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(共24张PPT)
第17章　一元二次方程及其应用
第2课时　几何图形、销售问题
17.5　一元二次方程的应用
　几何图形问题
1.(2025山东淄博期中)如图,在宽为20 m,长为32 m的长方形地
面上修同样宽的小路(阴影部分),余下的部分种上草,要使草
坪的面积为540 m2,求小路的宽.若设小路的宽为x m,则根据题
意所列方程正确的是 ( )
A.(20+x)(32+x)=540
B.(32-x)(20-x)+x2=540
C
C.(20-x)(32-x)=540
D.32×20-32x-20x=540
解析　利用平移,原图可转化为下图,空白部分是长为(32-x)m,
宽为(20-x)m的长方形,
由题意得(20-x)(32-x)=540.
2.【学科特色·教材变式】有一张长40 cm,宽30 cm的长方形
硬纸片(如图1),截去四个全等的小正方形之后,折成无盖的纸
盒(如图2).若纸盒的底面积为600 cm2,则纸盒的高为_____cm.
5
解析　设纸盒的高为x cm,显然x<15,由题意可得,纸盒的高与
截去的小正方形的边长相等,则纸盒的底面长为(40-2x)cm,宽
为(30-2x)cm,可列方程(40-2x)(30-2x)=600,解得x1=5,x2=30(舍
去),∴纸盒的高为5 cm.
　销售问题
3.(2025安徽合肥五十中期中)某水果批发商场经销一种高档
水果,商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量,将售价从原
来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元.
(1)若该商场两次调价的降价率相同,求这个降价率.
(2)现在假期结束了,商场准备适当涨价,如果现在每千克盈利
10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的
情况下,若每千克涨价1元,则日销量将减少20千克,现该商场
要保证每天盈利6 000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千
克应涨价多少元
解析 (1)设这个降价率为x,
依题意,得40(1-x)2=32.4,
解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去).
答:这个降价率为10%.
(2)设每千克应涨价y元,
则每天可售出(500-20y)千克,
依题意,得(10+y)(500-20y)=6 000,
整理,得y2-15y+50=0,解得y1=10,y2=5.
∵要使顾客得到实惠,∴不能涨价太多,即y=5.
答:每千克应涨价5元.
4.(2025四川宜宾翠屏期中,★★☆)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始移动(移动方向如图所示),点P的速度为1 cm/s,点Q的速度为
2 cm/s,点Q移动到C点后停止,点P也随之停止运动,当四边形APQC的面积为12 cm2时,点P运动的时间是 ( )
A
A.2 s　　 B.3 s　　
C.4 s　　 D.6 s
解析　设动点P,Q运动t s后,能使四边形APQC的面积为12 cm2,则BP=(8-t)cm,BQ=2t cm,由题意得S四边形APQC=S△ABC-S△PBQ= ×8×
6- ×(8-t)×2t=(t2-8t+24)cm2,∴t2-8t+24=12,解得t1=2,t2=6,∵当t=
6时,BQ=12 cm>BC,∴t=6不符合题意,舍去.∴动点P,Q运动2 s
后,能使四边形APQC的面积为12 cm2.
5.(2025安徽合肥期中,★★☆)某电商销售一款进价为80元/台
的电吹风,若按每台120元出售,当月可销售50台,经调查发现
这款电吹风的单价每下降3元,其月销售数量增加10台.设售价
为x元/台,若使该电商销售这款电吹风的月利润为2 500元,则
可列方程为 ( )
A.(x-80)(50+10x)=2 500
B.(x-120)(50+10x)=2 500
C.(x-120) =2 500
D
D.(x-80) =2 500
解析　当售价为x元/台时,每台的销售利润为(x-80)元,月销售
量为 台,根据题意得(x-80) =
2 500.
6.(2025广西梧州期中,★★☆)某运动品牌销售一款运动鞋,已
知每双运动鞋的成本价为60元,当每双售价为100元时,平均每
天能售出200双.经过一段时间销售发现,平均每天售出的运动
鞋数量y(双)与每双降低的价格x(元)之间存在如图所示的函
数关系.
(1)求出y与x的函数关系式.
(2)公司希望平均每天获得的利润达到8 910元,且优惠力度最
大,则每双运动鞋的售价应该定为多少元
(3)在保证每双运动鞋的利润率不低于40%的前提下,公司每
天能否获得9 000元的利润 若能,求出定价;若不能,请说明理
由.
解析 (1)由题图可知y与x成一次函数关系,
设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
函数图象经过点(10,300)和(0,200),
将点的坐标代入y=kx+b,
得 解得
∴y与x的函数关系式为y=10x+200.
(2)由题意可知,每双运动鞋的售价为(100-x)元,
根据题意得(10x+200)(100-x-60)=8 910,
整理得x2-20x+91=0,解得x1=7,x2=13,
∵要使得优惠力度最大,
∴x=13,∴100-x=100-13=87.
答:每双运动鞋的售价应该定为87元.
(3)公司每天能获得9 000元的利润.
∵要保证每双运动鞋的利润率不低于40%,
∴100-x-60≥60×40%,解得x≤16,
根据题意得(100-x-60)(10x+200)=9 000,
整理得x2-20x+100=0,
解得x1=x2=10<16,符合题意,∴100-x=90.
答:在保证每双运动鞋的利润率不低于40%的前提下,公司每
天能获得9 000元的利润,此时每双运动鞋的定价为90元.
7.【新课标·几何直观】(2025安徽合肥蜀山期中)如图,OA=
OB=60 cm,OC是一条射线,OC⊥AB,一小虫M由点A以3 cm/s
的速度向点B爬行,同时另一小虫N由点O以1 cm/s的速度沿
OC方向爬行,小虫爬行的时间为t s.
(1)ON=_______cm,OM=_________cm
(用含有t的代数式表示).
(2)几秒时,两小虫所在的位置与点O组成的三角形的面积等
于150 cm2
(3)若△OMN为等腰三角形,请直接写出t值.
