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湖南省长沙市望城区第二中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题
一、单选题
1．（2026高一上·望城期末）集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，解得，即，
集合，则.
故答案为：D．
【分析】解绝对值不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2026高一上·望城期末）已知实数，，满足，则的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，满足，
由，可得，即，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为1.
故答案为：C.
【分析】由，可得，即，再利用基本不等式“1”的妙用求最小值即可.
3．（2026高一上·望城期末）已知函数，则（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为，所以，.
故答案为：A.
【分析】根据函数解析式，代值求值即可.
4．（2026高一上·望城期末）若对任意成立，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解： 对任意成立，
令，则，即，则或，
令，则，解得，由，解得，
当时，，
当时，，
综上，.
故答案为：C.
【分析】由题意，分别令、，求得或，，进而有，再讨论参数a的范围确定b的范围即可.
5．（2026高一上·望城期末）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（　　）
（参考数据：，）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由，可得，
依题意，解得，
则，由，
即，
故所需的训练迭代轮数至少为16次．
故答案为：C.
【分析】由题意列方程，求得，再根据，解指数不等式即可得答案．
6．（2026高一上·望城期末）在，，三个数中，按从小到大排序，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：A.
【分析】利用对数、指数函数的单调性，结合“分段法”判断的大小关系即可.
7．（2026高一上·望城期末）已知，且，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，，
将其代入，得，
展开得，
整理得，因为，，，
所以，两边除以，得，
解得．
故答案为：D．
【分析】将，代入，结合两角和、差的正弦公式、同角三角函数基本关系化简求解即可．
8．（2026高一上·望城期末）已知函数的部分图象如图所示，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：因为图象过点，
所以，
又因为为函数递减区间上的零点，
可得，，
所以，
因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据为函数的单调递减区间上的零点，从而可得，和，进而求出的值.
二、多选题
9．（2026高一上·望城期末）若m，n都为正实数，且则（　　）
A．mn的最大值为1 B．的最小值为9
C．的最小值为2 D．
【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： m，n都为正实数，且，
A、，则，当且仅当时等号成立，故A正确；
B、，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为9，故B正确；
C、由，得，当且仅当时等号成立，
则的最小值为2，故C正确；
D、，则，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】直接利用基本不等式求解即可判断A；利用基本不等式及“1”的妙用求解即可判断B；利用基本不等式链求解即可判断C；双变量转化为单变量，结合二次函数求解即可判断D.
10．（2026高一上·望城期末）已知函数若关于的方程有3个实数解，则（　　）
A．
B．
C．
D．关于的方程恰有3个实数解
【答案】A,B,D
【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数的图象，如图所示：
A、作出关于轴对称的函数的图象，与直线交于点，则，不难看出点在点的右侧，则，故，故A正确；
B、当时，的图象关于直线对称，故点与点关于直线对称，
则，由，可得，即，
则，故B正确；
C、当时，由，解得，
由，解得，，
则，故C错误；
D、依题意，，在上单调递增，故，
由图知，函数与的图象恰有三个交点，
即关于的方程恰有3个实数解，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先作出函数的图象，再作关于轴对称的函数的图象与的交点情况即可判断A；当时，的图象关于直线对称，求得，再根据求得，据此求的范围即可判断B；当时，解方程求得，再由，求得，即可判断C；依题意，，根据的单调性，先判断的范围，结合图象求解即可判断D.
11．（2026高一上·望城期末）已知函数在上有且仅有条对称轴；则（　　）
A．
B．可能是的最小正周期
C．函数在上单调递增
D．函数在上可能有个或个零点
【答案】A,D
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：；
A、当时，，因为在上有且仅有条对称轴，
所以，解得，即，故A正确；
B、若是的最小正周期，则，即不能是的最小正周期，故B错误；
C、当时，；
因为，所以，，
因为，所以当时，不是单调函数，故C错误；
D、当时，，
因为，所以；
当时，在上有个零点；
当时，在上有个零点；
则在上可能有个或个零点，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简得；根据函数有条对称轴确定，求解范围即可判断A；假设是的最小正周期，求得，由即可判断B；当时，，当时，函数不单调，即可判断C；当时，，分和讨论求函数零点个数即可判断D.
三、填空题
12．（2026高一上·望城期末）　 　．
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】根据指数运算法则化简求值即可.
