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课件使用说明
第五章　分式与分式方程
第1课时　分式的概念
1　分式及其基本性质
　分式的概念
1.(2025江苏常州溧阳期末)下列各式 , , , ,-7a中,分式
有 ( )
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
C
解析　分式有 , , ,共3个.故选C.
2.【学科特色·教材变式】(2025广东佛山南海期末)某书店有
一批库存图书,其中一种图书的原价是每册m元,现每册降价
x元销售,这种图书库存全部售出时,其销售额为n元.该书店这
种图书的库存量是 ( )
A. 册　　　 B. 册
C. 册　　　 D. 册
B
解析　根据数量=销售额÷单价,可知这种图书的库存量是
册.故选B.
　分式有(无)意义及分式值为0的条件
3.【学科特色·教材变式】(2025四川成都四十九中期中)若分
式 无意义,则x的值为 ( )
A.2　　 B.-2　　 C.±2　　 D.0
A
解析　若分式 无意义,则2-x=0,解得x=2.故选A.
方法点拨　分式有意义的条件是分式的分母不为零,分式无
意义的条件是分式的分母为零.
4.(2025江苏连云港海州期末)若分式 的值为0,则x的值为
( )
A.1　　 B.-2　　 C.±1　　 D.-1
B
解析　若分式 的值为0,则x+2=0且x2-1≠0,解得x=-2.故选
B.
归纳总结　分式值为零的条件:分式的分子为零,分母不为零.
5.(2025山东中考)写出使分式 有意义的x的一个值:_____
_____________.
2(答案不唯一)

解析　若分式 有意义,则2x-3≠0,所以x≠1.5,所以x=2符
合题意.故答案为2(答案不唯一).
6.若分式 的值为0,则x的值为_______.
　-2
解析　因为分式 的值为0,所以|x|-2=0,解得x=±2.当
x=2时,(x+1)(x-2)=0,故舍去;当x=-2时,(x+1)(x-2)≠0,所以x=-2.

7.(★★☆)下列分式中,无论x取何值,一定有意义的是( )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
D
解析　选项A,当x=-1时, 没有意义;选项B,当x=0时, 没
有意义;选项C,当x=±1时, 没有意义;选项D,分母x2+1恒不
为零,故无论x取何值, 一定有意义.故选D.
8.(2025山东聊城期中,★★☆)对于分式 ,下列说法不正
确的是 ( )
A.当m=3时,分式的值为0
B.当m=0时,分式有意义
C.当m=-3时,分式的值为0
D.当m=-2时,分式的值为1
C
解析　对于分式 ,当3-|m|=0且m+3≠0时,分式的值为零,
解得m=3,故选项A说法正确,不符合题意,选项C说法错误,符
合题意;当m+3≠0,即m≠-3时,分式有意义,故选项B说法正确,
不符合题意;当m=-2时, =1,故选项D说法正确,不符合题
意.
9.(2025江苏海安海陵中学月考,★★☆)若分式 的值为负
数,则x的取值范围为_________________.
x<0.5且x≠0
解析　∵分式 的值为负数,∴2x-1<0且x2≠0,解得x<0.5
且x≠0.故答案为x<0.5且x≠0.
10.(2025黑龙江大庆期中,★★☆)若分式 的值为0,则
的值为_________.
解析　由题意可得x2-9=0且x2-3x≠0,解得x=-3.当x=-3时, =
= .故答案为 .
11.(★★☆)已知分式 (a,b为常数)满足表格中的信息.
x的取值 1 -1 3
分式的值 无意义 0 c
(1)b的值是_______.
(2)求c的值.
解析 (1)∵x=1时,分式无意义,∴1-b=0,
∴b=1.故答案为1.
(2)当x=-1时,分式 =0,∴-2+a=0,解得a=2,∴分式为 ,
当x=3时,c= =4.(共17张PPT)
第五章　分式与分式方程
第1 课时　分式方程的概念
3　分式方程
　分式方程的概念
1.【学科特色·易错题】(2025四川眉山青神期中)下列方程:
① =2,② =3,③ - = ,④ + =5,⑤ +1=0,
其中是关于x的分式方程的是______.(填序号)
　⑤
解析　方程① =2,② =3,③ - = ,④ + =5的分
母中都不含未知数x,不是关于x的分式方程;⑤ +1=0的分
母中含有未知数x,是关于x的分式方程.故答案为⑤.
　根据实际问题列分式方程
2.(2025黑龙江绥化中考)用A,B两种货车运输化工原料,A货车
比B货车每小时多运输15吨,A货车运输450吨化工原料所用
时间与B货车运输300吨化工原料所用时间相等.若设B货车
每小时运输化工原料x吨,则可列方程为 ( )
A. = 　　　 B. =
C. = 　　　 D. =
C
解析　因为B货车每小时运输化工原料x吨,所以A货车每小
时运输化工原料(15+x)吨,由题意得 = .故选C.
3.(2025广东深圳中考)某社区植树60棵,实际种植人数是原计
划人数的2倍,实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵.若设
原计划种植人数为x,则下列方程正确的是 ( )
A. - =3　　　 B. - =3
C. =2× 　　　 D. =2×
A
解析　∵实际种植人数是原计划人数的2倍,原计划种植人数
为x,∴实际种植人数为2x.根据题意得 - =3.故选A.
4.【跨体育与健康·马拉松】(2025广西南宁月考)马拉松不仅
是一项体育赛事,更是融合历史、健康、文化等多维度的社
会活动.在一次马拉松比赛中,某时刻,甲落后乙30米,已知乙的
平均速度为2.8米/秒,若甲计划跑300米刚好追上乙,则甲接下
来的平均速度为多少米/秒 设甲接下来的平均速度为x米/秒,
则下列方程正确的是 ( )
A. = 　　　 B. =
C. = -30　　　 D. -30=
A
解析　利用时间=路程÷速度,结合甲跑300米所用时间与乙跑
(300-30)米所用时间相同,即可列出关于x的分式方程 =
.故选A.

