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广东省惠州市仲恺区2024-2025学年七年级下学期期中数学测试
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025七下·惠州期中）下列数据不能确定物体位置的是（　　）
A．电影票4排4号 B．东经，北纬
C．广场北路28号 D．北偏东
2．（2025七下·惠州期中）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·惠州期中）下列说法中正确的是（　　）
A． B．的算术平方根是4
C．81的平方根是9 D．64的立方根是
4．（2025七下·惠州期中）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（　　）
A．与是同旁内角 B．与是同旁内角
C．与是同位角 D．与是内错角
5．（2025七下·惠州期中）如图，已知DE由线段AB平移得到，且AB＝DC＝4 cm，EC＝3 cm，则△DCE的周长是(　　)
A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm
6．（2025七下·惠州期中）体育课上老师按照如图所示的方式测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是（　　）
A．垂线段最短
B．两点之间，线段最短
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点确定一条直线
7．（2025七下·惠州期中）已知，C为y轴上一点，且，则C点坐标为（　　）
A． B． C．或 D．或
8．（2025七下·惠州期中）下列命题中，真命题的个数有（　　）
①两直线平行，同旁内角互补；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2025七下·惠州期中）如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作E，则点E所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·惠州期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点为自然数的坐标为用n表示．
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025七下·惠州期中）的平方根是　 　．
12．（2025七下·惠州期中）在实数1，0，，中，最小的是　 　．
13．（2025七下·惠州期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，若，则　 　．
14．（2025七下·惠州期中）若点的坐标为，则它到轴的距离为　 　．
15．（2025七下·惠州期中）已知：，则　 　．
16．（2025七下·惠州期中）已知点P的坐标为（2x，x+3），点M的坐标为（x﹣1，2x），PM平行于y轴，则线段PM的长　 　．
三、解答题（第17-21题，每题8分；第22-23题，每题10分；第24题12分，共72分）
17．（2025七下·惠州期中）（1）计算：；
（2）求x的值：
18．（2025七下·惠州期中）请完成下列证明：
已知，如图，相交于E，，．
求证：
证明：∵，（已知）
且，（ ）
∴，（等量代换）
∴，（ ）
又∵，（已知）
∴___，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴．（ ）
19．（2025七下·惠州期中）如图，和的度数满足方程组，且，．
（1）求和的度数（要求写解方程组的过程）；
（2）求的度数．
20．（2025七下·惠州期中）一个正数的两个平方根分别是与的立方根是．
（1）a，b的值；
（2）的算术平方根．
21．（2025七下·惠州期中）已知二元一次方程，
（1）请用关于x的式子表示y，并直接写出此方程的所有正整数解；
（2）如果二元一次方程组的解是二元一次方程的解，求a的值．
22．（2025七下·惠州期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．
（1）请在所给坐标系中画，并直接写出点的坐标；
（2）若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标；（直接写出结果即可）
（3）求的面积．
23．（2025七下·惠州期中）阅读材料，完成下列任务：
材料一； 材料二：
我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）．
∵， ∴，即， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为． ∵面积为107的正方形的边长是，且．∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得，当较小时，忽略，得．解得． ∴．
任务：
（1）利用材料一中的方法，的小数部分是 ；
（2）x是的小数部分，y是的小数部分，则的值是多少？
（3）利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程）
24．（2025七下·惠州期中）如图，过点P作直线分别与直线，相交于E、F两点，的角平分线交直线于点M，射线交直线于点N．设，，，其中x、y、z满足．
（1）　 　，　 　，　 　；
（2）求证：；
（3）过点P作直线分别交直线于点Q，交直线于点R，且Q不与M重合，R不与N重合．作的角平分线交线段于点S，直接写出与的数量关系　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置；有序数对
【解析】【解答】解：A、电影票4排4号，物体的位置明确，故本选项不符合题意；
B、东经，北纬，物体的位置明确，故本选项不符合题意；
C、广场北路28号，物体的位置明确，故本选项不符合题意；
D、北偏东，无法确定物体的具体位置，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用坐标确定的方法（需要两个数据）逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、该方程中只有一个未知数，属于一元一次方程，故本选项错误；
B、该方程中未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项错误；
C、该方程中未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项错误；
D、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项正确；
故答案为：D．
