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(共36张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
第3 课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形
2　等腰三角形
　等边三角形的判定
1.(2025广东惠州期中)如图,下列条件能推出△ABC是等边三
角形的是 ( )
A.∠B=∠C
B.AD⊥BC,BD=CD
C.AD⊥BC,BD=CD,∠BAD=30°
C
D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD
解析 A.∵∠B=∠C,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,不能
判定△ABC是等边三角形.
B.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,又∵AD=AD,BD=CD,
∴△ABD≌△ACD,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,不能
判定△ABC是等边三角形.
C.由AD⊥BC,BD=CD,易得△ABD≌△ACD,∴AB=AC,∠BAD
=∠CAD,∵∠BAD=30°,∴∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角
形.
D.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,又∵∠BAD=∠CAD,
AD=AD,∴△ABD≌△ACD,∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形,不能判定△ABC是等边三角形.
故选C.
2.(2025天津期中)在△ABC中,AB=AC,添加下列条件后不能判
定△ABC是等边三角形的是 ( )
A.∠A=60°
B.AC=BC
C.∠B与∠C互余
D.AB边上的高也是AB边上的中线
C
解析　∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,
当∠A=60°时,△ABC是等边三角形;
当AC=BC时,AB=AC=BC,∴△ABC是等边三角形;
当∠B与∠C互余时,∠B+∠C=90°,∴∠BAC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,不是等边三角形;
当AB边上的高也是AB边上的中线时,易得CA=CB,
∴AB=AC=BC,∴△ABC是等边三角形.故选C.
3. (2025山东青岛期中)如图,△ABC是等边三角形,与BC平行
的直线分别交AB和AC于点D,E,若AD=2,则DE的长为_______.

2
解析　∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60°,
∴∠A=∠ADE=∠AED,∴△ADE是等边三角形,
∴DE=AD=2.
4.(2025湖北十堰模拟)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=
∠D,点E在BA的延长线上,连接CE.若∠E=60°,CE平分∠BCD,
求证:△BCE为等边三角形.

证明　∵AD∥BC,∴∠EAD=∠B,
∵∠B=∠D,∴∠D=∠EAD,∴BE∥CD,∴∠ECD=∠E.
∵∠E=60°,∴∠ECD=∠E=60°.
又∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠ECD=60°,
∴∠EBC=60°,∴∠E=∠B=∠BCE,
∴△BCE为等边三角形.
　含30°角的直角三角形的性质
5.(2025云南师大实验中学模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B
=30°,AD⊥AB交BC于点D,AD=2,则BC的长是 ( )
A.12　　 B.10　　 C.8　　 D.6
D
解析　∵AD⊥AB,∴∠BAD=90°,
∵∠B=30°,AD=2,∴BD=2AD=2×2=4,
∵AB=AC,∴∠C=∠B=30°,
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°,
∴∠CAD=120°-90°=30°=∠C,∴CD=AD=2,
∴BC=BD+DC=4+2=6.故选D.
6.(2025广东佛山顺德期中)如图所示的是某商场一部手扶电
梯的示意图,若∠ABC=150°,BC的长为8米,则乘电梯从点B到
点C上升的高度h=_______米.

　 4
解析　如图,过点C作CE⊥直线AB于点E,
则∠BEC=90°,
∵∠ABC=150°,
∴∠CBE=180°-∠ABC=180°-150°=30°,
又∵BC=8米,∴CE= BC= ×8=4(米),
∴乘电梯从点B到点C上升的高度h=4米.
故答案为4.
7.(2025 山东泰安期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,
BD是∠ABC的平分线,CD=1 cm.求AB的长.

解析　∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD=30°,
在Rt△CBD中,CD=1 cm,∠CBD=30°,∴BD=2 cm,
由勾股定理得BC= = cm,
在Rt△ABC中,∠A=30°,∴AB=2BC=2 cm.

8.(2025安徽中考,★★☆)如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,
边AC的中点为D,边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE= ,则AC
的长是 ( )
A.4 　　 B.6　　 C.2 　　 D.3
B
解析　∵∠A=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C= ×(180°-120°)=30°,
∵ED⊥AC,∴∠CDE=90°,
∴EC=2DE=2 ,∴DC= =3,
∵点D是AC的中点,∴AC=2DC=6.故选B.
9.(2024新疆中考,★★★)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=
30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,
则AD的长为____________.

6或12
解析　在Rt△ABC中,∠A=30°,AB=8,
∴BC= ×8=4,∴AC= =4 .
分情况讨论:
当点D在AB的延长线上时,如图1所示,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.
∵∠BCD=30°,
∴∠BDC=60°-30°=30°=∠BCD,
∴BD=BC=4,∴AD=8+4=12.
当点D在线段AB上时,如图2所示,
∵∠ABC=60°,∠BCD=30°,
∴∠CDA=90°.
在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=4 ,
∴CD= AC=2 ,
由勾股定理,得AD= =6.
综上所述,AD的长为6或12.
10.【学科特色·教材变式】(2025重庆巴川中学期中,★★☆)
上午8时,一条渔船从港口A出发,以每小时15海里的速度向正
北方向AN航行,上午10时到达海岛B处.从A,B处望海岛C,测得
∠NAC=30°,∠NBC=60°(如图所示).
(1)求海岛B到海岛C的距离.
(2)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里(记为点D处)
出现了故障,它向海岛B和海岛C都发出了求救信号.接到求救
信号后,海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前
往,海岛C派出的救援队晚出发10分钟,速度为每小时25海里,
通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处.

解析 (1)由题意得AB=15×2=30(海里),
∵∠NBC=60°,∠NAC=30°,
∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=30°,
∴∠ACB=∠NAC,
∴BC=AB=30海里,
∴海岛B到海岛C的距离为30海里.
(2)∵∠NBC=60°,BC=BD=30海里,
∴△BCD是等边三角形,
∴CD=BC=30海里.海岛B派出的救援队所用的时间为 = 小
时=90分钟,海岛C派出的救援队所用的时间为10+ ×60=82
分钟,∵82<90,∴海岛C派出的救援队先到达渔船处.

11. 【新课标·运算能力】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=
30°,BC=12 cm.动点P从点A出发,沿AB向点B运动,动点Q从点
B出发,沿BC向点C运动,点P,Q分别以2 cm/s,1 cm/s的速度同时
出发,设运动时间为t s,解答下列问题:
(1)t的值为多少时,△PBQ是等边三角形
(2)在点P,Q的运动过程中,△PBQ的形状
不断发生变化,当t的值为多少时,△PBQ是
直角三角形 请说明理由.
解析　 (1)∵△PBQ是等边三角形,∴PB=BQ.
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=12 cm,
∴AB=24 cm,∠B=180°-90°-30°=60°,
∵点P,Q分别以2 cm/s,1 cm/s的速度同时出发,
∴PB=(24-2t)cm,BQ=t cm,∴24-2t=t,解得t=8.
故当t=8时,△PBQ是等边三角形.
(2)当t=6或 时,△PBQ是直角三角形.
理由:易知BP=(24-2t)cm,BQ=t cm,
∵△PBQ是直角三角形,∠B=60°,
∴BP=2BQ或BQ=2BP,
当BP=2BQ时,24-2t=2t,解得t=6;
当BQ=2BP时,t=2(24-2t),解得t= .
综上,当t=6或 时,△PBQ是直角三角形.
微专题　构造含30°角的直角三角形的方法
方法一　连接两点,构造含30°角的直角三角形
1.(2025湖南郴州三中期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=
15°,DE⊥AB,垂足为点E,交BC边于点D,若AE=BE, BD=6 cm,
则AC的长为_________cm.
3
解析　如图,连接AD,∵DE⊥AB,∴∠BED=∠AED=90°,
在△ADE与△BDE中,DE=DE,∠AED=∠BED,AE=BE,
∴△ADE≌△BDE,∴BD=AD=6 cm,∠DAE=∠DBE=15°,
∴∠ADC=30°,又∵∠C=90°,∴AC= AD=3 cm.故答案为3.

方法二　作垂线,构造含30°角的直角三角形
2.(2025四川成都金苹果锦城一中期中)如图,在△ABC中,∠A=
60°,D为AB上一点.若CD=CB,AD=2,BD=4,则CB的长为______.

2
解析　如图,过点C作CE⊥BD于点E,则∠AEC=90°,∵CB=CD,
∴DE=BE= BD= ×4=2,
∴AE=AD+DE=4,∵∠A=60°,
∴∠ACE=90°-∠A=90°-60°=30°,
∴AC=2AE=8,∴CE= =4 ,
∴BC= =2 .故答案为2 .
方法三　延长两边(即补形),构造含30°角的直角三角形
3.(2025湖北随州广水期中)如图,四边形ABCD中,AD=7,BC=2,
∠A=30°,∠B=90°,∠ADC=120°,则CD的长为 ( )
A.2　　 B.3　　 C.4　　 D.5
B
解析　如图,延长DC,AB,交于点E,
∵∠ADC=120°,∠A=30°,
∴∠E=180°-120°-30°=30°=∠A,∴ED=AD=7,
∵∠CBE=90°,∠E=30°,BC=2,
∴CE=4,∴CD=DE-EC=7-4=3.故选B.(共16张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
第3课时　多边形的内角和
1　三角形内角和定理
　多边形的内角和定理
1.(2025陕西渭南富平期末)已知一个多边形的内角和为2 160°,
这个多边形的边数是 ( )
A.12　　 B.13　　 C.14　　 D.15
C
解析　设这个多边形的边数为n,则(n-2)·180°=2 160°,解得
n=14,∴这个多边形的边数为14.故选C.
2.(2025湖南长沙中考)如图,五边形ABCDE中,∠B=120°,∠C=
110°,∠D=105°,则∠A+∠E=____________.

205°
解析　∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°,
∵∠B=120°,∠C=110°,∠D=105°,
∴∠A+∠E=540°-120°-110°-105°=205°.
故答案为205°.
3.(2024河北邢台期中)已知n边形的内角和θ=(n-2)·180°.
(1)嘉嘉同学认为θ能取900°,琪琪同学认为θ也能取600°.嘉嘉
和琪琪的说法对吗 若对,求出边数n.若不对,请说明理由.
(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了540°,用列方程
的方法确定x的值.
解析 (1)嘉嘉的说法对,琪琪的说法不对.理由:当θ取900°时,
900°=(n-2)·180°,解得n=7.当θ取600°时,600°=(n-2)·180°,
解得n= .∵n为整数,∴θ不能取600°,∴嘉嘉的说法对,琪琪的说法不对.
(2)依题意得(n-2)·180°+540°=(n+x-2)·180°,解得x=3,
∴x的值为3.
　正多边形的内角和
4.(2025北京中考改编)若一个正六边形的每个内角都是x°,则
x的值为 ( )
A.60　　 B.90　　 C.120　　 D.150
C
解析　∵一个正六边形的每个内角都是x°,
∴x°=(6-2)×180°÷6=120°.故选C.
5.(2025江苏扬州中考改编)若正多边形的每个内角都是140°,
则这个正多边形的边数为_________.
9
解析　设这个正多边形的边数为n,∵正多边形的每个内角都
是140°,∴180(n-2)=140n,解得n=9.故答案为9.

6.(2025山东青岛即墨期末,★★☆)如图,在正六边形ABCDEF
中,作正五边形HKCDG,连接BK,则∠ABK的度数为( )

A.45°　　 B.36°　　 C.30°　　 D.27°
B
解析　∵正六边形的每个内角为 =120°,正五边形
的每个内角为 =108°,
∴∠BCK=120°-108°=12°,∵BC=CD=CK,
∴∠CBK=∠CKB=(180°-12°)÷2=84°,
∴∠ABK=∠ABC-∠CBK=120°-84°=36°.故选B.
7.(2025安徽合肥四十八中期中,★★☆)已知两个多边形的内
角总和为1 080°,且边数之比为2∶3,则这两个多边形的边数
分别是___________.
4,6
解析　∵这两个多边形的边数之比为2∶3,∴设这两个多边
形的边数分别为2n,3n.根据多边形的内角和定理得(2n-2)·180°
+(3n-2)·180°=1 080°,解得n=2,∴2n=4,3n=6,∴这两个多边形
的边数分别是4,6.
8.【学科特色·转化思想】(2025河北邯郸月考,★★☆)如图,
已知∠E=∠F=∠G=108°,∠C=∠D=72°,则∠A+∠B的度数
为___________.

72°
解析　如图,连接CD,
∵五边形CDEFG的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴∠CDE+∠DCG=540°-(∠E+∠F+∠G)=540°-108°×3=
216°,∴∠ADC+∠BCD=∠CDE+∠DCG-(∠BCG+∠ADE)=
216°-72°×2=72°,∴∠A+∠B=∠ADC+∠BCD=72°.
故答案为72°.
9.(★★☆)阅读小明和小红的对话,解决下列问题.

