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湖南省衡阳市衡阳县2025-2026学年高一创新实验班上学期1月期末质量检测数学试题
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2026高一上·衡阳期末）已知集合，则与的关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；集合相等；交集及其运算；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，
即集合，
易知集合，
则，，故B正确；A、C错误；
，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据偶次根式有意义，列式求得集合，求函数的值域可得集合，利用集合相等的概念、集合间的包含关系以及交集运算求解即可.
2．（2026高一上·衡阳期末）若，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，即，
则，复数的虚部为.
故答案为：B.
【分析】化简可得，利用复数代数形式的除法运算化简等式可得，结合复数的概念判断即可.
3．（2026高一上·衡阳期末）不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，可得，即，
则，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】化简不等式为，根据分式不等式的解法求解即可.
4．（2026高一上·衡阳期末）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解： 因为点是函数的图象的一个对称中心，
所以，解得，
当时，，则的最小值为.
故答案为：D.
【分析】由题意可得，结合求解a的最小值即可．
5．（2026高一上·衡阳期末）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为函数是定义在上周期为2的偶函数，
所以，
又因为 当时，， 所以，
则.
故答案为：A.
【分析】根据函数的周期性和奇偶性将自变量转化为区间，根据解析式求解即可.
6．（2026高一上·衡阳期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故答案为：B.
【分析】本题考查函数的单调性.先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性可推出单调递增，再根据二次函数的性质和分界点的大小关系可列出不等式组，解不等式组可求出a的取值范围.
7．（2026高一上·衡阳期末）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：设，则，
作出函数的图象，如图所示：
由图可知：随着的变化可能出现：，，，.
故答案为：B．
【分析】设，则，作出函数图象，数形结合求解即可.
8．（2026高一上·衡阳期末）若，，使得，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由，得，，
由，得，，
若，，使得，
则的区间长度要不小于的解集的区间长度，
即，解得，故的最小值为.
故答案为：A.
【分析】根据正弦函数的性质解不等式求得x的范围，将问题转化成的区间长度要不小于的解集的区间长度，求的取值范围即可.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026高一上·衡阳期末）已知正数，满足．则下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，满足，
A、由，可得，即，当且仅当时取等号，故A错误；
B、，
当且仅当，即时取等号，故B错误；
C、由，得，则，
当且仅当时取等号，故C正确；
D、由，，可得，，
则，
当且仅当时，取等号，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】直接利用基本不等式求解即可判断A；利用基本不等式“1”的妙用计算即可判断B；将两边平方，利用放缩法求解即可判断C；由，可得，双变量转化为单变量，结合二次函数的性质计算即可判断D.
10．（2026高一上·衡阳期末）下列结论正确的是（　　）
A．为平面内一定点，如，则三点共线且
B．非零向量满足，则与的夹角为锐角
C．已知是与平行的单位向量，则
D．平面内与动点满足，则点的轨迹必过的内心
【答案】A,D
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解： A 、由 ，可得 ，则 ，即 ，因为 与 有公共点 ，所以 A 、 B 、 C 三点共线，故 A正确；
B 、根据向量的数量积公式，
当 时，即 ，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，当 时， 与 同向，此时夹角不是锐角，故 B 错误；
C、 ，易知 ，与 平行的单位向量 ，则 或 ，故 C错误；
D 、因为 是与 同向的单位向量， 是与 同向的单位向量，
根据向量加法的平行四边形法则，以 和 为邻边的平行四边形是菱形，
所以 平分 ，
由 ，可得 与的角平分线共线，
又因为 为公共点，所以点 的轨迹必过 的内心，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据向量的线性运算化简可得 ，由 与 有公共点，可得共线，即可判断A；根据已知条件及向量的数量积公式求得，得出，验证的情况即可判断B；先求向量的模，在计算与 平行的单位向量，即可判断C；根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，即可判断点 的轨迹是否过 的内心，据此判断D.
