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课件使用说明
第二章　不等式与不等式组
第1 课时　一元一次不等式与一次函数的关系
3　一元一次不等式与一次函数
　一元一次不等式与一次函数的关系
1.(2025上海高行中学期中)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图
所示,当y>0时,x的取值范围为 ( )

A.x<3　　　 B.x>3 C.x>1　　　 D.x<1
D
解析　观察题中图象知,直线与x轴交于点(1,0).在交点左边,
图象在x轴上方,即当x<1时,y>0.故选D.
2.(2024广东中考)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函
数y=kx+b的图象可能是 ( )
　　　
B
解析 A.不等式kx+b<0的解集是x>-2;B.不等式kx+b<0的解集
是x<2;C.不等式kx+b<0的解集是x<-2;D.不等式kx+b<0的解集
是x>2.故选B.
3.(2025四川眉山青神期中)一次函数y1=kx+b(k≠0)与y2=mx+
a(m≠0)的图象如图所示,则下列结论:①当x<-2时,y1>0;②当
x<-2时,y2>0;③当x>-2时,y1
A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3
B
解析　由函数图象可知,①当x<-2时,y1>0或y1=0或y1<0,故原结
论错误;②当x<-2时,y2>0,故原结论正确;③当x>-2时,y1>y2,故原
结论错误.综上,正确的有1个.故选B.
4.(2025江苏常州期末)当x分别取-1,0,1,2时,一次函数y=kx+b
对应的函数值如下表:
x -1 0 1 2
y -1 1 3 5
则关于x的不等式kx+b>1的解集是___________.
x>0
解析　由题表知,y=kx+b中,y随x的增大而增大,当y=1时,x=0,
∴关于x的不等式kx+b>1的解集是x>0.故答案为x>0.

5.(2025四川成都七中期中,★★☆)如图,一次函数y=kx+b(k≠
0)的图象经过点A(-2,4),则kx+b-4<0的解集为 ( )

A.x<-2　　 B.x>-2　　 C.x<0　　 D.x>0
A
解析　由图象可得,当x<-2时,kx+b<4,所以不等式kx+b-4<0的
解集为x<-2.故选A.
方法归纳　从函数的角度看,求一元一次不等式ax+b>0(或ax
+b<0)的解集就是寻求使一次函数y=ax+b的函数值大于(或小
于)0的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直
线y=ax+b在x轴上方(或下方)部分所对应的x的取值范围.
6.(★★☆)如图所示的是正比例函数y1=x与函数y2=|2x-4|-1在
同一平面直角坐标系中的图象,则不等式x+1>|2x-4|的解集是
_______________.

1解析　将不等式x+1>|2x-4|变形,得x>|2x-4|-1,不等式x>|2x-4|-1
的解集为y1=x的图象在y2=|2x-4|-1图象上方部分所对应的x的
取值范围,结合图象可知1|2x-4|的解集是
17.(2025福建宁德福鼎期中,★★☆)已知一次函数y1=mx+3m-
1(m≠0),y2=k(x-2)+2(k≠0),若无论x取何值,始终有y2>y1,则m的
取值范围是_______________.
m< 且m≠0
解析　∵无论x取何值,始终有y2>y1,∴两条直线平行且y2在y1
的上方,
∵y1=mx+3m-1(m≠0),y2=k(x-2)+2=kx-2k+2(k≠0),∴m=k,3m-1<
-2k+2,解得m< ,∴m的取值范围是m< 且m≠0.
8.(2025四川成都邛崃期中,★★☆)已知函数y1=2x-4与y2=-2x+
8的图象如图所示,观察图象并解决下列问题:
(1)x取何值时,2x-4>0
(2)x取何值时,-2x+8<0
(3)当-4≤x≤8时,求y1的取值范围.
(4)当-4≤y1≤8时,求x的取值范围.
解析 (1)由题图可知函数y1=2x-4的图象与x轴交于点(2,0),
y1随x的增大而增大,
∴当x>2时,2x-4>0.
(2)由题图可知函数y2=-2x+8的图象与x轴交于点(4,0),且y2随x
的增大而减小,
∴当x>4时,-2x+8<0.
(3)∵y1随x的增大而增大,当x=-4时,y1=-12,当x=8时,y1=12,
∴当-4≤x≤8时,-12≤y1≤12.
(4)∵y1随x的增大而增大,当y1=-4时,-4=2x-4,解得x=0,当y1=8
时,8=2x-4,解得x=6,
∴当-4≤y1≤8时,0≤x≤6.(共31张PPT)
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第二章　不等式与不等式组
4　一元一次不等式组
　一元一次不等式组的概念
1.(2025上海进才中学期中)下列不等式组中,是一元一次不等
式组的是 ( )
A. 　　　 B.
C. 　　　 D.
C
解析 A中含有两个未知数,不是一元一次不等式组;B中未知
数的最高次数是2,不是一元一次不等式组;C中的不等式组符
合一元一次不等式组的定义;D中 的分母含有未知数,不是一
元一次不等式组.故选C.
总结归纳　一元一次不等式组具备三个条件:(1)每个不等式
都是一元一次不等式;(2)不等式组只含一个未知数;(3)不等式
组中至少有两个不等式.
　解一元一次不等式组
2.(2025山西中考)不等式组 的解集是 ( )
A.x<2　　 B.x≥3　　 C.2 C
解析　不等式组
由①得x>2,由②得x≤3,
则不等式组的解集为23.(2024内蒙古包头中考)若2m-1,m,4-m这三个实数在数轴上
所对应的点从左到右依次排列,则m的取值范围是 ( )
A.m<2　　　 B.m<1
C.1 B
解析　由题意可得2m-1解得m<1.故选B.
4.(2025北京十三中期中)在平面直角坐标系中,已知点M(1-a,
a+2)在第四象限,则a的取值范围是____________.
a<-2
解析　∵点M(1-a,a+2)在平面直角坐标系的第四象限,
∴ 解得a<-2.故答案为a<-2.
5.(2025山西晋中太谷期中)解不等式组,并把解集表示在数轴
上.
(1)
(2)
解析 (1)
解不等式①,得x≥-2,
解不等式②,得x≥- ,
∴不等式组的解集是x≥- .
将不等式组的解集表示在数轴上,如图所示.
(2)
解不等式①,得x>-1,解不等式②,得x≤3,
∴不等式组的解集是-1将不等式组的解集表示在数轴上,如图所示.

