，
由题意得：4-2解得：2故选： C.
【分析】设第三根小棒的长度为 xcm，根据三角形的三边关系可得4-23．（2026八上·宁波期末）如果，那么下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A：x＞y，则x+5＞y+5，原选项错误，不合题意；
B：x＞y，则x-5＞y-5，原选项错误，不合题意；
C：x＞y，则5x＞5y，原选项正确，符合题意；
D：x＞y，则-5x＜-5y，原选项错误，不合题意；
故答案为：C
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键。 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。 根据不等式的性质对选项逐一判断，可得正确结论。
4．（2026八上·宁波期末）如图，下列关于学校位置的描述正确的是（　　）
A．位于小明家北偏东方向上的1200米处
B．位于小明家南偏西方向上的1200米处
C．位于小明家北偏东方向上的1200米处
D．位于小明家北偏西方向上的1200米处
【答案】A
【知识点】方位角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：
∵如图，EF||OA
∴∠FEO+∠EOA=180°
∴∠FEO=180°-∠EOA=180°-115°=65°
∴学校在小明家北偏东65°，1200米处.
故答案为： A.
【分析】由平行线内错角相等得∠FEO=65°，由此可得学校在小明家的位置.
5．（2026八上·宁波期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1< x2，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1< y2 B．y1>y2 C．y1＝y2 D．y1≤y2
【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：对正比例函数y=3x，3>0，故y随x的增大而增大，若 x1< x2，则 y1< y2.
故答案为：A .
【分析】根据正比例函数的性质可得函数值的大小关系.
6．（2026八上·宁波期末）已知平面直角坐标系中一点A (-1，2)，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点(　　)
A．(4，1) B．(4，3) C．(-4，1) D．(-4，3)
【答案】A
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：已知平面直角坐标系中一点A(-1，2)，若将点A向下平移，再向右平移，得到的点的横坐标大于-1，纵坐标小于2，
故符合题意的只有点(4，1).
故选：A.
【分析】根据坐标系中点的平移规则，左减右加，上加下减，进行判断即可.
7．（2026八上·宁波期末） 如图，在中，，，以A为圆心任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若，则BC的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵由作图痕迹知AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠DAB=∠CAB
∵∠CAB=90°-∠B
∴∠CAB=60°
∴∠DAB=∠DAC=30°
∴AD=BD，AD=2CD=6
∴BC=BD+CD=6+3=9
故答案为：A .
【分析】由作图痕迹知AD平分∠CAB，求出∠DAC和∠DAB的度数，即知AD=2CD且BD=AD，由此可得BC的长.
8．（2026八上·宁波期末）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察图形，该容器有半径各不相同的三个圆柱组成，最下面的圆柱半径最小，故水面高度上升的最快；中间的圆柱半径最大，故水面高度上升最慢；
故容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是：
故答案为：C.
【分析】根据容器的组成可知最下面圆柱半径最小，中间圆柱半径最大，故注水过程水的高度变化速度先快后慢再快，即可判断答案.
9．（2026八上·宁波期末） 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得2a-1≤2a<0，即有.
故答案为：B .
【分析】求解不等式组可得其解集，根据3个整数角可得2a的范围，即得a的范围.
10．（2026八上·宁波期末） 如图，A，B是直线上任意两点（点A在点B的左侧），分别过点A，点B作y轴，x轴的垂线，两垂线交于点C，过点C作，垂足为点H. 与的面积之比为（　　）
A． B．
C． D．比值不确定，与b的值有关
【答案】B
【知识点】一次函数的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设A(m，)，B(n，)，则C(n，)
BC=，AC=n-m，于是
∵∠BCH+∠ACH=90°，∠BCH+∠ABC=90°
∴∠ACH=∠ABC
∴△BCH~△CAH
∴
故答案为：B .
【分析】分别设A、B的坐标，可得点C的坐标，表示AC和BC的长度，由此得，再由相似△BCH~△CAH可得其面积比.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．（2026八上·宁波期末） 如图，在等腰中，，若，则的度数为　 　.
【答案】72°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴
故答案为： 72°.
【分析】直接由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得底角∠B的度数.
12．（2026八上·宁波期末）不等式组 的整数解为　 　．
【答案】3
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①，得x≥3；
解不等式②，得x<4；
所以不等式组的解集为3≤x<4，
所以不等式组的整数解为3；
故答案为：3.
【分析】分别求解两个不等式，进而求出不等式组的解集，再确定整数解即可.
13．（2026八上·宁波期末） 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为广泛流行的益智游戏. 如图，这是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“帅”的点的坐标分别为，，则表示棋子“车”的点的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：根据“炮”和“帅”的坐标可建立平面直角坐标系，如图所示，
故“车”的坐标为(-2，-1).
故答案为： .
【分析】根据“炮”和“帅”的坐标可建立平面直角坐标系，由此可得“车”的坐标.