【分析】利用二元一次方程的定义（含有两个未知数（元），并且未知数的指数均是1（次）的方程叫做二元一次方程）逐项分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】开平方（求平方根）；立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.，说法正确；
B.的算术平方根是2，原说法错误；
C. 81的平方根是，原说法错误；
D. 64的立方根是，原说法错误，
故答案为：A．
【分析】利用立方根、算术平方根和平方根的定义及计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】邻补角；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A、与是两条直线被第三条直线所截，形成的两个角，位于两条直线内侧，位于截线同一侧，故与是同旁内角，选项A说法正确，符合题意；
B、与是邻补角，故选项B说法错误，不符合题意；
C、与是是两条直线被第三条直线所截，形成的两个角，位于两条直线内侧，位于截线两侧，故与是内错角，选项C说法错误，不符合题意；
D、与是两条直线被第三条直线所截，形成的两个角，位于两条直线内侧，位于截线同一侧，故和∠4是同旁内角，故选项D说法错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据邻补角、同位角、内错角以及同旁内角的定义对各选项进行判断即可得到答案．
5．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵线段DE是由线段AB平移而得，
∴DE=AB=4cm，
∴△DCE的周长=DE+CE+CD=4+3+4=11cm．
故答案为：C．
【分析】先利用平移的性质可得DE=AB=4cm，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.
6．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：A．
【分析】结合图片，利用垂线段最短求解即可.
7．【答案】C
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵C为y轴上一点，
∴设，
∵，
∴，
则，
则，
∴或，
解得或，
∴C点坐标为或．
故答案为：C.
【分析】设，再利用三角形的面积公式可得，求出r的值，即可得到点C的坐标.
8．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；真命题与假命题；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：①两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是假命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题是假命题；
④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，是真命题；
综上，真命题一共有2个．
故答案为：B．
【分析】利用平行线的性质、点和直线的位置关系以及垂线段最短的性质逐项分析判断即可.
9．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为5，
∴，
由作图可得，，
∵点A表示的数为1，
∴点E所表示的数为，
故答案为：D．
【分析】先利用正方形的性质及面积求出，再结合点A表示的数利用数轴上两点之间的距离公式求出点E表示的数即可.
10．【答案】C
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图可知，时，，点，
时，，点，
时，，点，
……
所以，点，
故答案为：C．
【分析】先结合图形求出前几个点A的坐标，再找出规律，即可得到点.
11．【答案】
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：的平方根是．
故答案为：．
【分析】利用有理数的乘方和平方根的定义及计算方法求解即可.
12．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵正数负数，
∴最小的数在负数中，
∵，
∴，
∴最小的数为．
故答案为：．
【分析】根据实数比较大小的方法进行求解即可．
13．【答案】72
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴，
根据折叠的性质知，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用折叠的性质可得，最后利用角的运算求出∠2的度数即可.
14．【答案】5
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，
∴它到轴的距离为；
故答案为：5．
【分析】利用点坐标的定义及点到y轴的距离公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】无理数的估值；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：；
【分析】本题主要考查算术平方根的定义与运算，由，结合，即可得到答案.
16．【答案】4
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
∴PM＝|x+3﹣2x|＝|﹣x+3|＝|﹣（﹣1）+3|＝4．
故答案为：4．
【分析】利用平行y轴点坐标的特征可得2x＝x﹣1，求出x的值，再利用两点之间的距离公式求出PM的长即可.
17．【答案】解：（1）
；
（2）解：∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】求有理数的绝对值的方法；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用立方根、算术平方根和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用立方根的定义及计算方法求解即可.
18．【答案】解：∵，（已知）
且，（对顶角相等）
∴，（等量代换）
∴，（内错角相等，两直线平行）
又∵，（已知）
∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴．（两直线平行，同位角相等）
故答案为：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等．
【知识点】推理与论证；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定和性质及推理方法和步骤分析求解即可.