(1)这个“多加的锐角”是_______度.
(2)小明求的是几边形的内角和
(3)若这是一个正多边形,则这个正多边形的一个内角是多少
度
解析 (1)十二边形的内角和为(12-2)×180°=1 800°,十三边
形的内角和为(13-2)×180°=1 980°,∵小红说:“多边形的
内角和不可能是1 830°,你一定是多加了一个锐角”,∴这个
“多加的锐角”是1 830°-1 800°=30°.故答案为30.
(2)由(1)可知小明求的是十二边形的内角和.
(3)正十二边形的每一个内角为 =150°.(共33张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
第2课时　三角形的外角及三角形内角和定理的推论
1　三角形内角和定理
　三角形外角的定义
1.关于三角形的外角,下列说法错误的是 ( )
A.一个三角形只有三个外角
B.三角形的每个顶点处都有两个外角
C.三角形的每个外角是与它相邻内角的补角
D.一个三角形共有六个外角
A
解析　三角形每个顶点处各有两个外角(互为对顶角),故一个
三角形共有6个外角,∴A选项说法错误,符合题意,B,D选项说
法正确,不符合题意.三角形的外角加上与它相邻的内角,和为
180°,∴三角形的每个外角是与它相邻内角的补角,∴C选项
说法正确,不符合题意.故选A.
2.如图,下列关于外角的说法正确的是 ( )
A.∠FBA是△ABC的外角
B.∠FBG是△ABC的外角
C.∠DCE是△ABC的外角
D.∠GBA是△ABC的外角
D
解析　根据三角形的外角的定义可知∠FBA,∠FBG,∠DCE
不是△ABC的外角,∠GBA是△ABC的外角.故选D.
　三角形内角和定理的推论
3.(2025福建厦门集美期末)如图,在△ABC中,D是AB边上一点,
连接CD.下列角中,大小等于∠B+∠BCD的是 ( )
A.∠ADC B.∠BDC
C.∠A D.∠ACB
A
解析　根据三角形内角和定理的推论可知∠ADC=∠B+
∠BCD.故选A.
4.(2024江苏连云港中考)如图,直线a∥b,直线l⊥a,∠1=120°,
则∠2=__________°.

30
解析　如图,∵直线a∥b,直线l⊥a,∴l⊥b,∴∠3=90°,
∵∠1=120°,∴∠2=∠1-∠3=30°.

5.(2025陕西安康期末)如图,∠2=2∠1,∠3=70°,∠4=120°,则
∠1的度数是__________°.

25
解析　∵∠4是△BCE的外角,∴∠4=∠2+∠3,
∵∠3=70°,∠4=120°,∴∠2=120°-70°=50°,
∵∠2=2∠1,∴∠1=50°÷2=25°.
6.如图,在△ABC中,D点在AC上,E点在BC的延长线上.求证:
∠ADB>∠CDE.

证明　∵∠DCB是△DCE的一个外角,
∴∠DCB>∠CDE,
∵∠ADB是△BCD的一个外角,
∴∠ADB>∠DCB,∴∠ADB>∠CDE.
7.【学科特色·多解法】(2025山东威海荣成期中)一个零件的
形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠D应分别是20°
和30°,李师傅量得∠DCB=142°,就判断这个零件不合格,
试用三角形的有关知识说明这种判断的理由.
解析　【解法一】如图1,延长BC,交AD于点E,
∵∠1是△ABE的外角,∠A=90°,∠B=20°,
∴∠1=∠B+∠A=20°+90°=110°,
同理,∠BCD=∠1+∠D=110°+30°=140°,
∵李师傅量得∠BCD=142°,不是140°,
∴这个零件不合格.
【解法二】如图2,连接AC并延长到E.
∵∠DCE是△ACD的外角,
∴∠DCE=∠D+∠DAC,
∵∠BCE是△ACB的外角,∴∠BCE=∠B+∠CAB.
∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=∠D+∠DAC+∠B+∠CAB
=∠B+∠D+∠BAD=20°+30°+90°=140°.
∵李师傅量得∠BCD=142°,不是140°,
∴这个零件不合格.

8.【跨物理·折射】(2025河南南阳唐河一模,★☆☆)如图,一束平行于主光轴(图中的虚线)的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P,F为焦点.若∠1=150°,∠2=25°,则∠3的度数为 ( )
C
A.75°　　 B.65°　　
C.55°　　 D.45°
解析　∵光线平行于主光轴,∴∠1+∠PFO=180°,
∵∠1=150°,∴∠PFO=30°,∵∠POF=∠2=25°,
∴∠3=∠POF+∠PFO=55°.故选C.
9.(2025江西赣州期中,★★☆)平面上A,B,C,D,E,F六点构成如
图所示的图形,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是
( )

A.180°　　　 B.360° C.540°　　　 D.720°
B
解析　如图,设AC和BE交于点G,BE和FD交于点H,由三角形
外角的性质可知∠AGH=∠C+∠E,∠FHG=∠B+∠D,
在四边形FAGH中,连接AH,则∠FAG=∠FAH+∠GAH,∠FHG
=∠FHA+∠GHA,
在△AGH中,∠AGH+∠GHA+∠HAG=180°,
在△AFH中,∠AFH+∠FHA+∠HAF=180°,
∴∠F+∠FAG+∠AGH+∠FHG=360°,
∴∠FAG+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.故选B.
A.增大10° B.减小10°
C.增大25°　 D.减小25°
10. (2025重庆外国语学校月考,★★☆)如图,起重机在工作时,
起吊物体前,机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC=120°,支撑
臂BD为∠ABC的平分线.物体被吊起后,机械臂AB的位置不变,
支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短,此时∠CBD=2∠ABD,
∠BDC增大了5°,则∠DCE的变化情况为 ( )
C
解析　起吊物体前,令∠BDC=x°,
∵BD平分∠ABC,∠ABC=120°,
∴∠DBC= ∠ABC=60°,
∴∠DCE=∠DBC+∠BDC=x°+60°.
起吊物体后,∵机械臂AB的位置不变,
∴∠CBD+∠ABD=120°,
∵∠CBD=2∠ABD,∴∠CBD=80°,
∵∠BDC增大了5°,∴∠BDC=x°+5°,
∴∠DCE=∠CBD+∠BDC=85°+x°,
∵85°+x°-(60°+x°)=25°,
∴∠DCE的变化情况为增大25°.故选C.
11.(2025江苏无锡二泉中学月考,★★★)如图,△ABC沿EF折
叠,点A落在点A'处,A'F交AB于点G,BP,CP分别是∠ABD,∠ACD的平分线,若∠P=30°,∠A'EB=16°,则∠A'FC=______°.
136
解析　∵BP,CP分别是∠ABD,∠ACD的平分线,
∴∠PBD= ∠ABD,∠BCP= ∠BCA.
∵∠PBD=∠P+∠PCB,
∴∠P=∠PBD-∠PCB= ∠ABD- ∠BCA= (∠ABD-∠BCA).
∵∠ABD=∠A+∠BCA,
∴∠ABD-∠BCA=∠A,∴∠P= ∠A,
∵∠P=30°,∴∠A=2∠P=2×30°=60°,
∴∠A'=∠A=60°,
∴∠AGF=∠A'+∠A'EB=60°+16°=76°,
∴∠A'FC=∠A+∠AGF=60°+76°=136°.
12.(2025河南开封十四中期中,★★☆)如图,AD是△ABC的角
平分线,BE平分∠ABD,交AD于点E.
(1)若∠BED=52°,求∠C的度数.
(2)直接写出∠C与∠BED之间的数量关系.
解析 (1)∵∠BED是△ABE的外角,
∴∠BED=∠BAE+∠ABE.
∵AD,BE分别是∠BAC,∠ABC的平分线,
∴∠BAD= ∠BAC,∠ABE= ∠ABC,
∴∠BED=∠BAE+∠ABE= ∠BAC+ ∠ABC,
∵∠BED=52°,∴∠BAC+∠ABC=104°,
∴∠C=180°-(∠ABC+∠BAC)=76°.
(2)∠BED=90°- ∠C.
详解:∵∠BED是△ABE的外角,∴∠BED=∠BAE+∠ABE.
∵AD,BE分别是∠BAC,∠ABC的平分线,
∴∠BAD= ∠BAC,∠ABE= ∠ABC,
∴∠BED=∠BAE+∠ABE
= ∠BAC+ ∠ABC= (∠BAC+∠ABC)
= (180°-∠C)=90°- ∠C.

13. 【新课标·推理能力】(2025山西大同三中月考)如图1,在
△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.
(1)若∠A=60°,则∠BPC=_______.
(2)如图2,在图1的基础上作△ABC的外角∠MBC,∠NCB的平分线,交于点Q,试探索∠Q,∠A之间的数量关系.
(3)如图3,在图2的基础上延长线段BP,QC交于点E,试探索∠E,∠A之间的数量关系.
解析 (1)∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°,
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,
∴∠PBC= ∠ABC,∠PCB= ∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=60°,
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-60°=120°.
(2)由题图可知∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=
180°+∠A,
∵点Q是∠MBC和∠NCB的平分线的交点,
∴∠QBC= ∠MBC,∠QCB= ∠NCB,
∴∠QBC+∠QCB= (∠MBC+∠NCB)= (180°+∠A)
=90°+ ∠A,
∴∠ Q=180°-(∠QBC+∠QCB)=180°-
=90°- ∠A.
(3)延长BC至点F,如图,
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的平分线,
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线,
∴∠ACF=2∠ECF,∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠EBC,
∵∠ECF=∠EBC+∠E,∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E,
即∠ACF=∠ABC+2∠E,
又∵∠ACF=∠ABC+∠A,∴∠A=2∠E,
∴∠E= ∠A.(共29张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
第1 课时　角平分线的性质与判定
5　角平分线
　角平分线的性质定理
1.(2024青海中考)如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB
于D,PD=2,则点P到OA的距离是 ( )
A.4　　
B.3　　
C.2　　
D.1
C
解析　如图,过P作PE⊥OA于E,∵OC平分∠AOB,点P在OC
上,PD⊥OB,∴PE=PD=2,∴点P到OA的距离是2.故选C.

2.(2025福建厦门集美期末)把两个同样大小的含30°角的直角
三角尺(记作△ABC,△BCD)按如图所示的方式进行摆放,其
中M是AB与CD的交点,则可以得到结论:MA的长度等于点M
到BC的距离.请用一个你学过的数学定理解释这个结论:__
________________________________________.
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等　　　　
解析　如图,过M作MH⊥BC于H,
∵∠BCD=30°,∠ACB=60°,
∴∠ACM=60°-30°=30°,
∴∠ACM=∠MCH,∴CD平分∠ACB,
∵∠A=90°,∴MA⊥AC,
∵MH⊥BC,∴MA=MH,
∴MA的长度等于点M到BC的距离,用学过的数学定理解释这
个结论:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
3.【学科特色·教材变式】(2025河南周口项城第二实验中学
期末)如图,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥
AD于M,PN⊥CD于N,求证:PM=PN.

证明　∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD,在△ABD
和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB=∠CDB,
∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.
　角平分线的判定定理
4.(2025安徽亳州利辛期末)将两个完全一样的三角尺按如图
所示的方式摆放,使三角尺的一条直角边分别落在△ABC的
边AB,AC上,它们的一个顶点重合于点M,则点M一定在( )
A.∠A的平分线上
B.AC边的高上
A
C.BC边的垂直平分线上
D.AB边的中线上
解析　如图,作射线AM,由题意得,MG=MH,MG⊥AB,MH⊥
AC,∴AM平分∠BAC.故选A.

5.(2025江西赣州质检)如图,OC是∠AOB内部的一条射线,P是
射线OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,有下列条件:①∠AOC
=∠BOC,②PD=PE,③OD=OE,④∠DPO=∠EPO.其中,能判定
OC是∠AOB的平分线的有 ( )

A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
D
解析　①∵∠AOC=∠BOC,∴OC是∠AOB的平分线,故①符
合题意;②∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,∴OC是∠AOB的平分
线,故②符合题意;③在Rt△POD和Rt△POE中,
∴Rt△POD≌Rt△POE(HL),∴∠AOC=∠BOC,∴OC是∠AOB
的平分线,故③符合题意;④由∠DPO=∠EPO易得∠AOC=
∠BOC,∴OC是∠AOB的平分线,故④符合题意.故选D.
6.(2025陕西榆林期中)如图,在△ABC中,∠A=73°,∠C=47°,点
D是AC上一点,连接BD,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,若DE=DF,
则∠DBF的度数是___________.

30°
解析　∵∠A=73°,∠C=47°,∴∠ABC=180°-∠A-∠C=60°,∵DE⊥AB,DF⊥BC,DE=DF,∴BD平分∠ABC,
∴∠DBF= ∠ABC=30°.故答案为30°.
7.(2025四川成都玉林中学月考)如图,BE,CE分别为△ABC的
外角的平分线,EP⊥AM于点P,EQ⊥AN于点Q,ED⊥BC于点D,
求证:点E在∠NAM的平分线上.