13．（2026高一上·望城期末）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数是定义在上的偶函数，，
所以为偶函数，
若函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
，
不等式可变形为，即，
则，解得.
故答案为：．
【分析】根据奇偶性的定义先判断函数为偶函数，由题意可得函数在上单调递减，不等式变形为，即，根据偶函数特征结合单调性求解即可.
14．（2026高一上·望城期末）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积（弦矢矢2）．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为　 　．
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆弧所对圆心角的弧度为，由题可知，解得，
扇形的面积为，三角形的面积为，
则弧田实际的面积为，
作分别交，于点，，则，，
所以利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积为，
则所求差值为．
故答案为：.
【分析】设圆弧所对圆心角的弧度为， 根据弧田的弧长为 ，利用弧长计算公式求得圆心角，再根据扇形面积公式和三角形面积公式求得弧田实际的面积，最后利用九章算术中的弧田面积公式计算面积，计算面积差即可.
四、解答题
15．（2026高一上·望城期末）已知集合，集合
（1）若，求实数的取值范围；
（2）已知，，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：解不等式，可得或，即集合因为或，
解不等式，可得，即集合，
若，则，解得，
则实数的取值范围是；
（2）解：，则，解得，
，则或，解得或，
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】元素与集合的关系；集合关系中的参数取值问题；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）分别解一元二次不等式和分式不等式求得集合、，根据列关于实数的不等式组，求解实数的取值范围即可；
（2）根据元素与集合的关系，列关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
（1）因为或，
，
且，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
（2）因为，则，解得，
因为，则或，可得或.
综上所述，实数的取值范围是.
16．（2026高一上·望城期末）已知函数，，.
（1）若为偶函数，求实数的值；
（2）对任意的，都存在使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为为偶函数，
所以，即，
因为，所以，所以，
因为，所以，解得，
当时，得，由于不恒为，故不满足题意；
当时，得；
经检验，当时，，
所以，易知的定义域为，关于原点对称，
又易得，所以为偶函数，
综上：；
（2）解：因为对任意的，都存在使得，所以，
因为，所以，则，
令，则，，
当时，，
则开口向上，对称轴为，
当，即时，在上单调递增，则；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则；
当时，，
则开口向上，对称轴为，
当，即时，在上单调递减，则；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则；
综上：当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，故；
当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为，
所以当时，，则，
当时，，则，
综上：当时，；当时，，
所以当时，有，解得或，故；
当时，有，解得或，故；
所以或，即.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由函数为偶函数，可得，因为，所以，利用偶函数的性，求得参数的值，注意检验即可；
（2）由题意可得，利用绝对值不等式得到，构造函数，通过分类讨论与整合，结合二次函数的性质求得，从而求得的取值范围.
（1）因为为偶函数，
所以，即，
因为，所以，
所以，
因为，所以，解得，
当时，得，由于不恒为，故不满足题意；
当时，得；
经检验，当时，，
所以，易知的定义域为，关于原点对称，
又易得，所以为偶函数，
综上：.
（2）因为对任意的，都存在使得，
所以，
因为，所以，则，
令，则，，
当时，，
则开口向上，对称轴为，
当，即时，在上单调递增，则；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则；
当时，，
则开口向上，对称轴为，
当，即时，在上单调递减，则；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则；
综上：当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，故；
当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为，
所以当时，，则，
当时，，则，
综上：当时，；当时，，
所以当时，有，解得或，故；
当时，有，解得或，故；
所以或，即.
17．（2026高一上·望城期末）已知函数，函数的定义域为.
（1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标；
（2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式.
【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
，即函数为奇函数，
故函数的图象关于点对称，其对称中心为；
（2）解：函数的图象关于点中心对称，
则，解得，
当时，，
当时，，则，
则，
综上所述，.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇偶函数图象的对称性
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，计算，证明函数为奇函数，可证得结论成立，求函数图象的对称中心坐标即可；
（2）由函数的图象关于点对称，可得，求得的值，确定函数在时的解析式，当时，可得出可得出函数的解析式，综合可得出函数的解析式.
（1）函数的定义域为，
证法一：
，
所以，，
所以，函数为奇函数，
故函数的图象关于点对称，其对称中心为；
证法二：因为
，
所以，函数的图象关于点对称，其对称中心为.
（2）因为函数的图象关于点中心对称，
因为，解得，
当时，。
当时，，则
，
所以，，
综上所述，.