5.【新考向·数学文化】(2025湖北恩施州模拟,★★☆)数学家
斐波那奇编写的《计算之书》中有如下问题:一组人平分10
元钱,每人分得若干;若再加上6人,平分40元钱,则第二次每人
所得钱数与第一次相同,求第一次分钱的人数.设第一次分钱
的人数为x,则可列方程为 ( )
A. = 　　　 B. =
C. = 　　　 D. =
A
解析　∵第一次分钱的人数为x,∴第二次分钱的人数为x+6,
依题意得 = .故选A.
6.(2025江西中考,★★☆)小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电
汽车,燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费
1 000元电费行驶的路程相同,且每百千米的耗油费比耗电费约
多50元,求纯电汽车每百千米的耗电费.设纯电汽车每百千米
的耗电费为x元,可列分式方程为____________.
= 　
解析　∵纯电汽车每百千米的耗电费为x元,∴燃油汽车每百
千米的耗油费为(x+50)元,由题意得 = .故答案为
= .
7.(2025山东东营模拟,★★☆)东营是一个富饶美丽的地方,是
黄河入海之地.它有中国暖温带保存最完整、最广阔、最年
轻的湿地生态系统,其中著名的黄河三角洲湿地被人们誉为
“鸟类的国际机场”.九年级(1)班的学生周末从学校出发至
黄河入海口研学,两地相距180千米.一部分学生乘慢车先行,
出发30分钟后,另一部分学生乘快车前往,结果同时到达.已知
快车的速度是慢车速度的1.2倍,若设慢车的速度为x千米/时,
则可列方程为__________________.
- = 　　　　　
解析　∵慢车的速度为x千米/时,∴快车的速度为1.2x千米/时,
∵行驶180千米,快车比慢车少用 小时,∴ - = .故答案
为 - = .(共30张PPT)
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课件使用说明
第五章　分式与分式方程
第1课时　分式的乘除与乘方
2　分式的运算
　分式的乘除与乘方
1.(2025广东东莞模拟)化简a÷ 的结果是 ( )
A.0　　 B.1　　 C.a2　　 D.
C
解析 a÷ =a·a=a2.故选C.
2.(2025海南海口期中)计算 · 的结果是 ( )
A. 　　 B. 　　 C.xy　　 D.
D
解析 · = .故选D.
3.【学科特色·易错题】(2025山东济南月考)计算a2÷ ·b的结
果是 ( )
A.a2　　 B. 　　 C.a2b2　　 D.2a2b2
C
解析 a2÷ ·b=a2·b·b=a2b2.故选C.
易错警示　本题易出现的错误是不按运算顺序进行计算,先
算 ·b,得到错误答案a2.
4.(2025河南周口鹿邑三模)计算8m4· 的结果是( )
A.2m2n6　　　 B.4m2n6
C.4m2n3　　　 D.2m3n6
A
解析 8m4· =8m4· =2m2n6.故选A.
5.(2025广东深圳期中)计算 · 的结果是( )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
A
解析 · = · = .
故选A.
6.(2025河北保定二模)若 ÷ 可约分化简,则整式P不可
以是 ( )
A.x-2　　 B.x(x-2)　　 C.x　　 D.x2-4
C
解析　当P=x-2时, ÷ = · = ,故选项A不符
合题意.
当P=x(x-2)时, ÷ = · = ,故选项B不符
合题意;
当P=x时, ÷ = · 不能约分化简,故选项C符合题
意;
当P=x2-4时, ÷ = · = ,故选项D
不符合题意.故选C.
7.(2024广东佛山禅城期末)陈老师设计了接力游戏,规则是
“每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果
传递给下一人,若结果已是最简,游戏结束”.过程如图:

整个游戏过程,________负责的那一步出现了错误.
　乙、丁
解析 ÷ = · ,甲负责的那一步正确;
· = · ,乙负责的那一步错误;
· = · ,丙负责的那一步正确;
· = ,丁负责的那一步错误.
∴游戏过程中,乙、丁负责的那一步出现了错误.故答案为
乙、丁.
8.计算.
(1)- · .　　　　　 (2) · .
(3) ÷ .　　　　　 (4) ÷ .
解析 (1)- · =- .
(2) · = · = .
(3) ÷ = · = .
(4) ÷ = · = x.
9.(2025安徽中考)先化简,再求值: ÷ ,其中x=3.
解析 ÷ = ·(x+1)(x-1)= .当x=3时,原
式= =1.
10.(2025浙江杭州萧山期中)佳琪在做作业时发现一道题有一
部分被墨滴遮住了,如图所示.
(1)佳琪猜测,墨滴遮住的内容是“2a”,请你根据佳琪的猜测
完成计算.
(2)第二天,佳琪的同桌告诉她,这道题被墨滴遮住的是一个二
次二项式,并且这道题的标准答案是 ,请你通过计算说明
墨滴遮住的内容是什么.
解析 (1)原式= ÷ = ÷ = ·
= .
(2)∵ ÷ = = = ,∴墨滴遮
住的内容是2a2-2a.

11.(2024河北唐山玉田期中,★★☆)下列式子的计算结果与
相等的是 ( )
A.a÷ 　　　 B.a÷
C.a÷ ·a2　　　 D.a× ÷a2
D
解析 a÷ =a÷1=a,故选项A不符合题意;
a÷ =a÷ =a5,故选项B不符合题意;
a÷ ·a2=a·a·a2=a4,故选项C不符合题意;
a× ÷a2= · = ,故选项D符合题意.故选D.
12.(2024山东烟台莱州期中,★★☆)计算 ÷ ·
的结果是 ( )
A. 　　 B. 　　 C.- 　　 D.-
C
解析　原式= · · =- .故选C.
13.(2025河北邯郸期中,★★☆)若m-n=2,则代数式 ·
的值是 ( )
A.-2　　 B.2　　 C.-4　　 D.4
D
解析　原式= · =2(m-n).
当m-n=2时,原式=2×2=4.故选D.
14.(★★☆)甲、乙两个工程队合修一条公路,已知甲工程队
每天修(a2-4)m,乙工程队每天修(a-2)2m(其中a>2),则甲工程队
修900 m所用时间是乙工程队修600 m所用时间的_________
倍.
解析　甲工程队修900 m所用时间为 天,乙工程队修600
m所用时间为 天,
÷ = · = .
15.(2025河北模拟,★★☆)已知A为整式,计算 ÷ 的结
果为 .
(1)求整式A.
(2)嘉嘉说:“因为x≠3,所以原式的计算结果不可能为 .”淇
淇说:“嘉嘉考虑得不周全,原式还应有其他无法取得的结
果”.请对淇淇的说法进行说理.
解析 (1)∵ ÷ = ,
∴ = ÷ = · = ,∴A=x-4.
(2)由题意可知x≠±3且x≠4,
当x=-3时, 无意义;
当x=3时, = = ;
当x=4时, = = .
又∵ ≠0,
∴原式的计算结果不可能是 ,0和 .