解析 (1)∵小虫N的速度为1 cm/s,∴ON=t cm.
∵小虫M的速度为3 cm/s,∴到达点O用时20 s,
∴当小虫M在线段OA上爬行时,OM=(60-3t)cm;
当小虫M在线段OB上爬行时,OM=(3t-60)cm,到达点B用时40 s.
故答案为t;
(2)①当小虫M在线段OA上时,由题意得 ×t×(60-3t)=150,解得
t1=t2=10;
②当小虫M在线段OB上时,由题意得 ×t×(3t-60)=150,解得t=
10-10 (舍去)或10+10 .
综上所述,10 s或(10+10 )s时,两小虫所在的位置与点O组成
的三角形的面积等于150 cm2.
(3)t的值为15或30.
详解:∵OC⊥AB,∴当△OMN为等腰三角形时,OM=ON,即t=
60-3t或t=3t-60,解得t=15或t=30.
故当t=15或30时,△OMN为等腰三角形.
微专题　围墙问题
(2025甘肃兰州多校联考期末)某学校计划用26 m的围
栏靠墙(墙长为15 m)围成一个面积为80 m2的矩形小花园,则
与墙垂直的边的长为 ( )
A.10 m或5 m　　 B.8 m
C.10 m　　 D.5 m
B
例题
解析　设与墙垂直的边的长为x m,则与墙平行的边的长为(26
-2x)m,根据题意得(26-2x)x=80,整理得x2-13x+40=0,解得x1=5,x2
=8.当x=5时,26-2x=16>15,超过墙长,不符合题意,∴x=5舍去,故
与墙垂直的边的长为8 m.
变式　如图,用一面足够长的墙为一边,其余三边用总长为34米的围栏建两个相同面积的生态园,两个生态园各留一扇宽为1米的门.由于场地限制,垂直于墙的一边长不超过6米,每个生态园的面积为48平方米.设每个生态园垂直于墙的一边长为x米.
(1)平行于墙的一边长为_______
米.(结果需化简,用含x的代数式表示)
(2)满足条件的x的值为_________.
4
(36-3x)
解析 (1)根据题意得,平行于墙的一边长为34-x-x-(x-1)+1=
(36-3x)米.故答案为(36-3x).
(2)根据题意得x(36-3x)=48×2,
整理得x2-12x+32=0,解得x1=4,x2=8,
∵垂直于墙的一边长不超过6米,∴x=4.
故答案为4.(共27张PPT)
第17章　一元二次方程及其应用
17.1　一元二次方程
　一元二次方程的概念
1.(2025安徽安庆期末)下列方程是一元二次方程的是 ( )
A.x2=1　　 B.x2+y=1
C.x2=x(x-1)　　 D.x2+ =1
A
解析 x2=1是只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的
整式方程,符合一元二次方程的定义,故A选项符合题意;x2+y=
1中含有2个未知数,不符合一元二次方程的定义,故B选项不
符合题意;将x2=x(x-1)化简整理为-x=0,只含有一个未知数且未
知数的次数为1,不符合一元二次方程的定义,故C选项不符合
题意;D.x2+ =1是分式方程,不符合一元二次方程的定义,故D
选项不符合题意.故选A.
2.(2025重庆渝北实验中学期中)若xm+1-2=0是关于x的一元二
次方程,则m的值是_________.
1
解析　∵xm+1-2=0是关于x的一元二次方程,∴m+1=2,∴m=1.
3.(2024安徽池州十六中月考)关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k
+2=0.
(1)当k满足什么条件时,该方程是一元二次方程
(2)当k满足什么条件时,该方程是一元一次方程
解析 (1)∵关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0是一元二次
方程,
∴k2-1≠0,解得k≠±1,
∴当k≠±1时,关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0是一元二
次方程.
(2)∵关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0是一元一次方程,
∴k2-1=0且k-1≠0,解得k=-1,
∴当k=-1时,关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0是一元一次
方程.
　一元二次方程的一般形式
4.(2025安徽合肥蜀山期中)将方程x(x+4)=0化成一元二次方
程的一般形式,其二次项系数、一次项系数和常数项分别是
( )
A.0,4,0　　 B.-1,4,0
C.1,1,4　　 D.1,4,0
D
解析　将方程x(x+4)=0整理得x2+4x=0,∴二次项系数、一次
项系数和常数项分别是1,4,0.
5.(2025安徽芜湖十一中月考)将一元二次方程x2=2x-3化为ax2
+bx+c=0(a>0)的形式后的常数项为_________.
3
解析　将原方程化为一般形式为x2-2x+3=0,∴该方程的常数
项为3.
　一元二次方程的根
6.【学科特色·教材变式】(2025安徽合肥包河期末)若关于x
的一元二次方程x2+2x+m+1=0有一个根为-2,则m的值为( )
A.-2　　 B.-1　　 C.1　　 D.2
B
解析　把x=-2代入x2+2x+m+1=0得4-4+m+1=0,解得m=-1.
7.【学科特色·易错题】(2024四川凉山州中考)若关于x的一
元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为( )
A.2　　 B.-2　　 C.2或-2　　 D.
A
解析　∵关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x
=0,∴a2-4=0且a+2≠0,∴a=2.
易错警示 在解决与一元二次方程有关的求字母的值或取值
范围的题目时,时刻需要留意一元二次方程的二次项系数不
为0.
8.【学科特色·整体思想】(2025安徽淮南十九中期中)若a为
一元二次方程x2+2x-3=0的根,则3a2+6a-8的值为_________.
1
解析　∵a是一元二次方程x2+2x-3=0的根,∴a2+2a-3=0,∴a2+
2a=3,∴3a2+6a-8=3(a2+2a)-8=3×3-8=1.
9.(2025安徽合肥四校月考)若m是关于x的一元二次方程x2-7x
+9=0的根,求代数式(m+4)(m-4)-7(m-1)的值.