19．【答案】（1）解：，
用②①得：，
解得：，
把代入①，
解得：，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用平行线的性质可得，再结合，，最后利用角的运算求出即可．
（1）解：，
用②①得：，解得，
把代入①解得，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：由题意得，解得；
，解得，
∴；
（2）解：∵，∴，
∴3的算术平方根为，即的算术平方根为．
【知识点】平方根的性质；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1） 一个正数的两个平方根有两个，且它们互为相反数，据此求出a值，利用立方根的定义求出b值；
（2）利用（1）结论先求出a+b的值，再求其算术平方根即可.
21．【答案】（1），，
（2）解：由题意得：，
把①代入②得：，
∴，
把代入②得：，
∴，
所以方程组的解是，
把代入：，得，
∴．
【知识点】解二元一次方程；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：移项得，
整理得，
此方程的正整数解为：，；
故答案为：，，.
【分析】（1）将x当作常数求出，再求出所有的正整数解即可；
（2）先重新组成方程组求出方程组的解，再将其代入，得，最后求出a的值即可.
（1）解：移项得，
整理得，
此方程的正整数解为：，；
（2）解：由题意得：，
把①代入②得：，
∴，
把代入②得：，
∴，
所以方程组的解是，
把代入：，得，
∴．
22．【答案】（1）解：如图所示：
∴点的坐标为.
（2）
（3）解：的面积为：．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：∵边上一点P经过上述平移后的对应点为，且将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，
∴向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得点；
故答案为：.
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点的坐标即可；
（2）利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出的面积即可.
（1）解：如图所示：
∴点的坐标为；
（2）解：∵边上一点P经过上述平移后的对应点为，且将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，
∴向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得点；
（3）解：的面积为：．
23．【答案】（1）
（2）解：，
，
的整数部分是1，小数部分为，
即，
，
，
，
的整数部分是1，小数部分为，
即，
，
即
（3）解：面积为127的正方形的边长是，且．
设，其中，
画出边长为的正方形，如图所示：
根据图中面积，得，
当较小时，忽略，得，
解得，
，
即
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）解：，
，即，
的整数部分为5，
的小数部分为，
故答案为：；
【分析】（1）利用估算无理数大小的方法，可得到的整数部分，然后将减去整数部分可得到其小数部分.
（2）利用估算无理数大小的方法，先求出和的整数部分，然后分别求出它们的小数部分，可得到x、y的值，然后代入x+y进行计算.
（3）按照材料二所提供的方法进行解答即可．
（1）解：，
，即，
的整数部分为5，
的小数部分为，
故答案为：；
（2）解：，
，
的整数部分是1，小数部分为，
即，
，
，
，
的整数部分是1，小数部分为，
即，
，
即；
（3）解：面积为127的正方形的边长是，且．
设，其中，
画出边长为的正方形，如图所示：
根据图中面积，得，
当较小时，忽略，得，
解得，
，
即．
24．【答案】（1）80；140；140
（2）证明：如图，过P作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
（3）或或
【知识点】平行公理及推论；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，，
解得：，，，
故答案为：80；140；140．
（3）解：当点Q在线段上时，过点S作，，
如图所示：
∵，
∴，，
∴，，，，
∵是的角平分线，是的平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴；
当点Q在点M的左侧时，过点S作，，如图所示：
∵，
∴，，
∴，，，，
∵是的角平分线，是的平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
即；
当点Q在点E的右侧时，过点S作，，如图所示：
∵，
∴，，
∴，，，，
∵是的角平分线，是的平分线，
∴，，
∴，，
∴，
即；
故答案为：或或．
【分析】（1）根据题意先求出，，，再计算求解即可；
（2）根据平行线的性质求出，再求出，最后证明求解即可；
（3）分三种情况：当点Q在线段上时，当点Q在点M的左侧时，当点Q在点E的右侧时，分别画出图形，作出辅助线求出结果即可．
1 / 1广东省惠州市仲恺区2024-2025学年七年级下学期期中数学测试
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025七下·惠州期中）下列数据不能确定物体位置的是（　　）
A．电影票4排4号 B．东经，北纬
C．广场北路28号 D．北偏东
【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置；有序数对
【解析】【解答】解：A、电影票4排4号，物体的位置明确，故本选项不符合题意；
B、东经，北纬，物体的位置明确，故本选项不符合题意；
C、广场北路28号，物体的位置明确，故本选项不符合题意；
D、北偏东，无法确定物体的具体位置，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用坐标确定的方法（需要两个数据）逐项分析判断即可.