16.【新课标·运算能力】(2024河北衡水故城月考)现有两块
钢板,甲钢板是半径为(a-1)m(a>1)的圆,如图1,乙钢板是半径
为a m的圆去掉中间半径为1 m的小圆后剩下的圆环部分,如
图2.
(1)在钢板的外圈围上一圈铁片,甲、乙钢板所围铁片的总价
分别为18元和42元,乙钢板所围铁片每米的价格是甲钢板所
围铁片每米价格的2倍,求a的值.
(2)当压力F(N)一定时,物体所受的压强p(Pa)与受力面积S(m2)
的关系式为p= (S≠0).现测试甲、乙两块钢板的抗压性,对
两块钢板施加相同的压力F(N),受力面积均为钢板的面积.
①甲钢板所受的压强p甲=_______Pa,乙钢板所受的压强p乙=
_______Pa.
②将 化简,当a>3时,直接写
出 的取值范围.
解析 (1)设甲钢板所围铁片每米价格为x元,则乙钢板所围铁
片每米价格为2x元,
由题意得 解得a=7.
(2)①甲钢板所受的压强p甲= Pa.乙钢板所受的压强p乙
= Pa.
② = ÷ = = = =1+ ,
∵a>3,∴a-1>2,
∴0< <1,
∴1<1+ <2,即1< <2.(共28张PPT)
第五章　分式与分式方程
第3 课时　分式方程的应用
3　分式方程
　列分式方程解决实际问题
1.【新课标·中华优秀传统文化】(2025云南昭通模拟)赛龙舟
是端午节的重要习俗之一,蕴含着团结、协作和勇往直前的
精神,某地龙舟赛的赛程为500米,A,B两队在同一起点同时出
发,已知A队的平均速度是B队的1.25倍,A队比B队提前25秒到
达终点,若设B队的平均速度是x米/秒,可列方程为 ( )
A. - =25　　　 B. - =25
C. - = 　　　 D. - =
A
解析　∵B队的平均速度是x米/秒,∴A队的平均速度是1.25x
米/秒,根据时间等于路程除以速度分别计算出两队比赛所用
的时间,再根据A队比B队提前25秒到达终点建立方程即可,方
程为 - =25.故选A.
2.【跨物理·压强】已知在一定温度下,某气体对气缸壁所产
生的压强p(kPa)与气缸内气体的体积V(mL)满足关系式p=
.对气缸顶部的活塞加压,当气缸内气体的体积减小20%
时,测得气体对气缸壁所产生的压强增加15 kPa.设加压前气
缸内气体的体积为x ml,则可列方程为 ( )
A. - =15　　　 B. - =15
C. - =15　　　 D. - =15
A
解析　∵加压前气缸内气体的体积为x ml,∴加压后气缸内气
体的体积为0.8x ml,根据已知关系式和“气体对气缸壁所产
生的压强增加15 kPa”列出方程 - =15.故选A.
3.(2024山东枣庄中考)为提高生产效率,某工厂将生产线进行
升级改造,改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600
件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产
的产品件数为 ( )
A.200　　 B.300　　 C.400　　 D.500
B
解析　设改造后每天生产的产品件数为x,则改造前每天生产
的产品件数为x-100,根据题意,得 = ,解得x=300,经检
验,x=300是分式方程的解,且符合题意,故改造后每天生产的
产品件数为300.故选B.
4.【新考向·数学文化】(2025北京怀柔期末)我国明代《永乐
大典》记载“绫罗尺价”问题:“今有绫、罗共三丈,各值钱
八百九十六文,只绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗
尺价各几何 ”其大意是:现在有绫布和罗布共3丈(1丈=10
尺),已知绫布和罗布分别出售均能收入896文,一尺绫布和一
尺罗布一共价值120文.问绫布有多少尺,罗布有多少尺 设绫
布有x尺,则可列方程为___________________.
+ =120　　　　
解析　绫布有x尺,则罗布有3×10-x=(30-x)尺,
由题意得 + =120.故答案为 + =120.
5.(2025四川自贡中考)去年暑假,小张和小李主动帮刘大爷掰
玉米,他们分别掰了36筐和30筐,两人劳动时间相同,小张平均
每小时比小李多掰2筐,请问小李平均每小时掰多少筐玉米
解析　设小李平均每小时掰x筐玉米,则小张平均每小时掰
(x+2)筐玉米,
根据题意得 = ,解得x=10,
经检验,x=10是所列方程的解,且符合题意.
答:小李平均每小时掰10筐玉米.
6.(2025江苏扬州中考)某文创商店推出甲、乙两款具有纪念
意义和实用价值的书签,已知甲款书签的价格是乙款书签价
格的 倍,且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款
书签的数量少3个.求这两款书签的单价.
解析　设乙款书签的单价是x元,则甲款书签的单价是 x元,
根据题意得 - =3,解得x=16,
经检验,x=16是所列方程的解,且符合题意,
∴ x= ×16=20.
答:甲款书签的单价是20元,乙款书签的单价是16元.

7.(2024黑龙江绥化中考,★★☆)一艘货轮在静水中的航速为
40 km/h,它以该航速沿江顺流航行120 km所用的时间与以该
航速沿江逆流航行80 km所用的时间相等,则江水的流速为
( )
A.5 km/h　　 B.6 km/h　　 C.7 km/h　　 D.8 km/h
D
解析　设江水的流速为x km/h,则沿江顺流航行的速度为(40+
x)km/h,沿江逆流航行的速度为(40-x)km/h,根据题意得 =
,解得x=8,经检验,x=8是原方程的解且符合题意,∴江水
的流速为8 km/h.故选D.
8.(2025山东淄博淄川月考,★★☆)随着快递业务的增加,某快
递公司为快递员更换了快捷的交通工具,公司投递快件的能
力由每周3 000件提高到4 200件,平均每人每周比原来多投递
快件80件,若快递公司的快递员人数不变,则原来平均每人每
周投递快件 ( )
A.200件　　 B.210件　　 C.250件　　 D.260件
A
解析　设原来平均每人每周投递快件x件,则现在平均每人每
周投递快件(x+80)件,
由题意得 = ,解得x=200,经检验,x=200是所列方程的
解,且符合题意,即原来平均每人每周投递快件200件.故选A.
9.(2025浙江金华东阳期末,★★☆)小明在长为180米的跑道
上训练机器人,机器人匀速行走1分钟后,提速到原来速度的
1.5倍继续匀速行走,结果比原计划提前40秒到达终点.
(1)求该机器人走完全程所花的时间.
(2)若A机器人一半路程以a米/分钟的速度行走,另一半路程以
b米/分钟的速度行走,B机器人用一半时间以a米/分钟的速度
行走,另一半时间以b米/分钟的速度行走,试比较A,B两机器人
走完全程所花时间的长短.
解析 (1)设机器人原来行走的速度为x米/分钟,
根据题意得 = + ,解得x=60,
经检验,x=60为原方程的解,且符合题意,
∴1+ =1+ = ,
∴机器人走完全程所花的时间为 分钟.
(2)A机器人所需时间tA= + = ,
B机器人所需时间tB= = ,
∴tA-tB= -
= = ,
当a=b时,tA-tB=0,即两机器人走完全程所花的时间相同.
当a≠b时,tA-tB>0,即A机器人走完全程所花的时间较长.