18．（2026高一上·望城期末）已知函数且在上的最大值与最小值之和等于6，设函数.
（1）求的值，判定函数的单调性，并用定义证明；
（2）证明为奇函数；
（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由在上单调，则，解得或(舍)，
则函数定义域为，
在上单调递增，证明如下，
取任意，，则，
由，，则，即，
所以在上单调递增；
（2）证明：定义域为，
满足，则为奇函数；
（3）解：由题可得，
．
令，
当且仅当，即时取等号，
，，
故实数的取值范围为．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）易知函数在上单调，由题意可得，确定函数的解析式，再根据函数单调函数定义证明在上单调递增即可；
（2）由（1）可得，求函数的定义域，结合奇偶函数定义判断的奇偶性即可；
（3）由题可得，化简可得，令，利用换元法，结合基本不等式求解即可.
（1）由在上单调，则，解得或(舍)．
故，函数定义域为，
在上单调递增，证明如下，
取任意，，则，
由，，则，即，
所以在上单调递增；
（2），函数定义域为，
则，
所以为奇函数；
（3）由题可得.
．
令，
当且仅当，即时取等号，
所以，.
所以实数的取值范围为．
19．（2026高一上·望城期末）已知向量，，且函数.
（1）求函数的最小正周期与单调增区间.
（2）若锐角中，，，分别为角，，对的边，，求的取值范围.
【答案】（1）解：，
函数的最小正周期为；
令，解得，，
则函数的单调增区间为，；
（2）解：因为，所以，即，
因为，，所以，
又因为是锐角三角形，所以，，所以，
，且，，
则.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示以及余弦的二倍角、辅助角公式化简可得，再根据最小正周期公式求最小正周期，利用整体法求函数的单调增区间即可；
（2）利用半角公式化简，求得，结合为锐角三角形，求出的范围，将代入解析式求解即可.
（1），
所以，函数的最小正周期为.
令，解得，，
所以，函数的单调增区间为，.
（2）因为，所以，即，
因为，，故.
因为是锐角三角形，故，，所以.
而，且，
故，所以.
1 / 1湖南省长沙市望城区第二中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题
一、单选题
1．（2026高一上·望城期末）集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2026高一上·望城期末）已知实数，，满足，则的最小值是（　　）
A． B． C．1 D．2
3．（2026高一上·望城期末）已知函数，则（　　）
A． B． C．2 D．4
4．（2026高一上·望城期末）若对任意成立，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2026高一上·望城期末）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（　　）
（参考数据：，）
A．14 B．15 C．16 D．17
6．（2026高一上·望城期末）在，，三个数中，按从小到大排序，正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2026高一上·望城期末）已知，且，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2026高一上·望城期末）已知函数的部分图象如图所示，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2026高一上·望城期末）若m，n都为正实数，且则（　　）
A．mn的最大值为1 B．的最小值为9
C．的最小值为2 D．
10．（2026高一上·望城期末）已知函数若关于的方程有3个实数解，则（　　）
A．
B．
C．
D．关于的方程恰有3个实数解
11．（2026高一上·望城期末）已知函数在上有且仅有条对称轴；则（　　）
A．
B．可能是的最小正周期
C．函数在上单调递增
D．函数在上可能有个或个零点
三、填空题
12．（2026高一上·望城期末）　 　．
13．（2026高一上·望城期末）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为　 　．
14．（2026高一上·望城期末）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积（弦矢矢2）．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为　 　．
四、解答题
15．（2026高一上·望城期末）已知集合，集合
（1）若，求实数的取值范围；
（2）已知，，求实数的取值范围.
16．（2026高一上·望城期末）已知函数，，.
（1）若为偶函数，求实数的值；
（2）对任意的，都存在使得，求实数的取值范围.
17．（2026高一上·望城期末）已知函数，函数的定义域为.
（1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标；
（2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式.
18．（2026高一上·望城期末）已知函数且在上的最大值与最小值之和等于6，设函数.
（1）求的值，判定函数的单调性，并用定义证明；
（2）证明为奇函数；
（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
19．（2026高一上·望城期末）已知向量，，且函数.
（1）求函数的最小正周期与单调增区间.
（2）若锐角中，，，分别为角，，对的边，，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，解得，即，
集合，则.
故答案为：D．
【分析】解绝对值不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，满足，
由，可得，即，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为1.
故答案为：C.
