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课件使用说明
第三章　图形的平移与旋转
第3课时　沿ｘ轴、ｙ轴方向两次平移的坐标变化
1　图形的平移
　沿x轴、y轴方向两次平移的坐标变化
1.(2025海南琼中期中)将点P(0,-3)向左平移1个单位长度,再向
上平移3个单位长度,所得到的点的坐标为 ( )
A.(-3,0)　　　 B.(-1,6)
C.(-3,-6)　　　 D.(-1,0)
D
解析　将点P(0,-3)向左平移1个单位长度后,所得到的点的坐
标为(-1,-3),再向上平移3个单位长度后,所得到的点的坐标为
(-1,0).故选D.
方法归纳　平移中点的坐标变化规律是横坐标右移加,左移
减;纵坐标上移加,下移减.
2.(2024安徽滁州期中)若将点A先向左平移1个单位长度,再向
上平移4个单位长度,得到点B(-3,2),则点A的坐标为( )
A.(-2,6)　　　 B.(-4,6)
C.(-2,-2)　　 　 D.(-4,-2)
C
解析　将点B向下平移4个单位长度,向右平移1个单位长度得
到点A,∴点A的坐标为(-3+1,2-4),即(-2,-2).故选C.
3.(2025河北沧州期中)如图,在平面直角坐标系中,将四边形
ABCD先向下平移,再向右平移得到四边形A'B'C'D'.若点A,B,
A'的坐标分别为(-3,5),(-4,3),(3,3),则点B'的坐标为 ( )

A.(1,2)　　 B.(2,1)　　 C.(1,4)　　 D.(4,1)
B
解析　由A(-3,5),A'(3,3)可知四边形的平移方式为向下平移2
个单位长度,向右平移6个单位长度,
∵B(-4,3),
∴B'(2,1).故选B.

4.【新考向·平移坐标系】(2025海南陵水模拟,★★☆)点M(-1,
2)保持不动,将平面直角坐标系先向右平移2个单位长度,再
向上平移1个单位长度,在新坐标系中点M的坐标为( )
A.(-3,1)　　　 B.(1,3)
C.(1,-3)　　　 D.(-2,0)
A
解析　将平面直角坐标系先向右平移2个单位长度,再向上平
移1个单位长度,相当于将点M(-1,2)先向左平移2个单位长度,
再向下平移1个单位长度,∴点M(-1,2)的坐标变为(-1-2,2-1),即
(-3,1).故选A.
5.(2025湖北宜昌长江中学期中,★★☆)△ABC内的任意一点
M(a,b),经过平移后对应点N的坐标是(m,n),已知点A(5,2)经过
这样的平移后的对应点D的坐标为(3,-4),则m+n-a-b的值为
( )
A.5　　 B.-5　　 C.-8　　 D.8
C
解析　∵△ABC内的任意一点M(a,b),经过平移后对应点N的
坐标是(m,n),点A(5,2)经过平移后的对应点D的坐标为(3,-4),
∴平移方式为向左平移2个单位长度,向下平移6个单位长度,
∴a-2=m,b-6=n,∴m-a=-2,n-b=-6,∴m+n-a-b=(m-a)+(n-b)=(-2)+
(-6)=-8.故选C.
6.【学科特色·易错题】(2025山东济宁期中,★★☆)在由边长
为1的小正方形组成的网格中,建立适当的平面直角坐标系.从
一个格点出发,先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位
长度,称为一次上平移;从一个格点出发,先向右平移2个单位
长度,再向下平移1个单位长度,称为一次下平移.若点A从点(2,
3)出发,连续两次平移到达点B,则点B所有可能的坐标是______
________________.
(6,1)或(5,4)　
(4,7)或
解析　由题意可知,当连续两次平移都是上平移时,点B的坐
标为(2+1+1,3+2+2),即(4,7).当连续两次平移都是下平移时,点
B的坐标为(2+2+2,3-1-1),即(6,1).当先上平移,后下平移时,点B
的坐标为(2+1+2,3+2-1),即(5,4).当先下平移,后上平移时,点B
的坐标为(2+2+1,3-1+2),即(5,4).综上所述,点B的坐标为(4,7)
或(6,1)或(5,4).
7.【学科特色·易错题】(2025山东滨州无棣月考,★★★)如
图,第一象限内有两点P(m-4,n),Q(m,n-3),将线段PQ平移,使点
P,Q分别落在坐标轴上,则点P平移后的对应点的坐标是_______
_____________.

(0,3)或(-4,0)
解析　设平移后点P,Q的对应点分别是P',Q'.分两种情况:①P'
在y轴上,Q'在x轴上,则P'的横坐标为0,Q'的纵坐标为0,∴点P'
的纵坐标为n-(n-3)=3,∴点P平移后的对应点的坐标是(0,3);
②P'在x轴上,Q'在y轴上,则P'的纵坐标为0,Q'的横坐标为0,∴点
P'的横坐标为m-4-m=-4,∴点P平移后的对应点的坐标是(-4,0).
综上可知,点P平移后的对应点的坐标是(0,3)或(-4,0).
易错警示　有两种情况:①点P平移后落在y轴上,点Q平移后落在x
轴上;②点P平移后落在x轴上,点Q平移后落在y轴上.本题容易漏解.
8.(2025甘肃平凉庄浪期中,★★☆)如图,在平面直角坐标系
中,△ABC的顶点坐标分别为A(-2,4),B(-5,-1),C(0,1),把△ABC
进行平移,平移后得到△A'B'C',且△ABC内任意一点P(x,y)平
移后的对应点为P'(x+3,y-4).
(1)△ABC是经过怎样的平移得到△A'B'C'的
(2)画出平移后的图形.
(3)求△ABC的面积.
解析 (1)由题意得△ABC向右平移3个单位长度,向下平移4
个单位长度得到△A'B'C'.
(2)如图,△A'B'C'即为所求.