10.【新课标·应用意识】(2025江西萍乡翠湖中学模拟)下面
是小轩学习“分式方程的应用”后所记录的学习笔记,请认
真阅读并解答相应的问题.
题目:某校准备购买甲、乙两种图书,甲种图书的单价比乙种图书的单价多20元,用2 000元购买甲种图书的数量和用1 200元购买乙种图书的数量相同.问甲、乙两种图书的单价各是多少元 方法 分析问题 列出方程
解法一 设……,等量关系:
甲种图书数量=乙种图书数量 =
解法二 设……,等量关系:
甲种图书单价-乙种图书单价=20元 - =20
(1)解法一所列方程中的x表示_______,解法二所列方程中的
x表示_______.(填序号)
①甲种图书的单价;②乙种图书的单价;③甲种图书购买的本
数.
(2)请选择一种解法,求甲、乙两种图书的单价.
(3)若该校用不超过2 500元购买甲、乙两种图书共60本,求甲
种图书最多能购买的数量.
解析 (1)由甲种图书数量=乙种图书数量可得 =
中的x表示甲种图书的单价,由甲种图书单价-乙种图书单价=
20元可得 - =20中的x表示甲种图书购买的本数.故
答案为①;③.
(2)选择解法一:设甲种图书的单价为x元,则乙种图书的单价
为(x-20)元,根据题意列方程为 = ,解得x=50,
经检验,x=50是原方程的解,且符合题意,
∴x-20=50-20=30.
答:甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元.
选择解法二:设甲种图书购买的本数为x,
根据题意列方程为 - =20,解得x=40,
经检验,x=40是原方程的解,且符合题意,
∴ =50, =30.
答:甲、乙两种图书的单价分别为50元、30元.
(3)设甲种图书购买的数量为m本,则乙种图书购买的数量为
(60-m)本,
根据题意,得50m+30(60-m)≤2 500,
整理,得20m≤700,解得m≤35.
∵m为整数,∴m最大可取35.
答:甲种图书最多能购买35本.(共31张PPT)
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第五章　分式与分式方程
第3课时　异分母分式的加减
2　分式的运算
　通分与最简公分母
1.(2025江苏南京期末)分式 与 的最简公分母是( )
A.4m2　　 B.4m3　　 C.8m2　　 D.8m3
A
解析 与 的最简公分母是4m2.故选A.
2.(2025江苏扬州仪征期中)分式 , 的最简公分母是____
__________.
x(x+1)
解析 x2+x=x(x+1),则 , 的最简公分母是x(x+1).故答
案为x(x+1).
方法点拨　确定最简公分母的方法
(1)若分母是单项式,应取各项系数的最小公倍数与所有字母
的最高次幂的积作为最简公分母;
(2)若分母是多项式,应先进行因式分解,再取各项系数的最小
公倍数与所有因式的最高次幂的积作为最简公分母.
3.通分:
(1) ,- . (2) , .
解析 (1)分式 与- 的最简公分母是a2b2,
∴ = ,- =- .
(2)∵x2-y2=(x+y)(x-y),x2+xy=x(x+y),
∴两分式的最简公分母是x(x+y)(x-y),
∴ = , = .
　异分母分式的加减
4.(2025山西晋城陵川期中)计算 + 的结果为 ( )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
D
解析 + = + = .故选D.
5.(2025天津中考)计算 + 的结果等于 ( )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.1
A
解析 + = +
= = .
故选A.
6.(2025安徽合肥瑶海模拟)已知x+y=4,xy=2,则 + 的值为
( )
A.5　　 B.6　　 C.7　　 D.8
B
解析　已知x+y=4,xy=2,则 + = = =
=6.故选B.
7.(2025山西长治武乡期中)计算: - =_________.
解析 - = - =
= = .故答案为 .
8.(2025湖南永州祁阳月考)已知等式“ - =
”被墨迹覆盖了一部分,则被覆盖的部分是_________.
解析 - = = = ,故被覆盖的
部分是 .
9.(2025江苏扬州宝应期中)计算:
(1) + - . (2) + .
解析 (1)原式= + -
= .
(2)原式= + =
= = = .
方法技巧　异分母分式加减的方法
(1)找:找各分式的最简公分母;
(2)通:通分,化为同分母的分式;
(3)算:按同分母分式加减法则进行计算;
(4)化:将结果化为最简分式或整式.
10.先化简,再求值.
(1)(2025江苏宿迁期中) + ,其中x=-1.
(2)(2024山东济南外国语学校期末)先化简,再求值: -
+ ,其中m=2,n=3.
解析 (1) + = + = + = =
= ,
当x=-1时,原式= =- .
(2)原式= - +
= = = .
当m=2,n=3时,原式= = =- .