证明　∵BE,CE分别为△ABC的两个外角∠CBM,∠BCN的平
分线,EP⊥AM,ED⊥BC,EQ⊥AN,∴EP=ED,EQ=ED,∴EP=
EQ,又∵EP⊥AM,EQ⊥AN,∴点E在∠NAM的平分线上.
8.(2024四川绵阳中考,★★☆)如图,在△ABC中,AB=5,AD平分
∠BAC交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E,△ABD的面积为5,则DE
的长为 ( )

A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.5
B
解析　如图,过D作DF⊥AB于F,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB,∴DE=DF.
∵△ABD的面积为5,∴ AB·DF=5.
∵AB=5,∴DF=2,∴DE=2.故选B.

9.(2025山西运城垣曲期中,★★☆)如图,△ABC的外角∠DAC
和∠ACE的平分线相交于点M,点M到BE的距离为4.若AB=7,
BC=9,则四边形ABCM的面积为__________.

32
解析　如图,过点M作MF⊥BE于F,MG⊥AC于G,MH⊥BD
于H,连接BM,

∵点M是∠DAC和∠ACE的平分线的交点,点M到BE的距离为
4,∴MF=MG=MH=4,
∴S四边形ABCM=S△ABM+S△CBM= AB·MH+ BC·MF,∵AB=7,BC=9,
∴S四边形ABCM= ×7×4+ ×9×4=32.
故答案为32.
10.(2025广东揭阳榕城期中,★★☆)如图,△ABC中,∠C=90°,
AB=10 cm,BC=6 cm,动点P从点C出发,以每秒2 cm的速度向
点A运动,设运动时间为t秒.当t=_________时,BP恰好平分
∠ABC.

解析　如图,过点P作AB的垂线,垂足为M,连接BP,∵BP平分
∠ABC,∠C=90°,PM⊥AB,∴PC=PM.在Rt△ABC中,AC=
=8(cm),∴S△ABC= ×6×8=24(cm2),
∴ ×6PC+ ×10PM=24,∴PC=3 cm,∴t= .

11.【学科特色·教材变式】(★★☆)如图,AD为△ABC的角平
分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点G.
(1)求证:AD垂直平分EF.
(2)若∠BAC=60°,猜想DG与AG有何数量关系,并说明理由.

证明 (1)证明:∵AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°,∴∠DEF=∠DFE,点D在EF的
垂直平分线上,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,∴点A在EF的垂直
平分线上,∴AD垂直平分EF.
(2)AG=3DG.理由:∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC,
∴∠EAD=30°,∴AD=2DE,∠EDA=60°,
∵AD⊥EF,∴∠EGD=90°,∴∠DEG=30°,
∴DE=2DG,∴AD=4DG,∴AG=3DG.

12.【新课标·推理能力】(2025贵州遵义余庆期中)我们定义:
如图1,在四边形ABCD中,如果∠A=α,∠C=180°-α,对角线BD
平分∠ABC,那么我们称这种四边形为“分角对补四边形”.
(1)特例感知:如图1,在“分角对补四边形”ABCD中,当α=90°
时,根据教材中一个重要知识直接可得DA=DC,这个知识是____
______(填序号).
①垂线段最短;②垂直平分线的性质;
③角平分线的性质;④三角形内角和定理.
(2)猜想论证:如图2,当α为任意角时,猜想DA与DC的数量关系,
并给出证明.
(3)探究应用:如图3,在等腰△ABC中,∠A=100°,BD平分
∠ABC,求证:BD+AD=BC.

解析 (1)∵BD平分∠ABC,∠BAD=90°,∠BCD=180°-90°=
90°,∴DA=DC.运用的数学知识是角平分线的性质.
故答案为③.
(2)DA=DC.证明:如图1,过D作DE⊥BA交BA的延长线于点E,
DF⊥BC于点F,∵BD平分∠EBF,DE⊥BE,DF⊥BF,
∴DE=DF,∠E=∠DFC=90°,
∵∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠EAD=180°,
∴∠EAD=∠C,∴△DEA≌△DFC(AAS),∴DA=DC.
(3)证明:如图2,在BC上截取BG=BD,连接DG,
由题意知AB=AC,∠A=100°,∴∠ABC=∠C=40°.
∵BD平分∠ABC,∴∠DBG= ∠ABC=20°.
∵BD=BG,∴∠BGD=∠BDG= ×(180°-20°)=80°,
∴∠A+∠BGD=180°,
由(2)的结论得AD=DG,
∵∠BGD=∠C+∠GDC,
∴∠GDC=40°=∠C,∴DG=CG,
∴AD=DG=CG,
∴BD+AD=BG+CG=BC.(共30张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
第2 课时　直角三角形全等的判定
3　直角三角形
　直角三角形全等的判定(HL)
1.【学科特色·教材变式】(2025山西太原月考)下列条件中,不
能判定两个直角三角形全等的是 ( )
A.斜边和一条直角边分别相等
B.一个锐角和斜边分别相等
C.两条直角边分别相等
D.两个锐角分别相等
D
解析 A.利用HL可以判定两个直角三角形全等;B.利用AAS
可以判定两个直角三角形全等;C.利用SAS可以判定两个直角
三角形全等;D.由两个锐角分别相等不能得到两个直角三角
形全等.故选D.
2.(2025四川绵阳梓潼月考)如图,在△ABO和△DCO中,AB⊥
BO,CD⊥CO,AO=DO,若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO,
则需要添加的条件是 ( )
A.AB=DC
B.∠A=∠D
C.∠AOB=∠DOC　　　
D.OB=OD
A
解析　∵AB⊥BO,CD⊥CO,∴∠ABO=∠DCO=90°,
A.已知AO=DO,AB=DC,可用“HL”判定Rt△ABO≌
Rt△DCO,符合题意;
B.已知∠A=∠D,AO=DO,可用“AAS”判定△ABO≌△DCO,
不符合题意;
C.已知∠AOB=∠DOC,AO=DO,可用“AAS”判定△ABO≌
△DCO,不符合题意;
D.若OB=OD=AO,则∠ABO不是直角,与题意不符.故选A.
3.(2025甘肃酒泉肃州期中)如图,在△ABC中,AD是BC边上的
高,E是AD上一点,且DE=DC,AC=BE,若BD=4,则AD=______.

4
解析　由题意可知AD⊥BC,∴∠ADC=∠BDE=90°,
在Rt△ADC和Rt△BDE中,AC=BE,DC=DE,
∴Rt△ADC≌Rt△BDE(HL),∴AD=BD=4.故答案为4.
4.如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD和
CE交于点O,则图中全等的直角三角形有_________对.

3
解析　∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠ADB=∠AEC=∠BDC=∠BEC=90°.
又∵AC=AB,∠CAE=∠BAD,
∴△AEC≌△ADB(AAS),∴CE=BD.
又∵BC=CB,∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL),∴BE=CD,
∵∠BEC=∠CDB=90°,∠EOB=∠DOC,BE=CD,
∴△BOE≌△COD(AAS).
∴共有3对全等的直角三角形.故答案为3.
5.(2025上海实验学校期末)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,
AD⊥BC于点D,EC⊥BC于点C,且AB=BE,CD=CE.求证:
(1)AB=AC.
(2)Rt△ABD≌Rt△BEC.

证明 (1)∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ADB和△ADC中,∠BAD=∠CAD,AD=AD,∠ADB=
∠ADC,∴△ADB≌△ADC(ASA),∴AB=AC.
(2)∵△ADB≌△ADC,∴BD=CD,
∵CD=CE,∴BD=CE.∵EC⊥BC,∴∠BCE=90°.
在Rt△ABD和Rt△BEC中,AB=BE,BD=EC,
∴Rt△ABD≌Rt△BEC(HL).
6.(2025山东德州期中)证明命题:如果两个直角三角形有一条
直角边和斜边上的高分别对应相等,那么这两个直角三角形
全等.画出图形,写出已知、求证,并证明.
解析　已知:如图,在Rt△ABC和Rt△DFE中,∠ACB=∠DEF=
90°,CG⊥AB于点G,EH⊥DF于点H,AC=DE,CG=EH.
求证:Rt△ABC≌Rt△DFE.

证明:∵EH⊥DF,CG⊥AB,∴∠DHE=∠AGC=90°.
在Rt△ACG与Rt△DEH中,AC=DE,CG=EH,
∴Rt△ACG≌Rt△DEH(HL),∴∠A=∠D,
在Rt△ABC与Rt△DFE中,∠A=∠D,AC=DE,∠ACB=∠DEF,
∴Rt△ABC≌Rt△DFE(ASA).
7.【学科特色·易错题】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,
BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的
射线AO上运动,当AP的长为何值时,△ABC与△PQA全等

解析　∵AO⊥AC,∴∠PAQ=90°=∠C,
当AP=BC=5时,∵PQ=AB,AP=BC,
∴Rt△QAP≌Rt△ACB(HL).
当AP=AC=10时,∵PQ=AB,AP=AC,
∴Rt△PAQ≌Rt△ACB(HL).
综上,当AP的长为5或10时,△ABC与△PQA全等.
易错警示　本题要考虑AP=BC和AP=AC两种情况,易因考虑
问题不全面而出错.

8.【学科特色·一线三垂直模型】(2025云南昭通昭阳期末,★
★☆)如图,∠D=∠E=∠ACB=90°,下列条件中,能使Rt△ADC
≌Rt△CEB的有 ( )
①∠ABC=45°;②AD=CE;③AC=2AD;④CD=BE.
C
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
解析　由∠D=∠E=∠ACB=90°,易知∠DAC=∠ECB,∠DCA=
∠EBC,
①∵∠ACB=90°,∠ABC=45°,∴AC=BC,
根据ASA可以判定△ADC≌△CEB,∴①符合题意.
②∵∠DAC=∠ECB,∠DCA=∠EBC,AD=CE,
∴△ADC≌△CEB(AAS),∴②符合题意.
③由∠D=90°,AC=2AD,易得∠ACD=30°,∴∠EBC=30°,
∴BC=2CE,不能判定Rt△ADC≌Rt△CEB,∴③不符合题意.
④∵∠DAC=∠ECB,∠DCA=∠EBC,CD=BE,
∴△ADC≌△CEB(AAS),∴④符合题意.故选C.
模型解读　一线三垂直模型
如图,AC⊥BC,AD⊥DE,BE⊥DE,AC=BC(或AD=CE或DC=
BE),则△ADC≌△CEB,DE=AD+BE.

9. 【新考向·数学文化】(2025广东湛江寸金培才学校期中,★
★★)勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠.被誉为清代“历
算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生给出了多种勾股定理
的证法.其中一种是在下图的基础上,运用“出入相补”原理
完成的,即把一个几何图形分割成若干部分后,面积的总和保
持不变.在△ABC中,∠ACB=90°,四边形ABDE、四边形
ACFG、四边形BCHI均为正方形,HI与
AE相交于点J,点D在直线HI上.若△AHJ,
△DEJ的面积分别为2和6,则直角边AC的长为____.
2
解析　由题意可知AB=BD,BC=BI,∠ACB=∠DIB=90°,
∴Rt△ABC≌Rt△DBI(HL),∴S△ABC=S△DBI,
由勾股定理得AC2+BC2=AB2,
∴S正方形ACFG+S正方形BCHI=S正方形ABDE,
∴S正方形ACFG+S△ABC+S△AHJ+S四边形AJIB=S△BID+S△DEJ+ ,
∴S正方形ACFG+S△AHJ=S△DEJ,
∴S正方形ACFG=S△DEJ-S△AHJ=6-2=4,
∴AC2=4,∴AC=2(已舍负值).故答案为2.
10.【学科特色·多解法】(2025山东青岛期中,★★☆)数学兴
趣小组在解答一道数学题:如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AD=BC.求
证:BD=AC.
小丽说:“我可以根据全等三角形的判定定理AAS证明两个
三角形全等,进而推得BD=AC.”

小贾说:“我可以根据直角三角形全等的判定定理HL证明两
个三角形全等,从而得到BD=AC.”
小雨说:“我可以根据三角形的面积相等,来证明BD=AC.”
你认为他们的方法可行吗 并试着选择一种方法给出证明.
解析　他们的方法都可行.
选择小丽的方法,证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD,
∴∠D=∠C=90°.在△AOD和△BOC中,
∠D=∠C,∠AOD=∠BOC,AD=BC,
∴△AOD≌△BOC(AAS),∴AO=BO,DO=CO,
∴AO+CO=BO+DO,∴BD=AC.
选择小贾的方法,证明:如图,连接AB,
∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠D=∠C=90°.
在Rt△ABD和Rt△BAC中,AB=BA,AD=BC,
∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL),∴BD=AC.
选择小雨的方法,证明:如图,连接AB,
∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠D=∠C=90°.
在△AOD和△BOC中,∠D=∠C,∠AOD=∠BOC,AD=BC,
∴△AOD≌△BOC(AAS),∴S△AOD=S△BOC,
∴S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB,∴S△ABD=S△ABC,
∴ AD·BD= BC·AC.∵AD=BC,∴BD=AC.