解析　由题意可得m2-7m+9=0,∴m2-7m=-9,
∴(m+4)(m-4)-7(m-1)=m2-7m-9=-9-9=-18.
　由实际问题列出一元二次方程
10.(2025广西防城港期末改编)
(1)初三某班同学互赠纪念卡片,若每两个同学均互赠一张,最
终赠送卡片共1 892张,设全班共有x人,根据题意,可列方程为
____________________.
(2)参加某次会议的人,每两人都握了一次手,所有人共握手15
次,设参加会议的有x个人,则可列方程为____________.
=15
x(x-1)=1 892
解析 (1)全班有x人,则每个同学赠送(x-1)张卡片,则共赠送卡
片x(x-1)张,故可列方程为x(x-1)=1 892.
(2)∵每两人都握了一次手,∴x个人中的每个人都跟剩下的
(x-1)个人握手了,又∵握手是相互的,∴一共握手了 次,
即 =15.
11.【新考向·数学文化】我国南宋数学家杨辉提出的一个问
题:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长
各几步 ”译文:“一个矩形田地的面积等于864平方步,且它
的宽比长少12步,问长与宽各是多少步 ”若设矩形田地的长
为x步,则可列方程为___________________.
x(x-12)=864
解析　矩形田地的长为x步,则宽是(x-12)步,根据矩形面积=长
×宽得x(x-12)=864.
12.(2025安徽合肥瑶海一模,★★☆)根据乘联会数据显示,我
国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势.2025年1月的新能
源汽车的销量达到94.4万辆,2025年第一季度新能源汽车的总
销量达到307.5万辆.若设2025年1月至3月新能源汽车销量的
月平均增长率为x,依题意,可列出方程为 ( )
A.94.4[1+(1+x)+(1+x)2]=307.5 B.94.4(1+3x)=307.5
C.94.4(1+x)2=307.5 D.94.4×3(1+x)=307.5
A
解析　∵2025年1月新能源汽车的销量达到94.4万辆,且2025
年1月至3月新能源汽车销量的月平均增长率为x,∴2025年2
月新能源汽车的月销量达到94.4(1+x)万辆,2025年3月新能源
汽车的月销量达到94.4(1+x)2万辆.根据题意得94.4+94.4(1+x)
+94.4(1+x)2=307.5,即94.4[1+(1+x)+(1+x)2]=307.5.
13.(2025上海浦东新区期中,★★☆)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)
中,a,b,c满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是 ( )
A.1,0　　　 B.-1,0
C.1,-1　　　 D.无法确定
C
解析　观察可得,将x=1代入ax2+bx+c=0,左边=a+b+c,∵a+b+c
=0,∴左边=右边,∴x=1是方程ax2+bx+c=0的根,同理可得方程
必有另外一根是x=-1,∴方程的根是1,-1.
14.(2025江苏无锡新吴期末,★★★)一元二次方程a(x+h)2+k=
0的两根分别为-3,1,则方程a(2x+h-3)2+k=0的两根分别为( )
A.x1=-6,x2=-2　　
B.x1=0,x2=-1
C.x1=-9,x2=-1　　
D.x1=0,x2=2
D
解析　令y=2x-3,则方程a(2x+h-3)2+k=0可转化为方程a(y+h)2+
k=0,∵一元二次方程a(x+h)2+k=0的两根分别为-3,1,∴方程
a(y+h)2+k=0的两根分别为-3,1,∴y1=-3,y2=1,即2x1-3=-3,2x2-3=1,
∴x1=0,x2=2,即方程a(2x+h-3)2+k=0的两根分别为x1=0,x2=2.故
选D.
15.【学科特色·易错题】(2025安徽合肥期中,★★☆)若关于x
的方程(m-4)x|m-2|+2x-5=0是一元二次方程,则m=_________.
0
解析　∵方程(m-4)x|m-2|+2x-5=0是一元二次方程,∴
解得m=0.
易错警示 本题易忽视二次项系数不为0.
16.【新课标·抽象能力】阅读理解:
定义:关于x的方程a1x2+b1x+c1=0(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与a2x2+b2
x+c2=0(a2≠0,a2,b2,c2是常数),若方程中的二次项系数、一次项
系数、常数项分别满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个方程互
为“对称方程”.比如:求方程2x2-3x+1=0的“对称方程”.这
样思考:由方程2x2-3x+1=0可知a1=2,b1=-3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=
b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2的值就能确定这个方程的“对称方程”.
请用以上方法解决下面的问题:
(1)关于x的方程x2-4x+3=0的“对称方程”是_________.
(2)若关于x的方程5x2+(m-1)x-n=0与-5x2-x=1互为“对称方
程”,求(m+n)2的值.
解析 (1)-x2-4x-3=0.
(2)-5x2-x=1,移项,得-5x2-x-1=0.
∵方程5x2+(m-1)x-n=0与-5x2-x-1=0互为“对称方程”,
∴m-1=-1,-n+(-1)=0,解得m=0,n=-1,
∴(m+n)2=(0-1)2=1.
微专题　利用一元二次方程的根求代数式的值
(2025安徽合肥蜀山琥珀中学期中)若m是方程x2-3x+1=
0的一个根,则m2-3m+2 025的值为 ( )
A.2 023　　 B.2 024　　 C.2 025　　 D.2 026
B
例题
解析　∵m是方程x2-3x+1=0的一个根,∴m2-3m+1=0,∴m2-3m=
-1,∴m2-3m+2 025=-1+2 025=2 024.故选B.
变式1 (2025重庆南川期末)已知m为一元二次方程x2+5x-1 024
=0的根,那么-2m2-10m的值为 ( )
A.-2 048　　 B.-1 024　　 C.0　　 D.2 048
A
解析　由题意可知m2+5m-1 024=0,∴m2+5m=1 024,∴-2m2-
10m=-2(m2+5m)=-2×1 024=-2 048.故选A.