【分析】由，可得，即，再利用基本不等式“1”的妙用求最小值即可.
3．【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为，所以，.
故答案为：A.
【分析】根据函数解析式，代值求值即可.
4．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解： 对任意成立，
令，则，即，则或，
令，则，解得，由，解得，
当时，，
当时，，
综上，.
故答案为：C.
【分析】由题意，分别令、，求得或，，进而有，再讨论参数a的范围确定b的范围即可.
5．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由，可得，
依题意，解得，
则，由，
即，
故所需的训练迭代轮数至少为16次．
故答案为：C.
【分析】由题意列方程，求得，再根据，解指数不等式即可得答案．
6．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：A.
【分析】利用对数、指数函数的单调性，结合“分段法”判断的大小关系即可.
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，，
将其代入，得，
展开得，
整理得，因为，，，
所以，两边除以，得，
解得．
故答案为：D．
【分析】将，代入，结合两角和、差的正弦公式、同角三角函数基本关系化简求解即可．
8．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：因为图象过点，
所以，
又因为为函数递减区间上的零点，
可得，，
所以，
因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据为函数的单调递减区间上的零点，从而可得，和，进而求出的值.
9．【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解： m，n都为正实数，且，
A、，则，当且仅当时等号成立，故A正确；
B、，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为9，故B正确；
C、由，得，当且仅当时等号成立，
则的最小值为2，故C正确；
D、，则，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】直接利用基本不等式求解即可判断A；利用基本不等式及“1”的妙用求解即可判断B；利用基本不等式链求解即可判断C；双变量转化为单变量，结合二次函数求解即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数的图象，如图所示：
A、作出关于轴对称的函数的图象，与直线交于点，则，不难看出点在点的右侧，则，故，故A正确；
B、当时，的图象关于直线对称，故点与点关于直线对称，
则，由，可得，即，
则，故B正确；
C、当时，由，解得，
由，解得，，
则，故C错误；
D、依题意，，在上单调递增，故，
由图知，函数与的图象恰有三个交点，
即关于的方程恰有3个实数解，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先作出函数的图象，再作关于轴对称的函数的图象与的交点情况即可判断A；当时，的图象关于直线对称，求得，再根据求得，据此求的范围即可判断B；当时，解方程求得，再由，求得，即可判断C；依题意，，根据的单调性，先判断的范围，结合图象求解即可判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：；
A、当时，，因为在上有且仅有条对称轴，
所以，解得，即，故A正确；
B、若是的最小正周期，则，即不能是的最小正周期，故B错误；
C、当时，；
因为，所以，，
因为，所以当时，不是单调函数，故C错误；
D、当时，，
因为，所以；
当时，在上有个零点；
当时，在上有个零点；
则在上可能有个或个零点，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简得；根据函数有条对称轴确定，求解范围即可判断A；假设是的最小正周期，求得，由即可判断B；当时，，当时，函数不单调，即可判断C；当时，，分和讨论求函数零点个数即可判断D.
12．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】根据指数运算法则化简求值即可.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数是定义在上的偶函数，，
所以为偶函数，
若函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
，
不等式可变形为，即，
则，解得.
故答案为：．
【分析】根据奇偶性的定义先判断函数为偶函数，由题意可得函数在上单调递减，不等式变形为，即，根据偶函数特征结合单调性求解即可.
14．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆弧所对圆心角的弧度为，由题可知，解得，
扇形的面积为，三角形的面积为，
则弧田实际的面积为，
作分别交，于点，，则，，
所以利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积为，
则所求差值为．
故答案为：.
【分析】设圆弧所对圆心角的弧度为， 根据弧田的弧长为 ，利用弧长计算公式求得圆心角，再根据扇形面积公式和三角形面积公式求得弧田实际的面积，最后利用九章算术中的弧田面积公式计算面积，计算面积差即可.
15．【答案】（1）解：解不等式，可得或，即集合因为或，
解不等式，可得，即集合，
若，则，解得，
则实数的取值范围是；
（2）解：，则，解得，
，则或，解得或，
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】元素与集合的关系；集合关系中的参数取值问题；一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）分别解一元二次不等式和分式不等式求得集合、，根据列关于实数的不等式组，求解实数的取值范围即可；
（2）根据元素与集合的关系，列关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
（1）因为或，
，
且，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
（2）因为，则，解得，
因为，则或，可得或.