11. 【新课标·推理能力】(2025安徽阜阳太和期末)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是AC边上一点,连接BD,EC⊥AC,
且AE=BD,AE与BC交于点F,与BD交于点O.
(1)求证:CE=AD.
(2)BD与AE有怎样的位置关系
证明你的结论.
(3)若BD平分∠ABC,求证:AD=CF.
解析 (1)证明:∵EC⊥AC,∴∠ACE=90°,
在Rt△ABD与Rt△CAE中,BD=AE,AB=AC,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),∴CE=AD.
(2)BD⊥AE.证明:∵Rt△ABD≌Rt△CAE,
∴∠ABD=∠CAE,∵∠ABD+∠ADB=90°,
∴∠CAE+∠ADB=90°,∴∠AOD=90°,∴BD⊥AE.
(3)证明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,
又∵∠ABD=∠CAE,∴∠CBD=∠CAE,
又∵∠AOD=∠BOF,
∴∠ADB=∠OFB=∠CFE,
∵Rt△ABD≌Rt△CAE,∴∠ADB=∠E,
∴∠CFE=∠E,∴CE=CF,∵AD=CE,∴AD=CF.(共39张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
第2 课时　等腰三角形的判定及反证法
2　等腰三角形
　等腰三角形的判定定理
1.(2025广东肇庆四会期末)在△ABC中,已知∠B=∠C,则( )
A.AB=BC　　　 B.AB=AC
C.BC=AC　　　 D.∠A=60°
B
解析　在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AB=AC.
故选B.
2. (2025浙江杭州萧山月考)下列条件中,可以判定△ABC是等
腰三角形的是 ( )
A.∠A=20°,∠B=100°
B.a∶b∶c=1∶1∶2
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
D.∠A=∠B+∠C
C
解析　∵∠A=20°,∠B=100°,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=180°-20°-100°=60°,
∵∠C,∠B,∠A三个内角互不相等,
∴△ABC不是等腰三角形,
∴选项A不符合题意;
∵a∶b∶c=1∶1∶2,∴c=a+b,
∴长度为a,b,c的三条线段不能构成三角形,
∴选项B不符合题意;
∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2,
∴∠A=∠B=45°,∴BC=AC,∴△ABC是等腰三角形,
∴选项C符合题意;
由∠A=∠B+∠C,不能判定△ABC是等腰三角形,
∴选项D不符合题意.故选C.
3.(2025广东潮州期末)如图,在△ABC的边BC上截取BE=AB,
连接AE,作△ABE的角平分线BD交AE于点D,若∠EAC=∠C,
BC=9,AB=5,则AD=_________.

2
解析　∵BE=AB,BD平分∠ABE,∴AD=DE,
∵∠EAC=∠C,∴EA=EC,∵BC=9,AB=5,
∴CE=BC-BE=BC-AB=9-5=4,
∴AD=DE= AE= CE=2.
4.(2025浙江宁波模拟)如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于
点D.若△ABC的周长为20,CD=6,则AC的长为_________.

8
解析　如图,在CD上取点E,使AE=AB,
则∠B=∠AEB,∵AD⊥BC,∴BD=DE,
∵∠B=2∠C,∴∠AEB=2∠C,
∵∠AEB=∠EAC+∠C,∴∠EAC=∠C,
∴EA=EC,∴CE=AE=AB,
∵CD=DE+CE=BD+AB=6,△ABC的周长为20,
∴AC=20-2×6=8.故答案为8.
5.如图,AD=BC,AC=BD,AC与BD交于点E.求证:△EAB是等腰
三角形.

证明　在△ADB和△BCA中,AD=BC,BD=AC,AB=BA,
∴△ADB≌△BCA(SSS),
∴∠DBA=∠CAB,∴AE=BE,
∴△EAB是等腰三角形.
6.(2025山东青岛三十九中期中)如图,在△ABC中,BD平分
∠ABC,DE∥CB,点F是BD的中点.
(1)求证:△BDE是等腰三角形.
(2)若∠ABC=50°,求∠DEF的度数.

解析 (1)证明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,
∵DE∥CB,∴∠EDB=∠DBC,
∴∠ABD=∠EDB,∴EB=ED,
∴△BDE是等腰三角形.
(2)∵BD平分∠ABC,∠ABC=50°,∴∠ABD= ∠ABC=25°.
∵EB=ED,点F是BD的中点,
∴∠BEF=∠DEF,∠EFB=90°,
∴∠DEF=∠BEF=90°-∠ABD=65°.
　反证法
7. 【学科特色·教材变式】(2025浙江海亮教育集团期中)用反
证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”时,应先假设
这个三角形中 ( )
A.至少有两个内角是直角
B.没有一个内角是直角
C.至少有一个内角是直角
D.每一个内角都不是直角
A
解析　用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”
时,应先假设这个三角形中至少有两个内角是直角.故选A.
8.(2025山西太原多校联考)在△ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°.
(用反证法证明)
证明　假设∠B≥90°,在△ABC中,∵AB=AC,
∴∠B=∠C,∴∠B+∠C≥180°,
∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和等于180°相矛盾,
∴假设不成立,∴∠B<90°.
方法归纳　反证法是证明命题的一种特殊方法,当一个命题
直接证明比较困难时,可尝试用反证法来证明,注意把握反证
法的步骤.

9.(2024重庆中考B卷,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,
BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为______.

2
解析　在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,
∴∠C=∠ABC= =72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=36°,
∴∠A=∠ABD,∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,
∴AD=BD,BD=BC,
∴AD=BD=BC=2.故答案为2.
10.(2024黑龙江绥化中考,★★★)如图,已知∠AOB=50°,点P
为∠AOB内部一点,点M为射线OA上的动点,点N为射线OB上
的动点,当△PMN的周长最小时,∠MPN=___________.

80°
解析　如图,分别作点P关于OA,OB的对称点P1,P2,连接OP1,
OP2,P1P2,则当点M,N分别是P1P2与OA,OB的交点时,△PMN的
周长最短,
∵点P,P1关于直线OA对称,∴∠P1OP=2∠MOP,OP1=OP,P1M=
PM,∠OP1M=∠OPM,
同理,∠P2OP=2∠NOP,OP=OP2,∠OP2N=∠OPN,
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2(∠MOP+∠NOP)=2∠AOB=
100°,OP1=OP2=OP,
∴△P1OP2是等腰三角形,
∴∠OP2N=∠OP1M= ×(180°-100°)=40°,
∴∠MPN=∠NPO+∠MPO=∠OP2N+∠OP1M=80°.
故答案为80°.
11.【学科特色·转化思想】(2025江苏盐城期中,★★☆)如图,
在△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分线,AM是BC边上的中
线.用反证法说明点M与点D不重合.

证明　假设点M与点D重合,延长AM到点N,使MN=AM,连接
BN,如图.
∵AM是BC边上的中线,∴BM=CM,
在△AMC和△NMB中,AM=NM,∠AMC=∠NMB,MC=MB,
∴△AMC≌△NMB(SAS),
∴∠MAC=∠MNB,BN=AC,
∵AM(AD)是∠BAC的平分线,
∴∠BAM=∠MAC,
∴∠MNB=∠BAM,
∴BN=AB,∴AC=AB,这与AB>AC相矛盾,
∴假设点M与点D重合不成立,
∴点M与点D不重合.

12. 【新课标·推理能力】(2025陕西西安阎良期末)如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,点D在BC上,且AD=AB,过点C作AB的平行线,交AD的延长线于点E,过点C作CF⊥AE于点F.请你用等式表示线段AF,AB,AC之间的数量关系,并证明.

解析 2AF=AB+AC.
证明:∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∵AB∥CE,∴∠B=∠BCE,∠BAD=∠E,
∴∠CAD=∠E,∴CA=CE,
∵AB=AD,∴∠B=∠ADB,
∵∠ADB=∠CDE,∴∠BCE=∠CDE,
∴EC=ED,∴AC=EC=ED,
∵CF⊥AE,∴AE=2AF,
∵AE=AD+ED,∴AE=AB+AC,
∴2AF=AB+AC.
专题解读　利用角平分线、平行线,构造等腰三角形
1.过角平分线上一点作角的一边的平行线,可构造等腰三角形.
应用模型:如图1所示,OC平分∠AOB,AC∥OB,则有∠1=∠2,
∠3=∠2,所以∠1=∠3,所以△OAC为等腰三角形.
微专题　利用角平分线、平行线,构造等腰三角形
2.过角的一边上的点作角平分线的平行线,交角的另一边所在
直线于一点,可构造等腰三角形.
应用模型:如图2所示,OC平分∠AOB,OC∥DE,故∠1=∠2,∠1
=∠4,∠3=∠2,所以∠3=∠4,所以△ODE是等腰三角形.

微专题　利用角平分线、平行线,构造等腰三角形
1.(2025陕西安康期末)如图,在△ABC中,DE∥AC,分别交AB,
BC于点D,E,连接CD,且∠ACD=∠BCD.若DE=9,BE=7.5,则BC
的长为 ( )
A.16.5　 B.15.5　 C.14　 D.13
A
解析　∵DE∥AC,∴∠CDE=∠ACD,
∵∠ACD=∠BCD,∴∠CDE=∠BCD,∴DE=CE=9,
∵BE=7.5,∴BC=BE+CE=16.5.故选A.
2.如图,在△ABC中,AB=10,AC=12,BD,CD分别平分∠ABC,
∠ACB,过点D作平行于BC的直线,交AB,AC于点E,F,则△AEF
的周长为__________.

22
解析　∵EF∥BC,
∴∠EDB=∠DBC,∠FDC=∠DCB,
∵BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠EBD=∠DBC,∠FCD=∠DCB,
∴∠EDB=∠EBD,∠FDC=∠FCD,
∴ED=EB,FD=FC,∵AB=10,AC=12,
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+ED+FD+AF=AE+EB+FC+
AF=AB+AC=10+12=22.
3.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交
于点D,过点D作ED∥BC,交AB于点E,交AC于点F,若BE=8,CF
=6,则EF的长是_________.

2
解析　∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,
∵EF∥BC,∴∠EDB=∠DBC,
∴∠ABD=∠EDB,∴EB=ED=8,
同理可得FD=FC=6,
∴EF=ED-FD=8-6=2.
4.(2025湖北襄阳期中)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,过线
段CD上一点E作EG∥AD,交AC于点F,交BA的延长线于点G.
(1)求证:△AFG是等腰三角形.
(2)若CE=EF,∠BAC=80°,求∠B的度数.

解析 (1)证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵EG∥AD,∴∠BAD=∠G,∠CAD=∠AFG,
∴∠G=∠AFG,∴AG=AF,
∴△AFG是等腰三角形.
(2)∵CE=EF,∴∠CFE=∠C.
∵∠AFG=∠CFE,∠AFG=∠CAD,
∴∠C=∠CAD.
∵∠BAC=80°,AD平分∠BAC,
∴∠C=∠CAD=40°,
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°.(共13张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
第2 课时　三角形三条内角的平分线
5　角平分线
　三角形中角平分线的性质
1.【学科特色·教材变式】(2025上海黄浦期末)如图,为了促进
黄浦区的旅游发展,某村要在三条公路围成的一块三角形平
地(记作△ABC)上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公
路的距离相等,则度假村应建在△ABC的 ( )
A.三条中线的交点处
B
B.三条角平分线的交点处
C.三条高线的交点处
D.以上都不对
解析　∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等,∴要使
这个度假村到三条公路的距离相等,则度假村应建在△ABC
的三条角平分线的交点处.故选B.
2.(2025陕西咸阳渭城期中)如图,在△ABC中,∠A=100°,P是
△ABC内一点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥
AC于点F,若PD=PE=PF,则∠BPC的度数为 ( )

A.110°　　 B.120°　　 C.130°　　 D.140°
D
解析　∵PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,PD=PE=PF,∴BP平分
∠ABC,CP平分∠ACB,∴∠PBC= ∠ABC,∠PCB= ∠ACB,
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- ∠ABC- ∠ACB=
180°- (∠ABC+∠ACB),
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∴∠BPC=180°- (180°-∠A)=
90°+ ∠A.∵∠A=100°,∴∠BPC=90°+ ×100°=140°.
故选D.
3.(2025陕西西安月考)如图所示,点O是△ABC的角平分线AO
和BO的交点,AB=15,BC=14,AC=13,OD⊥BC,OD=4,求△ABC
的面积.

解析　如图,连接OC,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,
∵点O是△ABC的角平分线AO和BO的交点,OD⊥BC,OE⊥
AB,OF⊥AC,∴OD=OE=OF,∵OD=4,∴OE=OF=4,∵AB=15,
BC=14,AC=13,
∴S△ABC= ×15×4+ ×14×4+ ×13×4=84.