变式2　已知m为方程x2+x-3=0的一个根,则代数式m3+2m2-2m+
6的值为_________.
9
解析　根据题意得m2+m=3,∴m3+2m2-2m+6=m3+m2+m2-2m+6=
m(m2+m)+m2-2m+6=3m+m2-2m+6=m2+m+6=3+6=9.
故答案为9.(共26张PPT)
第17章　一元二次方程及其应用
第1课时　增长(降低)率、数字问题
17.5　一元二次方程的应用
　平均增长(降低)率问题
1.【学科特色·教材变式】(2025安徽合肥部分学校模拟)某种
药品售价为30元/盒,经过医保局连续两次“灵魂砍价”,药品
企业同意降价若干进入国家医保用药目录,最终降至19.2元/
盒,则平均每次下调的百分率是 ( )
A.18%　　 B.19%　　 C.20%　　 D.21%
C
解析　设平均每次下调的百分率是x,根据题意,得30×(1-x)2=
19.2,解得x1=0.2,x2=1.8(舍去),∴平均每次下调的百分率是20%.
2.(2025河南安阳月考)如图,某型号铝塑板材7月份价格为50
元/m2,9月份价格为72元/m2,若7至9月价格的增长率相同,则每
月增长的百分率是___________.
20%
解析　设每月增长的百分率是x,根据题意,列一元二次方程得
50(1+x)2=72,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去),∴每月增长的百
分率是20%.
3.(2025山东烟台龙口月考)小区新增了一家快递店,前三天的
揽件数如图所示,假设该快递店揽件数日平均增长率为x,则根
据图中信息,得到x所满足的方程是_____________________.
200(1+x)2=242
解析　由题图可得,第一天的揽件数为200,第三天的揽件数为
242,再根据该快递店揽件日平均增长率为x可得方程200(1+x)2=242,故答案为200(1+x)2=242.
4.(2025四川泸州中考)某超市购进甲、乙两种商品,2022年
甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的降低,
甲种商品每件的进价年平均下降25元,乙种商品2024年每件
的进价为80元.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率.
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两
种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.
解析 (1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x,
根据题意得125(1-x)2=80,
解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不符合题意,舍去).
答:乙种商品每件进价的年平均下降率为20%.
(2)设购进y件甲种商品,则购进(100-y)件乙种商品,
根据题意得(125-25×2)y+80(100-y)≤7 800,
解得y≥40,∴y的最小值为40.
答:最少购进40件甲种商品.
方法归纳 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时,要厘清
原来数、后来数、增长率或降低率以及增长或降低的次数之
间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程,那么应在原
数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题:平均增长率公式为a(1+x)n=b(a为原来数,x为平
均增长率,n为增长次数,b为增长后的量).
(2)降低率问题:平均降低率公式为a(1-x)n=b(a为原来数,x为平
均降低率,n为降低次数,b为降低后的量).
　数字问题
5.(2025广东广州期末)若两个连续奇数的积为63,则这两个奇
数的和为 ( )
A.16　　 B.17　　 C.±16　　 D.±17
C
解析　设较小的奇数为x,则较大的奇数为(x+2),
依题意得x(x+2)=63,整理得x2+2x-63=0,解得x1=-9,x2=7.
当x=-9时,x+2=-9+2=-7,-9+(-7)=-16;当x=7时,x+2=7+2=9,7+9=16.∴这两个奇数的和为±16.
6.一个两位数个位上的数字比十位上的数字大1,个位上的数
字与十位上的数字的平方和为13,则这个两位数为 ( )
A.32　　 B.23　　 C.41　　 D.14
B
解析　设这个两位数个位上的数字为x,则十位上的数字为(x-
1),依题意得x2+(x-1)2=13,整理得x2-x-6=0,解得x1=3,x2=-2,又∵x
为非负整数,∴x=3,∴x-1=3-1=2,即这个两位数为23.
7.【学科特色·教材变式】(2025广东珠海十中期中)两个数的
和为8,积为9.75,则其中较大的那个数为___________.
6.5
解析　设其中一个数为x,则另一个数为(8-x),由题意得x(8-x)=
9.75,整理得4x2-32x+39=0,因式分解得(2x-13)(2x-3)=0,解得x=
6.5或x=1.5,当x=6.5时,8-x=1.5;当x=1.5时,8-x=6.5.综上所述,较
大的数为6.5.
8.(2025湖北咸宁赤壁期中)下图是某月的月历,小明用一个平
行四边形框,框出6个数,其中最小数与最大数的积是144,求框
出的6个数中的最大数.
解析　设最小数为x,则最大数为x+1+1+7+1=x+10,
∴x(x+10)=144,∴x2+10x-144=0,
∴x1=8,x2=-18(不符合题意,舍去),
∴最大数为8+10=18.
9.(2025安徽六安金安汇文中学期中,★★☆)某机械厂七月份
生产零件50万个,八、九两月共生产146万个,设该厂八、九月
份零件生产量平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是
( )
A.50(1+x)2=146
B.50(1+x)+50(1+x)2=146
C.50+50(1+x)+50(1+x)2=146
D.50(1+x)+50(1+2x)=146
B
解析　依题意得,八、九月份的产量分别为50(1+x)万个、
50(1+x)2万个,∴50(1+x)+50(1+x)2=146.
10.【跨语文·俗语】(2025山西吕梁方山模拟,★★☆)俗语有
云:“一天不练手脚慢,两天不练丢一半,三天不练门外汉,四天
不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后,如果不及时复
习,那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分
比是一样的,根据“两天不练丢一半”,则每天“遗忘”的百
分比约为(参考数据: ≈1.414) ( )
A.20.3%　　 B.25.2%　　 C.29.3%　　 D.50%
C
解析　设每天“遗忘”的百分比为x,则(1-x)2= ,解得x1=
,x2= (不合题意,舍去),∵ ≈0.293,∴每天
“遗忘”的百分比约为29.3%.