14．（2026八上·宁波期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝　 　．
【答案】135°
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示：
可知：AB=CD=3，BC=DE=1，∠B=∠D=90°，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠3，
则∠1+∠2=∠2+∠3=135°．
故答案为：135°．
【分析】利用SAS证明△ABC≌△CDE，即可得到∠1=∠3，然后根据正方形的性质解答即可．
15．（2026八上·宁波期末） 在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A(0，3)，B(2，2)，C(3，0).同学们画出了经过这三个点中每两个点的直线，并得到对应的函数表达式，，.分别计算，，的值，其中最小的值等于　 　.
【答案】2
【知识点】一次函数的图象；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：过AB、BC、AC的三条直线如图所示，
当x=1时，y1=k1+b，y2=k2+b，y3=k3+b
由图像知直线AC上对应的点的纵坐标即为最小值，设直线AC的表达式为y=kx+b，
将点A(0，3)和C(3，0)代入得，解得，故AC的解析式为y=-x+3
令x=1，y=2，故最小值为2.
故答案为：2 .
【分析】连接AB、AC、BC，根据函数图象知当x=1时的最小值点在AC上，求出AC的表达式，即可得最小值.
16．（2026八上·宁波期末） 如图，中，D是AC中点，过D作于点E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于F，G，且. 若，，则DG长为　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：连接BG、CG，过点C作CH⊥DE于点H，如图所示，
∵GF垂直平分BC，且GF=BC
∴BG=CG，∠BGC=90°
∴∠BGE+∠CGH=90°
又∵∠BGE+∠GBE=90°
∴∠GBE=∠CGH
∵∠BEG=∠CHG
∴△BEG≌△GHC(AAS)
∴GH=BE=5
∵D为AC的中点
∴DA=DC
又∵∠AED=∠CHD，∠ADE=∠CDH
∴△ADE≌△CDH(AAS)
∴CH=AE=2，DE=DH
设DG=x，则DH=5x，于是2+x=5-x，解得x=
故答案为： .
【分析】连接BG、CG，过点C作CH⊥DE于点H，由GF垂直平分BC，且GF=BC知BGC为等腰直角三角形，由此得△BEG≌△GHC，同时△ADE≌△CDH，由全等的性质，设DG=x，得2+x=5-x，求解方程即可.
三、计算题：本大题共1小题，共3分.
17．（2026八上·宁波期末）解不等式 ．
【答案】解：
3(2+x)≥2(1-x)-6，
6+3x≥2-2x-6，
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解.
四、解答题：本题共7小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18．（2026八上·宁波期末） 如图，在 的正方形网格中， 的三个顶点都在格点上. 用无刻度直尺按照下列要求作图.
（1） 在图 1 中作出 关于直线 BC 对称的 .
（2） 在图 2 中作出 的高线 BE.
【答案】（1）解：如图所示，点A关于直线BC的对称点为点D.
如图所示，即为所求.
（2）解：如图1所示，
可知， .
∴.
∴.
∴.
∴.
如图2所示，线段BE即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据对称的性质找到点D，连接BD、CD即可；
(2)利用格点构造全等找到格点M，连接BM即为所求.
19．（2026八上·宁波期末） 如图，在中，，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，于点F，连接CM，CE.已知，.
（1） 求证：CE＝CM；
（2） 若AB＝4，求线段FC的长．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，
∴MC＝MA＝MB．
∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B．
∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°．
∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°．
∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°．
∴∠MEC＝∠EMC．
∴CE＝CM．
（2）解：∵，
∴.
∵， ，
∴.
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的性质、结合条件中的角度，可得∠MEC=∠EMC，即得CE=CM；(2)由直角三角形的性质知CE的长，利用特殊角可得FC的长.
20．（2026八上·宁波期末） 如图，已知直线 过点 ，过点 A 的直线 交 x 轴于点 .
（1） 求两条直线对应的函数表达式.
（2） 观察图象，直接写出当 时 x 的取值范围.
【答案】（1）解：代入，得，
解得，
；
把点A(-2， -4)，点B(-4， 0)代入，得
，
解得
；
（2）解：由观察图象可知，当 时 x 的取值范围为 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)将点A坐标代入y=mx可得m的值，即得y1的表达式，同时将A、B坐标代入y=nx+b，得到关于n、b的值，即可得y2的表达式；
(2)观察函数图象知x的范围.
21．（2026八上·宁波期末）某学校采购体育用品，需要购买三种球类，已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格相关信息如表：
①篮球、足球、排球各买一个总价为 140元
②购买 2个足球的价钱比购买一个篮球多40元
（1）求出篮球、足球的单价．
（2）现在想要购买篮球、足球共10个，足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费的总费用最少，最少是多少
【答案】（1）解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
根据题意得：
解得
答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元；
（2）解：设该学校购买篮球m个，则购买足球((10-m)个，
根据题意得：10-m≤2m，
解得
又∵
设学校要购买篮球、足球的总费用为w元，
根据题意得：w=60m+50(10-m)=10m+500，
∴w随m的增大而增大，
且m为正整数，
∴当m=4时，w最小，最小值为540.