4.(2025山东枣庄滕州期中,★★☆)如图,O是△ABC的三条角
平分线的交点,连接OA,OB,OC,若△OAB,△OAC,△OBC的面
积分别为S1,S2,S3,则下列关系正确的是 ( )
A.S1+S2=S3　　　 B.S1+S2>S3
C.S1+S2 B
解析　如图,过点O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,OD⊥AC于D,

结合题意可知OE=OF=OD,
S△ABO= AB·OE,S△ACO= AC·OD,S△BCO= BC·OF,
∵AB+AC>BC,∴S1+S2>S3.故选B.
5.(2025云南昆明官渡期中,★★☆)如图1,在△ABC中,∠ABC
和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC,分别交AB,
AC于点E,F.
(1)求证:△BEO是等腰三角形.
(2)若AB=5,AC=4,求△AEF的周长.

(3)如图2,过点O作OG⊥BC于点G,连接OA,当∠BAC=60°时,求∠OAB的度数.
解析 (1)证明:∵BO平分∠ABC,∴∠OBC=∠OBE,∵EF∥BC,
∴∠EOB=∠OBC,∴∠EOB=∠OBE,∴△BEO是等腰三角形.
(2)∵∠EOB=∠OBE,∴BE=OE,同理,CF=OF,∴△AEF的周长=
AE+OE+AF+OF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=5+4=9.
(3)如图,过O作OM⊥AB于M,ON⊥AC于N,
∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,OG⊥BC,
∴OM=OG,ON=OG,∴OM=ON,
∵OM⊥AB,ON⊥AC,∴AO平分∠BAC,
∴∠OAB= ∠BAC= ×60°=30°.(共34张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
第1课时　等腰三角形的性质
2　等腰三角形
　等腰三角形的性质定理
1.(2025广东佛山三中期中)若等腰三角形的一个内角是120°,
则它的另外两个内角的度数分别是 ( )
A.60°和30°　　　 B.30°和30°
C.120°和120°　　　 D.120°和30°
B
解析　∵等腰三角形的一个内角是120°,
∴120°角为等腰三角形的顶角,
∴底角的度数为(180°-120°)÷2=60°÷2=30°,
∴它的另外两个内角的度数分别是30°,30°.故选B.
2.(2025辽宁沈阳期中)如图,AD,CE分别是△ABC的中线和高
线.若AB=AC,∠ACE=34°,则∠BAD的度数为 ( )

A.34°　　 B.56°　　 C.29°　　 D.28°
D
解析　∵CE是△ABC的高线,∴∠AEC=90°,
∵∠ACE=34°,∴∠CAE=90°-34°=56°,
∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∴∠BAD= ∠BAC=28°.故选D.
3.【新考向·数学文化】(2025辽宁沈阳期中)“三等分角”大
约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的
“三等分角仪”能三等分任意角,这个三等分角仪由两根有
槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O点转动,C点固
定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠O=25°,则∠ODE的
度数是____________.
105°
解析　由题意可知∠ODC=∠O=25°,∠DCE=∠DEC,
∴∠DEC=∠DCE=∠O+∠ODC=50°,
∴∠ODE=180°-∠O-∠OED=105°.
4. 【学科特色·易错题】(2025安徽池州青阳期末)等腰三角形
的一个外角的度数是110°,则它的顶角的度数是__________.
70°或40°
解析　∵等腰三角形的一个外角的度数是110°,
∴与这个外角相邻的内角的度数是180°-110°=70°,
①当70°角是顶角时,它的顶角度数是70°.
②当70°角是底角时,它的顶角度数是180°-70°×2=40°.
综上所述,它的顶角度数是70°或40°.
易错警示　本题中的外角,可能是等腰三角形顶角的邻补角,
也可能是底角的邻补角.为了避免漏解,应分两种情况讨论求
解.
5.(2025河南南阳方城期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=36°,
点D在线段BC上运动(点D不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE
=36°,DE交线段AC于点E,在点D的运动过程中,若△ADE是等
腰三角形,则∠BDA的度数为______________.
　 108°或72°
解析　∵AB=AC,∴∠B=∠C=36°.
①当AD=AE时,∠ADE=∠AED=36°,
∵∠AED>∠C,∴此情况不存在.
②当DA=DE时,∠DAE=∠DEA= ×(180°-36°)=72°,
∵∠BAC=180°-36°-36°=108°,
∴∠BAD=108°-72°=36°,
∴∠BDA=180°-36°-36°=108°.
③当EA=ED时,∠ADE=∠DAE=36°,
∵∠BAC=180°-36°-36°=108°,
∴∠BAD=108°-36°=72°,
∴∠BDA=180°-72°-36°=72°.
综上,当△ADE是等腰三角形时,∠BDA的度数是108°或72°.
6.(2025甘肃兰州榆中期中)如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是BC
边上两点,AD=AE.求证:BE=CD.

证明　如图,过A点作AP⊥BC于点P,∵AB=AC,AP⊥BC,∴BP
=CP,同理,DP=EP,∴BP+EP=CP+DP,即BE=CD.

方法技巧　利用等腰三角形“三线合一”的性质解题,有时
需要添加辅助线,如作底边上的高(或底边上的中线或顶角平
分线).
　等边三角形的性质定理
7.(2025浙江嘉兴期末)如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,BE⊥
AC,AD,BE交于点F,则∠AFE的度数是 ( )

A.60°　　 B.50°　　 C.40°　　 D.30°
A
解析　∵△ABC是等边三角形,BE⊥AC,∴∠BAC=60°,∠AEF
=90°,AB=AC,∵AD⊥BC,∴∠CAD= ∠BAC= ×60°=30°,
∴∠AFE=90°-∠CAD=90°-30°=60°.故选A.
8.(2025云南昆明期中)如图,点P在边长为2的等边三角形ABC
的边AC上移动,则BP长度的最小值是_______.

解析　如图,过点B作BD⊥AC,交AC于点D,
∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC=AC=2,
∵BD⊥AC,∴DC= AC=1.在Rt△DBC中,BD= =
= ,∴当点P与点D重合时,BP的长度取得最小值,为
.故答案为 .

9.【跨化学·漏斗】(2025江西南昌心远中学模拟,★★☆)图①
是实验室利用过滤法除杂的装置图,图②是其简化示意图,在
图②中,AB∥CD,AC∥OD,OD=OC,∠BAC=50°,则∠DOC的
度数为 ( )
A.50°　　　 B.60°
D
C.70°　　　 D.80°
解析　∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC=50°,
∵AC∥OD,∴∠ODC=∠ACD=50°,
∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD=50°,
∴∠DOC=180°-50°-50°=80°.
故选D.
10. (2025广东广州花都期末,★★☆)如图,等腰三角形纸片
ABC中,AB=AC,AH⊥BC于点H.小花放入一张等边三角形纸
片BDE,点E在BC上,点F为AH与DE的交点,小都放一张等边三
角形纸片EFG,点G在BC上.小花和小都量得EF=5,CE=3,那么
等腰三角形纸片ABC的底边BC的长为 ( )
C
A.8　　　 B.10 C.11　　　 D.13
解析　∵AB=AC,△EFG是等边三角形,AH⊥BC,
∴BH=CH,GH=EH,GE=FE=5,
∴BH-GH=CH-EH,∴BG=CE=3,
∴BC=BG+GE+CE=3+5+3=11.故选C.
11. (2025四川成都西川实验学校期中,★★☆)如图,在△ABA1中,
∠B=n°,AB=A1B,在A1B上取一点C,延长AA1到点A2,使得A1A2
=A1C,在A2C上取一点D,延长A1A2到点A3,使得A2A3=A2D,……,
按此作法进行下去,以点A2 027为顶角顶点的等腰三角形的底角
的度数为_________________.(用含n的式子表示)
(180-n)°
解析　∵∠B=n°,AB=A1B,∴∠BA1A= (180-n)°,
∵CA1=A1A2,∴∠A1A2C=∠A1CA2,
∵∠A1A2C+∠A1CA2=∠BA1A,
∴∠A1A2C= ∠BA1A= (180-n)°,
同理,∠A2A3D= (180-n)°,……,
∴以点A2 027为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为
(180-n)°.
12.【学科特色·手拉手模型】(2025广西柳州模拟,★★☆)如
图,△DAC和△EBC均是等边三角形,AE,BD分别与CD,CE交
于点M,N,有如下结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=
DN;④∠DAE=∠DBC.其中正确的有________(填序号).

　①②④
解析　∵△DAC和△EBC均是等边三角形,
∴AC=DC,BC=CE,∠ACD=∠BCE=60°,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
∴∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△DCB,故①正确.
∵∠ACD=∠BCE=60°,∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=60°,
∵△ACE≌△DCB,∴∠AEC=∠CBD,
又CE=BC,∠ECM=∠BCN=60°,
∴△ECM≌△BCN,∴CM=CN,故②正确.
∵△ADC是等边三角形,∴AC=AD,∠ADC=∠ACD,
∵∠AMC>∠ADC,∴∠AMC>∠ACD,∴AC>AM,
∵△ECM≌△BCN,∴EM=BN,
∵△ACE≌△DCB,∴AE=BD,∴AM=DN,
∴AC>DN,故③错误.
∵∠DBC+∠CDB=∠ACD=60°,∠DAE+∠EAC=∠DAC=60°,
∠EAC=∠CDB,∴∠DAE=∠DBC,故④正确.
∴正确结论为①②④.
13.(2025河南郑州期中,★★★)如图,等腰直角三角形ABC和
等边三角形ADE的顶点A重合(AC>AE,0°<∠BAE<90°且点E
在直线AB的上方),当两个三角形有一组边互相平行时,∠BAE
的度数为___________________.

15°或60°或75°
解析　∵△ADE为等边三角形,△ABC为等腰直角三角形,
∠ACB=90°,
∴∠DAE=∠E=60°,∠CAB=∠B=45°,
当DE∥BC时,如图1,
∵BC⊥AC,∴DE⊥AC,
∴∠CAE=90°-∠E=90°-60°=30°,
∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-30°=15°.
当DE∥AB时,如图2,∠BAE=∠E=60°.
当AD∥BC时,如图3,∠DAB+∠B=180°,
∵∠DAE=60°,∠B=45°,
∴∠BAE=180°-60°-45°=75°.
综上所述,∠BAE的度数为15°或60°或75°.

14.【新课标·推理能力】(2025浙江杭州萧山期末)在△ABC
中,点D在BC上,且CD=CA,点E在CB的延长线上,且BE=BA.
(1)如图1,若∠BAC=120°,AB=AC,求∠DAE的度数.
(2)试探求∠DAE与∠BAC的数量关系.
(3)如图2,若AB平分∠DAE,AC⊥CD于点C,求∠DAE的度数.
解析 (1)∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠C=∠ABC= (180°-∠BAC)=30°,
∵CD=CA,∴∠CAD=∠CDA= (180°-∠C)=75°,
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=45°.
∵BE=BA,∴∠E=∠BAE,∴∠ABC=∠E+∠BAE=2∠BAE,
∴2∠BAE=30°,∴∠BAE=15°,
∴∠DAE=∠BAE+∠BAD=15°+45°=60°.
(2)∠BAC=2∠DAE.
理由:∵CD=CA,∴设∠CAD=∠CDA=α,
∵BE=BA,∴设∠E=∠BAE=β,∴∠ABD=∠E+∠BAE=2β,
∵∠CDA=∠ABD+∠DAB,
∴∠DAB=∠CDA-∠ABD=α-2β,
∴∠BAC=∠DAB+∠CAD=α-2β+α=2(α-β),
∵∠DAE=∠BAE+∠DAB=β+α-2β=α-β,
∴∠BAC=2∠DAE.
(3)∵AB平分∠DAE,∴设∠BAE=∠BAD=θ,
∵BE=BA,∴∠E=∠BAE=θ,
∴∠ABD=∠E+∠BAE=2θ,
∵CD=CA,AC⊥CD,
∴△CAD是等腰直角三角形,∴∠ADC=45°,
又∵∠ADC=∠ABD+∠BAD=3θ,∴3θ=45°,
∴θ=15°,∴∠DAE=2θ=30°.(共33张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
第1 课时　线段垂直平分线的性质与判定
4　线段的垂直平分线
　线段垂直平分线的性质
1.(2024四川凉山州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE
垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的周长为50 cm,则AC+BC=
( )
A.25 cm　　 B.45 cm
C.50 cm　　 D.55 cm
C
解析　∵DE垂直平分AB,∴AD=DB,∵△ACD的周长为
50 cm,∴AC+CD+AD=AC+CD+DB=AC+BC=50 cm.故选C.
2.(2025广西梧州模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,DE
是AB的垂直平分线,分别交AB,AC于点D,E,则∠EBC的度数为
( )

A.40°　　 B.35°　　 C.32°　　 D.30°
D
解析　∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠C= (180°-∠A)=
×(180°-40°)=70°.
∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=40°,
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°.故选D.
3.【学科特色·教材变式】(2025湖北宜昌期中)如图,在△ABC
中,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,AC的垂直平分
线交BC于点F,交AC于点G,连接AD,AF.若BC=6,BD=2,∠DAF
=90°,则DF的长为_________.
解析　∵DE是AB的垂直平分线,BD=2,
∴AD=BD=2,
∵GF是AC的垂直平分线,∴FA=FC,
∵BC=6,BD=2,∴FA=FC=6-2-DF=4-DF,
∵∠DAF=90°,∴DF2=AD2+AF2,
即DF2=22+(4-DF)2,解得DF= .故答案为 .
4.(2025河北沧州任丘期末)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线
EF交BC于点E,交AB于点F,点D为线段CE的中点,BE=AC.
(1)求证:AD⊥BC.
(2)若∠B=35°,求∠C的度数.