(3)△ABC的面积为 ×(2+5)×5- ×5×2- ×2×3= -5-3= .(共34张PPT)
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课件使用说明
第三章　图形的平移与旋转
第3 课时　中心对称
2　图形的旋转
　两个图形成中心对称的定义及性质
1.(2025山东威海文登月考)如图,在正方形网格中,两个阴影部
分的三角形关于点O成中心对称的是 ( )
　　 　　 　　
A
解析　选项A,其中一个三角形绕点O旋转180°后,能够与另一
个三角形重合,因此选项A中的两个阴影部分的三角形关于点
O成中心对称.选项B,C,D,其中一个三角形绕点O旋转180°后,
不能够与另一个三角形重合,因此选项B,C,D中的两个阴影部
分的三角形都不关于点O成中心对称.故选A.
2.下列描述中心对称的特征的语句中,正确的是 ( )
A.成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段不一定经过
对称中心
B.成中心对称的两个图形中,对称中心不一定平分连接对称
点的线段
C.成中心对称的两个图形中,对称点的连线一定经过对称中
心,但不一定被对称中心平分
D.成中心对称的两个图形中,对称点的连线一定经过对称中
D
心,且被对称中心平分
解析　成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段一定经
过对称中心,且被对称中心平分,只有选项D正确.
3.(2025山西太原期末)在平面直角坐标系中,点A(-1,5)与点B
关于原点成中心对称,则点B的坐标为______________.
(1,-5)
解析　关于原点成中心对称的两个点的横、纵坐标都互为相
反数.∵点A(-1,5)与点B关于原点成中心对称,∴点B的坐标为
(1,-5).故答案为(1,-5).
4.(2025陕西延安期末)如图,△AGB与△CGD关于点G成中心
对称,若点E,F分别在GA,GC上,且AE=CF,求证:BF=DE.

证明　∵△AGB与△CGD关于点G成中心对称,
∴BG=DG,AG=CG,∵AE=CF,∴AG-AE=CG-CF,∴EG=FG,
又∵∠DGE=∠BGF,
∴△DGE≌△BGF(SAS),∴BF=DE.
　中心对称作图
5.(2025陕西西安期中)如图,已知△ABC与△A'B'C'成中心对
称,则对称中心是点_________.
P
解析　如图,连接BB',CC',交点即为对称中心,故对称中心是点
P.

6.(2025北京二十七中期中)如图,已知四边形ABCD与点O,求
作四边形A'B'C'D',使得四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点
O成中心对称.

解析　如图,四边形A'B'C'D'即为所求.

　中心对称图形
7.【新课标·中华优秀传统文化】(2025四川自贡中考)起源于
中国的围棋深受青少年喜爱.以下由黑白棋子形成的图案中,
为中心对称图形的是 ( )
　　 　　 　　
C
解析　选项A,B,D中的图形都不能找到这样一个点,使图形绕
该点旋转180°后与原来的图形重合,所以不是中心对称图形.
选项C中的图形能找到这样一个点,使图形绕该点旋转180°后
与原来的图形重合,所以是中心对称图形.
故选C.
8.【跨物理·共振】(2025江苏盐城盐都模拟)十八世纪,德国物
理学家恩斯特·克拉尼通过实验揭示了振动与几何对称性的
关联:当金属薄板受迫振动时,表面均匀分布的细沙会因振动
模态差异形成各式图案,这些图案均称为克拉尼图形.下列四
幅克拉尼图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是
( )
C
解析　根据轴对称图形与中心对称图形的定义可知,选
项A,B,D中的图形既是轴对称图形,也是中心对称图形;选项C
中的图形是轴对称图形,不是中心对称图形.故选C.

9.【学科特色·教材变式】(2025陕西西安理工大学附中期中,
★★☆)风能是一种清洁无公害的可再生能源.图①是风力发
电机,它一般由风轮、发电机、调向器、塔架和储能装置等
构件组成.图②为风轮叶片的示意图,若叶片图案绕中心旋转
n°后与原图案重合,则n可以取 ( )
A
A.120　　 B.60　　 C.180　　 D.90
解析　∵360°÷3=120°,∴n为120的倍数时,叶片图案绕中心旋转n°后与原图案重合.
故选A.
10.(2025辽宁大连期中,★★☆」如图,AE= ,AC= ,∠D=
90°,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,则AB的长是______.

解析　∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称,∴DC=AC=
,DE=AB,∴AD=2 ,∴在Rt△EDA中,DE= =
= ,∴AB= .
11.(2025湖南永州祁阳期中,★★☆)如图,阴影部分组成的图
案既是轴对称图形(x轴是图形的一条对称轴)又是中心对称
图形(点O是图形的对称中心).若点A的坐标为(1,3),点B的坐标
为(3,1),点M的坐标为(a,b),点N的坐标为(c,d),则a+c的值为__
_____.
-2
解析　由题图可知,点A和点N关于x轴对称,点M和点B关于坐
标原点O成中心对称,
∵点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(3,1),
∴点N的坐标为(1,-3),点M的坐标为(-3,-1),∴a=-3,c=1,
∴a+c=-3+1=-2.
12.(2024吉林名校调研期中,★★☆」如图,直线a,b互相垂直
且相交于点O,曲线C与曲线C'关于点O成中心对称,点A在曲
线C上,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB
=4,OD=3,则阴影部分的面积之和为__________.
12
解析　如图,过点A作AE⊥b于点E,易知四边形ABOE为矩形,
∵曲线C与曲线C'关于点O成中心对称,点A的对应点为A',
∴图形①与图形②面积相等,OE=OD=3,∴阴影部分的面积
之和=矩形ABOE的面积=3×4=12.
13.(2025山东滨州邹平期中,★★☆)如图,在平面直角坐标系
中,△ABC的三个顶点都在格点上,且△A1B1C1与△ABC关于原
点O成中心对称,C点的坐标为(-2,1).
(1)请直接写出A1的坐标:_______.
(2)P(a,b)是△ABC的边AC上一点,将△ABC平移后,点P的对应
点P'的坐标为(a+2,b-6),请画出平移后的△A2B2C2.
(3)若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称,则对称中心
的坐标为_______.