综上所述，实数的取值范围是.
16．【答案】（1）解：因为为偶函数，
所以，即，
因为，所以，所以，
因为，所以，解得，
当时，得，由于不恒为，故不满足题意；
当时，得；
经检验，当时，，
所以，易知的定义域为，关于原点对称，
又易得，所以为偶函数，
综上：；
（2）解：因为对任意的，都存在使得，所以，
因为，所以，则，
令，则，，
当时，，
则开口向上，对称轴为，
当，即时，在上单调递增，则；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则；
当时，，
则开口向上，对称轴为，
当，即时，在上单调递减，则；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则；
综上：当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，故；
当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为，
所以当时，，则，
当时，，则，
综上：当时，；当时，，
所以当时，有，解得或，故；
当时，有，解得或，故；
所以或，即.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由函数为偶函数，可得，因为，所以，利用偶函数的性，求得参数的值，注意检验即可；
（2）由题意可得，利用绝对值不等式得到，构造函数，通过分类讨论与整合，结合二次函数的性质求得，从而求得的取值范围.
（1）因为为偶函数，
所以，即，
因为，所以，
所以，
因为，所以，解得，
当时，得，由于不恒为，故不满足题意；
当时，得；
经检验，当时，，
所以，易知的定义域为，关于原点对称，
又易得，所以为偶函数，
综上：.
（2）因为对任意的，都存在使得，
所以，
因为，所以，则，
令，则，，
当时，，
则开口向上，对称轴为，
当，即时，在上单调递增，则；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则；
当时，，
则开口向上，对称轴为，
当，即时，在上单调递减，则；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则；
综上：当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，故；
当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为，
所以当时，，则，
当时，，则，
综上：当时，；当时，，
所以当时，有，解得或，故；
当时，有，解得或，故；
所以或，即.
17．【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
，即函数为奇函数，
故函数的图象关于点对称，其对称中心为；
（2）解：函数的图象关于点中心对称，
则，解得，
当时，，
当时，，则，
则，
综上所述，.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇偶函数图象的对称性
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，计算，证明函数为奇函数，可证得结论成立，求函数图象的对称中心坐标即可；
（2）由函数的图象关于点对称，可得，求得的值，确定函数在时的解析式，当时，可得出可得出函数的解析式，综合可得出函数的解析式.
（1）函数的定义域为，
证法一：
，
所以，，
所以，函数为奇函数，
故函数的图象关于点对称，其对称中心为；
证法二：因为
，
所以，函数的图象关于点对称，其对称中心为.
（2）因为函数的图象关于点中心对称，
因为，解得，
当时，。
当时，，则
，
所以，，
综上所述，.
18．【答案】（1）解：由在上单调，则，解得或(舍)，
则函数定义域为，
在上单调递增，证明如下，
取任意，，则，
由，，则，即，
所以在上单调递增；
（2）证明：定义域为，
满足，则为奇函数；
（3）解：由题可得，
．
令，
当且仅当，即时取等号，
，，
故实数的取值范围为．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）易知函数在上单调，由题意可得，确定函数的解析式，再根据函数单调函数定义证明在上单调递增即可；
（2）由（1）可得，求函数的定义域，结合奇偶函数定义判断的奇偶性即可；
（3）由题可得，化简可得，令，利用换元法，结合基本不等式求解即可.
（1）由在上单调，则，解得或(舍)．
故，函数定义域为，
在上单调递增，证明如下，
取任意，，则，
由，，则，即，
所以在上单调递增；
（2），函数定义域为，
则，
所以为奇函数；
（3）由题可得.
．
令，
当且仅当，即时取等号，
所以，.
所以实数的取值范围为．
19．【答案】（1）解：，
函数的最小正周期为；
令，解得，，
则函数的单调增区间为，；
（2）解：因为，所以，即，
因为，，所以，
又因为是锐角三角形，所以，，所以，
，且，，
则.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示以及余弦的二倍角、辅助角公式化简可得，再根据最小正周期公式求最小正周期，利用整体法求函数的单调增区间即可；
（2）利用半角公式化简，求得，结合为锐角三角形，求出的范围，将代入解析式求解即可.
（1），
所以，函数的最小正周期为.
令，解得，，
所以，函数的单调增区间为，.
（2）因为，所以，即，
因为，，故.
因为是锐角三角形，故，，所以.
而，且，
故，所以.
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