11．（2026高一上·衡阳期末）已知定义在上且不恒为0的函数，对任意，都有，则（　　）
A．
B．函数是奇函数
C．对，有
D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、因为对任意，都有，
令，，可得，则，故A正确；
B、当时，令，则，
，，
又因为，，所以为奇函数，故B正确；
C、由B知，不恒等于，即时，，故C错误；
D、，
由知，，
，
，
，
，
则，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由题意，取特殊值求解即可判断A；当时，令得到，结合奇偶性即可判断B；结合B选项及特殊值即可判断C；推导出，即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026高一上·衡阳期末）方程的实数解为　 　．
【答案】或0
【知识点】函数单调性的性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：易知当时，方程显然成立，若，则，
设，则，，同理可得，，
则原方程可化为，
等式两边同时除以可得，即，
设，
因为函数、在上均为减函数，
所以函数在上为减函数，
又因为，所以方程有且只有一个实根，
所以，解得，
故方程的实数解为，
综上：方程的实数解为或
故答案为：或
【分析】易知当时，方程显然成立，设，将所求方程化为，两边同除以可得，构造函数，分析函数的单调性，结合可得出的值，即可得出原方程的实数解.
13．（2026高一上·衡阳期末）在中，角、、的对边分别为、、．向量，，且．若边，，的平分线交于点，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
因为，所以，
整理可得，由余弦定理可得，
又因为，所以故，
，解得，
则，，
故，故，
因为的平分线交于点，所以，
由三角形的面积公式可得，
即，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直数量积为零化简整理可得，结合余弦定理可求角的值，利用平面向量数量积的定义求得的值，结合余弦定理可得出的值，再根据的平分线交于点，可得，结合三角形的面积公式求的长即可.
14．（2026高一上·衡阳期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量减法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意，均为单位向量，且，
则，
由，可得，解得，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意，根据平面向量的数量积，结合向量模的运算求得，结合向量三角不等式求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
15．（2026高一上·衡阳期末）已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围．
【答案】（1）解：解不等式，可得，即集合，
当时，集合，
则，故或；
（2）解：因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，，解得，符合题意；
当时，则有，解得，
当时，，此时是的真子集，符合题意，
当时，，此时是的真子集，符合题意，
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；充分条件；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求得集合A，将代入求得集合，再根据集合并集、补集运算求集合即可；
（2）由题意可得：是的真子集，分或两种情况讨论，根据集合的包含关系列关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
（1）当时，，
又因为，所以，
故或.
（2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，，解得，符合题意；
当时，则有，解得，
当时，，此时是的真子集，符合题意，
当时，，此时是的真子集，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
16．（2026高一上·衡阳期末）某企业生产某款空调预计全年需投入固定成本万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产千台空调时需另投入的资金为万元．已知每台空调的售价为万元，且当年生产的空调能全部销售完．
（1）求该企业生产并销售该款空调所获年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式．
（2）当年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？（注：利润销售额成本）
【答案】（1）解：当时，，解得，
故，
当时，；
当时，，
所以；
（2）解：当时，，所以当时，有最大值，最大值为；
当时，，
当且仅当，即当时，有最大值，最大值为，
因为，所以当年产量为千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为万元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）将代入，根据，求得的值，再由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，求出年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式即可；
（2）由（1）的结论，分别利用二次函数的性质和基本不等式求和时函数的最大值，比较即可得答案.
（1）当时，，解得，
故，
当时，；
当时，.
所以.
（2）当时，，所以当时，有最大值，最大值为；
当时，，
当且仅当，即当时，有最大值，最大值为.
因为，
所以当年产量为千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为万元.
17．（2026高一上·衡阳期末）已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点．
（1）求实数的取值范围；
（2）如果求在（1）的范围内取最小整数．令．求在上的值域．
【答案】（1）解：由，可得，
令，当时，，
则在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数，
由，，，可得，解得得，
故的取值范围是；
（2）解：由题知：，令，
当时，，，则，
由，得，
，
，
，
，
故的值域为.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意可得，求得，令，，问题转化为在上的最值点个数列不等式，求实数的取值范围即可；
（2）由（1）可得，令，根据正弦函数的性质求得，利用，结合二次函数的性质求解即可.
（1）由已知．
令，当时，
则在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数．
由，，
得．所以的取值范围是；
（2）由题知：，令
当时，，
由得
所以，的值域为.
18．（2026高一上·衡阳期末）已知是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）解不等式；
（3）记，若对任意的成立，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）函数的定义域为，因为函数是偶函数，所以对任意实数恒成立，
即，对任意实数恒成立，则；
（2）由（1）可得，当时，根据对勾函数的性质可知：在上是增函数，
又因为是偶函数，所以，
两边平方可得，解得或，
故不等式的解集为或；
（3），问题即为恒成立，显然，
首先对任意成立，即，
因为，则，所以，
，即，
即成立，即成立，
因为，所以对于任意成立，则，即，
综上，实数的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；对勾函数的图象与性质；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，利用偶函数的定义求解即可；
（2）由（1）可得，根据对勾函数的性质求知：函数在上是增函数，再结合奇偶性将不等式转化为，两边平方求解即可；
（3），问题即为恒成立，显然，将转化为，即恒成立，转化为二次不等式恒成立问题求解即可.