6.(2025河南南阳社旗期末)【阅读理解】
下面是某同学解不等式组 的部分解答过程,请
认真阅读并完成任务.
解:解不等式①,
移项,得-3x+x≤4-2, 第1步
合并同类项,得-2x≤2, 第2步
两边都除以-2,得x≤-1, 第3步
【任务一】
(1)该同学的解答过程中,第_______步出现了错误,错误的原
因是_________,不等式①的正确解集是_______.
【任务二】
(2)解不等式②.
(3)写出该不等式组的解集,并写出不等式组的非负整数解.
解析 (1)该同学的解答过程中,第3步出现了错误,错误的原
因是不等式两边都除以同一个负数,不等号的方向没有改变,
正确解集为x≥-1.
(2)解不等式②,去分母,得x+2(2x-1)<4,去括号,得x+4x-2<4,移
项、合并同类项,得5x<6,系数化为1,得x<1.2.
(3)不等式组的解集为-1≤x<1.2,故不等式组的非负整数解为
0,1.
　一元一次不等式组的应用
7.(2025贵州铜仁期中改编)某中学计划采购A,B两种型号的黑
板共60块,经洽谈,一块A型黑板需要100元,一块B型黑板需要
80元.根据实际需求,B型黑板的数量不能多于A型黑板数量的
2倍,且学校此次划拨采购黑板的总费用为5 240元.学校应该
采购A,B两种型号黑板各多少块 设采购A型黑板x块,根据题
意可以列不等式组为______________________.
解析　∵采购A型黑板x块,计划采购A,B两种型号的黑板共60
块,∴采购B型黑板(60-x)块,∵B型黑板的数量不能多于A型黑
板数量的2倍,∴60-x≤2x,∵学校此次划拨采购黑板的总费用
为5 240元,∴100x+80(60-x)≤5 240,∴可以列不等式组为


8.【跨化学·pH】(2025安徽芜湖模拟,★★☆)检测游泳池的
水质,要求三次检验的pH的平均值不小于7.2,且不大于7.8.已
知第一次pH检测值为7.4,第二次pH检测值在7.0到7.9之间(包
含7.0和7.9),若该游泳池检测合格,则第三次pH检测值x的范围
是 ( )
A.7.2≤x≤8.1　　　 B.7.1≤x≤8.0
C.7.2≤x≤8.0　　　 D.7.1≤x≤8.1
A
解析　∵第一次pH检测值为7.4,第二次pH检测值在7.0到7.9
之间(包含7.0和7.9),三次检验的pH的平均值不小于7.2,且不
大于7.8,∴ 解得7.2≤x≤8.1.故选A.
9.【学科特色·教材变式】(2025安徽宣城一中期中,★★☆)若
关于x的不等式组 的解集为-2__________.
12
解析
解不等式①,得x< ,解不等式②,得x> ,
∵不等式组的解集为-2∴ =1, =-2,∴ · =-2,
∴(2-a)(b+1)=-12,∴(a-2)(b+1)=12.
故答案为12.
10.(2025陕西咸阳渭城期中,★★☆)数学课上,王老师在黑板
上写了三个不等式:①2(x-5)≤ ;②6-(2x+3)>7;③x-3≤ .
(1)请你在其中任意选择两个不等式,组成一个不等式组,并求
解.
(2)佳佳选择了老师写的不等式③,然后和自己写的关于x的不
等式2x<3(x-a),组成不等式组,她解得这个不等式组有3个整数
解,请你求出a的取值范围.
解析 (1)答案不唯一.如选择不等式①②组成不等式组,

解不等式①,得x≤7,解不等式②,得x<-2,
∴该不等式组的解集为x<-2.
(2)佳佳组成的不等式组为
解不等式①,得x≤6,解不等式②,得x>3a,
∴该不等式组的解集为3a∵该不等式组有3个整数解,∴整数解为4,5,6,
∴3≤3a<4,解得1≤a< .
∴a的取值范围是1≤a< .
11.(2024四川泸州中考,★★★)某商场购进A,B两种商品,已知
购进3件A商品的费用比购进4件B商品的费用多60元,购进5
件A商品和2件B商品的总费用为620元.
(1)求A,B两种商品每件的进价.
(2)该商场计划购进A,B两种商品共60件,且购进B商品的件数
不少于A商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售,B商品按
每件80元销售,为满足销售完A,B两种商品后获得的总利润不
低于1 770元,则购进A商品的件数最多为多少
解析 (1)设A商品的进价是x元/件,B商品的进价是y元/件,根
据题意得 解得
答:A商品的进价是100元/件,B商品的进价是60元/件.
(2)设购进m件A商品,则购进(60-m)件B商品,
∴
解得19≤m≤20,∴m的最大值为20.
答:购进A商品的件数最多为20.
思路归纳　列不等式组解决实际问题,首先从问题中找出两
个或多个不等关系,设出适当的未知数,列出不等式组,然后求
不等式组的解集,最后确定解集中符合实际的解(如整数解
等).

12.【新课标·运算能力】(2025广东茂名电白期中)先阅读理
解下列例题,再解答后面的小题.
例题:解不等式:(3x-1)(2x+3)>0.
由实数的乘法法则“两数相乘,同号得正,异号得负”得
① 或②
解不等式组①,得x> .解不等式组②,得x<- .
所以不等式(3x-1)(2x+3)>0的解集是x> 或x<- .
(1)求不等式(x+7)(3-2x)<0的解集.
(2)求不等式 >0的解集.
解析 (1)(x+7)(3-2x)<0,
由实数的乘法法则“两数相乘,同号得正,异号得负”得
① 或②
解不等式组①,得x> ,解不等式组②,得x<-7,
∴不等式(x+7)(3-2x)<0的解集是x> 或x<-7.
(2) >0,
由实数的除法法则“两数相除,同号得正,异号得负”得
① 或②
解不等式组①,得- ∴不等式 >0的解集是- 本课件需用office2010及以上版本打开，如果您的电脑是office2007及以下版本，可能会出现不可编辑的文档，建议您安装WPS或office2010及以上版本。
课件使用说明
第二章　不等式与不等式组
第2 课时　一元一次不等式与一次函数的综合应用
3　一元一次不等式与一次函数
　一元一次不等式与一次函数的综合应用
1.(2025广西来宾兴宾一模)全世界大部分国家都采用摄氏温
度预报天气,美国等个别国家采用华氏温度.小明同学通过查
阅资料,得到了相关数据,如下表:
摄氏温度x/℃ 0 10 20 30 40 50
华氏温度y/℉ 32 50 68 86 104 122
小军看到小明表格中的数据后,认为相应的y值一直大于x值,
小明不认同这个观点,并运用所学数学知识计算得出,当x的取
值范围是_____________时,y值小于x值.
x<-40
解析　设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),将(0,32),(10,
50)代入,得 解得 ∴y与x之间的函数关系式
为y=1.8x+32(经验证其他数据也符合),当y得x<-40,∴当x<-40时,y值小于x值.故答案为x<-40.
2.(2024内蒙古包头中考)如图所示的是1个碗和4个整齐叠放
成一摞的碗的示意图,碗的规格都是相同的.小亮尝试结合学
习函数的经验,探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高
度y(单位:cm)随着碗的数量x(单位:个)的变化规律.下表是小
亮经过测量得到的y与x之间的对应数据:
x/个 1 2 3 4
y/cm 6 8.4 10.8 13.2
(1)依据小亮测量的数据,求出y与x之间的函数表达式.
(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过
28.8 cm,则此时碗的数量最多为多少个