解析 (1)△A1B1C1如图所示.

∴A1的坐标为(3,-4).
(2)∵将△ABC平移后,点P(a,b)的对应点P'的坐标为(a+2,b-6),
∴△ABC的平移方式为向右平移2个单位长度,向下平移6个
单位长度.△A2B2C2如图所示.
(3)如图,连接A1A2,C1C2相交于点M,则点M为对称中心,
∴M(1,-3).

14.【新课标·推理能力】(2024河北保定曲阳期末)如图,△ABM
与△ACM关于直线AF对称,△ABE与△DCE关于点E成
中心对称,点E,D,M都在线段AF上,BM的延长线交CF于点P.
(1)求证:AC=CD.
(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F
与∠MCD的数量关系,并说明理由.
解析 (1)证明:∵△ABM与△ACM关于直线AF对称,
∴△ABM≌△ACM,∴AB=AC,
∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称,
∴△ABE≌△DCE,∴AB=CD,∴AC=CD.
(2)∠F=∠MCD.理由:∵△ABM≌△ACM,△ABE≌△DCE,
∴∠CAE=∠BAE=∠CDE,∠CMA=∠BMA,
已知∠BAC=2∠MPC,∠BMA=∠PMF,
设∠MPC=α,则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α.
设∠BMA=β,则∠PMF=∠CMA=β,
∴∠F=∠CPM-∠PMF=α-β,∠MCD=∠CDE-∠DMC=α-β,
∴∠F=∠MCD.(共16张PPT)
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第三章　图形的平移与旋转
第2 课时　简单的旋转画图
2　图形的旋转
　旋转作图
1.(2024贵州贵阳模拟)如图,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC
绕点B逆时针旋转90°后得到△DBE,则下列四个图形中
正确的是 ( )
　　　　
B
解析　根据旋转作图可知B选项符合题意.故选B.
2.【新考向·尺规作图】(2025福建三明期中)如图,已知△ABC.
(1)尺规作图:作△ABC绕点A逆时针旋转后的△ADE,使点B落
在点D处,点C落在线段AB上的点E处.
(2)若∠C=90°,AC=4,BC=3,求B,D两点间的距离.
解析 (1)如图,△ADE即为所求.

(2)如图,连接BD.
在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB= =5,
由旋转的性质得∠AED=∠ACB=90°,AE=AC=4,DE=BC=3,
∴BE=5-4=1,∠DEB=90°.
在Rt△BED中,由勾股定理得BD= = .
∴B,D两点间的距离为 .
　平移、旋转、轴对称的关系
3.(2025江苏宿迁期中)平移、轴对称、旋转所具有的共同性
质不包括 ( )
A.变化前后两个图形能够重合
B.对应线段相等
C.对应角相等
D.对应线段平行或在一条直线上
D
解析　平移、轴对称、旋转所具有的共同性质有变化前后的
两个图形能够重合,对应线段相等,对应角相等.故选D.
4.(2025江苏镇江期末)如图,如果将甲图形变成乙图形,那么经
过的变化正确的是 ( )
A.旋转、平移　　　 B.轴对称、平移
C.旋转、轴对称　　 D.旋转
C
解析　将甲图形顺时针旋转一定角度,使得甲图形完全竖直,
再进行轴对称变化,即可得到乙图形.
故选C.
5.(2025北京朝阳陈经纶中学开学测试)如图,点B,C,E在y轴上,
点A的坐标为(-2,1),点B的坐标为(0,1),△OED是△ABC经过某
些变化得到的,则正确的变化可以是_____________________
___________________________________________.(写出一种
即可)
旋转90°,再向下平移3个单位长度(答案不唯一)
　将△ABC绕点B顺时针

6.(2025山东青岛即墨月考,★★☆)如图,将△ABC先绕点C顺
时针旋转90°,得到△A1B1C,再作△A1B1C关于x轴的对称图形
△A2B2C,则顶点A2的坐标是 ( )
A.(2,-1)　　　 B.(-2,0)
A
C.(-4,1)　　　 D.(3,-2)
解析　如图,先将△ABC绕点C顺时针旋转90°,得到△A1B1C,
再作△A1B1C关于x轴的对称图形△A2B2C,∴顶点A2的坐标是
(2,-1).故选A.
7.(2025广东梅州宁江中学期中,★★☆)如图,在平面直角坐标
系中,△ABC和△A'B'C'的顶点都在格点上.
(1)画出将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到的△A1BC1.
(2)若△A'B'C'是由△ABC绕某一点旋转一定角度得到的,则旋
转中心的坐标是_______.
解析 (1)△A1BC1如图所示.

(2)如图所示,旋转中心的坐标为(3,4).
方法总结　找旋转中心的步骤:
①连:连接两组对应点得到两条线段.
②作:作出两条线段的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即
为旋转中心.(共38张PPT)
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第三章　图形的平移与旋转
第1 课时　旋转及其性质
2　图形的旋转
　旋转的概念
1.下列现象不是旋转的是 ( )
A.传送带传送货物　　　 B.飞速转动的电风扇
C.钟摆的摆动　　　 D.自行车车轮的转动
A
解析　传送带传送货物的过程中没有发生旋转.故选A.
2.如图,△ABC和△ADE均为等边三角形,则图中可以看成是
旋转关系的三角形是 ( )

A.△ABC和△ADE　　　 B.△ABC和△ABD
C.△ABD和△ACE　　　 D.△ACE和△ADE
C
解析　∵△ABC和△ADE均为等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE.
故选C.
3.如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE顺时针旋
转到△ABF的位置.
(1)旋转中心是点_________,旋转角的度数是__________度.
(2)点B的对应点是点_________,点E的对应点是点_________.