答：购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据题意列出方程组，解方程组即可；
(2)设该学校购买篮球m个，则购买足球((10-m)个，根据“足球的个数不超过篮球个数的2倍”，列出不等式求出m的取值范围；再设学校要购买篮球、足球的总费用为w元，根据总费用=购买篮球和足球的费用之和列出函数解析式，由函数的性质求最值.
22．（2026八上·宁波期末）已知甲、乙两地相距120km，小宁、小波两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段DE，线段OC分别表示小宁、小波离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）小宁行驶的速度为　 　 km/h．
（2）求小波离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数表达式；
（3）当时间t(h)为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20km．
【答案】（1）60
（2）解：由题意，设OC为，S=kt，又过点(3，80)，
（3）解：由题意，设小波的路程为S'=kt+b(k≠0，k，b为常数)，
把(1，0)，(3，120)代入得
∴相遇前，
相遇后，
∴小红出发1.2h或2.4h后两人相距20km，
即当t=1.2或2.4h时，都在行驶中两人恰好相距20km.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)由题意，结合图象可得，小宁行驶的速度
为：(千米/时)。
故答案为：60；
【分析】(1)依据题意，结合图象根据速度=路程÷时间解答即可；
(2)依据题意，设OC为S=kt，又过点(3，80)，求出k后即可判断得解；
(3)依据题意，设小明的路程为S=kt+b(k≠0，k，b为常数)，把(1，0)，(3，120)代入求得函数解析式S=60t-60，进而分相遇前和相遇后列式计算可以得解.
23．（2026八上·宁波期末）
（1） 如图1， 和 都是等边三角形，点 B，C，D 在一条直线上，连接 AD，BE. 求证：.
（2） 如图2， 和 都是等边三角形，，，，连接 AD. 求 AD 的长.
【答案】（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
点B，C，D在一条直线上，
，
，
，
.
（2）解：连接BE，如图所示：
和 都是等边三角形，
，，，
，即 ，
，
，
，，
，
.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质知CA=CB，∠ACB=∠DCE，CD=CE，得ACD=BCE，可得△ACD≌△BCE，即得AD=BE；
(2)连接BE，同(1)理可得△ACD≌△BCE，由全等的性质知∠BAE=90°，由勾股定理得AD的长.
24．（2026八上·宁波期末） 图 1，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为 (1，0)，点 B 坐标为 (0，3)，以线段 AB 为底边向右作等腰直角 .
（1） 求边 AC 的长和点 C 的坐标.
（2） 如图 2，将等腰直角 向右平移 m 个单位，记平移后的三角形为 ，点 F 恰好在直线 上，求直线 DF 对应的函数表达式.
（3） 在(2)的条件下，若点 G 为直线 DF 上的动点，使 ，请直接写出点 G 的坐标.
【答案】（1）解：过C点作轴垂足为N，过B点作轴，BM与CN交于M点，
==，
，
，
，
，
点A坐标为(1，0)，点B坐标为(0，3)，
，
，
等腰直角，
，
设C点坐标为(a，b)，
，
，
，
，
C点坐标为(2，2)
（2）解：∵C点坐标为(2，2)，点A坐标为(1，0)，将等腰直角向右平移m个单位得到，
∴，，
又∵点F恰好在直线上，
∴，
解得，
∴F(6，2)，D(5，0)，
设直线DF对应的函数表达式为，
，
，，
∴直线DF对应的函数表达式为.
（3）或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】(3)解：如图，过 E 点作 轴于 H 点，在 x轴上截取，连接 E H 交 DF 于 点，作 关于 F 的对称点 ，由（2）可知等腰直角 向右平移 4 个单位，记平移后的三角形为 ，
点坐标为：(4，3)，，
等腰直角，
，
，
，
，
即，
，
设 E H 直线为： ，
故，
，
∵EI直线为： ，
∴为EI与DF的交点，
∴
解得： ， ，
∴；
∴作关于F的对称点，
∴， 即， F为中点，
设，
∴，，
解得，；
∴
∴综上， G的点坐标为： 或.
【分析】(1)过C点作轴垂足为N，过B点作轴，由一线三角模型可得，由全等的性质可得AN=CM，BM=CN，设点C(a，b)由此得a=b=2，即得点C的坐标；
(2)求出点F、D的坐标并将点F坐标代入直线，由此得m的值F、D的坐标，求出直线FD的表达式；
(3)过 E 点作 轴于 H 点，在 x轴上截取，连接 E H 交 DF 于 点，作 关于 F 的对称点 ，由(1)的结论知点E的坐标和I的坐标，求出直线EH的表达式，并求出EI与DF的交点G1的坐标，利用对称的性质可得G2的坐标.
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