11.(2025河北沧州渤海新区月考,★★☆)一个两位数比它的
十位数字与个位数字和的平方少2,且个位数字比十位数字大
1,则这个两位数是 ( )
A.23　　 B.34
C.23或34　　 D.-23或-34
A
解析　设这个两位数的十位数字为x(x>0),则个位数字为(x+
1),则这个两位数可以表示为10x+(x+1),
由题意得10x+(x+1)=(x+x+1)2-2,整理得4x2-7x-2=0,
∴(4x+1)(x-2)=0,解得x1=- (负数,舍去),x2=2,
∴x=2,∴x+1=3,∴这个两位数是23.
12.(2025安徽合肥一六八中三模,★★☆)在国家积极政策的
鼓励下,中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升,某汽车企
业从2023年到2025年,A型汽车年销售总量增加了80%,年销售
单价下降了20%.
(1)设2023年销售A型汽车总量为a万辆,销售单价为b万元,请
用代数式填表:
年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元
2023 a b 　　
2025 1.8a 0.8b 　　
(2)若该汽车企业A型汽车从2023年到2025年销售总额的年平
均增长率相同,求年平均增长率.
解析 (1)∵2023年销售A型汽车总量为a万辆,销售单价为b万
元,∴2023年销售A型汽车总额为ab亿元;
∵2025年销售A型汽车总量为1.8a万辆,销售单价为0.8b万元,
∴2025年销售A型汽车总额为1.8a·0.8b=1.44ab(亿元).
故答案为ab;1.44ab.
(2)设年平均增长率为x,
根据题意得ab(1+x)2=1.44ab,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意,舍去).
答:年平均增长率为20%.
13.【新课标·模型观念】(2024山东烟台牟平期中)全民健身
和医疗保健是社会普遍关注的问题.2024年,某社区共投入30
万元用于购买健身器材和药品.2025年,该社区计划购买健身
器材的费用比上一年增加50%,购买药品的费用比上一年减
少 ,但社区在这两方面的总投入仍与2024年相同.
(1)求2024年社区购买药品的费用.
(2)据统计,2024年该社区积极健身的家庭达到200户,但其药品费用明显减少,只占当年社区购买药品费用的 .与2024年相比,如果2025年社区内积极健身的家庭户数增加的百分数与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分数相同,那么2025年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的 ,求2025年该社区健身家庭的户数.
解析 (1)设2024年社区购买药品的费用为x万元,则购买健身
器材的费用为(30-x)万元,2025年购买健身器材的费用为(30
-x)(1+50%)万元,购买药品的费用为 x万元,
依题意得(30-x)(1+50%)+ x=30,
解得x=16.
答:2024年社区购买药品的费用为16万元.
(2)设这个相同的百分数为m,则2025年社区内积极健身的家庭户数为200(1+m),2025年平均每户健身家庭的药品费用为 (1-m)= (1-m)万元,
依题意得200(1+m)· (1-m)=(1+50%)×(30-16)× ,
整理得m2- =0,解得m1= =50%,m2=- (不符合题意,舍去),
∴200(1+m)=200×(1+50%)=300.
答:2025年该社区健身家庭的户数为300.(共28张PPT)
第17章　一元二次方程及其应用
17.3　一元二次方程根的判别式
　一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程x2-5x+2=0的根的判别式的值是( )
A.33　　 B.23　　 C.17　　 D.
C
解析　由题意可知a=1,b=-5,c=2,∴Δ=b2-4ac=(-5)2-4×1×2=25-
8=17.
2.关于x的一元二次方程x2+5x-m=0的根的判别式的值为5,则m
的值为_______.
　-5
解析　因为Δ=b2-4ac=52-4×1×(-m)=5,所以m=-5.
　一元二次方程根的判别式与根的关系
3.【学科特色·教材变式】(2025安徽合肥四十五中二模)以下
一元二次方程中,有两个相等实数根的是 ( )
A.x2-4x=0　　 B.x2-4=0
C.x2-4x+4=0　　 D.x2-4x-4=0
C
解析 A.∵Δ=(-4)2-4×1×0=16>0,∴方程x2-4x=0有两个不相等
的实数根,选项A不符合题意;B.∵Δ=02-4×1×(-4)=16>0,∴方程
x2-4=0有两个不相等的实数根,选项B不符合题意;C.∵Δ=(-4)2-
4×1×4=0,∴方程x2-4x+4=0有两个相等的实数根,选项C符合题
意;D.∵Δ=(-4)2-4×1×(-4)=32>0,∴方程x2-4x-4=0有两个不相等
的实数根,选项D不符合题意.
4.(2024四川自贡中考)关于x的方程x2+mx-2=0的根的情况是
( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
解析　关于x的方程x2+mx-2=0中,∵a=1,b=m,c=-2,∴Δ=m2+8>
0,∴方程x2+mx-2=0有两个不相等的实数根.
5.【学科特色·数形结合思想】(2025河南许昌一模)m,n在数
轴上对应点的位置如图所示,则关于x的一元二次方程x2+mx-n
=0的根的情况是 ( )

A.只有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
C
解析　根据数轴可得n>0,m<0,对于一元二次方程x2+mx-n=0,
∵Δ=b2-4ac=m2-4×1×(-n)=m2+4n>0,∴该方程有两个不相等的
实数根.
　用根的判别式求字母的值或取值范围
6.(2025甘肃中考)关于x的一元二次方程3x2-6x+m=0有两个实
数根,则m的取值范围是 ( )
A.m<3　　 B.m≤3　　
C.m>3　　 D.m≥3
B
解析　∵一元二次方程3x2-6x+m=0有两个实数根,∴Δ=(-6)2-4
×3m≥0,∴m≤3.