解析 (1)由题表数据可知,y与x满足一次函数关系,设y与x之
间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),将(1,6),(2,8.4)代入,得
解得
∴y与x之间的函数表达式为y=2.4x+3.6(经验证其他数据也符
合).
(2)由题意得2.4x+3.6≤28.8,解得x≤10.5,
∴x的最大整数值为10,∴碗的数量最多为10个.
3.【新课标·中华优秀传统文化】(2025陕西西安铁一中学模
拟)围棋起源于中国,古代称为“弈”,是棋类鼻祖,围棋距今
已有四千多年的历史.中国象棋也是中华民族的文化瑰宝,它
源远流长,趣味浓厚,基本规则简明易懂.国家“双减”政策实
施后,某校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋,每
副中国象棋的价格是40元,每副围棋的价格是50元,学校决定
购买40副围棋和m(m≥20)副中国象棋.在购买时,恰逢商场推
出了优惠活动,方案如下:
方案一:购买围棋超过20副时,超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋.
方案二:按购买总金额的八折付款.
(1)分别求按照方案一、方案二购买的总费用y1(元),y2(元)关
于m的函数关系式.
(2)若学校选择方案二购买更合算,求m的取值范围.
解析 (1)根据题意得y1=50×40+40(m-20)=2 000+40m-800=
40m+1 200,∴y1=40m+1 200.
y2=(40m+40×50)×0.8=32m+1 600.
(2)∵选择方案二购买更合算,∴y1>y2,
∴40m+1 200>32m+1 600,解得m>50.
∴m的取值范围为m>50.

4.【学科特色·教材变式】(2025上海对外经贸附校月考,★★
☆)某公司打算与出租车公司签订租车合同.每月行驶x千米
时,甲出租车公司的租车费用是y1元,乙出租车公司的租车费
用是y2元,y1,y2与x之间的函数关系如图所示,那么下列说法错
误的是 ( )
D
A.x=1 500时,两家公司的租车费用相同
B.x=750时,甲公司的租车费用为150元
C.x>1 500时,甲公司的费用比乙公司低
D.x=3 000时,两公司的租车费用相差150元
解析 A.由题图可知,每月行驶1 500千米时,两家公司的租车
费用相同,故该选项说法正确;
B.设y1关于x的函数关系式为y1=kx+b(k≠0),由题意得
解得 ∴y1关于x的函数关系式为y1= x
+100,∴当x=750时,甲公司的租车费用为y1= ×750+100=150
(元),∴每月行驶750千米时,甲公司的租车费用为150元,故该
选项说法正确;
C.由题图可知,当x>1 500时,函数y1的图象在函数y2图象的下
方,则当x>1 500时,甲公司的租车费用比乙公司的低,故该选项
说法正确;
D.设y2关于x的函数关系式为y2=k'x(k'≠0),将(1 500,200)代入,
得1 500k'=200,解得k'= ,∴y2关于x的函数关系式为y2= x,当
x=3 000时,y1= ×3 000+100=300,y2= ×3 000=400,400-300=
100(元),∴当x=3 000时,乙公司的租车费用比甲公司多100元,
故该选项说法错误.故选D.
5.(2025陕西渭南蒲城期中,★★☆)坚定理想信念,传承红色文
化,红色教育有利于传播先进文化、提高人们的思想道德素
质.某校组织学生外出参加红色研学活动,旅行社报价每人收
费400元,当研学人数超过100时,旅行社给出两种优惠方案:
方案一:研学团队先交2 000元后,每人收费300元;
方案二:4人免费,其余人收费打8折.
方案一和方案二的总费用分别为y1,y2(单位:元).
(1)当参加研学活动的总人数是x(x>100)时,请分别写出y1,y2与
x之间的函数关系式.
(2)当参加研学活动的总人数是多少时,采用方案一省钱
解析 (1)方案一:∵研学团队先交2 000元后,每人收费300元,
∴y1=2 000+300x(x>100).
方案二:∵4人免费,其余人收费打8折,
∴y2=400×80%(x-4)=320x-1 280(x>100).
(2)令y13 280.∴x>164.
∴当参加研学活动的总人数大于164时,采用方案一省钱.

6.【新课标·应用意识】(2025江苏南通如皋期中)甲、乙两家
商场平时都以同样价格出售相同的商品.“五一”期间两家
商场都让利酬宾,其中甲商场所有商品直接打8折销售,乙商场
购买商品后实付金额y(单位:元)与商品的原价x(单位:元)之间
的函数关系如图所示.
(1)当x≥300时,求y关于x的函数关系式.
(2)欢欢计划“五一”期间购买原价为320元的商品,去哪家商
场购买更合算
(3)乐乐“五一”期间要在甲、乙两家商场中的某一家购物,
如何选择更省钱

解析 (1)当x≥300时,设y关于x的函数关系式为y=kx+b(k,b为
常数,且k≠0),将(300,300)和(500,440)分别代入y=kx+b(k≠0),
得 解得
∴当x≥300时,y关于x的函数关系式为y=0.7x+90.
(2)购买原价为320元的商品,去甲商场购买实付款为320×0.8=
256(元),当x=320时,y=0.7×320+90=314,
∴去乙商场购买实付款为314元,
∵256<314,∴去甲商场购买更合算.
(3)当0≤x≤300时,设y关于x的函数关系式为y=k1x(k1为常数,
且k1≠0),将(300,300)代入y=k1x,得300=300k1,解得k1=1,
∴当0≤x≤300时,y关于x的函数关系式为y=x,
根据题意易知,在甲商场购买商品后实付金额y甲(单位:元)与
商品的原价x(单位:元)之间的函数关系式为y甲=0.8x.
由题意易知当0300
时,由y=y甲,得0.7x+90=0.8x,解得x=900,故购买原价为900元的
商品,在两家商场购物实付款一样多,任选一家即可,
由y>y甲,得0.7x+90>0.8x,解得x<900,故当300甲商场购物更省钱,
由y900,故当x>900时,选择在乙商
场购物更省钱.
综上,当购买金额低于900元时,选择在甲商场购物更省钱;当
购买金额为900元时,在两家商场购物实付款一样多,任选一家
即可;当购买金额高于900元时,选择在乙商场购物更省钱.(共33张PPT)
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第二章　不等式与不等式组
第3课时　不等式的基本性质
1　不等式及其基本性质