2．（2025七下·惠州期中）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、该方程中只有一个未知数，属于一元一次方程，故本选项错误；
B、该方程中未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项错误；
C、该方程中未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项错误；
D、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项正确；
故答案为：D．
【分析】利用二元一次方程的定义（含有两个未知数（元），并且未知数的指数均是1（次）的方程叫做二元一次方程）逐项分析判断即可.
3．（2025七下·惠州期中）下列说法中正确的是（　　）
A． B．的算术平方根是4
C．81的平方根是9 D．64的立方根是
【答案】A
【知识点】开平方（求平方根）；立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.，说法正确；
B.的算术平方根是2，原说法错误；
C. 81的平方根是，原说法错误；
D. 64的立方根是，原说法错误，
故答案为：A．
【分析】利用立方根、算术平方根和平方根的定义及计算方法逐项分析判断即可.
4．（2025七下·惠州期中）如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（　　）
A．与是同旁内角 B．与是同旁内角
C．与是同位角 D．与是内错角
【答案】A
【知识点】邻补角；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：A、与是两条直线被第三条直线所截，形成的两个角，位于两条直线内侧，位于截线同一侧，故与是同旁内角，选项A说法正确，符合题意；
B、与是邻补角，故选项B说法错误，不符合题意；
C、与是是两条直线被第三条直线所截，形成的两个角，位于两条直线内侧，位于截线两侧，故与是内错角，选项C说法错误，不符合题意；
D、与是两条直线被第三条直线所截，形成的两个角，位于两条直线内侧，位于截线同一侧，故和∠4是同旁内角，故选项D说法错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据邻补角、同位角、内错角以及同旁内角的定义对各选项进行判断即可得到答案．
5．（2025七下·惠州期中）如图，已知DE由线段AB平移得到，且AB＝DC＝4 cm，EC＝3 cm，则△DCE的周长是(　　)
A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵线段DE是由线段AB平移而得，
∴DE=AB=4cm，
∴△DCE的周长=DE+CE+CD=4+3+4=11cm．
故答案为：C．
【分析】先利用平移的性质可得DE=AB=4cm，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.
6．（2025七下·惠州期中）体育课上老师按照如图所示的方式测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是（　　）
A．垂线段最短
B．两点之间，线段最短
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点确定一条直线
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：A．
【分析】结合图片，利用垂线段最短求解即可.
7．（2025七下·惠州期中）已知，C为y轴上一点，且，则C点坐标为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵C为y轴上一点，
∴设，
∵，
∴，
则，
则，
∴或，
解得或，
∴C点坐标为或．
故答案为：C.
【分析】设，再利用三角形的面积公式可得，求出r的值，即可得到点C的坐标.
8．（2025七下·惠州期中）下列命题中，真命题的个数有（　　）
①两直线平行，同旁内角互补；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；真命题与假命题；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：①两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是假命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题是假命题；
④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，是真命题；
综上，真命题一共有2个．
故答案为：B．
【分析】利用平行线的性质、点和直线的位置关系以及垂线段最短的性质逐项分析判断即可.
9．（2025七下·惠州期中）如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作E，则点E所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为5，
∴，
由作图可得，，
∵点A表示的数为1，
∴点E所表示的数为，
故答案为：D．
【分析】先利用正方形的性质及面积求出，再结合点A表示的数利用数轴上两点之间的距离公式求出点E表示的数即可.