19．（2026高一上·衡阳期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.
（1）求证：；
（2）求的取值范围；
（3）若，求三角形面积的取值范围．
【答案】（1）证明：，由正弦定理可得，即，
因为，则，所以，即，
由余弦定理可得，所以，所以，
由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，所以，，所以，
又因为函数在上单调递增，且，所以，即；
（2）解：
，
因为为锐角三角形，故，解得，
又因为，可得，故角的取值范围是，
所以，故，
令，，
任取、且，
则
，
因为，所以，则，所以，
所以函数在上为增函数，故，
故的取值范围是；
（3）解：由正弦定理，可得，，
，
因为，所以，
令，函数、在上均为减函数，
则函数在上为减函数，，即，
因此，即面积的取值范围是.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简整理可得，由余弦定理可得，再由正弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性即可证明；
（2）由正弦定理以及两角和的正弦公式，正弦、余弦的二倍角公式化简得出，根据为锐角三角形，求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性求的取值范围即可；
（3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质求面积的取值范围即可.
（1）由及正弦定理可得，即，
因为，则，所以，即，
由余弦定理可得，所以，
所以，由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，故，，所以，
又函数在上单调递增，且，故，即.
（2）
，
因为为锐角三角形，故，解得，
又因为，可得，故角的取值范围是，
所以，故，
令，，
任取、且，
则
，
因为，所以，则，所以，
所以函数在上为增函数，故，
故的取值范围是.
（3）由正弦定理可得，所以，，
所以
，
因为，所以，
令，函数、在上均为减函数，
故函数在上为减函数，所以，即，
因此，即面积的取值范围是.
1 / 1湖南省衡阳市衡阳县2025-2026学年高一创新实验班上学期1月期末质量检测数学试题
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2026高一上·衡阳期末）已知集合，则与的关系为（　　）
A． B． C． D．
2．（2026高一上·衡阳期末）若，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．（2026高一上·衡阳期末）不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2026高一上·衡阳期末）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026高一上·衡阳期末）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2026高一上·衡阳期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2026高一上·衡阳期末）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（　　）
A． B． C． D．
8．（2026高一上·衡阳期末）若，，使得，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026高一上·衡阳期末）已知正数，满足．则下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2026高一上·衡阳期末）下列结论正确的是（　　）
A．为平面内一定点，如，则三点共线且
B．非零向量满足，则与的夹角为锐角
C．已知是与平行的单位向量，则
D．平面内与动点满足，则点的轨迹必过的内心
11．（2026高一上·衡阳期末）已知定义在上且不恒为0的函数，对任意，都有，则（　　）
A．
B．函数是奇函数
C．对，有
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026高一上·衡阳期末）方程的实数解为　 　．
13．（2026高一上·衡阳期末）在中，角、、的对边分别为、、．向量，，且．若边，，的平分线交于点，则的长为　 　．
14．（2026高一上·衡阳期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
15．（2026高一上·衡阳期末）已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围．
16．（2026高一上·衡阳期末）某企业生产某款空调预计全年需投入固定成本万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产千台空调时需另投入的资金为万元．已知每台空调的售价为万元，且当年生产的空调能全部销售完．
（1）求该企业生产并销售该款空调所获年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式．
（2）当年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？（注：利润销售额成本）
17．（2026高一上·衡阳期末）已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点．
（1）求实数的取值范围；
（2）如果求在（1）的范围内取最小整数．令．求在上的值域．
18．（2026高一上·衡阳期末）已知是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）解不等式；
（3）记，若对任意的成立，求实数的取值范围.
19．（2026高一上·衡阳期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，.
（1）求证：；
（2）求的取值范围；
（3）若，求三角形面积的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；集合相等；交集及其运算；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，
即集合，
易知集合，
则，，故B正确；A、C错误；
，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据偶次根式有意义，列式求得集合，求函数的值域可得集合，利用集合相等的概念、集合间的包含关系以及交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，即，
则，复数的虚部为.