　不等式的基本性质
1.(2024上海中考)如果x>y,那么下列式子正确的是 ( )
A.x+5≤y+5　　　 B.x-5C.5x>5y　　　 D.-5x>-5y
C
解析 x>y,两边同时加上5,得x+5>y+5,故选项A不正确;两边
同时减去5,得x-5>y-5,故选项B不正确;两边同时乘5,得5x>5y,
故选项C正确;两边同时乘-5,得-5x<-5y,故选项D不正确.故
选C.
2.(2025湖南益阳沅江期末)下列不等式变形正确的是( )
A.若aB.若aC.若ac>bc,则a>b
D.若m>n,则m-1
A
解析　若abc,当c<0时,a
n,则m-1>n-1,故选项D不正确.故选A.
3.(2025福建漳州龙海期中)若x(m-3)y,则m的值可
能是 ( )
A.5　　　 B.4
C.3　　　 D.2
D
解析　由x(m-3)y,得m-3<0,故m的值可能为2.故选
D.
4.(2024吉林长春中考)不等关系在生活中广泛存在.如图,a,b
分别表示两位同学的身高,c表示台阶的高度.图中两人的对话
体现的数学原理是 ( )
A.若a>b,则a+c>b+c
A
B.若a>b,b>c,则a>c
C.若a>b,c>0,则ac>bc
D.若a>b,c>0,则 >
解析　由题意得a>b,a+c>b+c,∴题图中两人的对话体现的数
学原理是若a>b,则a+c>b+c.故选A.
5.(2025江苏苏州期末)对于有理数m,n,若m<-2,n-2.(填“>”“<”或“=”)解析　已知m<-2,n案为<.
　<
6.【学科特色·教材变式】运用不等式的基本性质比较下列式
子的大小.
(1)2a-3与2a+1.　　 (2)3a与-a.
解析 (1)∵-3<1,∴2a-3<2a+1.
(2)∵3>-1,∴当a>0时,3a>-a;
当a=0时,3a=-a;当a<0时,3a<-a.
方法技巧　借助不等式的基本性质比较大小,在已知不等式
的两边同乘一个不确定的数时,应分三种情况讨论求解.
　根据不等式的基本性质解不等式
7.(2025河南南阳方城期中)不等式x+3≤2的解集在数轴上表
示为 ( )
　　　
　　　
D
解析　根据不等式的基本性质1,两边都减3,得x≤2-3,即x≤-1,
解集在数轴上的表示如图.故选D.

8.(2025山西运城垣曲期中)写出不等式2x+1<8的所有非负整
数解:_______________.
0,1,2,3
解析　根据不等式的基本性质1,两边都减1,得2x<7,根据不等
式的基本性质2,两边都除以2,得x<3.5,∴不等式2x+1<8的非
负整数解为0,1,2,3.故答案为0,1,2,3.
9.利用不等式的基本性质求下列不等式的解集,并将解集在数
轴上表示出来.
(1)x+ < .　　　 (2)6x-4≥2.
(3)- x≥- .　　 (4)-3x+8>2-x.
解析 (1)根据不等式的基本性质1,两边都减去 ,得x< ,将解
集在数轴上表示出来,如图所示.
(2)根据不等式的基本性质1,两边都加4,得6x≥6,根据不等式
的基本性质2,两边都除以6,得x≥1,将解集在数轴上表示出来,
如图所示.
(3)根据不等式的基本性质3,两边都乘-2,得x≤ ,将解集在数
轴上表示出来,如图所示.
(4)根据不等式的基本性质1,两边都减8,加上x,得-2x>-6,根据
不等式的基本性质3,两边都除以-2,得x<3,将解集在数轴上表
示出来,如图所示.