10．（2025七下·惠州期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点为自然数的坐标为用n表示．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图可知，时，，点，
时，，点，
时，，点，
……
所以，点，
故答案为：C．
【分析】先结合图形求出前几个点A的坐标，再找出规律，即可得到点.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025七下·惠州期中）的平方根是　 　．
【答案】
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：的平方根是．
故答案为：．
【分析】利用有理数的乘方和平方根的定义及计算方法求解即可.
12．（2025七下·惠州期中）在实数1，0，，中，最小的是　 　．
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵正数负数，
∴最小的数在负数中，
∵，
∴，
∴最小的数为．
故答案为：．
【分析】根据实数比较大小的方法进行求解即可．
13．（2025七下·惠州期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，若，则　 　．
【答案】72
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴，
根据折叠的性质知，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用折叠的性质可得，最后利用角的运算求出∠2的度数即可.
14．（2025七下·惠州期中）若点的坐标为，则它到轴的距离为　 　．
【答案】5
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，
∴它到轴的距离为；
故答案为：5．
【分析】利用点坐标的定义及点到y轴的距离公式求解即可.
15．（2025七下·惠州期中）已知：，则　 　．
【答案】
【知识点】无理数的估值；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：；
【分析】本题主要考查算术平方根的定义与运算，由，结合，即可得到答案.
16．（2025七下·惠州期中）已知点P的坐标为（2x，x+3），点M的坐标为（x﹣1，2x），PM平行于y轴，则线段PM的长　 　．
【答案】4
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
∴PM＝|x+3﹣2x|＝|﹣x+3|＝|﹣（﹣1）+3|＝4．
故答案为：4．
【分析】利用平行y轴点坐标的特征可得2x＝x﹣1，求出x的值，再利用两点之间的距离公式求出PM的长即可.
三、解答题（第17-21题，每题8分；第22-23题，每题10分；第24题12分，共72分）
17．（2025七下·惠州期中）（1）计算：；
（2）求x的值：
【答案】解：（1）
；
（2）解：∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】求有理数的绝对值的方法；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用立方根、算术平方根和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用立方根的定义及计算方法求解即可.
18．（2025七下·惠州期中）请完成下列证明：
已知，如图，相交于E，，．
求证：
证明：∵，（已知）
且，（ ）
∴，（等量代换）
∴，（ ）
又∵，（已知）
∴___，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴．（ ）
【答案】解：∵，（已知）
且，（对顶角相等）
∴，（等量代换）
∴，（内错角相等，两直线平行）
又∵，（已知）
∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴．（两直线平行，同位角相等）
故答案为：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等．
【知识点】推理与论证；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定和性质及推理方法和步骤分析求解即可.
19．（2025七下·惠州期中）如图，和的度数满足方程组，且，．
（1）求和的度数（要求写解方程组的过程）；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：，
用②①得：，
解得：，
把代入①，
解得：，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用平行线的性质可得，再结合，，最后利用角的运算求出即可．
（1）解：，
用②①得：，解得，
把代入①解得，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
20．（2025七下·惠州期中）一个正数的两个平方根分别是与的立方根是．
（1）a，b的值；
（2）的算术平方根．
【答案】（1）解：由题意得，解得；
，解得，
∴；
（2）解：∵，∴，
∴3的算术平方根为，即的算术平方根为．
【知识点】平方根的性质；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1） 一个正数的两个平方根有两个，且它们互为相反数，据此求出a值，利用立方根的定义求出b值；
（2）利用（1）结论先求出a+b的值，再求其算术平方根即可.
21．（2025七下·惠州期中）已知二元一次方程，
（1）请用关于x的式子表示y，并直接写出此方程的所有正整数解；
（2）如果二元一次方程组的解是二元一次方程的解，求a的值．
【答案】（1），，
（2）解：由题意得：，
把①代入②得：，
∴，
把代入②得：，
∴，
所以方程组的解是，
把代入：，得，
∴．
【知识点】解二元一次方程；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：移项得，
整理得，
此方程的正整数解为：，；
故答案为：，，.