11.(2025山西朔州模拟,★★☆)已知F为整式,若计算 -
的结果为 ,则F= ( )
A.a-b　　 B.a+b　　 C.b　　 D.a
D
解析 + = +
= = = = ,
则F=a.故选D.
12.(2025河南洛阳期中,★★☆)如果A= ,B= - ,那
么代数式A与B之间的关系是 ( )
A.A+B=0　　 B.A=B　　 C.A·B=0　　 D.A=2B
A
解析　∵B= - = - = ,A=
,∴A+B= + =0.故选A.
13.【学科特色·易错题】(2025江苏南京建邺期末,★★★)定
义:若两个分式A与B满足|A-B|=3,则称A与B这两个分式互为
“美妙分式”.若分式 与 互为“美妙分式”,且a,b
均为不等于0的实数,则分式 =__________.
　- 或-
解析　∵ 与 互为“美妙分式”,
∴ =3,
∴ = =3,
∴ =3或 =-3,
∴3a2+ab=3(a2-b2)或3a2+ab=-3(a2-b2),
∵a,b均为不等于0的实数,∴有两种可能:①a=-3b,②ab=3b2-6a2,
把①代入, = = =- ,
把②代入, = = =- .
综上,分式 的值为- 或- .
14.(2025江苏泰州姜堰期中,★★☆)先化简,再求值: -
,其中x,y满足x2=2xy+y2.
解析　原式= = =
= ,
∵x2=2xy+y2,∴x2-y2=2xy,∴原式= =1.
15.【新考向·新定义题】(2025河南郑州金水期末,★★☆)定
义新运算:对于两个代数式M,N(M≠0,N≠0),规定:M※N= -
,例如:3※2= - = .
(1)化简:(3+x)※(x-3).
(2) ※ 的结果能否为零 若能,请计算此时x的值;若不
能,请说明理由.
解析 (1)原式= - =
= = .
(2)不能为0,理由如下:
原式= - = -
= = = ,
∴结果不会等于0.
16.【跨物理·电阻】(2025浙江模拟,★★☆)小明在探究并联
电路的总电阻时,发现总电阻R(Ω)的倒数等于各并联电阻R1,
R2的倒数和,即 = + .
(1)请用含R和R1的式子表示R2.
(2)若R1,R2均为正整数,探究R1,R2的值分别为多少时,总电阻R
恰好为2 Ω.
解析 (1)由题意可得 = - = ,
∴R2= .
(2)∵R=2 Ω,∴R2= = =2+ ,
易知R1,R2均大于R,
∵R2为正整数,∴R1-2=1或R1-2=2或R1-2=4,
①当R1-2=1时,R1=3,R2=6;②当R1-2=2时,R1=4,R2=4;
③当R1-2=4时,R1=6,R2=3.

17.【新课标·推理能力】(2025江苏南京期中)已知a>b>0.
(1)若m>0,求证: > .
(2)若M= ,N= + ,判断M与N的大小并证明.
解析 (1)证明:∵a>b>0,m>0,∴a-b>0,a+m>0,
∴ - = - = >0,
∴ > .
(2)Mb>0,
∴1∴ > , > ,
∴ + > + = ,∴M本课件需用office2010及以上版本打开，如果您的电脑是office2007及以下版本，可能会出现不可编辑的文档，建议您安装WPS或office2010及以上版本。
课件使用说明
第五章　分式与分式方程
第4课时　分式的运算
2　分式的运算
　分式的运算
1.(2025河南平顶山鲁山三模)计算a+1+ 的结果是( )
A. 　　 B. 　　 C.a-1　　 D.a2

A
解析 a+1+ = +
= + = .故选A.
2.(2025湖北中考)计算 -x的结果是_________.
2
解析 -x= -x=x+2-x=2.故答案为2.
3.计算 - 的结果是_________.
解析 - = -
= -
= = = .
4.(2025江苏扬州中考)计算: ÷ =___________.
x-2
解析　原式= ·x=x-2.故答案为x-2.
5.(2025江苏南京玄武期中)计算:
(1) - .
(2) + - .
解析 (1) - =
= = .
(2) + -
= +
= +x+1= = .
6.化简:
(1)(2025陕西中考) ÷ .
(2)(2025江西中考) ÷ .
解析 (1) ÷ = ·
= · =x+2.
(2) ÷
= ·
= · = .
7.(2025河南驻马店泌阳期末)请你阅读小明同学的解题过程,
思考并完成任务.
先化简,再求值: · ,其中x=-3.
解: ·
= · 第一步
= · 第二步
= · 第三步
=x+2. 第四步
当x=-3时,原式=-3+2=-1.
任务一:以上解题过程中,第_______步用到了约分,约分的依
据是____.
任务二:请你用与小明同学不同的方法,完成化简求值.
任务三:根据平时的学习经验,就分式化简时需要注意的事项
给同学们提一条建议.
解析　任务一:四;分式的基本性质.
任务二:原式= ·
= · - ·
= - = =x+2.
当x=-3时,原式=-3+2=-1.
任务三:答案不唯一,如去括号时不要漏乘,注意变号,结果要化
成最简分式或整式.

8.(2024河北中考,★★☆)已知A为整式,若计算 -
的结果为 ,则A= ( )
A.x　　 B.y　　 C.x+y　　 D.x-y
A
解析　∵ - = ,
∴ = + = +
= = =
= = ,∴A=x.故选A.
9.(2024黑龙江绥化中考,★★☆)化简: ÷ =____
_____.
解析　原式= ÷
= ÷ = · = .
10.【学科特色·整体思想】(2025四川成都石室中学模拟,★
★☆)已知m2+2m-3=0,则代数式 · 的值为____.
6
解析 · = · = · =
2m(m+2)=2m2+4m,
∵m2+2m-3=0,∴m2+2m=3,
∴原式=2(m2+2m)=2×3=6.
11.(2024山东菏泽巨野期末,★★☆)已知 与 的和等
于 ,则a+b=_________.
4
解析　由题意知 + = ,
∴ = ,∴a(x-2)+b(x+2)=4x,
∴(a+b)x-2(a-b)=4x,∴a+b=4.故答案为4.
12.(2025安徽安庆岳西月考,★★☆)化简: + + +
.
解析 + + +
= + + + = + +
= + + = +
= + = .
13.(2025山东烟台中考,★★☆)先化简,再求值: ÷
,其中m=(-1)2 025.
解析　原式= ÷
= · =3m.
∵m=(-1)2 025=-1,∴原式=3×(-1)=-3.
14.(2025江苏南京鼓楼期中,★★☆)已知P=x+2,Q= .
(1)当x=1时,P-Q的值为_______.
(2)当x>0时,判断P与Q的大小关系,并说明理由.
(3)设y= - ,求当x为非负整数时,y的整数值.
解析 (1)当x=1时,P=1+2=3,Q= = ,
∴P-Q=3- = .故答案为 .
(2)当x>0时,P≥Q.
理由:∵P=x+2,Q= ,
∴P-Q=x+2- = - = ,
∵x>0,∴x+2>0,
又∵(x-2)2≥0,
∴P-Q= ≥0,∴P≥Q.
(3)∵P=x+2,Q= ,y= - ,
∴y= - = ,
∵x为非负整数,y是整数,
∴当x=0时,y= =2,当x=6时,y= =0.
答:当x为非负整数时,y的整数值为0或2.