F
D
90
A
　旋转的性质
4.【学科特色·教材变式】(2025陕西渭南蒲城期中)如图,将△ABC绕点O顺时针旋转80°得到△DEF(点A,B,C的对应点分别为点
D,E,F),则∠BOE的度数是 ( )
C
A.60°　　 B.70°　　 C.80°　　 D.90°
解析　∵将△ABC绕点O顺时针旋转80°得到△DEF,
∴∠BOE=80°.故选C.
5.(2025广东梅州期中)如图所示,△ABC为等腰直角三角形,
BC为斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACP'.如果AP=3,
那么PP'的长为 ( )

A.3 　　 B.2 　　 C.3　　 D.4
A
解析　∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠BAC=90°,
∵将△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACP',∴AP=AP',∠PAP'=
∠BAC=90°,∴△APP'为等腰直角三角形,∴PP'= =
3 .
故选A.
6.如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标为(8,4),连接OB,将线
段OB绕点O逆时针旋转90°,得到线段OB',则点B'的坐标为
________.

(-4,8)
解析　如图,分别过点B,B'向x轴作垂线,垂足分别为M,N,
∴∠B'NO=∠OMB=90°,OM=8,BM=4,
∴∠BOM+∠OBM=90°,∵∠BOB'=90°,∴∠BOM+∠B'ON=
90°,∴∠B'ON=∠OBM.
在△OMB和△B'NO中,
∴△OMB≌△B'NO(AAS),
∴B'N=OM=8,ON=BM=4,∴点B'的坐标为(-4,8).
7.(2025江苏苏州昆山月考)如图所示,将△ABC绕点C按顺时
针方向旋转20°,点B落在点B'的位置,点A落在点A'的位置,若
AC⊥A'B',则∠BAC的度数是___________.

70°
解析　由旋转的性质可得∠BAC=∠A',∠ACA'=∠BCB'=20°.
∵AC⊥A'B',∴∠A'+∠ACA'=90°,∴∠A'=90°-∠ACA'=70°,
∴∠BAC=∠A'=70°.
8.(2025江苏南京金陵中学期中)如图,将△AEC绕点A顺时针
旋转得到△ADB,点C,E,D共线,DE交AB于点F,若S△ACF=11,
S△ADE=6,则S△BDF=_________.

5
解析　∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB,
∴S△ADB=S△AEC,∵点C,E,D共线,S△ACF=11,S△ADE=6,
∴S△AEC=S△ADF+S△ACF-S△ADE=S△ADF+11-6=S△ADF+5,
∵S△ADB=S△BDF+S△ADF,∴S△BDF+S△ADF=S△ADF+5,
∴S△BDF=5.
9.(2025陕西西安三中模拟)如图,在△ABC中,∠BAC=30°,将
△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,点B,C的对应点
分别是点D,E,连接DC,求证:∠B=∠ADC.

证明　∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,
∴∠EAD=∠BAC=30°,AD=AB,∠EAC=60°,∴∠DAC=
∠EAC-∠EAD=30°,∴∠DAC=∠BAC,在△DAC和△BAC中,
AD=AB,∠DAC=∠BAC,AC=AC,∴△DAC≌△BAC(SAS),
∴∠B=∠ADC.

10.(2024天津中考,★★☆)如图,△ABC中,∠B=30°,将△ABC
绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E,
延长BA交DE于点F,下列结论一定正确的是 ( )
A.∠ACB=∠ACD　　　
B.AC∥DE
C.AB=EF　　　
D.BF⊥CE
D
解析　设BF与CE相交于点H(图略),∵将△ABC绕点C顺时针
旋转60°得到△DEC,∴∠BCE=∠ACD=60°.∵∠B=30°,
∴∠BHC=180°-∠BCE-∠B=90°,∴BF⊥CE,故D选项一定正确.设∠ACH=x°,∴∠ACB=60°-x°.∵∠B=30°,∴∠EDC=
∠BAC=180°-30°-(60°-x°)=90°+x°,∴∠EDC+∠ACD=
90°+x°+60°=150°+x°,∵x°不一定等于30°,∴∠EDC+
∠ACD不一定等于180°,∴AC∥DE不一定成立,故B选项不一
定正确.
∵∠ACB=60°-x°,∠ACD=60°,x°不一定等于0°,
∴∠ACB=∠ACD不一定成立,故A选项不一定正确.
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,
∴AB=ED=EF+FD,∵点F不一定与点D重合,
∴AB=EF不一定成立,故C选项不一定正确.故选D.
11.【学科特色·对角互补模型】(2025广东广州海珠期中,★
★☆」如图,点F为正方形ABCD的对角线AC的中点,将以点F
为直角顶点的直角△FEG绕点F旋转(△FEG的边EG始终在
正方形ABCD外),若正方形ABCD的边长为3,则在旋转过程中,
△FEG与正方形ABCD重叠部分的面积为 ( )
A.9　　　 B.3
D
C.4.5　　　 D.2.25
解析　如图,连接FD,

根据题意易证△DAC和△DFC是等腰直角三角形,∴DF=CF,
∠FDC=∠FCD=45°,∴∠ACB=90°-∠FCD=45°=∠FDC,
∵EF⊥FG,∴∠MFC+∠NFC=90°=∠DFC=∠DFN+∠NFC,
∴∠DFN=∠CFM,∴△MFC≌△NFD(ASA),∴S△MFC=S△NFD,
∴AC=3 ,∴FD=FC= AC= ,∴S△DFC= FD·FC= × ×
=2.25,∴重叠部分的面积为2.25.故选D.
∴S四边形FMCN=S△MFC+S△NFC=S△NFD+S△NFC=S△DFC,
∵正方形ABCD的边长为3,
12.(2025山东德州庆云模拟,★★★)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=
90°,∠B=30°,AC=2 ,P是BC边上一动点,连接AP,把线段AP
绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ,连接CQ,则线段CQ的最小
值为 ( )