10.(2025山西临汾翼城期中,★★☆)下面是两位同学在讨论
一个不等式.
根据上面对话提供的信息,他们讨论的不等式可能是( )
A.3x≤-9　　　 B.3x≤9
C.-3x≥-9　　　 D.-3x>-9
C
解析　由题意得不等式中未知数的系数是负数,讨论的不等
式的解集为x≤3.各选项中,不等式-3x≥-9符合他们的讨论.故
选C.
11.(2024江苏南京中考,★★☆)某商场促销方案规定:单笔消
费金额每满100元立减10元.例如,单笔消费金额为208元时,立
减20元.甲在该商场一次性购买2件A商品,立减了20元;乙在该
商场一次性购买2件A商品与1件B商品,立减了30元.若B商品
的单价是整数元,则它的最小值是 ( )
A.1元　　 B.99元　　 C.101元　　 D.199元
A
解析　设A商品的单价为x元,B商品的单价为y元,∵甲在该商
场一次性购买2件A商品,立减了20元,每满100元立减10元,
∴2件A商品的原价满足200≤2x<300,
∵乙在该商场一次性购买2件A商品与1件B商品,立减了30元,
∴2件A商品与1件B商品的原价满足300≤2x+y<400,∴299≤
2x<300时,B商品的单价(整数元)最小,为1元.故选A.
12.【新考向·代数推理】(2024安徽中考,★★★)已知实数a,b
满足a-b+1=0,0A.- C.-2<2a+4b<1　　　 D.-1<4a+2b<0
C
解析　∵a-b+1=0,∴a=b-1,
∵0∴0∵a-b+1=0,∴b=a+1,
∵0∴-1∵-1∴-2<2a<-1,0<4b<2,-4<4a<-2,0<2b<1,
∴-2<2a+4b<1,选项C正确,符合题意;
-4<4a+2b<-1,选项D错误,不符合题意.故选C.
13.(2025陕西西安长安月考,★★☆)
(1)根据等式和不等式的性质,我们可以得到比较两数大小的
方法:
①如果a-b<0,那么a_______b.
②如果a-b=0,那么a_______b.
③如果a-b>0,那么a_______b.
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”.
(2)请运用上述方法尝试解决下面的问题:
①比较4+3a2-2b+b2与3a2-2b+1的大小.
②若2a+2b-1>3a+b,比较a,b的大小.
解析 (1)①如果a-b<0,那么a-b+b<0+b,则a②如果a-b=0,那么a-b+b=0+b,则a=b.
③如果a-b>0,那么a-b+b>0+b,则a>b.
(2)①∵4+3a2-2b+b2-(3a2-2b+1)=b2+3>0,
∴4+3a2-2b+b2>3a2-2b+1.
②∵2a+2b-1>3a+b,∴2a+2b-1-3a-b>0,即-a+b-1>0,∴b-a>1>0,
∴a
14.【新课标·运算能力】(2025河南南阳镇平期中)【问题背
景】
小明在学习完不等式的基本性质之后,思考“如何利用不等
式的基本性质1和2来说明不等式的基本性质3呢 ”在老师的
启发下,小明首先把问题转化为以下形式:
①已知a>b,c<0,试说明ac②已知a>b,c<0,试说明 < .
【问题探究】
(1)针对①,小明给出如下证明过程,请认真阅读,并补全依据:
证明:∵c<0,即c是一个负数,
∴c的相反数是正数,即-c>0.
∵a>b,∴a·(-c)>b·(-c)(依据:_________).
不等式的两边同时加(ac+bc),可得-ac+(ac+bc)>-bc+(ac+bc)
(依据:_________).
合并同类项,可得bc>ac,即ac(2)参考(1)的方法,完成②的证明.
解析 (1)不等式的基本性质2;不等式的基本性质1.
(2)证明:∵c<0,即c是一个负数,∴c的相反数是正数,即-c>0.
∵a>b,∴ > ,不等式的两边同时加 ,可得- + >
- + ,整理可得 > ,即 < .(共19张PPT)
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第二章　不等式与不等式组
第2 课时　不等式的解、解集及其表示
1　不等式及其基本性质
　不等式的解和解集
1.(2025上海闵行期中)已知某个不等式的解集是x<-2,下列说
法正确的是 ( )
A.0是这个不等式的解
B.-3不是这个不等式的解
C.小于-3的数都是这个不等式的解
D.小于-1的数都是这个不等式的解
C
解析　不等式的解集是x<-2,则0不是这个不等式的解,-3是这
个不等式的解,小于-3的数都是这个不等式的解,小于-1的数
不一定是这个不等式的解,如-1.5不是这个不等式的解.故选C.
2.(2025安徽安庆怀宁期中)下列说法中,正确的是 ( )
A.x=1是不等式-2x<1的解集
B.x=1是不等式-2x<1的解
C.x=- 是不等式-2x<1的解
D.不等式-2x<1的解是x=1
B
解析 x=1是不等式-2x<1的一个解,而不是解集,故选项A说
法错误,选项B说法正确.当x=- 时,-2x=-2× =1,所以x=-
不是不等式-2x<1的解,故选项C说法错误.不等式-2x<1的解有
无数个,其中一个解是x=1,故选项D说法错误.故选B.
3.(2025山东淄博沂源期末)在-2,-1,0,1,2这五个数中,是不等式
2x+3>0的解的共有_________个.
4
解析　当x=-2时,2x+3=2×(-2)+3=-1<0,故-2不是不等式2x+3>0
的解.
当x=-1时,2x+3=2×(-1)+3=1>0,故-1是不等式2x+3>0的解.
当x=0时,2x+3=3>0,故0是不等式2x+3>0的解.
当x=1时,2x+3=2×1+3=5>0,故1是不等式2x+3>0的解.
当x=2时,2x+3=2×2+3=7>0,故2是不等式2x+3>0的解.
综上,在-2,-1,0,1,2这五个数中,是不等式2x+3>0的解的有-1,0,
1,2,共4个.故答案为4.
　不等式解集的表示
4.(2024贵州中考)不等式x<1的解集在数轴上表示正确的是
( )
　　 　　 　　
C
解析　不等式x<1的解集在数轴上表示为 .
故选C.
5.【学科特色·教材变式】将下列不等式的解集分别表示在数
轴上.
(1)x≥3.　　　 (2)x< .
解析 (1)x≥3的解集如图所示:

(2)x< 的解集如图所示:

方法归纳　用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”:一
是定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可.定界点时要
注意点是实心还是空心,若界点含于解集则为实心点,不含于
解集则为空心点;二是定方向,定方向的原则是“小于向左,大
于向右”.

6.(2025福建漳州南靖期中,★★☆)不等式x -2的解集在数
轴上的表示如图所示,则 盖住的符号是 ( )
A.>　　 B.<　　 C.≥　　 D.≤
B
解析　由数轴得该不等式的解集为x<-2,所以 盖住的符号是
<.故选B.
7.(2025安徽淮南九中期末,★★☆)定义:给定两个不等式P和
Q,若不等式P的任意一个解,都是不等式Q的一个解,则称不等
式P为不等式Q的“子集”.例如,不等式P:x>4是Q:x>2的子集.
请写出不等式x<-2的一个子集:____________________.
x<-3(答案不唯一)　
解析　∵x<-3的任意一个解都是不等式x<-2的一个解,∴不等
式x<-2的一个子集为x<-3(答案不唯一).
8.(2025陕西西安一中期中,★★☆)如图,这是某个表示在数轴
(不完整)上的关于x的不等式的解集.若x=m+6是该不等式的
一个解,则m的值可以是_______________.(写出一个即
可)