15.【新课标·应用意识】(2025江苏南京期中)在一条河里,
甲、乙两船从A港口同时同向逆流出发,分别航行1小时后立
即原路返航,若甲船在静水中的速度为v1,乙船在静水中的速
度为v2,水流速度为v0(v1>v2>v0>0),甲、乙两船是否同时返回A
港 为什么
解析　甲、乙两船不能同时返回A港.
理由:由题意得,甲船的返航时间为t1= = ,乙船的
返航时间为t2= = ,
∴t1-t2= -
=
= ,
∵v1>v2>v0>0,∴v1-v2>0,v1+v0>0,v2+v0>0,
∴t1-t2>0,∴t1>t2,∴乙船先返回A港,
即甲、乙两船不能同时返回A港.(共30张PPT)
第五章　分式与分式方程
第2 课时　分式方程的解法
3　分式方程
　解分式方程
1.(2025湖南中考)将分式方程 = 去分母后得到的整式方
程为 ( )
A.x+1=2x　　　 B.x+2=1
C.1=2x　　　 D.x=2(x+1)
A
解析　方程 = 两边同乘x(x+1),得x+1=2x.故选A.
2.(2025广东梅州模拟)已知x=3是关于x的方程 = 的解,
则m= ( )
A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4
C
解析　∵x=3是关于x的方程 = 的解,∴ = ,方程去
分母,得3+m=6,∴m=3,经检验,m=3是分式方程 = 的解.故
选C.
3.(2025河南洛阳伊川期末)若关于x的方程 -3= 有增
根,则增根为 ( )
A.x=6　　 B.x=5　　 C.x=4　　 D.x=3
B
解析　∵最简公分母是x-5,原方程有增根,
∴x-5=0,∴增根是x=5.故选B.
4.(2025海南模拟)若 与 的值互为相反数,则x的值是
( )
A.3　　 B.5　　 C.7　　 D.11
D
解析　∵ 与 的值互为相反数,∴ + =0,解得x=
11,经检验,x=11是分式方程的解.故选D.
5.(2025北京中考)方程 + =0的解为___________.
x=2
解析　方程两边同乘x(x-6),得2x+x-6=0,解得x=2,经检验,x=2
是原方程的解.故答案为x=2.
6.(2025浙江衢州模拟)当x=_______时,分式 的值为2.
　-4
解析　由题意得 =2,去分母,得x-2=2x+2,
解得x=-4,检验:当x=-4时,x+1≠0,故x=-4是分式方程的解,
∴x=-4时,分式 的值为2.故答案为-4.
7.(2025河南南阳唐河期中)小颖在解分式方程 - =2时,
△处被污染看不清,但正确答案是此方程无解.请你帮小颖解
答一下△处的数应是_________.
1
解析 - =2,
去分母,得x+△-4=2(x-3),
去括号,得x+△-4=2x-6,
移项,得x-2x=-6+4-△,
合并同类项,得-x=-2-△,
系数化为1,得x=2+△,
∵分式方程无解,∴分式方程有增根,
∴x-3=0,∴x=3,
∴2+△=3,∴△=1.故答案为1.
8.解分式方程.
(1)(2025浙江中考) - =0.
(2)(2025山东威海中考) -1= .
(3) +1= . (4) + = .
解析 (1)方程两边同乘(x+1)(x-1),得3(x-1)-(x+1)=0,
去括号,得3x-3-x-1=0,解得x=2,
检验:当x=2时,(x+1)(x-1)≠0,
∴原分式方程的解为x=2.
(2)方程两边同乘2x-1,得x-2-2x+1=-1,
解得x=0,检验:当x=0时,2x-1≠0,
∴原分式方程的解为x=0.
(3)方程两边同乘2(x+1),得2x+2(x+1)=5,
去括号,得2x+2x+2=5,解得x= .
检验:当x= 时,2(x+1)≠0.
∴原分式方程的解为x= .
(4)方程两边同乘(x+2)(x-2),
得x-2+4x=2(x+2),
去括号,得x-2+4x=2x+4,解得x=2.
检验:当x=2时,(x+2)(x-2)=0.
∴原分式方程无解.
9.(2025江苏常州期末)解方程: = -2.
下面是小丽同学解这个方程的部分过程.
解: = -2,…第一步
……
(1)小丽第二步在方程的两边同乘2(x-2),这样做的依据是_____
_____(填序号).
①等式的基本性质;②分式的基本性质;③因式分解.
(2)请将解方程的过程补充完整.
解析 (1)①.
(2)方程的两边同乘2(x-2),
得2(5x-4)=-x-1-4(x-2),
整理,得10x-8=-5x+7,解得x=1,
检验:当x=1时,2(x-2)≠0,故原分式方程的解为x=1.

10.(2025吉林长春月考,★★☆)关于x的分式方程 =1的
解是正数,则a的取值范围是 ( )
A.a<-1且a≠-2　　　 B.a≠1
C.a>-1且a≠0　　　 D.a<-1
A
解析　方程两边同乘x-1,得2x+a=x-1,所以x=-a-1,因为关于x的
分式方程 =1的解是正数,所以-a-1>0,且-a-1≠1,所以a<-1
且a≠-2,所以a的取值范围是a<-1且a≠-2.故选A.
11.(2025浙江杭州钱塘期末,★★☆)若关于x的分式方程 -
1= 有增根,则实数a的值为 ( )
A.-2　　 B.-1　　 C.0　　 D.1
B
解析　方程两边都乘x(x-1),得x(x+a)-x(x-1)=3(x-1),∵方程有增
根,∴x(x-1)=0,∴方程的增根是x=0或x=1,把x=0代入整式方程,
无解,把x=1代入整式方程,解得a=-1,∴a的值为-1.故选B.
12.【学科特色·易错题】(2025四川遂宁中考,★★☆)若关于x
的分式方程 = -1无解,则a的值为 ( )
A.2　　 B.3　　 C.0或2　　 D.-1或3
D
解析　去分母,得3-ax=-a+x-2,整理,得(a+1)x=a+5,因为关于x
的分式方程无解,所以分两种情况:①方程(a+1)x=a+5无解,则
a+1=0,解得a=-1.②整式方程的解为分式方程的增根,解(a+1)x
=a+5得x= ,所以 =2,解得a=3.综上,a的值为3或-1.故选
D.
易错警示　求解时只考虑到去分母后得到的整式方程的解是
分式方程的增根,忽视了整式方程可能无解这一情况,导致漏
解.
13.(2025河南商丘模拟,★★☆)定义一种新运算,对于任意非
零实数a,b满足a*b= + ,若2x*(x+1)= ,则x的值为_______.
3
解析　根据题意,得2x*(x+1)= + = + = ,解得
x=3.经检验,x=3是分式方程的根,∴x的值是3.
14.【跨物理·照相机成像】(2025浙江台州玉环期末,★★☆)
照相机成像应用了一个重要原理,即 = + (v≠f),其中f表示
照相机镜头的焦距,u表示物体到镜头的距离,v表示胶片(像)
到镜头的距离.一架照相机f已固定,那么就要依靠调整u,v来使
成像清晰.
(1)用焦距f=40 mm的相机,拍摄到镜头的距离u=0.2 m的花卉,
成像清晰,那么拍摄时胶片到镜头的距离v是多少
(2)当u=2v时,求 的值.
解析 (1)0.2 m=200 mm,由题意可得 = + ,解得v=50,经
检验,v=50是分式方程的解且符合实际,∴拍摄时胶片到镜头
的距离v是50 mm.
(2)当u=2v时, = + ,∴ = ,∴ = .