D
A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.
解析　如图,在AB上取一点E,使AE=AC=2 ,连接EP,由旋转可知∠PAQ=60°,AP=AQ,∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠BAC=
60°=∠PAQ,∴∠CAQ=∠EAP,∴△CAQ≌△EAP(SAS),
∴CQ=EP,要使CQ最小,只需EP最小,∵点E是定点,点P是BC上
的动点,∴当EP⊥BC时,EP最小,过点E作EF⊥BC于点F,则当
点P与点F重合时,CQ最小,最小值为EF的长,
在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2 ,∴AB=4 ,
∵AE=AC=2 ,
∴BE=AB-AE=2 ,
在Rt△BFE中,∠EBF=30°,BE=2 ,∴EF= BE= ,
∴线段CQ的最小值是 .故选D.
13.【学科特色·分类讨论思想】(2024四川雅安中考,★★☆)
如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,∠BAC=∠DAE=40°,将
△ADE绕点A顺时针旋转一定角度,当AD∥BC时,∠BAE的
度数是________________.

30°或150°
解析　分情况讨论:当点D在点A的左侧时,如图1.∵AB=AC,
∠BAC=40°,∴∠ACB=∠ABC= ·(180°-∠BAC)=70°.
∵AD∥BC,∴∠BAD=∠ABC=70°,
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=70°-40°=30°.
当点D在点A的右侧时,如图2.
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB=70°,
∴∠BAE=∠BAC+∠DAC+∠DAE=40°+70°+40°=150°.
综上,当AD∥BC时,∠BAE的度数为30°或150°.
14.(2025江西九江修水期中,★★☆)在△ACB中,∠ACB=90°,
∠B=30°,AC=2.先将△ACB绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,
如图1,再将△ADE沿射线ED的方向平移,使点D落在线段CB
上的点F处,得到△CFG,如图2.
(1)在图1中,直线DE与CB有怎样的位置关系 请说明理由.
(2)在图2中,求FB的长.
解析 (1)DE⊥BC.
理由:∵将△ACB绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,
∴∠CAD=90°,∠D=∠ACB=90°,
∴DE⊥AD,
∵∠CAD+∠ACB=180°,
∴AD∥BC,
∴DE⊥BC.
(2)∵∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,
∴AB=4,∴BC=2 .
由题意得CF=AC=2,∴BF=BC-CF=2 -2.

15.【新课标·推理能力】(2025江苏苏州吴江月考)如图,在△ABC
中,AB=AC,∠BAC=α,点D是BC上一点,连接AD,将线段AD绕点
A逆时针旋转α得到线段AE,连接CE,DE.
(1)如图①,当α=60°时,线段BD和CE之间的数量关系是______
______.
(2)如图②,当α=90°时,猜想线段BD,
CD,DE之间的数量关系,并加以证明.
解析 (1)BD=CE.
提示:∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,
∴AD=AE,∠DAE=∠BAC=60°,
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE.
(2)BD2+CD2=DE2.
证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠BCA=45°.
由旋转得AD=AE,∠DAE=∠BAC=90°,
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE=45°,BD=CE,
∴∠DCE=∠DCA+∠ACE=90°.
在Rt△CDE中,由勾股定理得CE2+CD2=DE2,
∴BD2+CD2=DE2.(共16张PPT)
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第三章　图形的平移与旋转
3　简单的图案设计
　分析图案的形成,设计图案
1.(2025浙江杭州上外附属杭州学校期中)下列图案中,不能由
其中的部分图形通过旋转形成的是 ( )
　　 　　 　　
C
解析　选项A,B,D中的图案均能由其中的部分图形通过旋转
形成,故选项A,B,D不符合题意.选项C中的图案不能由其中的
部分图形通过旋转形成,故选项C符合题意.故选C.
2.将正方形纸片裁剪后可通过平移、旋转等方式拼接出多种
有创意的美丽图形.将如图所示的正方形沿虚线剪开后,通过
平移、旋转拼成的“鸟”的图案为 ( )

　　 　　 　　
B
3.如图,在三种图形变化(平移、轴对称、旋转)中,该图案不包
含的变化是_______.

　平移
4.(2025吉林松原前郭期中」如图所示的图案是一个中心对
称图形,这个图案绕着它的对称中心旋转α(0°<α<360°)后能
够与它本身重合,则α最小是__________度.

60
解析　∵360°÷6=60°,∴α最小为60°.