解析 (1)证明:如图,连接AE,
∵EF垂直平分AB,∴BE=AE.
∵AC=BE,∴AC=AE.
∵点D为线段CE的中点,∴AD⊥BC.

(2)∵BE=AE,∴∠B=∠BAE=35°,
∴∠AEC=2∠B=70°,
∵AE=AC,∴∠C=∠AEC=70°.
方法归纳　利用线段垂直平分线的性质解题,有时需要作辅
助线,连接垂直平分线上的一点和线段的一个端点.
　线段垂直平分线的判定
5.(2025湖南衡阳衡山期末)如图,AC=AD,BC=BD,则 ( )
A.AB与CD互相垂直平分
B.CD垂直平分AB
C.AB垂直平分CD
D.以上答案都不对
C
解析　∵AC=AD,∴点A在CD的垂直平分线上,∵BC=BD,
∴点B在CD的垂直平分线上,∴AB垂直平分CD.故选C.
6.(2025陕西咸阳礼泉期中)如图,点D在△ABC的边BC上,连接
AD,BC=BD+AD,则点D______线段AC的垂直平分线上的点.
(填“是”或“不是”)

　是
解析　∵BC=BD+AD,BC=BD+DC,∴AD=CD,∴点D是线段
AC的垂直平分线上的点.故答案为是.
7.(2025湖北襄阳谷城期末)如图,AD与BC相交于点O,OA=OC,
∠A=∠C,BE=DE.求证:OE垂直平分BD.

证明　在△AOB与△COD中,
∠A=∠C,OA=OC,∠AOB=∠COD,
∴△AOB≌△COD(ASA),∴OB=OD,
∴点O在线段BD的垂直平分线上,
∵BE=DE,∴点E在线段BD的垂直平分线上,
∴OE垂直平分BD.

8.(2025四川成都嘉祥教育集团期中,★★☆)如图,y轴垂直平
分线段AB,C为y轴正半轴上一点,D是线段OC上一点,且AD⊥
BD,若C(0,4),AC=5,则阴影部分的面积是 ( )
A. 　　 B.2　　 C. 　　 D.3
D
解析　∵y轴垂直平分线段AB,
∴OA=OB,AD=BD,∵C(0,4),∴OC=4,
∵AC=5,∠AOC=90°,
∴OA= = =3,∴AB=6,
∵AD⊥BD,AD=BD,∴OD=OA=3,
∴阴影部分的面积=S△ABC-S△ABD= ×6×4- ×6×3=3.故选D.
9.【学科特色·教材变式】(2025上海松江期末,★★☆)如图,
在△ABC中,∠ACB=90°,DE是AB的垂直平分线,交AB于D,交
BC于E,∠AEC=30°,BC=2,那么AC的长为____________.

4-2
解析　∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE.
在△AEC中,∠ACE=90°,∠AEC=30°,
∴AE=2AC,∴CE= = AC,
∵BC=BE+CE=2,∴2AC+ AC=2,
∴AC=4-2 .故答案为4-2 .
10.(2025山东聊城期末,★★☆)如图,在△ABC中,边AC,BC的
垂直平分线相交于点P.若∠C=110°,则∠APB=_________°.

140
解析　如图,连接CP,
∵边AC,BC的垂直平分线相交于点P,
∴PA=PC=PB,∠PMC=∠PNC=90°,
∴∠APM=∠CPM,∠CPN=∠BPN,
∵∠C=110°,∴∠MPN=360°-90°-90°-110°=70°,
∴∠APB=∠APM+∠CPM+∠CPN+∠BPN=
2(∠CPM+∠CPN)=2∠MPN=140°.故答案为140.
11.(2025上海七宝二中月考,★★★)如图,在△ABC中,AB=BC
=AC=12 cm,点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边顺时
针运动,点M的速度为4 cm/s,点N的速度为6 cm/s,当点M,N第
一次相遇时停止运动.设点M,N的运动时间为t(t>0)秒,当线段
MN的垂直平分线经过△ABC的某一顶点时,t的值为_______
__________.
或 或
或
解析　由题意可知当点M和N第一次相遇时,6t-12=4t,解得t=6,
∴0①如图1,当线段MN的垂直平分线经过点A时,AM=AN,∴12-6t
=4t,解得t= .

24-6t=4t-12,解得t= .
②当线段MN的垂直平分线经过点B时,如图2,过点B作BD⊥
AC于点D,则MD=ND,AD=CD,∴AD-ND=CD-MD,∴AN=CM,
即6t-12=12-4t,解得t= .
③当线段MN的垂直平分线经过点C时,如图3,此时CN=CM,即
如图4,当线段MN的垂直平分线经过点A时,易知CN=BM,∴6t-
24=24-4t,解得t= .
综上,t的值为 或 或 或 .
12.(2025宁夏银川二十四中期中,★★☆)如图,在△ABC中,AB
=AC,过点B作AB的垂线,过点C作AC的垂线,两条垂线交于
点P,作直线AP.
(1)求证:AP垂直平分BC.
(2)若AP=5,AB=4,求BC的长.

解析 (1)证明:∵PB⊥AB,PC⊥AC,
∴∠ABP=∠ACP=90°.
在Rt△ABP和Rt△ACP中,AP=AP,AB=AC,
∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL),∴BP=CP,
∴点P在BC的垂直平分线上,
∵AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上,
∴AP垂直平分BC.
(2)∵AP=5,AB=4,∠ABP=90°,
∴PB= =3,
由(1)知Rt△ABP≌Rt△ACP,∴S△ABP=S△ACP,
∴四边形ABPC的面积=2S△ABP,
∴ AP·BC=2× AB·BP,
∴ ×5BC=4×3,∴BC= .

13.【新课标·应用意识】(2025河南洛阳伊川期末)【问题发
现】我们知道“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相
等”,那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大
小如何判断呢
【自主研究】
(1)如图1,直线l是线段AB的垂直平分线,点P在直线l的左侧,经
测量,PA【迁移研究】
(2)如图2,直线l是线段AB的垂直平分线,点C在直线l外,且与点
A在直线l的同侧,点D是直线l上的任意一点,连接AD,CD,BC,
试判断BC和AD+CD之间的大小关系,并说明理由.

解析 (1)证明:如图1,连接PA,PB,设PB交直线l于点M,连接
AM,∵直线l是线段AB的垂直平分线,∴AM=BM,∴PB=PM+
MB=PM+AM,∵PM+AM>PA,∴PA
(2)AD+CD≥BC,理由:如图2,当点D不在线段BC上时,连接BD,
∵直线l是线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,∵BD+CD>BC, ∴AD+CD>BC.
当点D在线段BC上时,AD+CD=BD+CD=BC.
综上,AD+CD≥BC.(共28张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
第1 课时　直角三角形的性质与判定
3　直角三角形
　直角三角形的性质与判定
1.(2025浙江绍兴新昌期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=
10°,则∠A的度数为 ( )
A.50°　　　 B.60° C.70°　　　 D.80°
A
解析　在Rt△ABC中,∠C=90°,则∠A+∠B=90°,
∵∠A-∠B=10°,∴∠A=50°.故选A.
2.(2025湖南永州期中)下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=3∶7∶4;③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B= ∠C.其中
能确定△ABC是直角三角形的条件有 ( )
A.①③　　　 B.①④
C.①②③　　　 D.①②③④
D
解析　∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形,故①符合题意;
②∵∠A∶∠B∶∠C=3∶7∶4,∴∠B=180°× =90°,
∴△ABC是直角三角形,故②符合题意;
③∵∠A=90°-∠B,∴∠A+∠B=90°,
∴∠C=180°-90°=90°,
∴△ABC是直角三角形,
故③符合题意;
④∵∠A=∠B= ∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴ ∠C+ ∠C+∠C
=180°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形,故④符合题意.
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③④.故选D.
3.(2024四川攀枝花中考)已知一个直角三角形两直角边的长
分别为1和2 ,则其斜边的长为_________.
3
解析　∵直角三角形两直角边的长分别为1和2 ,∴其斜边
的长= =3.故答案为3.
4.(2025湖南衡阳期末)一个三角形的三边长的比为3∶4∶5,
且其周长为24 cm,则其面积为______________.
24 cm2
解析　如图,设这个三角形的三边长分别为3x cm,4x cm,5x cm,
∵(3x)2+(4x)2=(5x)2,∴AC2+BC2=AB2,∴∠C=90°,∵三角形的
周长为24 cm,∴3x+4x+5x=24,解得x=2,∴3x=6,4x=8,∴三角形
的面积为 ×6×8=24(cm2).故答案为24 cm2.

5.【跨体育与健康·跳绳】(2025福建福州模拟)如图1,小明按
照体育老师教的方法确定适合自己的绳长:一脚踩住绳子的
中央,手肘靠近身体,两肘弯曲90°,小臂水平转向两侧,两手将
绳拉直,绳长即为合适的长度.将图1抽象成图2,若两手握住的
绳柄两端距离约为1米,小臂到地面的距离约为1.2米,则适合
小明的绳长为___________米.
2.6
解析　如图,过点A作AD⊥BC于点D,
∵AB=AC,BC=1米,∴BD= BC=0.5米.
在Rt△ABD中,AD=1.2米,
∴AC=AB= = =1.3(米),
∴适合小明的绳长为1.3×2=2.6米.故答案为2.6.
6.【学科特色·教材变式】(2025四川广安岳池期中)如图所示,
在△ABC中,AD是BC边上的高,E是AB边上一点,CE交AD于点
M,且∠DCM=∠MAE,求证:△AEM是直角三角形.

证明　∵AD是BC边上的高,
∴∠DMC+∠DCM=90°,
∵∠DCM=∠MAE,∠DMC=∠AME,
∴∠AME+∠MAE=90°,
∴△AEM是直角三角形.
　互逆命题、互逆定理
7.下列说法中正确的是 ( )
A.任何一个命题都有逆命题
B.若原命题是假命题,则它的逆命题也是假命题
C.任何一个定理都有逆定理
D.若原命题是真命题,则它的逆命题也是真命题
A
解析　任何一个命题只要把结论和条件互换就得到它的逆命
题.互逆命题的真假性不一定一致.故选A.
8.写出下列各命题的逆命题,并判断其真假.
(1)全等三角形的对应角相等.
(2)如果两个数相等,那么它们的绝对值相等.
(3)两直线平行,内错角相等.
(4)如果两个角的度数都是45°,那么这两个角相等.
解析 (1)逆命题:角分别相等的两个三角形全等(假命题).
(2)逆命题:如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等(假命
题).
(3)逆命题:内错角相等,两直线平行(真命题).
(4)逆命题:如果两个角相等,那么这两个角的度数都是45°(假
命题).

9.(★★☆)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC≠AB,AD是斜边
BC上的高,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为点E,F,则图中与∠C
相等的角(∠C除外)的个数是 ( )
A
A.3　　 B.4　　 C.5　　 D.6
解析　∵∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠C+∠B=90°,∠BDF+∠B=90°,∠BAD+∠B=90°,
∠DAC+∠C=90°,∠DAC+∠ADE=90°,
∴∠C=∠BDF=∠BAD=∠ADE,
∴题图中与∠C相等的角(∠C除外)的个数是3.故选A.
10.【学科特色·多解法】(2024陕西中考,★★★)如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作BF∥AC,且 BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为_______.