15.【新课标·创新意识】(2025福建漳州龙海期中)新定义:如
果关于x的分式方程 +1=b的解是x= ,那么我们就把实数
a,b组成的数对[a,b]称为关于x的分式方程 +1=b的一个“关
联数对”.例如:a=2,b=-5时,关于x的分式方程 +1=-5的解是x
=- , = =- ,所以数对[2,-5]是关于x的分式方程 +1
=b的一个“关联数对”.
(1)下列数对是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”的是
_______.(填字母)
A.[3,-5]　　　 B.[1,-2]
(2)若数对 是关于x的分式方程 +1=b的“关联数
对”,求n的值.
(3)若数对[2m+k,-k] m≠± ,且m≠0,k≠-1 是关于x的分式方
程 +1=b的“关联数对”,且关于x的方程kx-2m+1= x有
整数解,求整数m的值.
解析 (1)当a=3,b=-5时,分式方程为 +1=-5,解得x=- ,
∵ =- ,∴数对[3,-5]是关于x的分式方程 +1=b的
“关联数对”.
当a=1,b=-2时,分式方程为 +1=-2,解得x=- ,∵ =-1≠
- ,∴数对[1,-2]不是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”.
故答案为A.
对”,∴a=-n,b=- +n,∴方程为 +1=- +n,解得x= ,
∵ = =-2,∴ =-2,解得n=3.
(2)∵数对 是关于x的分式方程 +1=b的“关联数
(3)∵数对[2m+k,-k]是关于x的分式方程 +1=b的“关联数
对”,∴a=2m+k,b=-k,∴ +1=-k,∵k≠-1,m≠0,m≠± ,∴x
=- ,∵ = = ,∴ =- ,
当m≠- 时,
解得k=- ,将k=- 代入kx-2m+1= x,整理,得(2m-
1)2x=(1-2m)(1+2m),已知m≠ ,解上述方程得x=- =-1-
,∵关于x的方程kx-2m+1= x有整数解,且m为整数,
∴2m-1=±1或±2,即2m-1=-1或2m-1=1或2m-1=-2或2m-1=2,解
得m=0(舍去)或m=1或m=- (舍去)或m= (舍去),∴m=1.(共16张PPT)
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课件使用说明
第五章　分式与分式方程
第2课时　同分母分式的加减
2　分式的运算

　同分母分式的加减
1.计算 + 的结果是 ( )
A.3　　 B.x　　 C.3x　　 D.
A
解析 + = = =3.故选A.
2.(2025河南中考)化简 - 的结果是 ( )
A.x+1　　 B.x　　 C.x-1　　 D.x-2
A
解析 - = + =
= =x+1.故选A.
方法技巧　当两个分式的分母互为相反数时,利用分式的性
质改变其中一个分母的符号,化为同分母分式后再计算.
3.(2025山西临汾霍州月考)下列计算正确的是 ( )
A. + = 　　　 B. + =0
C. - = 　　　 D. - =0
B
解析 + = , + = - =0,
- =- , - = =1.故选B.
4.(2025广东深圳中考)计算: - =___________.
a-1
解析 - = = =a-1.故答案为a-1.
5.计算:
(1) + .　 (2) + + .
解析 (1) + = - =
= =-a-b.
(2) + +
= + - =
= = = .

6.(2025河北衡水中学月考,★☆☆)如图,一个正确的运算被盖
住了一部分,则被盖住的部分是 ( )

A. 　　 B.a　　 C. 　　 D.1
D
解析　由题意得,被盖住的部分是 + = = =1.
故选D.
7.(2025河北石家庄裕华模拟,★★☆)计算 - 的结
果是一个整数,写出一个符合条件的实数a的值:____________
______.
3(答案不唯一)
解析　原式= = = ,
当a=3时,原式= =1,所以a=3符合题意.
故答案可以为3.(答案不唯一)
8.(2025吉林长春朝阳期中,★★☆)先化简,再求值: - ,
其中x=-3.
解析 - = = =2x2.
当x=-3时,原式=2×(-3)2=2×9=18.