　-4(答案不唯一)　
解析　由数轴可得x>1,因为x=m+6是该不等式的一个解,所以
m+6>1,所以m可以是-4.(答案不唯一)
9.(★★☆)请写出满足下列条件的一个不等式.
(1)0是这个不等式的一个解.
(2)-2,-1,0,1都是不等式的解.
(3)0不是这个不等式的解.
解析 (1)0是这个不等式的一个解,则不等式可以为x<1(答案
不唯一).
(2)-2,-1,0,1都是不等式的解,则不等式可以为x<2(答案不唯
一).
(3)0不是这个不等式的解,则不等式可以为x<0(答案不唯一).(共15张PPT)
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第二章　不等式与不等式组
第1 课时　不等式的定义
1　不等式及其基本性质
　不等式的概念
1.【学科特色·易错题】(2025广东揭阳惠来期中)下列各式中,
是不等式的有 ( )
①2x+1=2;②4x≠1;③-1<1;④7+3x>3+7x;⑤1-x;⑥2x<3.
A.2个　　 B.3个　　 C.4个　　 D.5个
C
解析　①2x+1=2是等式,⑤1-x是代数式.根据不等式的定义可
知②4x≠1,③-1<1,④7+3x>3+7x,⑥2x<3是不等式,共4个.故选
C.
易错警示　由不等号“>,≥,<,≤”连接的式子即为不等式.
用符号“≠”连接的式子也是不等式.
2.符号“≥”的含义是“大于或等于”,即“不小于”;符号
“≤”的含义是“小于或等于”,即“不大于”.请用文字语
言翻译下列不等式:
(1)x2≥0.　　　 (2)-|x|≤0.
解析 (1)x的平方不小于0.
(2)x的绝对值的相反数不大于0.
　列不等式
3.【学科特色·教材变式】(2025山西运城平陆期中)小华乘坐
电梯时,留意到电梯内的限重标志(如图),上面标注着“限载
1 000 kg”,若电梯内所有乘客与所携带物品的总质量为m kg,
则下列选项中对该标志解释准确的是 ( )
A.m<1 000　　　 B.m≤1 000
C.m>1 000　　　 D.m≥1 000
B
解析　若电梯内所有乘客与所携带物品的
总质量为m kg,则m≤1 000.故选B.
4.(2025福建泉州德化期中)用不等式表示.
(1)x的2倍大于或等于1.
(2)x与4的和不大于8.
(3)x与6的差不小于7.
(4)a与b的 的差是非负数.
解析 (1)2x≥1.
(2)x+4≤8.
(3)x-6≥7.
(4)a- b≥0.

5.(2025浙江金华模拟,★★☆)在浙江金华地区,清明期间人们
有做清明粿的习俗,青绿色的粿皮代表着自然的生机,暗含对
生命轮回的敬畏.在将糯米做成清明粿的过程中,由于水分增
加等原因,会使得质量增加10%,现有糯米x kg,若做成的清明
粿质量超过20 kg,则可列不等式为 ( )
A.x+10%x<20　　　 B.x+10%x≤20
C.(1+10%)x>20　　　 D.(1+10%)x≥20
C
解析　由题意知x kg糯米做成清明粿的质量为(1+10%)x kg,
则(1+10%)x>20.故选C.
6.(2025江西南昌月考,★★☆)为贯彻执行“德、智、体、
美、劳”五育并举的教育方针,某中学组织全体师生共255人
前往某劳动实践基地开展劳动实践活动.现有甲、乙两种型
号的客车,它们的载客量和租金如下表所示.
甲型客车 乙型客车
载客量/(人/辆) 35 30
租金/(元/辆) 400 320
设租用甲种型号客车m辆.
(1)若租用这两种型号的客车共8辆,试写出m满足的不等式.
(2)在(1)的条件下,如果还要求此次劳动实践活动的租车总费
用不超过3 000元,那么你能写出m满足的另一个不等式吗
解析 (1)∵租用这两种型号的客车共8辆,租用甲种型号客车
m辆,∴租用乙种型号客车(8-m)辆,
∴m满足的不等式为35m+30(8-m)≥255.
(2)根据题意得400m+320(8-m)≤3 000.(共27张PPT)
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第二章　不等式与不等式组
第2 课时　一元一次不等式的应用
2　一元一次不等式
　一元一次不等式的应用
1.(2025重庆南开中学期中)小乐和妈妈去公园游玩,小乐身高
1.4米,妈妈身高1.6米.小乐登上一处有10级台阶的观景台(每
级台阶的高度为a米),开心地说:“妈妈,现在两个你的身高加
起来都没我高啦!”由此可得关于a的不等式是 ( )
A.1.4+10a>1.6×2　　　 B.1.4+10+a>1.6×2
C.10a>1.6×2　　　 D.1.6×2>1.4+10a
A
解析　根据题意,小乐的身高+10级台阶的高度>妈妈的身高×
2,即1.4+10a>1.6×2.故选A.
2.【跨体育与健康·篮球】(2025陕西西安理工大学附中期中)
甲、乙两队进行篮球对抗赛,规定每队胜一场得4分,负一场得
2分,双方比赛10场且每一场都赛出胜、负(没有平场),甲队至
少要胜多少场才能使得分数不少于30分 设甲队胜了x场,则
下列不等式正确的为 ( )
A.4x+2(10-x)>30　　　 B.4x-2(10-x)>30
C.4x-2(10-x)≥30　　　 D.4x+2(10-x)≥30
D
解析　因为甲队胜了x场,所以负了(10-x)场,根据胜场得分+负
场得分大于或等于30分列不等式,得4x+2(10-x)≥30.故选D.
3.【新考向·数学文化】(2025江西上饶弋阳模拟)有这样一个
有趣的问题:“有二田,其一比其二广五亩.若以其一之十亩予
其二,则其二之广不逾其一之倍,问初时其一田最小几何 ”其
大意为有两块土地,第一块面积比第二块大5亩,若从第一块中
取10亩给第二块,则第二块面积不超过第一块的2倍,则最初第
一块土地的最小面积为__________亩.
25
解析　设最初第一块土地面积为x亩,则第二块土地面积为
(x-5)亩,根据题意列一元一次不等式,得x-5+10≤2(x-10),整理,
得x+5≤2x-20,解得x≥25,则最初第一块土地的最小面积为25亩.
故答案为25.
4.【学科特色·易错题】(2025山西晋中介休模拟)一部电梯的
额定限载量为1 000千克.工人师傅利用手推车将一批货物搬
运到电梯里,然后从楼底运到楼顶,已知工人师傅的体重为60
千克,手推车的质量为20千克,货物每箱的质量为50千克,则工
人师傅每次最多只能搬运货物__________箱.
18
解析　设工人师傅每次搬运货物x箱,由题意得60+20+50x≤
1 000,解得x≤18.4,∵x为整数,∴x的最大值为18,即工人师傅
每次最多只能搬运货物18箱.
易错警示　本题易出现的错误是不能正确理解题意,给出错
误答案18.4.实际上,箱子的数目为整数,而不能是小数.
5.(2025陕西渭南蒲城期中)土布,又叫老粗布,是几千年来中国
劳动人民世代延用的一种传统工艺的手工织布,具有绿色环
保无污染的特点.某土布品牌店土布的进价为15元/平方米,以
18元/平方米的价格出售,品牌店打算在“五一”期间让利于
顾客,计划以利润率不低于8%的价格降价出售,则每平方米土
布最多可降价多少元
解析　设每平方米土布降价x元,根据题意得18-15-x≥15×8%,
解得x≤1.8.
答:每平方米土布最多可降价1.8元.
6.(2024山西中考)为加强校园消防安全,学校计划购买某种型
号的水基灭火器和干粉灭火器共50个.其中水基灭火器的单
价为540元,干粉灭火器的单价为380元.若学校购买这两种灭
火器的总价不超过21 000元,则最多可购买这种型号的水基灭
火器多少个
解析　设购买这种型号的水基灭火器x个,则购买干粉灭火器
(50-x)个,
根据题意得540x+380(50-x)≤21 000,
解得x≤12.5,∵x为整数,∴x的最大值为12.
答:最多可购买这种型号的水基灭火器12个.