60
解析　【解法一】∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵BF∥AC,∴∠ACB=∠CBF,
∴∠ABC=∠CBF,∴BC平分∠ABF.
如图1,过点C作CM⊥AB于点M,CN⊥BF于点N,则CM=CN.
∵S△ACE= AE·CM,S△CBF= BF·CN,BF=AE,
∴S△CBF=S△ACE,∴四边形EBFC的面积=S△CBF+S△CBE=S△ACE+S△CBE=
S△CBA,∵AC=13,∴AB=13.
设AM=x,则BM=13-x,
由勾股定理,得CM2=AC2-AM2=BC2-BM2,
∴132-x2=102-(13-x)2,解得x= ,
∴CM= = ,
∴S△CBA= AB·CM=60,
∴四边形EBFC的面积为60.
【解法二】如图2,过点A作AH⊥BC于点H,
∵AB=AC,BC=10,∴BH=CH=5,
由勾股定理可得AH=12,则S△ABC= ×10×12=60,
同解法一可得四边形EBFC的面积=S△CBA,
∴四边形EBFC的面积为60.
11. (2025山西吕梁月考,★★☆)研学实践:某校组织学生到当
地乡村振兴示范点进行参观游学.如图,在点A处有一个游客
饮水点,近期计划在点B处新建一个游客饮水点.需在原有供
水管道AC的基础上新建供水管道BP,点P在AC上,因障碍物阻
挡,BP的长度不能直接测得,现将测量BP长的任务交于参观游
学的学生完成.
数据采集:小林和他的同学利用测距仪和测角仪测得部分数
据.在直线AB上选取一点Q,且∠AQP=90°,AB=25 m,AP=20 m,
PQ=12 m.
数据应用:请根据以上数据,求BP的长.

解析　在Rt△APQ中,∠AQP=90°,AP=20 m,PQ=12 m,由勾股
定理得AQ= =16 m,
∴BQ=AB-AQ=25-16=9(m),
在Rt△BPQ中,由勾股定理得BP= =15 m.

12.【新课标·创新意识】综合与探究.
定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三部分.若以AM,
MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段
AB的“勾股分割点”.
数学思考:
(1)已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三部分.若AM=2,MN
=3,NB=4,点M,N是线段AB的“勾股分割点”吗 请说明理由.
深入探究:
(2)已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”.
①“善思小组”提出问题:若MN为以AM,MN,NB为边的直角
三角形的最长边,且AM=BN=1,求AB的长.
②“智慧小组”提出问题:若AM为以AM,MN,NB为边的直角
三角形的直角边,且AM=4,AB=12,请直接写出BN的长.

解析　 (1)点M,N不是线段AB的“勾股分割点”.理由:∵AM=
2,MN=3,NB=4,∴AM2+MN2=22+32=13≠NB2,
∴以AM,MN,NB为边的三角形不是直角三角形,∴点M,N不是
线段AB的“勾股分割点”.
(2)①由题意可知MN2=AM2+NB2,∵AM=BN=1,∴MN= ,
∴AB=AM+BN+MN= +2.
②BN的长为3或5.
详解:设BN=x,则MN=AB-AM-BN=12-4-x=8-x,
根据题意分情况讨论:
当BN为直角三角形的斜边时,BN2=MN2+AM2,
∴x2=(8-x)2+42,解得x=5,即BN=5.
当BN为直角三角形的直角边时,MN2=AM2+BN2,∴(8-x)2=42+x2,
解得x=3,即BN=3.
综上所述,BN的长为3或5.(共15张PPT)
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课件使用说明
☆　问题解决策略:反思
　等腰三角形性质的再探究
1.数学活动课上,小明在折叠等腰三角形纸片ABC的过程中发
现:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等(如图1).
【证明命题】已知:如图2,在等腰△ABC中,AB=AC,点D为BC
的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:DE=DF.
【条件探究】对于任意的等腰三角形,若将“点D为BC的中
点”改为“点D为三角形外部一点,点D到等腰三角形的两顶
点B,C的距离相等”,那么点D到两腰所在直线的距离相等吗
已知:如图3,在等腰△ABC中,AB=AC,
点D为三角形外部一点,BD=CD,DE⊥
直线AB于点E,DF⊥直线AC于点F.
求证:DE=DF.

【条件、结论互换】利用已有学习经验,尝试改变条件和结
论的位置,提出猜想:对于平面上的一点D,若满足点D到一个
三角形的两顶点B,C的距离相等,且点D到边AB,AC所在直线
的距离相等,那么这个三角形是等腰三角形.你认为这个猜想是否成立 若成立,请画图并说明理由;若不成立,请画出反例图.
解析　【证明命题】证明:如图1,连接AD,
∵AB=AC,点D是BC的中点,∴AD平分∠BAC,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
　
【条件探究】证明:如图2,连接AD,交BC于点M,
∵AB=AC,BD=CD,∴点A,D在线段BC的垂直平分线上,
∴AD垂直平分BC,
∵AB=AC,AD⊥BC,∴AD平分∠BAC,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
【条件、结论互换】猜想不一定成立.如图3,
当点D在BC的垂直平分线上,且在△ABC的外角平分线上时,
满足条件,但△ABC不一定是等腰三角形.
　等腰三角形判定的再探究
2.(2025福建厦门一中期中)小明在学习等腰三角形的相关知
识时,发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对
等边”存在互逆关系.由此,小明进行了如下思考:“等腰三角
形三线合一”的性质可以分解为多个不同的真命题,即:
①等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高;
②等腰三角形底边上的中线也是底边上的高;
……
由真命题①②,小明得到了“互逆”后的新命题,即:
Ⅰ.如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高,
那么这个三角形是等腰三角形;
Ⅱ.……
(1)请你根据前面的命题②写出小明猜想的命题Ⅱ.
(2)小明认为如果新命题是真命题,那么就可以作为等腰三角
形的判定方法,于是小明对命题进行证明,他根据命题Ⅰ写出
了已知、求证.
已知:在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC.求证:△ABC是等腰
三角形.
a.请你根据命题Ⅱ写出已知、求证.
b.命题Ⅰ,Ⅱ是不是真命题 如果是,请帮助小明进行证明;如果
不是,请说明理由.

解析 (1)如果一个三角形一边上的中线也是这条边上的高,
那么这个三角形是等腰三角形.
(2)a.已知:在△ABC中,AD是中线,AD⊥BC.
求证:△ABC是等腰三角形.
b.命题Ⅰ,Ⅱ都是真命题,证明过程如下:
命题Ⅰ:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,
在△ABD和△ACD中,∠BAD=∠CAD,AD=AD,∠ADB=∠ADC
=90°,∴△ABD≌△ACD(ASA),∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
命题Ⅱ:∵AD是中线,∴BD=DC,
在△ABD和△ACD中,
AD=AD,∠ADB=∠ADC=90°,DB=DC,
∴△ABD≌△ACD(SAS),
∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.(共31张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
第1课时　三角形内角和及全等三角形
1　三角形内角和定理
　三角形内角和定理
1.(2025安徽宿州砀山期末)如图,△ABC缺了一个角(∠C),若
∠A=76°,∠B=20°,则∠C的度数是 ( )
A.96°　　 B.86°　　 C.84°　　 D.66°
C
解析　根据三角形内角和定理得∠C=180°-76°-20°=84°.
故选C.
2.【学科特色·方程思想】(2025重庆八中期中)在△ABC中,
∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则△ABC是 ( )
A.锐角三角形　　　 B.直角三角形
C.钝角三角形　　　 D.不确定
A
解析　在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,
∴设∠A=2x°,∠B=3x°,∠C=4x°,
∵∠A+∠B+∠C=180°,∴2x+3x+4x=180,
解得x=20,∴∠C=4x°=4×20°=80°,
∴△ABC是锐角三角形.故选A.
方法点拨　已知三角形三个内角的度数比,通常设未知数表示各
内角的度数,根据三角形内角和定理列方程求解.
3.(2025山东烟台期中)如图,在△ABC中,将∠B和∠C按如图
所示的方式折叠,点B,C均落于边BC上的点G处,线段MN,EF为
折痕.若∠A=100°,则∠MGE=___________°.

100
解析　∵∠A=100°,∴∠B+∠C=180°-∠A=80°,
由折叠的性质得∠MGN=∠B,∠EGF=∠C,
∴∠MGN+∠EGF=∠B+∠C=80°,
∴∠MGE=180°-(∠MGN+∠EGF)=100°.
4.(2025内蒙古呼和浩特期末)如图,已知小岛B在基地A的南偏
东20°方向上,与基地A相距10海里,货轮C在基地A的南偏西
70°方向、小岛B的北偏西60°方向上,则∠C= ______°.

50
解析　如图,
由题意得∠CAD=70°,∠DAB=20°,∠EBC=60°,AD∥EB,
∴∠ABE=∠DAB=20°,
∴∠ABC=∠EBC-∠ABE=40°,
∴∠C=180°-∠CAD-∠DAB-∠ABC=50°.
5.【学科特色·8字模型】(2025山东济南开学测试)如图,AC,
BD相交于点O.求证:∠A+∠B=∠C+∠D.

证明　∵∠A+∠B+∠AOB=180°,
∴∠A+∠B=180°-∠AOB.
同理可得∠C+∠D=180°-∠COD,
∵∠AOB=∠COD,
∴180°-∠AOB=180°-∠COD,
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
　全等三角形的性质与判定
6.(2025上海上师正大中学期中)放风筝是人们喜爱的户外活
动之一.在如图所示的“风筝”图案中,∠B=∠D,AB=AD,BC=
DE,可以直接判定 ( )
D
A.△ABC≌△AEG　　　 B.△ACF≌△AEG
C.△ABF≌△ADG　　　 D.△ABC≌△ADE
解析　在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE,
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∴可以直接判定△ABC≌△ADE.故选D.
7.【新考向·条件开放题】(2024山东德州中考)如图,点C是AB
的中点,且CD=BE,请添加一个条件____________________,
使得△ACD≌△CBE.

AD=CE(答案不唯一)
解析　答案不唯一.可添加AD=CE,理由如下:
∵点C是AB的中点,∴AC=CB,
又∵CD=BE,AD=CE,
∴△ACD≌△CBE(SSS).
8.(2025上海文来中学月考)如图,在△ABC中,点D是边AB上一
点,点E是边AC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F.
(1)求证:△ADE≌△CFE.
(2)若AB=5,CF=3,求BD的长.

解析 (1)证明:∵点E是边AC的中点,∴AE=CE,∵CF∥AB,
∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F.
在△ADE和△CFE中,∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,AE=CE,
∴△ADE≌△CFE(AAS).
(2)∵△ADE≌△CFE,CF=3,∴AD=CF=3,
∵AB=5,∴BD=AB-AD=5-3=2.

9.【跨物理·反射】(2025安徽名校之约联考,★☆☆)如图,OM,ON是两块平面镜,一束光线AB照射到平面镜ON上,反射光线为BC,点C在平面镜OM上,再次反射后反射光线为CD.若∠MON=110°,∠ABN=30°,则∠DCM的度数为(提示:入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角) ( )
B
A.35°　　　 B.40°
C.45°　　　 D.50°
解析　由题意可知∠ABN=∠CBO=30°,∠DCM=∠BCO,
∵∠MON=110°,∴∠BCO=180°-∠CBO-∠MON=40°,
∴∠DCM=∠BCO=40°.故选B.
10. 【学科特色·教材变式】(2025广东茂名高州期中,★★☆)
如图,在△ABC中,BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB,∠BDC=
110°,则∠BAC=__________°.

40
解析　在△BCD中,∠BDC=110°,
∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-110°=70°,
∵BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠ABC=2∠DBC,∠ACB=2∠DCB,
∴∠ABC+∠ACB=2∠DBC+2∠DCB=2(∠DBC+∠DCB)=2×
70°=140°,
∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-140°=40°.
11. (2024四川凉山州中考,★★☆)如图,△ABC中,∠BCD=30°,
∠ACB=80°,CD是边AB上的高,AE是∠CAB的平分线,则
∠AEB的度数是_____________.

100°
解析　∵CD是边AB上的高,∴∠CDB=∠CDA=90°,
∵∠BCD=30°,∠ACB=80°,
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=50°,
∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=60°,
∴∠CAB=180°-∠ADC-∠ACD=40°,
∵AE是∠CAB的平分线,
∴∠EAB= ∠CAB=20°,
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=100°.
12.【学科特色·易错题】(★★★)如图,在△ABC中,∠ACB=
90°,AC=7 cm,BC=3 cm,CD为AB边上的高,点E从点B出发,在直线BC上以2 cm/s的速度移动,过点E作BC的垂线交直线CD于
点F,当点E运动___________s时,CF=AB.

2或5
解析　∵∠ACB=90°,∴∠A+∠CBD=90°,
∵CD为AB边上的高,∴∠CDB=90°,
∴∠BCD+∠CBD=90°,∴∠A=∠BCD,
∵∠BCD=∠ECF,∴∠ECF=∠A,
∵EF⊥BC,∴∠CEF=90°=∠ACB.
在△CEF和△ACB中,∠ECF=∠A,∠CEF=∠ACB,CF=AB,
∴△CEF≌△ACB(AAS),∴CE=AC=7 cm,
①如图,当点E在射线BC上移动时,BE=CE+BC=7+3=10(cm),
∴点E移动了 =5(s).

②如图,当点E在射线CB上移动时,BE'=CE'-BC=7-3=4(cm),
∴点E移动了 =2(s).
综上所述,当点E在直线BC上移动5 s或2 s时,CF=AB.
易错警示　本题在求解时,易出现的错误是只考虑一种情况,
忽略另一种情况,导致漏解.
13.【学科特色·教材变式】(2025山东济南实验中学期中,★
★☆)如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,点E在AC上,
DE∥BC,若∠A=62°,∠B=80°,求∠EDC的度数.