9.【新课标·创新意识】(2024陕西西安期末)定义:如果两个分
式A与B的差为常数,且这个常数为正数,则称A是B的“雅中
式”,这个常数称为A关于B的“雅中值”.例如分式A= ,B
= ,A-B= - = =4>0,则A是B的“雅中式”,A关
于B的“雅中值”为4.
(1)若分式C= ,D= ,请判断C是不是D的“雅中式”.
若是,请求出C关于D的“雅中值”;若不是,请说明理由.
(2)已知分式M= ,N= ,M是N的“雅中式”,且M关于N
的“雅中值”为3,试用含x的式子表示E.
解析 (1)∵C= ,D= ,
∴C-D= - = =1>0,
∴C是D的“雅中式”,C关于D的“雅中值”为1.
(2)∵M是N的“雅中式”,且M关于N的“雅中值”为3,
∴M-N=3,
∵M= ,N= ,∴ - =3,
∴ =3,∴E-2x=3x+9,∴E=5x+9.(共32张PPT)
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课件使用说明
第五章　分式与分式方程
第2课时　分式的化简
1　分式及其基本性质
　分式的基本性质
1.(2025江苏南京期中)下列分式中,与 相等的是 ( )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
B
解析　分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整
式,分式的值不变,观察四个选项可知 = .故选B.
2.根据分式的基本性质,分式 可变形为 ( )
A. 　　 B. 　　 C.- 　　 D.-
C
解析　因为在分式的分子、分母与分式本身三者的符号中,
改变其中任意两个,分式的值不变,所以 =- .故选C.
3.(2025福建福州十九中期末)下列各式从左到右的变形,一定
正确的是 ( )
A. = 　　　 B. =-
C. = 　　　 D. =
D
解析 ≠ ,原变形错误,故选项A不符合题意;
=- ≠- ,原变形错误,故选项B不符合题意;
≠ ,原变形错误,故选项C不符合题意;
= ,原变形正确,故选项D符合题意.故选D.
4.(2025河南南阳方城期中)若 = ,则“ ”所代表的
式子是_________.
c
解析　∵ = = ,∴ =c.故答案为c.
5.(2024江西省丰城中学月考)不改变分式的值,把下列各分式
中分子和分母的各项系数化为整数.
(1) .　 (2) .
解析 (1)原式= = .
(2)原式= = .
　分式的约分及最简分式
6.(2025河南南阳邓州期中)下列分式是最简分式的是( )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
D
解析 A.分子、分母有公因数2,不是最简分式;B.分子、分母
有公因式b,不是最简分式;C. = ,分子、分母有
公因式x+1,不是最简分式;D. 是最简分式.故选D.
7.(2024河北石家庄四十四中期中)将分式 约分时,分
子、分母同时除以 ( )
A.5m　　 B.5mx　　 C.5mx2　　 D.10mx2
C
解析 = ,所以将分式 约分时,分子、分母
同时除以5mx2.故选C.
8.(2025江苏无锡期中)下列各式中,约分正确的是 ( )
A. =-1　　　 B. =a
C. = 　　　 D. =
C
解析 是最简分式,不能约分,故选项A错误; =a2,故选
项B错误; = = ,故选项C正确; = ,故选项D
错误.故选C.
9.(2025湖南中考)约分: =__________.
x2
解析 = =x2.故答案为x2.
10.化简下列分式.
(1) . (2) . (3) .
解析 (1) = =- .
(2) =- =- .
(3) = =- .
11.先约分,再求值.
(1) ,其中x=2.
(2) ,其中a=3b(b≠0).
解析 (1) = = ,
当x=2时,原式= =3.
(2) = = ,
当a=3b时,原式= = =-5.

12.(2025山东济南历下期中,★★☆)若分式 是最简分
式,则△表示的整式可能是 ( )
A.2a+2b　　　 B.a2+b2
C.a2+2ab+b2　　　 D.(a-b)2
B
解析 = = ,原式不是最简分式,故△表
示的整式不可能是2a+2b,故选项A不符合题意; 是最简
分式,故△表示的整式可能是a2+b2,故选项B符合题意;
= = ,原式不是最简分式,故△表示
的整式不可能是a2+2ab+b2,故选项C不符合题意; =
= ,原式不是最简分式,故△表示的整式不可能
是(a-b)2,故选项D不符合题意.故选B.
13.【学科特色·整体思想】(2025江苏无锡江阴期中,★★☆)
如果x2-4xy+4y2=0,那么 的值为 ( )
A.- 　　 B.- 　　 C. 　　 D.
C
解析　∵x2-4xy+4y2=0,∴(x-2y)2=0,
∴x-2y=0,∴x=2y,∴ = = .故选C.
14.(2025陕西西安雁塔期中,★★☆)若使分式 有意义的
a和b的值都扩大为原来的2倍,则分式的值扩大为原来的4倍,
因此整式A可以是 ( )
A.a+b　　 B.2a+2b　　 C.ab　　 D.a2b
D
解析　若A=a+b,则原式= ,将a和b的值都扩大为原来的2
倍,得 = = ,分式的值不变,故选项A不符
合题意.
若A=2a+2b,则原式= ,将a和b的值都扩大为原来的2倍,
得 = = ,分式的值不变,故选项B不符
合题意.
= = ,分式的值扩大为原来的2倍,故
选项C不符合题意.
若A=a2b,则原式= ,将a和b的值都扩大为原来的2倍,得
= = ,分式的值扩大为原来的4倍,故
选项D符合题意.故选D.
若A=ab,则原式= ,将a和b的值都扩大为原来的2倍,得
15.(2025江苏宿迁宿豫期末,★★☆)已知a+b=3ab,且ab+a+b
≠0,则 的值为_________.
解析　∵a+b=3ab,且ab+a+b≠0,
∴ = = = = .
故答案为 .
16.(2025河北张家口桥西期中,★★☆)数学活动课上,老师在
黑板上写了两个代数式,A=2x+2,B=x2-1,请同学们利用两个代
数式提出问题,并解决问题.
(1)嘉嘉:求A+B的最小值.
(2)琪琪:若 的值为正整数,求整数x的值.
解析 (1)A+B=2x+2+x2-1=x2+2x+1=(x+1)2,∵(x+1)2≥0,
∴A+B的最小值为0.
(2) = = = (x≠±1),
∵ 的值为正整数,
∴x-1=1或x-1=2,
解得x=2或x=3.

17.【新课标·创新意识】(2024山东聊城期中)我们给出定义:
若一个分式约分后是一个整式,则称这个分式为“巧分式”,
约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例如: =
=4x,称分式 是“巧分式”,4x为它的“巧整
式”.根据上述定义,解决下列问题.
(1)下列分式中是“巧分式”的是_______(填序号).
① ; ② ; ③ .
(2)若分式 (m为常数)是一个“巧分式”,它的“巧
整式”为x-7,求m的值.
(3)若分式 的“巧整式”为1-x.
①求整式A.
② 是“巧分式”吗
解析 (1)① =2x-3,是“巧分式”.② 不
能约分,不是“巧分式”.③ = =x-y,是“巧分
式”.故答案为①③.
(2)∵分式 (m为常数)是一个“巧分式”,它的“巧
整式”为x-7,
∴(x+3)(x-7)=x2-4x+m,∴x2-4x-21=x2-4x+m,
∴m=-21.
(3)①∵分式 的“巧整式”为1-x,
∴A= = = =2x(1+x),即A=2x2+2x.
②∵ = = =x+1,x+1是整式,
∴ 是“巧分式”.

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