7.【学科特色·数形结合思想】(2025江苏扬州高邮二模改编)
若关于x的一元二次方程x2+2x-k-1=0有两个相等的实数根,则
直线y=kx+3不经过的象限为 ( )
A.第一象限　　 B.第二象限
C.第三象限　　 D.第四象限
C
解析　根据题意得Δ=b2-4ac=22-4×1×(-k-1)=0,解得k=-2,∴一
次函数y=kx+3的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限.
8.(2025上海中考)一元二次方程2x2+x+m=0没有实数根,那么m
的取值范围是___________.
m>
解析　∵一元二次方程2x2+x+m=0没有实数根,∴Δ=12-4×2×m
=1-8m<0,解得m> ,∴m的取值范围是m> .
9.(2025江苏盐城东台期末)如图,这是玲玲同学在阅读一本数
学课外读物时看到的一段内容.
已知关于x的一元二次方程x2 x-6=0.
其中一次项系数被墨迹污染了.
(1)若这个方程的一个根为-2,请求出一次项的系数.
(2)玲玲发现无论一次项的系数为何值,这个方程总有两个不
相等的实数根,请你帮助玲玲说明理由.
解析　设这个方程的一次项系数为b.
(1)这个一元二次方程为x2+bx-6=0,把x=-2代入方程得4-2b-6=
0,解得b=-1,∴一次项的系数为-1.
(2)∵一元二次方程为x2+bx-6=0,∴Δ=b2-4×1×(-6)=b2+24>0,∴
无论一次项的系数为何值,这个方程总有两个不相等的实数根.
10.(2025安徽合肥四十二中二模,★★☆)已知关于x的一元二
次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个相等的实数根,则a的值为
( )
A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4
C
解析　∵关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个相等的实数根,∴Δ=[-2(a-1)]2-4×1×(a2-a-2)=0,解得a=3,∴a的值为3.
11.【学科特色·易错题】(2024四川广安中考,★★☆)若关于x
的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则m
的取值范围是 ( )
A.m<0且m≠-1　　
B.m≥0
C.m≤0且m≠-1　　
D.m<0
A
解析　∵关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等
的实数根,
∴ 解得m<0且m≠-1.
易错警示 解决此类问题应注意考虑两个方面:(1)根据方程
解的情况得到判别式值的情况,建立不等式或方程;(2)需要注
意一元二次方程的二次项系数不等于0.
12.【学科特色·易错题】(2025福建泉州南安期末,★★☆)已
知m是关于x的一元二次方程x2-3x+a+2=0的一个实数根,且满
足(m2-3m+1)(a+1)=-4,则a的值为 ( )
A.-3　　 B.1　　
C.-3或-1　　 D.-3或1
A
解析　∵m是关于x的一元二次方程x2-3x+a+2=0的一个实数
根,∴m2-3m+a+2=0,∴m2-3m+1=-a-1,
∵(m2-3m+1)(a+1)=-4,∴(a+1)2=4,∴a=1或-3.
当a=1时,Δ=(-3)2-4(a+2)=-3<0,方程无实数根,舍去;
当a=-3时,Δ=(-3)2-4(a+2)=13>0,方程有实数根,符合题意.
∴a=-3.
易错警示 已知方程的根求一元二次方程中字母的值时,需
要注意验证判别式的值的情况.
13.【新考向·新定义题】(2025陕西西安碑林铁一中学模拟,
★★☆)定义新运算:对于任意实数a,b,c,有【a,b】★c=ac+b.
如【2,3】★1=2×1+3=5.若关于x的方程【x,x+m】★(x+1)=0
有两个不相等的实数根,则m的取值范围为___________.
m<1
解析　根据题意得x(x+1)+x+m=0,整理得x2+2x+m=0,∵方程有
两个不相等的实数根,∴Δ=4-4m>0,解得m<1.
14.【学科特色·分类讨论思想】(2025山东泰安东平期中,★
★☆)若关于x的方程mx2+(2m+1)x+m-1=0有实数根,则m的取
值范围为____________.
m≥-
解析　①当m=0时,方程为x-1=0,是一元一次方程,解得x=1,符
合题意;
②当m≠0时,方程是一元二次方程,
∴
解得m≥- 且m≠0.
综上所述,m的取值范围为m≥- .
15.(2025安徽合肥期中,★★☆)已知关于x的一元二次方程x2+
(k+3)x+2k+2=0.
(1)求证:方程有两个实数根.
(2)若方程的两个根都是负根,求k的取值范围.
解析 (1)证明:∵Δ=b2-4ac=(k+3)2-4×1×(2k+2)=k2-2k+1=(k-1)2
≥0,
∴方程有两个实数根.
(2)由求根公式可得x= ,
∴x1= =-2,x2= =-k-1,
∵方程的两个根都是负根,∴-k-1<0,∴k>-1.
16.(2025浙江华东师大附属杭州学校月考,★★☆)已知关于x
的方程x2-2(k+1)x+k2+2k=0.
(1)求证:无论k取何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)求出方程的根(用含k的代数式表示).
(3)若等腰三角形ABC的周长为14,其中两边长恰好是这个方
程的两个根,求k的值.
解析 (1)证明:∵Δ=b2-4ac=4(k+1)2-4(k2+2k)=4>0,∴无论k取
何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)由求根公式可得x= ,
∴x1=k+2,x2=k.
(3)由题意可得,分情况讨论:
①当k+2为等腰三角形的腰长时,
2(k+2)+k=14,解得k= ,
∴三边长分别为 , , ,符合题意;
②当k为等腰三角形的腰长时,
k+2+2k=14,解得k=4,
∴三边长分别为4,4,6,符合题意.
综上所述,k=4或 .