故答案为：B.
【分析】化简可得，利用复数代数形式的除法运算化简等式可得，结合复数的概念判断即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，可得，即，
则，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】化简不等式为，根据分式不等式的解法求解即可.
4．【答案】D
【知识点】函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解： 因为点是函数的图象的一个对称中心，
所以，解得，
当时，，则的最小值为.
故答案为：D.
【分析】由题意可得，结合求解a的最小值即可．
5．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为函数是定义在上周期为2的偶函数，
所以，
又因为 当时，， 所以，
则.
故答案为：A.
【分析】根据函数的周期性和奇偶性将自变量转化为区间，根据解析式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故答案为：B.
【分析】本题考查函数的单调性.先利用指数函数的单调性和对数函数的单调性可推出单调递增，再根据二次函数的性质和分界点的大小关系可列出不等式组，解不等式组可求出a的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：设，则，
作出函数的图象，如图所示：
由图可知：随着的变化可能出现：，，，.
故答案为：B．
【分析】设，则，作出函数图象，数形结合求解即可.
8．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由，得，，
由，得，，
若，，使得，
则的区间长度要不小于的解集的区间长度，
即，解得，故的最小值为.
故答案为：A.
【分析】根据正弦函数的性质解不等式求得x的范围，将问题转化成的区间长度要不小于的解集的区间长度，求的取值范围即可.
9．【答案】C,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，满足，
A、由，可得，即，当且仅当时取等号，故A错误；
B、，
当且仅当，即时取等号，故B错误；
C、由，得，则，
当且仅当时取等号，故C正确；
D、由，，可得，，
则，
当且仅当时，取等号，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】直接利用基本不等式求解即可判断A；利用基本不等式“1”的妙用计算即可判断B；将两边平方，利用放缩法求解即可判断C；由，可得，双变量转化为单变量，结合二次函数的性质计算即可判断D.
10．【答案】A,D
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解： A 、由 ，可得 ，则 ，即 ，因为 与 有公共点 ，所以 A 、 B 、 C 三点共线，故 A正确；
B 、根据向量的数量积公式，
当 时，即 ，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，当 时， 与 同向，此时夹角不是锐角，故 B 错误；
C、 ，易知 ，与 平行的单位向量 ，则 或 ，故 C错误；
D 、因为 是与 同向的单位向量， 是与 同向的单位向量，
根据向量加法的平行四边形法则，以 和 为邻边的平行四边形是菱形，
所以 平分 ，
由 ，可得 与的角平分线共线，
又因为 为公共点，所以点 的轨迹必过 的内心，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据向量的线性运算化简可得 ，由 与 有公共点，可得共线，即可判断A；根据已知条件及向量的数量积公式求得，得出，验证的情况即可判断B；先求向量的模，在计算与 平行的单位向量，即可判断C；根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，即可判断点 的轨迹是否过 的内心，据此判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、因为对任意，都有，
令，，可得，则，故A正确；
B、当时，令，则，
，，
又因为，，所以为奇函数，故B正确；
C、由B知，不恒等于，即时，，故C错误；
D、，
由知，，
，
，
，
，
则，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由题意，取特殊值求解即可判断A；当时，令得到，结合奇偶性即可判断B；结合B选项及特殊值即可判断C；推导出，即可判断D.
12．【答案】或0
【知识点】函数单调性的性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：易知当时，方程显然成立，若，则，
设，则，，同理可得，，
则原方程可化为，
等式两边同时除以可得，即，
设，
因为函数、在上均为减函数，
所以函数在上为减函数，
又因为，所以方程有且只有一个实根，
所以，解得，
故方程的实数解为，
综上：方程的实数解为或
故答案为：或
【分析】易知当时，方程显然成立，设，将所求方程化为，两边同除以可得，构造函数，分析函数的单调性，结合可得出的值，即可得出原方程的实数解.
13．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
因为，所以，
整理可得，由余弦定理可得，
又因为，所以故，
，解得，
则，，
故，故，
因为的平分线交于点，所以，
由三角形的面积公式可得，
即，解得.
故答案为：.
【分析】根据向量垂直数量积为零化简整理可得，结合余弦定理可求角的值，利用平面向量数量积的定义求得的值，结合余弦定理可得出的值，再根据的平分线交于点，可得，结合三角形的面积公式求的长即可.