解析　在△ABC中,∠A=62°,∠B=80°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-62°-80°=38°,
∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠BCD= ∠ACB= ×38°=19°,
∵DE∥BC,
∴∠EDC=∠BCD=19°.

14.【新课标·应用意识】为了证明三角形的内角和是180°,小
明给出了下列三种作辅助线的方法.
方法①:点P在△ABC的边BC上,过点P作PE∥AB交AC于点E,
PF∥AC交AB于点F;
方法②:点P在△ABC的内部,过点P作EF∥AB交AC,BC于点E,
F,DG∥AC交AB,BC于点D,G,MN∥BC交AC,AB于点M,N;
方法③:点P在△ABC的外部,过点P作EF∥AB交AC,BC于点E,
F,DP∥AC交BC于点D,MN∥BC.

(1)小明的三种作辅助线的方法中,能证明三角形的内角和是
180°的是_______.(只填写序号)
(2)请从你在(1)中填写的方法里选择一种方法,证明三角形的
内角和是180°.
解析 (1)结合平行线的性质可知①②③均能证明三角形的
内角和是180°.
(2)答案不唯一,如选择方法①.
证明:∵PE∥AB,PF∥AC,
∴∠CPE=∠B,∠EPF=∠PFB,∠FPB=∠C,∠PFB=∠A,
∴∠EPF=∠A,
∵点B,P,C在同一直线上,
∴∠EPF+∠CPE+∠FPB=180°,∴∠A+∠B+∠C=180°.(共11张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
第4课时　多边形的外角和
1　三角形内角和定理
　多边形的外角和
1.(2025辽宁朝阳建平期末)某县为创建全国文明城市,园林工
人要在社区公园铺设一个正多边形花坛,为了美观,施工时要
求正多边形花坛的每个外角都为45°,故正多边形花坛是___
_______边形 ( )
A.六　　 B.七　　 C.八　　 D.九
C
解析　∵正多边形花坛的每个外角都为45°,∴正多边形花坛
的边数为360°÷45°=8,∴正多边形花坛是八边形.故选C.
2.【跨化学·分子结构】C60的发现使人类了解到一个全新的
碳世界.如图所示的是C60的分子结构图,包括20个正六边形和
12个正五边形,其中正五边形的一个外角的度数是_______.

72°
解析　∵正五边形的外角和为360°,∴正五边形的一个外角
的度数为360°÷5=72°.故答案为72°.
3.(2025江苏扬州江都期末)一个多边形的内角和是它外角和
的2倍,这个多边形是______边形.
　六
解析　设这个多边形的边数是n,则(n-2)·180°=2×360°,解得
n=6,∴这个多边形是六边形.故答案为六.
4.(2025江苏南京鼓楼月考)请用两种方法证明四边形的外角
和为360°.
已知:如图,四边形ABCD,∠1,∠2,∠3,∠4是它的外角.
求证:∠1+∠2+∠3+∠4=360°.

证明　【证法一】∵∠1+∠BAD=180°,∠2+∠ABC=180°,
∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDA=180°,∴∠1+∠BAD+∠2+
∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDA=180°×4=720°,∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
【证法二】如图,连接BD,∵∠1=∠ABD+
∠ADB,∠3=∠CBD+∠CDB,∴∠1+∠2+
∠3+∠4=∠ABD+∠ADB+∠2+∠CBD+
∠CDB+∠4=180°×2=360°.

5.【新课标·中华优秀传统文化】(2025湖北武汉期中,★★☆)
图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案看起来像
坚冰出现裂纹并开始消融,形状无一定规则,代表一种自然和
谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成
的一个图形,已知∠3+∠4=180°,∠2=61°,∠5=52°,则∠1的
度数为 ( )
A.57°　　 B.66°　　
D
C.63°　　 D.67°
解析　∵多边形的外角和等于360°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,
∵∠3+∠4=180°,∠2=61°,∠5=52°,
∴∠1=67°.故选D.
6.(2024广东东莞期末,★★☆)一个机器人以2 m/s的速度在平
地上按如下程序行走.

(1)该机器人从开始到停止所走过的路径组成的图形是 ___________.
(2)该机器人从开始到停止行走时间为__________s.
16
正八边形
(3)若机器人还差4 m就第n次回到点O处,则它走过的路程为
_____________m.
32n-4
解析 (1)由题意得该机器人走过的路径是一个正多边形,正
多边形的边数为360°÷45°=8,∴该机器人从开始到停止所
走过的路径组成的图形是正八边形.
(2)该机器人所走的路程是4×8=32(m),所用时间是32÷2=16(s).
(3)机器人还差4 m就第n次回到点O处,
则它走过的路程为(32n-4)m.
7.(2024陕西西安阎良期末,★★☆)已知一个多边形的内角和
与外角和的差刚好等于一个十边形的内角和,求这个多边形
的边数.
解析　设这个多边形的边数为n,根据题意得(n-2)·180°-360°
=(10-2)×180°,解得n=12,
∴这个多边形的边数为12.(共27张PPT)
第一章　三角形的证明及其应用
第2 课时　尺规作线段的垂线及三角形三边的垂直平分线
4　线段的垂直平分线
　与线段的垂直平分线有关的作图
1.(2024黑龙江哈尔滨中考)如图,在△ABC中,AB=AC,分别以
点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N
两点,作直线MN交BC于点D,连接AD,若∠B=50°,则∠DAC=
( )

C
A.20°　　　 B.50°
C.30°　　　 D.80°
解析　∵AB=AC,∠B=50°,∴∠C=∠B=50°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°,
由作图可知DM是线段AB的垂直平分线,
∴DA=DB,∴∠BAD=∠B=50°,
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=80°-50°=30°.
故选C.
2.(2024甘肃甘南州中考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,
AC=4.以点A为圆心,AC的长为半径作弧,交BC于点D,再分
别以点C和点D为圆心,大于 DC的长为半径作弧,两弧相交于
点E,作射线AE交BC于点F,则BF的长为 ( )

B
A.5　　　 B.6
C.7　　　 D.8
解析　由作图知AF⊥BC,
∵∠BAC=90°,∠B=30°,AC=4,
∴BC=2AC=8,∴AB= =4 ,
∵∠AFB=90°,∠B=30°,∴AF= AB=2 ,
∴BF= =6.
故选B.
3.【新考向·尺规作图】(2024陕西中考)如图,已知直线l和l外
一点A,请用尺规作一个等腰直角△ABC,使得顶点B和顶点C
都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可,保
留作图痕迹,不写作法)

解析　 如图,△ABC即为所求作的三角形.(答案不唯一)

　三角形三边的垂直平分线的性质
4.(2025河南平顶山宝丰期中)如图,某居民小区在三栋住宅楼
A,B,C之间修建了供居民散步的三条绿道,并在绿道内部修建
了一个凉亭P.若点P到点A,B,C的距离相等,则点P是△ABC的
( )
A.三条角平分线的交点
C
B.三条高的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三条中线的交点
解析　如图,连接PA,PB,PC,∵点P到点A,B,C的距离相等,
∴PA=PB=PC,∴点P是△ABC的三边垂直平分线的交点.
故选C.

5.(2025江苏南通月考)如图,将△ABC放在每个小正方形边长
均为1的网格中,点A,B,C均落在格点上,若点B的坐标为(3,-1),
点C的坐标为(2,2),则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标
为_____________.

(1,0)
解析　设点P到△ABC三个顶点的距离相等,则点P是边AB,
AC的垂直平分线的交点,如图所示,点P即为所求,点P的坐标
为(1,0).

6.(2025陕西咸阳渭城期中)如图,在△ABC中,AB边的垂直平分
线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于
点P,连接AD,AE,PB,PC.
(1)判断点P是否在BC的垂直平分线上,并说明理由.
(2)若∠BAC=100°,求∠DAE的度数.

解析 (1)点P在BC的垂直平分线上,理由:如图,连接AP,
∵l1是AB边的垂直平分线,
∴PA=PB,
∵l2是AC边的垂直平分线,
∴PA=PC,
∴PB=PC,
∴点P在BC的垂直平分线上.
(2)∵∠BAC=100°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-100°=80°,
∵l1是AB边的垂直平分线,l2是AC边的垂直平分线,
∴DA=DB,EA=EC,
∴∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB,
∴∠BAD+∠EAC=80°,∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=
100°-80°=20°.

7.(2025河南郑州四中期中,★★☆)如图,在△ABC中,边AB,AC
的垂直平分线交于点P,连接BP,CP,若∠A=75°,则∠BPC的度
数为 ( )

A.150°　　 B.140°　　 C.130°　　 D.120°
A
解析　如图,连接PA,∵∠BAC=75°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-75°=105°.
∵边AB,AC的垂直平分线交于点P,
∴PA=PB,PA=PC,
∴∠PBA=∠PAB,∠PCA=∠PAC,
∴∠PBA+∠PCA=∠PAB+∠PAC=∠BAC=75°,
∴∠PBC+∠PCB=105°-75°=30°,
∴∠BPC=180°-30°=150°.故选A.
8.【学科特色·易错题】(2025浙江绍兴嵊州模拟,★★☆)如图,在
△ABC中,AB=AC,∠A=90°,分别以点B,C为圆心,大于 BC的长为半径作弧,两弧交于E,F两点,再以点A为圆心,AB的长为半径
作弧,交直线EF于点P,连接BP,则∠BPA的度数是____________.

22.5°或67.5°
解析　如图,

∵AB=AC,∠BAC=90°,∴△ABC为等腰直角三角形.由作图过
程可知,直线EF为线段BC的垂直平分线,∴直线EF经过点A,
∠BAF= ∠BAC=45°.
当点P在点A上方时,记为P1,AP1=AB,
∴∠BP1A=∠ABP1,
∵∠BAF=∠BP1A+∠ABP1,∴∠BP1A=22.5°.
当点P在点A下方时,记为P2,AP2=AB,
∴∠BP2A=∠ABP2= (180°-∠BAF)=67.5°.
综上所述,∠BPA的度数是22.5°或67.5°.
易错警示　本题易出现的错误是只考虑一种情况,忽视另一
种情况,导致漏解.
9.(★★★)设计院按实际情况构建平面直角坐标系,并标注A,
B,C三镇的坐标,数据如图所示(单位:km),有一条笔直的河流
经过A,B两镇,现计划修建一条从C镇到河流的最短公路l,并在
l上建一个通讯站D,使通讯站D到B,C两镇的距离相等,则通讯
站D的坐标为_______________.

(-1,-7)
解析　如图,作直线AC.∵C(-1,-17),A(-1,-1),B(7,-1),∴直线AC
平行于y轴,直线AB平行于x轴,∴CA⊥AB,AC=-1-(-17)=16(km),
AB=7-(-1)=8(km),∴AC即为最短公路l.作直线DE垂直平分BC,
交l于点D,连接BD,则点D到点B,C的距离相等,即DB=DC.
设CD=DB=x km,∵AC=16 km,CD=x km,
∴AD=AC-CD=(16-x)km,
∵AB=8 km,CA⊥AB,∴AB2+AD2=BD2,
即82+(16-x)2=x2,解得x=10,即CD=10 km,
∴点D的纵坐标为-17+10=-7,∴D(-1,-7).
10.【学科特色·教材变式】(2025上海黄浦期末,★★☆)如图,
已知线段a.
(1)求作等腰三角形ABC,使其底边BC的长为a,底边上的高为
2a.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)如果a=2,求(1)中等腰三角形ABC的腰长.

解析 (1)如图,△ABC即为所求.

(2)由题意得BC=2,AF=4,
∵AF⊥BC,AB=AC,∴BF=CF=1,
∴AC=AB= = = .

11.【新课标·推理能力】利用垂直平分线将三角形分割出等
腰三角形.
(1)如图1,在△ABC中,AB接AD,那么图1中出现的等腰三角形是_______.

(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=90°,AC的垂直平分线交BC于点D,连接AD,那么图2中出现的等腰三角形是______.
(3)请利用上述方法,用尺规将图3中的直角三角形分割成三个等腰三角形,并说明理由.
解析 (1)∵AC的垂直平分线交BC于点D,∴CD=AD,
∴△ACD是等腰三角形.故答案为△ACD.
(2)∵AC的垂直平分线交BC于点D,
∴AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,△ACD是等腰三角形,
∵∠BAC=90°,∴∠DAC+∠DAB=90°,∠DCA+∠DBA=90°,
∴∠DBA=∠DAB,∴DA=DB,
∴△ABD是等腰三角形,
∴题图2中出现的等腰三角形是△ABD,△ACD.
(3)如图,作AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD,作AC的垂直
平分线交AD于点E,连接CE,

由作图易知EA=EC,DA=DB,
结合前两问可知图中共有3个等腰三角形,分别是△DAB,
△EAC和△ECD.

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