17.【新课标·推理能力】【新考向·代数推理】(2025安徽合
肥包河二模)已知互不相等的实数a,b,c满足ab+a2=c2,ab+b2=c2,
ab≠0,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况为
( )
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定根的情况
C
解析 ab+a2=c2①,ab+b2=c2②,
①-②得a2-b2=0,∴(a+b)(a-b)=0,
∵a,b互不相等,∴a+b=0,∴b=-a③,
把③代入①,得-a2+a2=c2,∴c2=0,∴c=0,
∴Δ=b2-4ac=(-a)2-4a×0=a2,
∵ab≠0,∴a≠0,∴Δ=a2>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.(共29张PPT)
第17章　一元二次方程及其应用
17.4　一元二次方程的根与系数的关系
　一元二次方程的根与系数的关系
1.(2025广西中考)已知x1,x2是方程x2-20x-25=0的两个实数根,
则x1+x2= ( )
A.-25　　 B.-20　　 C.20　　 D.25
C
解析　∵x1,x2是方程x2-20x-25=0的两个实数根,∴x1+x2=20.
2.【学科特色·多解法】(2025安徽安庆期中)已知一元二次方
程的两根分别是3和-2,则这个一元二次方程可以是( )
A.x2-x+6=0　　 B.x2+5x-6=0
C.x2-x-6=0　　 D.x2+x-6=0
C
解析　【解法一】∵x1=3,x2=-2,∴x1+x2=- =1,x1·x2= =-6,∴根
为3和-2的一元二次方程可以为x2-x-6=0.
【解法二】把3和-2分别代入各个选项中,同时使方程成立的
只有选项C.
3.(2025安徽淮北五校联考一模)已知a,b是一元二次方程x2-3x-
3=0的两个根,则 的值为_______.
　-1
解析　由题意可知a+b=3,ab=-3,所以 = =-1.
4.(2025河北唐山丰润二模)一元二次方程x2-□x+2=0的两根为
m,n,且mn(m+n)=14,其中“□”表示一个数,则“□”为_____.
7
解析　由题意可知m+n=□,mn=2,又∵mn(m+n)=14,∴2×□=
14,∴□=7.
　一元二次方程的根与系数的关系的应用
5.【学科特色·教材变式】(2025安徽滁州全椒二模)已知关于
x的一元二次方程x2+ax-6=0的一个实数根为2,则另一个实数
根是 ( )
A.-8　　 B.-3　　 C.3　　 D.4
B
解析　设方程的另一个实数根为m,由根与系数的关系得2m=
=-6,解得m=-3.
6.(2024四川乐山中考)若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两
根为x1,x2,且 + =3,则p的值为 ( )
A.- 　　 B. 　　 C.-6　　 D.6
A
解析　∵关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x1,x2,∴x1+x2
=-2,x1x2=p,∵ + =3,∴ =3,∴ =3,∴p=- .
7.【学科特色·数形结合思想】(2025安徽合肥一六八中三模)
一元二次方程x2-2x-5=0有两个实数根a,b,那么一次函数y=(ab-
1)x+a+b的图象一定不经过的象限是 ( )
A.第一象限　　 B.第二象限
C.第三象限　　 D.第四象限
C
解析　根据题意得a+b=2,ab=-5,∴一次函数y=(ab-1)x+a+b=
-6x+2,∴一次函数y=(ab-1)x+a+b的图象经过第一、二、四象
限,不经过第三象限.
8.(2025安徽芜湖镜湖荟萃中学月考)若方程x2-2x-1=0的两根
为x1,x2,则 -x1x2+ 的值为 ( )
A.-4　　 B.1　　 C.5　　 D.7
D
解析　∵x1,x2是方程x2-2x-1=0的两根,∴x1+x2=2,x1x2=-1,
∴ -x1x2+ =(x1+x2)2-3x1x2=22-3×(-1)=7.
9.(2025广东惠州惠城期末)设a,b是方程x2+x-2 025=0的两个实
数根,则a2+2a+b的值为 ( )
A.2 024　　 B.2 025　　 C.2 026　　 D.1
A
解析 a2+2a+b=(a2+a)+(a+b),∵a,b是方程x2+x-2 025=0的两个
实数根,∴a2+a-2 025=0,a+b=-1,∴a2+a=2 025,∴原式=2 025-1
=2 024.
10.(2025安徽安庆怀宁期中)已知x1,x2是关于x的一元二次方程
2x2-6x+m=0的两个实数根,若x2=2x1,则m的值为_________.
4
解析　∵x1,x2是关于x的一元二次方程2x2-6x+m=0的两个实数
根,∴x1+x2=- =3,x1·x2= ,∵x2=2x1,∴联立可得 解
得 ∴x1·x2= =2,∴m=4.
11.【学科特色·教材变式】已知方程2x2+3x-4=0的两根分别
为x1,x2.求下列各式的值:
(1)(x1-1)(x2-1).(2) + .(3)|x1-x2|.
解析　根据题意得x1+x2=- ,x1x2=-2.
(1)原式=x1x2-(x1+x2)+1=-2+ +1= .
(2)原式= = = .
(3)∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
= -4×(-2)= ,
∴|x1-x2|= = .
方法归纳 根与系数的关系常见的五种变形:
(1) + =(x1+x2)2-2x1x2;
(2) + = ;
(3) + = ;
(4)(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2;
(5) +x1x2+ =(x1+x2)2-x1x2.
12.(2025安徽安庆期中)已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=
0有实数根.
(1)求实数k的取值范围.
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值.
解析 (1)∵一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根,∴Δ≥0,即32-
4(k-2)≥0,解得k≤ ,
∴实数k的取值范围是k≤ .
(2)∵方程的两个实数根分别为x1,x2,
∴x1+x2=-3,x1x2=k-2,
∵(x1+1)(x2+1)=-1,∴x1x2+x1+x2+1=-1,
∴k-2-3+1=-1,∴k=3.