5.(2025辽宁沈阳期中,★★☆)如图所示的雪花图案是由一个
“基本图形”经过旋转得到的,四个选项的图案中,不能作为
“基本图形”的是 ( )
D
解析　选项A中的图案经过旋转60°,120°,180°,240°,300°可以得到雪花图案,故选项A不符合题意;
选项B中的图案经过旋转120°,240°可以得到雪花图案,
故选项B不符合题意;
选项C中的图案经过旋转180°可以得到雪花图案,故选项C
不符合题意;
由选项D中的图案不能经过旋转得到雪花图案,因此它不能作
为“基本图形”,故选项D符合题意.故选D.
6.(2025江苏淮安涟水模拟,★★☆)如图所示的“双鱼”图案
是中心对称图形,其中一条“鱼”经过怎样的变化可以与另
一条“鱼”重合 有下列结论:
①1次旋转;②2次平移;③2次轴对称.
其中所有正确结论的序号是 ( )
A.①　　　 B.①②
D
C.②③　　　 D.①③
解析　一条“鱼”可以绕图案的对称中心旋转180°与另一条
“鱼”重合,故①正确;通过平移无法使其中一条“鱼”与另
一条“鱼”重合,故②错误;将一条“鱼”沿一条通过图案的
对称中心的直线进行轴对称变化,然后沿与这条直线垂直的
直线进行轴对称变化,可以与另一条“鱼”重合,故③正确.
∴正确的结论为①③.故选D.
7.(2025四川广安友谊中学期中,★★☆)实践与操作:现有如图
①所示的两种正方形瓷砖(图①中阴影正方形的边长是大正
方形边长的一半),请从这两种瓷砖中各选2块,按下列要求拼
铺成一个新的图案.
(1)在图②、图③中各设计一种拼法,使图②是轴对称图形而
不是中心对称图形,图③是中心对称图形而不是轴对称图形.
(2)在图④、图⑤中各设计一种拼法,使这两个图案都既是轴
对称图形又是中心对称图形,且互不相同.(两个图案之间若能

通过轴对称、平移、旋转变化相互得到,则视为相同图案)
解析 (1)答案不唯一.如图所示,左图是轴对称图形而不是中
心对称图形,右图是中心对称图形而不是轴对称图形.

(2)答案不唯一.如图所示.
(共20张PPT)
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第三章　图形的平移与旋转
第2 课时　沿ｘ轴或ｙ轴方向平移的坐标变化
1　图形的平移
　沿x轴方向平移的坐标变化
1.(2024海南中考)平面直角坐标系中,将点A向右平移3个单位
长度得到点A'(2,1),则点A的坐标是 ( )
A.(5,1)　　 　 B.(2,4)
C.(-1,1)　　　 D.(2,-2)
C
解析　将点A向右平移3个单位长度得到点A'(2,1),∴点A的坐
标是(2-3,1),即(-1,1).故选C.
2.(2025河北唐山玉田期中)如图所示,图案上各点纵坐标不变,
横坐标分别加2,连接各点所得图案与原图案相比, ( )
A.位置和形状都相同
B.横向拉长为原来的2倍
C.向左平移2个单位长度
D
D.向右平移2个单位长度
解析　∵图案上各点的纵坐标不变,横坐标分别加2,∴原图案
向右平移了2个单位长度.故选D.
3.(2025山东滨州博兴期中)如图,在网格中,点A,B,C,O均在格
点上,其中O为坐标原点,A(-2,2).
(1)求△ABC的面积.
(2)将△ABC向右平移得到△A1B1C1,当A,O,B1三点在同一直线
上时,求点C1的坐标.
解析 (1)如图,过点B作AC的垂线,垂足为M,

由题意可知点A(-2,2),C(0,2),B(-4,-3),M(-4,2),
∴BM=5,AC=2,
∴△ABC的面积为 ×2×5=5.
(2)如图所示,当A,O,B1三点在同一直线上时,点C1的坐标为
(7,2).
　沿y轴方向平移的坐标变化
4.(2025海南东方模拟)点P(8,3)向上平移6个单位长度,下列说
法正确的是 ( )
A.点P的横坐标加6,纵坐标不变
B.点P的纵坐标加6,横坐标不变
C.点P的横坐标减6,纵坐标不变
D.点P的纵坐标减6,横坐标不变
B
解析　将点P(8,3)向上平移6个单位长度后,点P的横坐标不
变,纵坐标加6.故选B.
5.(2025山东中考)在平面直角坐标系中,将点P(3,4)向下平移2
个单位长度,得到的对应点P'的坐标是_____________.
(3,2)
解析　将点P(3,4)向下平移2个单位长度后,得到的对应点P'
的坐标是(3,4-2),即(3,2).故答案为(3,2).

6.(2025河南安阳林州期中,★★☆)在平面直角坐标系中,将点
M(a-3,2a+1)向左平移3个单位长度后恰好落在y轴上,则点M
的坐标是 ( )
A.(3,13)　　　 B.(3,7)
C.(6,7)　　　 D.(6,13)
A
解析　将点M(a-3,2a+1)向左平移3个单位长度后,所得到的点
的坐标为(a-6,2a+1),
∵点M平移后恰好落在y轴上,∴a-6=0,即a=6,
∴a-3=3,2a+1=13,∴点M的坐标为(3,13).故选A.
7.(2025甘肃武威三中期中,★★☆)如图,△OAB的边OB在x轴
上,点B的坐标为(5,0),把△OAB沿x轴向右平移3个单位长度,
得到△CDE,连接AC,DB,若△DBE的面积为6,则图中阴影部
分的面积为 ( )
C
A.2　　　 B.3 C.4　　　 D.5
解析　设A(m,n),由题意可知OB=5,
∵把△OAB沿x轴向右平移3个单位长度,得到△CDE,
∴OC=BE=3,∴BC=2,S△DBE= ×3×n=6,
∴n=4,∴S△ACB= ×2×4=4.故选C.
8.(2025天津期末,★★☆)在平面直角坐标系中,若将点A向右
平移可得到点B(3,2),将点A向上平移可得到点C(-3,4),则点A
的坐标为______________.
(-3,2)
解析　∵将点A向右平移可得到点B(3,2),∴点A的纵坐标为2,
∵将点A向上平移可得到点C(-3,4),∴点A的横坐标为-3,
∴点A的坐标为(-3,2).故答案为(-3,2).
9.(2025江西九江期末,★★★)如图,在平面直角坐标系中,将
直角三角形纸板ABC放置在x轴上,顶点B与原点O重合,已知
A(-4,0),C(-4,3),现将直角三角形纸板沿x轴向右平移得到
△DEF,当以O,E,F为顶点的三角形是等腰三角形时,平移的
距离为_____________.
或5或8
解析　分情况讨论:当OF=OE时,如图1,
由题意可知OA=4,AC=3,
∵将直角三角形纸板沿x轴向右平移得到△DEF,
∴DE=AO=4,DF=AC=3,
∵DF⊥DE,∴32+(4-OE)2=OE2,
∴OE= ,∴平移的距离为 .
当EF=OE时,如图2,
∵DE=4,DF=3,∠FDE=90°,
∴EF= =5,
∴OE=EF=5,
∴平移的距离为5.
当OF=FE时,如图3,
∵OF=FE,FD⊥OE,∴OD=DE=4,
∴OE=8,∴平移的距离为8.