【分析】（1）将x当作常数求出，再求出所有的正整数解即可；
（2）先重新组成方程组求出方程组的解，再将其代入，得，最后求出a的值即可.
（1）解：移项得，
整理得，
此方程的正整数解为：，；
（2）解：由题意得：，
把①代入②得：，
∴，
把代入②得：，
∴，
所以方程组的解是，
把代入：，得，
∴．
22．（2025七下·惠州期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．
（1）请在所给坐标系中画，并直接写出点的坐标；
（2）若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标；（直接写出结果即可）
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图所示：
∴点的坐标为.
（2）
（3）解：的面积为：．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（2）解：∵边上一点P经过上述平移后的对应点为，且将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，
∴向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得点；
故答案为：.
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点的坐标即可；
（2）利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出的面积即可.
（1）解：如图所示：
∴点的坐标为；
（2）解：∵边上一点P经过上述平移后的对应点为，且将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，
∴向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得点；
（3）解：的面积为：．
23．（2025七下·惠州期中）阅读材料，完成下列任务：
材料一； 材料二：
我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）．
∵， ∴，即， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为． ∵面积为107的正方形的边长是，且．∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得，当较小时，忽略，得．解得． ∴．
任务：
（1）利用材料一中的方法，的小数部分是 ；
（2）x是的小数部分，y是的小数部分，则的值是多少？
（3）利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程）
【答案】（1）
（2）解：，
，
的整数部分是1，小数部分为，
即，
，
，
，
的整数部分是1，小数部分为，
即，
，
即
（3）解：面积为127的正方形的边长是，且．
设，其中，
画出边长为的正方形，如图所示：
根据图中面积，得，
当较小时，忽略，得，
解得，
，
即
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）解：，
，即，
的整数部分为5，
的小数部分为，
故答案为：；
【分析】（1）利用估算无理数大小的方法，可得到的整数部分，然后将减去整数部分可得到其小数部分.
（2）利用估算无理数大小的方法，先求出和的整数部分，然后分别求出它们的小数部分，可得到x、y的值，然后代入x+y进行计算.
（3）按照材料二所提供的方法进行解答即可．
（1）解：，
，即，
的整数部分为5，
的小数部分为，
故答案为：；
（2）解：，
，
的整数部分是1，小数部分为，
即，
，
，
，
的整数部分是1，小数部分为，
即，
，
即；
（3）解：面积为127的正方形的边长是，且．
设，其中，
画出边长为的正方形，如图所示：
根据图中面积，得，
当较小时，忽略，得，
解得，
，
即．
24．（2025七下·惠州期中）如图，过点P作直线分别与直线，相交于E、F两点，的角平分线交直线于点M，射线交直线于点N．设，，，其中x、y、z满足．
（1）　 　，　 　，　 　；
（2）求证：；
（3）过点P作直线分别交直线于点Q，交直线于点R，且Q不与M重合，R不与N重合．作的角平分线交线段于点S，直接写出与的数量关系　 　．
【答案】（1）80；140；140
（2）证明：如图，过P作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
（3）或或
【知识点】平行公理及推论；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，，
解得：，，，
故答案为：80；140；140．
（3）解：当点Q在线段上时，过点S作，，
如图所示：
∵，
∴，，
∴，，，，
∵是的角平分线，是的平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴；
当点Q在点M的左侧时，过点S作，，如图所示：
∵，
∴，，
∴，，，，
∵是的角平分线，是的平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
即；
当点Q在点E的右侧时，过点S作，，如图所示：
∵，
∴，，
∴，，，，
∵是的角平分线，是的平分线，
∴，，
∴，，
∴，
即；
故答案为：或或．
【分析】（1）根据题意先求出，，，再计算求解即可；
（2）根据平行线的性质求出，再求出，最后证明求解即可；
（3）分三种情况：当点Q在线段上时，当点Q在点M的左侧时，当点Q在点E的右侧时，分别画出图形，作出辅助线求出结果即可．
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