14．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量减法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意，均为单位向量，且，
则，
由，可得，解得，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意，根据平面向量的数量积，结合向量模的运算求得，结合向量三角不等式求解即可.
15．【答案】（1）解：解不等式，可得，即集合，
当时，集合，
则，故或；
（2）解：因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，，解得，符合题意；
当时，则有，解得，
当时，，此时是的真子集，符合题意，
当时，，此时是的真子集，符合题意，
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；充分条件；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求得集合A，将代入求得集合，再根据集合并集、补集运算求集合即可；
（2）由题意可得：是的真子集，分或两种情况讨论，根据集合的包含关系列关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
（1）当时，，
又因为，所以，
故或.
（2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，，解得，符合题意；
当时，则有，解得，
当时，，此时是的真子集，符合题意，
当时，，此时是的真子集，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
16．【答案】（1）解：当时，，解得，
故，
当时，；
当时，，
所以；
（2）解：当时，，所以当时，有最大值，最大值为；
当时，，
当且仅当，即当时，有最大值，最大值为，
因为，所以当年产量为千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为万元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）将代入，根据，求得的值，再由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，求出年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式即可；
（2）由（1）的结论，分别利用二次函数的性质和基本不等式求和时函数的最大值，比较即可得答案.
（1）当时，，解得，
故，
当时，；
当时，.
所以.
（2）当时，，所以当时，有最大值，最大值为；
当时，，
当且仅当，即当时，有最大值，最大值为.
因为，
所以当年产量为千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为万元.
17．【答案】（1）解：由，可得，
令，当时，，
则在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数，
由，，，可得，解得得，
故的取值范围是；
（2）解：由题知：，令，
当时，，，则，
由，得，
，
，
，
，
故的值域为.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意可得，求得，令，，问题转化为在上的最值点个数列不等式，求实数的取值范围即可；
（2）由（1）可得，令，根据正弦函数的性质求得，利用，结合二次函数的性质求解即可.
（1）由已知．
令，当时，
则在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数．
由，，
得．所以的取值范围是；
（2）由题知：，令
当时，，
由得
所以，的值域为.
18．【答案】解：（1）函数的定义域为，因为函数是偶函数，所以对任意实数恒成立，
即，对任意实数恒成立，则；
（2）由（1）可得，当时，根据对勾函数的性质可知：在上是增函数，
又因为是偶函数，所以，
两边平方可得，解得或，
故不等式的解集为或；
（3），问题即为恒成立，显然，
首先对任意成立，即，
因为，则，所以，
，即，
即成立，即成立，
因为，所以对于任意成立，则，即，
综上，实数的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；对勾函数的图象与性质；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，利用偶函数的定义求解即可；
（2）由（1）可得，根据对勾函数的性质求知：函数在上是增函数，再结合奇偶性将不等式转化为，两边平方求解即可；
（3），问题即为恒成立，显然，将转化为，即恒成立，转化为二次不等式恒成立问题求解即可.
19．【答案】（1）证明：，由正弦定理可得，即，
因为，则，所以，即，
由余弦定理可得，所以，所以，
由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，所以，，所以，
又因为函数在上单调递增，且，所以，即；
（2）解：
，
因为为锐角三角形，故，解得，
又因为，可得，故角的取值范围是，
所以，故，
令，，
任取、且，
则
，
因为，所以，则，所以，
所以函数在上为增函数，故，
故的取值范围是；
（3）解：由正弦定理，可得，，
，
因为，所以，
令，函数、在上均为减函数，
则函数在上为减函数，，即，
因此，即面积的取值范围是.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简整理可得，由余弦定理可得，再由正弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性即可证明；
（2）由正弦定理以及两角和的正弦公式，正弦、余弦的二倍角公式化简得出，根据为锐角三角形，求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性求的取值范围即可；
（3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质求面积的取值范围即可.
（1）由及正弦定理可得，即，
因为，则，所以，即，
由余弦定理可得，所以，
所以，由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，故，，所以，
又函数在上单调递增，且，故，即.
（2）
，
因为为锐角三角形，故，解得，
又因为，可得，故角的取值范围是，
所以，故，
令，，
任取、且，
则
，
因为，所以，则，所以，
所以函数在上为增函数，故，
故的取值范围是.
（3）由正弦定理可得，所以，，
所以
，
因为，所以，
令，函数、在上均为减函数，
故函数在上为减函数，所以，即，
因此，即面积的取值范围是.
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