综上所述,当以O,E,F为顶点的三角形是等腰三角形时,平移的
距离为 或5或8.(共14张PPT)
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☆　问题解决活动:最短距离
　根据最短距离架桥
1.架桥通常会考虑多种因素,其中一个就是路线规划,要使桥
两边A,B两地间的路程尽量短,以减少通行时间和成本.
(1)如图1,河l的宽度忽略不计,即桥的宽度忽略不计,请你在l上
画出表示桥的位置的点P,使从A地经过桥到B地的路程最短.
(2)如图2,河岸m和n之间的宽度不可忽略,即桥的宽度不可忽
略,请你在m和n之间画出表示桥的位置的线段CD,使桥与河
岸垂直,并且从A地经过桥到B地的路程最短.
(3)如图3,河岸m和n,p和q之间的宽度不可忽略,即桥的宽度不
可忽略,请你在m和n之间、p和q之间分别画出表示桥的位置
的线段CD和EF,使每座桥与相应的河岸垂直,并且从A地经过
2座桥到B地的路程最短.

解析 (1)如图1,连接AB交l于点P,点P即为所求.
(2)如图2,沿与河岸m垂直的方向平移点A到T,使得AT=河的宽
度,连接BT交河岸n于点C,过C作CD⊥河岸m于点D,连接AD,
此时AD+CD+BC的值最小,则线段CD即为所求.

(3)如图3,沿与河岸m垂直的方向平移A到T,使AT=河岸m,n之
间的距离,沿与河岸p垂直的方向平移B到J,使BJ=河岸p,q之间
的距离,连接JT交河岸n于点C,交河岸q于点E,过C作CD⊥河
岸m于点D,过E作EF⊥河岸p于点F,连接AD,BF,此时AD+DC+
CE+EF+FB的值最小,则线段CD,EF即为所求.
　根据最短距离确定位置
2.(1)如图1,两个居民小区M和N在街道AB的两侧,现欲在街道
边建一个长度为s米的文化长廊CD,使C到M的距离与D到N的
距离之和最小.请在图中画出长廊CD的位置.并写出画图过
程.
(2)街道l同侧的两个居民小区A,B到街道的距离分别为a米、b
米.如图2,AA'=a米,BB'=b米.现欲在街道边建一个长度为s米的
绿化带CD(宽度忽略不计),使C到小区A的距离与D到小区B的
距离之和最小.在图3中画出绿化带的位置,并写出画图的过
程.

(3)如图4,街道l同侧有A,B两个居民小区,现计划在街道边建一
个长为a米,宽为b米的长方形公园(公园用CDEF表示,DE边与
街道l在同一直线上,CF=a米,CD=b米),C,F处分别是公园大门
(门口宽度忽略不计).怎样建公园才能使小区A到大门C的距
离与小区B到大门F的距离之和最小

解析 (1)如图1,沿由A到B的方向将点M平移到M',使M'M=s
米,连接M'N交直线AB于点D,将点D沿直线AB向左平移s米到
点C,此时C到M的距离与D到N的距离之和最小,则CD即为所
求.
(2)如图2,作线段AP∥l,使AP=s米,且点P在点A的右侧,作点P
关于l的对称点P',连接BP'交l于点D,在l上点D的左侧截取DC=
s米,此时C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小,则CD
即为所求.
(3)示意图如图,将直线l向上平移b米,得到直线l',作点B关于
直线l'的对称点B',作B'B″∥直线l,使得B'B″=a米,连接AB″交
直线l'于C,过C作CD⊥l于点D,分别在直线l,l'上取点E,F,使
DE=CF=a米,得到长方形CDEF,则长方形CDEF即为所求.
(共28张PPT)
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第三章　图形的平移与旋转
第1 课时　平移及其性质
1　图形的平移
　平移的概念
1.(2025四川绵阳安州期中)下列物体的运动情况可以看成平
移的是 ( )
A.时钟摆动的钟摆
B.在笔直的公路上行驶的汽车
C.随风摆动的旗帜
D.汽车玻璃窗上雨刷的运动
B
解析　根据平移的定义可知,在笔直的公路上行驶的汽车可
以看成平移.故选B.
2.【新课标·中华优秀传统文化】(2025重庆松树桥中学期中
改编)甲骨文是汉字的早期形式,下列甲骨文中,能用其中一部
分通过平移得到的是 ( )
　　 　　 　　
A
解析　选项A中的甲骨文可以由其中一部分通过平移得到.故选A.
　平移的性质与作图
3.(2025山东临沂莒南期中)如图,△ABC沿射线BC方向平移
a cm后得到△A'B'C',已知BC=6 cm,BC'=17 cm,则a的值为
( )
B
A.10　　 B.11　　 C.12　　 D.13
解析　∵△ABC沿射线BC方向平移a cm后得到△A'B'C',
∴CC'=a cm,
∵BC=6 cm,BC'=17 cm,∴a+6=17,解得a=11.故选B.
4.(2025湖北咸宁通城期中)如图所示,将△ABC平移一定距离
后得到△MNL,则下列结论中正确的有 ( )
①AM∥BN;②AM=BN;③BC=NL;④∠ACB=∠NML.
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
C
解析　∵将△ABC平移一定的距离得到△MNL,
∴AM∥BN(①正确),AM=BN(②正确),BC=NL(③正确),
∠ACB=∠MLN(④错误),∴正确的有①②③,共3个.
故选C.
5.(2025河南南阳新野期末)如图,将△ABE向右平移得到△DCF,
如果△ABE的周长是18 cm,四边形ABFD的周长是22 cm,那么
平移的距离为 ( )