7.(2025安徽合肥一六八中学期中,★★☆)某商场促销,小鱼将
促销信息告诉了妈妈,小鱼妈妈假设某一商品的原价为x元,并
列出不等式0.8×(2x-100)<900,那么小鱼告诉妈妈的信息是
( )
A.买两件等值的商品可减100元,再打两折,最后不到900元
B.买两件等值的商品可打两折,再减100元,最后不到900元
C.买两件等值的商品可减100元,再打八折,最后不到900元
D.买两件等值的商品可打八折,再减100元,最后不到900元
C
解析　小鱼妈妈假设某一商品的原价为x元,并列出不等式
0.8×(2x-100)<900,由2x-100可得两件商品减100元,由0.8×
(2x-100)可得买两件减100元后再打8折,故小鱼告诉妈妈的
信息是买两件等值的商品可减100元,再打八折,最后不到
900元.故选C.
8.(2025安徽合肥包河期中,★★☆)某银行办理业务,按顾客
“先到达,先服务”的方式服务,一个窗口每3分钟服务一位顾
客,窗口开始工作时,已有8位顾客正在等待,窗口工作1分钟后,
又有1位新顾客到达,且预计以后每5分钟都有一位新顾客到
达,发现到第m位新顾客时不用排队等候,则m的值可以为
( )
A.13　　　 B.12
C.11　　　 D.10
A
解析　根据题意得3(8+m-1)≤5(m-1)+1,
解得m≥ ,∵m为正整数,∴m的最小值为13,∴第13位新顾客
不用排队等候.故选A.
9.(2025北京大学附中期中,★★☆)有人问一位教师所教班级
有多少人,教师说:“一半学生在学数学,四分之一学生在学音
乐,七分之一学生在读外语,还剩下不足六位学生在操场踢足
球.”这个班有__________名学生.
28
解析　设这个班有x人,由题意得x- x- x- x<6,整理,得 x<6,
解得x<56,∵一半学生在学数学,四分之一的学生在学音乐,七
分之一的学生在读外语,∴该班学生数一定是2,4,7的公倍数,
∴x=28,∴这个班有28名学生.
10.(2025内蒙古中考,★★☆)智能机器人的广泛应用是智慧
农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人的机械手能自
动对成熟的苹果进行采摘,一个机器人可以搭载多个机械手
同时工作.在正常工作状态下,该机器人的每一个机械手平均a
秒采摘一个成熟的苹果,它的一个机械手用800秒采摘苹果的
个数比用600秒采摘苹果的个数多25.
(1)求a的值.
(2)现需要一定数量的苹果发往外地,采摘工作由多个机器人
共同完成.每个机器人搭载4个相同的机械手,那么至少需要多
少个这样的机器人同时工作1小时,才能使采摘的苹果个数不
少于10 000
解析 (1)根据题意得25a=800-600,解得a=8.
答:a的值为8.
(2)设需要x个这样的机器人,
根据题意得 ×4x≥10 000,解得x≥ ,
∵x为正整数,∴x的最小值为6.
答:至少需要6个这样的机器人同时工作1小时,才能使采摘的
苹果个数不少于10 000.

11.【新课标·应用意识】(2025河南周口沈丘期中)某电器商
城销售智能型与节能型两种型号的空调,价格如下表:
型号 进价 售价
智能型 1 600元/台 2 000元/台
节能型 1 200元/台 1 700元/台
(1)若商城用不多于13万元的资金购进这两种型号的空调共
100台,则智能型空调最多能购进多少台
(2)商城销售完这100台空调能否实现利润超过5万元的目标
若能,请给出购买方案;若不能,请说明理由.
解析 (1)设购进x台智能型空调,则购进(100-x)台节能型空调,
根据题意得1 600x+1 200(100-x)≤130 000,解得x≤25,∴x的
最大值为25.
答:智能型空调最多能购进25台.
(2)商城销售完这100台空调不能实现利润超过5万元的目标,
理由如下:
假设商城销售完这100台空调能实现利润超过5万元的目标,
设购进y台智能型空调,则购进(100-y)台节能型空调,根据题意
得(2 000-1 600)y+(1 700-1 200)(100-y)>50 000,解得y<0,∵y需
为非负整数,∴y<0不符合题意,∴假设不成立,即商城销售完
这100台空调不能实现利润超过5万元的目标.(共33张PPT)
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第二章　不等式与不等式组
第1 课时　一元一次不等式及其解法
2　一元一次不等式
　一元一次不等式的概念
1.(2025上海嘉定练川实验学校期中)下列各式中,是一元一次
不等式的是 ( )
A.2x-1　　　 B.2y=8
C. x-7>0　　　 D. - <0
C
解析 2x-1是代数式,2y=8是等式, x-7>0符合一元一次不等
式的定义. - <0中, ,- 的分母中含有未知数,不是一元一次
不等式.故选C.
归纳总结　一元一次不等式满足三个条件:(1)不等式的两边
都是整式;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的次数是1.
2.(2024青海中考)请你写出一个解集为x> 的一元一次不等
式:______________________.
2x>2 (答案不唯一)　　
解析　根据不等式的基本性质2,在x> 的两边同乘2,可得到
一元一次不等式2x>2 .(答案不唯一)
3.(2025河南周口沈丘期中)若(a-1)x+3>5是关于x的一元一次
不等式,则a满足的条件是_______________.
a≠1　　　　
解析　由题意得a-1≠0,解得a≠1.
　一元一次不等式的解法
4.(2025福建中考)不等式 x+1≤2的解集在数轴上表示正确
的是 ( )
　　　
　　　
C
解析　移项、合并同类项,得 x≤1,系数化为1,得x≤2,解集
在数轴上的表示如图所示: .故选C.
5.不等式12-4x≥0的正整数解有 ( )
A.1个　　　 B.2个
C.3个　　　 D.4个
C
解析　解不等式12-4x≥0得x≤3,
则不等式12-4x≥0的正整数解有3,2,1,共3个.故选C.
6.(2025山西临汾曲沃期中)解一元一次不等式 -1≤ 时,
去分母正确的是 ( )
A.2(2x-1)-10≤5x　　　 B.2(2x-1)-1≤5x
C.2x-1-10≤5x　　　 D.2x-1-1≤5x
A
解析　不等式两边同乘10,得2(2x-1)-10≤5x.故选A.
7.(2025河北邯郸临漳期中)一元一次不等式 > 的最
大整数解为_______.
　-1
解析　去分母,得3(x+1)>2(3x+2),
去括号,得3x+3>6x+4,
移项,得3x-6x>4-3,合并同类项得-3x>1,
系数化为1,得x<- ,∴一元一次不等式 > 的最大整数
解为-1.
方法总结　求不等式整数解的基本思路是先解不等式,确定
不等式的解集,再根据解集确定相应的整数解.
8.(2025河南驻马店上蔡期中)解下列不等式,并把解集在数轴
上表示出来.
(1)2(5x+3)≤x-3(1-2x).
(2) - <-1.
解析 (1)去括号,得10x+6≤x-3+6x,
移项,得10x-x-6x≤-3-6,
合并同类项,得3x≤-9,
系数化为1,得x≤-3,
其解集在数轴上的表示如图所示:
(2)去分母,得3(x-1)-2(2x+3)<-6,
去括号,得3x-3-4x-6<-6,
移项,得3x-4x<-6+6+3,
合并同类项,得-x<3,系数化为1,得x>-3,
其解集在数轴上的表示如图所示:

归纳总结　解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母;(2)去括
号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.
9.【学科特色·教材变式】(2025山西临汾曲沃期中)下面是小王同学解不等式 -1≥ 的过程,请认真阅读并回答问题.
解:3(2x+3)-9≥5x-2. 第①步
6x+3-9≥5x-2. 第②步
6x-5x≥-2-3+9. 第③步
x≥4. 第④步
(1)第①步的依据是____.
(2)第_______步开始出现错误,这一步错误的原因是____.
(3)请直接写出该不等式的解集.
解析 (1)第①步的依据是不等式的基本性质2.
(2)第②步开始出现错误,这一步错误的原因是去括号时括号
内的数字3没有乘括号外的数字3.
(3)该不等式的解集为x≥-2.
详解:去分母,得3(2x+3)-9≥5x-2.
去括号,得6x+9-9≥5x-2.
移项,得6x-5x≥-2-9+9.
合并同类项,得x≥-2.

10.(2025贵州毕节织金思源教育集团期中,★★☆)已知(m+4)x|m|-3+
6>0是关于x的一元一次不等式,则m的值为 ( )
A.-4　　 B.4　　 C.±4　　 D.6
B
解析　∵(m+4)x|m|-3+6>0是关于x的一元一次不等式,∴m+4≠0
且|m|-3=1,∴m=4.故选B.
11.(2024山东烟台中考,★★☆)关于x的不等式m- ≤1-x有正
数解,m的值可以是________________(写出一个即可).
0(答案不唯一)
解析　原不等式整理得 x≤1-m,解得x≤2-2m,
∵原不等式有正数解,
∴2-2m>0,解得m<1,∴m的值可以是0.
故答案可以为0(答案不唯一).
12.(★★☆)若二元一次方程组 的解满足x满足条件的k的非负整数值为___________.
0,1
解析
①-②,得5x-5y=k-2,
∴x-y= ,
∵x∴k<2,∴满足条件的k的非负整数值为0,1.
13.(2025河南南阳桐柏方树泉中学月考,★★☆)已知a,b为常
数,若ax+b>0的解集为x< ,则bx-a<0的解集是____________.
x<-5
解析　∵ax+b>0,∴ax>-b,∵ax+b>0的解集为x< ,∴a<0,- =
,∴b>0, =-5,
∵bx-a<0,∴bx∴x< =-5.故答案为x<-5.
14.(2025江苏南京科利华中学月考,★★☆)关于x,y的二元一
次方程kx-y=1,当x=3时,y=5.当x>3时,对于每一个x的值,关于x
的不等式x+n n≤2
解析　把x=3,y=5代入kx-y=1,得3k-5=1,解得k=2,∵x>3时,对于
每一个x的值,x+n<2x-1总成立,∴n3恒成立,
∴n≤2.故答案为n≤2.
15.(2025四川自贡富顺月考,★★☆)若 =2x-4,且
>2x-7,求x的取值范围.
解析　∵ =2x-4,∴2x-4≥0,
∴x≥2,∴x-2≥0,∴ =x-2,
∵ >2x-7,∴x-2>2x-7,
解得x<5,∴2≤x<5.
16.(2025上海位育中学月考,★★☆)关于x的方程 +a=
的解是x=1,求关于x的不等式 ax+ ≥ a的解集,并求出
满足条件的最小整数解.
解析　∵关于x的方程 +a= 的解是x=1,∴-1+a= ,
∴a=1,
∴关于x的不等式 ax+ ≥ a化为 x+ ≥ ,
解得x≥ ,∴不等式的最小整数解为1.

17.【新课标·创新意识】(2025安徽合肥厚德中学期中)定义:
若一个方程(组)的解也是一个不等式的解,我们称这个方程
(组)的解是这个不等式的“友好解”.例如:方程x-1=0的解是x
=1,同时x=1也是不等式x+1>0的解,则方程x-1=0的解x=1是不
等式x+1>0的“友好解”.
(1)请判断方程3x-2= x+1的解是不是不等式 >0的“友好
解”.
(2)若关于x,y的方程组 的解是不等式 x-y>7的
“友好解”,求k的取值范围.
(3)当k≤1时,方程3(x-1)=k的解是不等式4x-1≤x+2m的“友好
解”,请直接写出m的最小整数值.
解析 (1)解方程3x-2= x+1,得x= ,解不等式 >0,得x>-3,
∴方程3x-2= x+1的解也是不等式 >0的解,∴方程3x-2= x+1的解是不等式 >0的“友好解”.
(2)将方程组中的两个方程相减,得3x-2y=-k-7,∵ x-y>7,∴3x-
2y>14,∴-k-7>14,∴k<-21.
(3)解方程3(x-1)=k,得x= +1,∵k≤1,∴ ≤ ,∴ +1≤ ,即
x≤ ,由4x-1≤x+2m,得x≤ ,则 ≥ ,解得m≥ ,
∴m的最小整数值为2.

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