A.8 cm　　 B.4 cm　　 C.3 cm　　 D.2 cm
D
解析　∵△ABE的周长是18 cm,四边形ABFD的周长是22 cm,
∴AB+BE+AE=18 cm,AB+BE+EF+DF+AD=22 cm,由平移的性
质可知DF=AE,AD=EF,∴AD=EF= ×(22-18)=2(cm),∴平移的
距离为2 cm.
故选D.
6.【跨物理·电路】(2024湖北宜昌模拟)如图,在由小正方形组
成的网格图中,有a,b两户家用电路接入电表,a户电路接点与
电表接入点之间所用电线长度为5 m,则b户电路接点与电表
接入点之间所用电线长度为_________m.
5
解析　如图所示,将b户电线中的GF段平移到CE,AB段平移到
CD,AC段平移到BD,CG段平移到EF,可知两户电路接点与电
表接入点之间所用电线一样长.故答案为5.
7.(2025浙江杭州萧山期中)在方格纸中,将△ABC向右平移4个
单位得到△A1B1C1(方格纸中每个小正方形的边长为1个单
位).
(1)在方格纸中画出△A1B1C1.
(2)若∠CAB=70°,∠CBA=54°,求∠CBC1的度数.
解析 (1)△A1B1C1如图所示.

(2)∵△ABC向右平移得到△A1B1C1,
∴∠C1A1B1=∠CAB=70°,∴∠CBC1=180°-∠CBA-∠C1A1B1=
180°-54°-70°=56°.

8.(2025山西太原杏花岭期中,★★☆)两个全等的直角三角形
重叠在一起,如图,将其中一个三角形沿BC向右平移到△DEF
的位置.若∠ABC=90°,AB=9,DH=3,阴影部分的面积为30,则
BE的长是 ( )
A.2　　 B.3　　 C.4　　 D.6
C
解析　∵阴影部分的面积为30,S阴影+S△HEC=S四边形ABEH+S△HEC,
∴S阴影=S四边形ABEH=30,
由平移的性质知AB=DE=9,∵DH=3,
∴HE=6,∴ (AB+HE)·BE= ×15BE=30,
解得BE=4.故选C.
9.(2025陕西宝鸡陈仓期中,★★☆)如图,△ABC的周长为12cm,
将△ABC沿BC向右平移,得到△DEF,连接AD,则阴影部分
的周长为__________cm.

12
解析　∵将△ABC沿BC向右平移得到△DEF,
∴AD=BE,AB=DE,AC=DF,
∴阴影部分的周长=AD+EC+AC+DE=BE+EC+AC+AB=BC+
AC+AB=12 cm.
10.(2025河南驻马店平舆期中,★★☆)如图,在△ABC中,BC=8
cm,将△ABC以每秒3 cm的速度沿BC所在直线向______平
移,得到△DEF,设平移时间为t(t>0)秒,若要使AD=3CE成立(E
在线段BC上),则t的值为_________.
2
　右
解析　由题意可知△DEF是由△ABC沿BC所在直线向右平
移得到的,∴BE=AD,∵AD=3CE,∴BE=3CE,∵BC=8 cm,∴BE
+CE=8 cm,∴4CE=8 cm,∴CE=2 cm,∴BE=3×2=6(cm),
∵△ABC以每秒3 cm的速度平移,∴3t=6,解得t=2.故答案为
右;2.
11.(2025河南周口川汇期中,★★☆)如图,已知△ABC,点A,B在
直线l上.
(1)将△ABC沿直线l向右平移,使点A恰好落在B点处,且C点平
移到E点,B点平移到D点,画出平移后的△BDE.
(2)在(1)的图形中,连接CE,如果CB⊥AB,那么CE与DE垂直吗
为什么
解析 (1)如图,△BDE即为所求.
(2)如图,CE与DE垂直.
理由:∵△ABC沿直线l向右平移得到△BDE,
∴CE∥AB,CB∥ED,∵CB⊥AB,∴CB⊥CE,
∵CB∥ED,∴CE⊥DE.

12.【新课标·几何直观】(2025广东佛山三水期中)政府准备
在一块长a m,宽b m的长方形空地上铺草地并修建小路,现有
如图所示的三种方案.
(1)方案一与方案二中,小路的左边线向右平移1 m就得其右边
线,设方案一和方案二中草地的面积分别为S1,S2,则S1=______
____m2(用含a,b的式子表示),S1_______S2(填“>”“=”或
“<”).
(2)方案三中,在这块草地上修纵横两条宽1 m的小路,求草地
的面积.(用含a,b的式子表示)
(3)经讨论后决定选用方案三,若a=30,b=20,且铺草地平均每平
方米需要花费50元,那么铺设该草地一共需要花费多少元

解析 (1)由题意可知,方案一中,两块草地可以通过平移组合
成一个长为(a-1)m,宽为b m的长方形,则S1=b(a-1)m2,
方案二中,两块草地也可以通过平移组合成一个长为(a-1)m,
宽为b m的长方形,所以S2=b(a-1)m2,则S2=S1.故答案为b(a-1);=.
(2)方案三中的草地可以通过平移组合成一个长为(a-1)m,宽
为(b-1)m的长方形,则草地的面积=(b-1)(a-1)m2.
(3)当a=30,b=20时,S=(b-1)(a-1)=(20-1)×(30-1)=551(m2),
551×50=27 550(元).
答:铺设该草地一共需要花费27 550元.

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