13.【新考向·代数推理】(2025江苏镇江经开区月考,★★☆)
已知x1,x2是关于x的方程x2-ax-4=0的两根,下列结论一定正确
的是 ( )
A.x1≠x2　　 B.x1+x2>0
C.x1·x2>0　　 D.x1<0,x2<0
A
解析 A.∵Δ=(-a)2-4×1×(-4)=a2+16>0,∴该方程有两个不相
等的实数根,即x1≠x2,选项A正确;B.∵x1,x2是关于x的方程x2-ax
-4=0的两根,∴x1+x2=a,∵a的值不确定,∴选项B不一定正确;
C.∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-4=0的两根,∴x1·x2=-4<0,选项C错
误;D.∵x1·x2=-4<0,∴x1,x2异号,选项D错误.故选A.
14.(2024黑龙江绥化中考,★★☆)小影与小冬一起写作业,在
解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因
而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次
项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程可
以是 ( )
A.x2+6x+5=0　　 B.x2-7x+10=0
C.x2-5x+2=0　　 D.x2-6x-10=0
B
解析　设原来的方程为ax2+bx+c=0(a≠0),由题意知- =6+1=
7, =-2×(-5)=10,∴b=-7a,c=10a,∴原来的方程为ax2-7ax+10a=
0,观察各选项知a=1,∴原来的方程可以为x2-7x+10=0.
15.(2025河北石家庄二十八中一模,★★☆)已知m,n是一元二
次方程x2+4x+c=0的两个根,且 - =2,则c的值是( )
A.-8　　 B.-2　　 C.2　　 D.8
B
解析　由题意可知m+n=-4,mn=c,∴ - = =
= =2,解得c=-2,经检验,c=-2满足题意,∴c的值是-2.
16.(2025四川泸州中考,★★☆)若一元二次方程2x2-6x-1=0的
两根为α,β,则2α2-3α+3β的值为__________.
10
解析　将x=α代入原方程,得2α2-6α-1=0,
∴2α2-6α=1.
∵一元二次方程2x2-6x-1=0的两根为α,β,
∴α+β=3,
∴2α2-3α+3β=(2α2-6α)+3(α+β)=1+3×3=10.
17.【新考向·新定义题】(2025江西吉安期末节选,★★☆)定
义:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c均为常数,a≠0)
有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,则称这样的方程
为“邻根方程”.
(1)若(x-2)(x+n)=0是“邻根方程”,求n的值.
(2)若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c均为常数)为“邻根方程”,
请写出b,c满足的数量关系,并说明理由.
解析 (1)解方程(x-2)(x+n)=0,得x1=2,x2=-n,
∵该方程是“邻根方程”,
∴2-(-n)=1或-n-2=1,解得n=-1或-3,
∴n的值是-1或-3.
(2)b2-4c=1.理由如下:
设方程x2+bx+c=0的两个根分别是x1,x2,
由题意可得|x1-x2|=1,
∵x1+x2=-b,x1x2=c,Δ=b2-4c>0,
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,
即(-b)2-4c=1,∴b2-4c=1.
18.【新课标·推理能力】(2025江苏苏州高新区期中)材料1:一
元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的两根x1,x2有如下的
关系(韦达定理):x1+x2=- ,x1·x2= .
材料2:如果实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,那么可利
用根的定义构造一元二次方程x2-x-1=0,将m,n看作是此方程的
两个不相等的实数根.
请根据上述材料解决下面问题:
(1)已知实数m,n满足3m2-m-2=0,3n2-n-2=0,求 + 的值.
(2)已知实数a,b,c满足a+b=c-5,ab= ,且c<5,求c的最大值.
解析 (1)∵实数m,n满足3m2-m-2=0,3n2-n-2=0,∴当m=n时, +
=1+1=2;
当m≠n时,m,n可看作是一元二次方程3x2-x-2=0的两个不相等
的实数根,∴m+n= ,mn=- ,
∴ + = =
= =- .
综上所述, + 的值为2或- .
(2)把a,b看作是关于x的一元二次方程x2-(c-5)x+ =0的两个
实数根,
∵Δ=[-(c-5)]2-4× ≥0,
∴(c-5)2≥ ,即(5-c)2≥ ,
∵c<5,即5-c>0,
∴不等式的两边同乘5-c,得(5-c)3≥64,
∴5-c≥4,解得c≤1,∴c的最大值为1.(共22张PPT)
第17章　一元二次方程及其应用
第1课时　配方法
17.2　一元二次方程的解法
　用直接开平方法解一元二次方程
1.(2025陕西西安阎良一中开学测试)一元二次方程3x2=6的解
为 ( )
A.x1=- ,x2= 　　 B.x1=x2=2
C.x1=2,x2=-2　　 D.x1=x2=
A
解析　将方程3x2=6变形为x2=2,所以x=± ,即x1=- ,x2= .
2.已知甲方程为(x-4)2=9,乙方程为(x+9)2=-4.关于甲、乙两方
程的根的情形,下列叙述正确的是 ( )
A.甲有两个不同的实数根,乙无实数根
B.甲有两个不同的实数根,乙有两个不同的实数根
C.甲有两个相同的实数根,乙无实数根
D.甲有两个相同的实数根,乙有两个不同的实数根
A
解析　对于方程(x-4)2=9,两边开平方得x-4=±3,解得x1=7,x2=1;
对于方程(x+9)2=-4,因为一个实数的平方不可能为负数,所以
此方程无实数根.
3.若关于x的一元二次方程ax2=2 025(a>0)的两根分别是x1=2m
+3,x2=m-6,则这两根分别是 ( )
A.x1=1,x2=5　　 B.x1=1,x2=-1
C.x1=5,x2=-5　　 D.x1=5,x2=0
C
解析　∵关于x的方程ax2=2 025(a>0)的两根互为相反数,
∴2m+3+m-6=0,解得m=1,∴x1=2m+3=5,x2=m-6=-5.
4.(2025青海西宁期末)已知(x2+y2+1)2=81,则x2+y2=_________.
8
解析　∵(x2+y2+1)2=81,∴x2+y2+1=± =±9,∴x2+y2=8或x2+y2=
-10(舍去).故答案为8.
5.【学科特色·教材变式】解下列方程.
(1)(2025安徽安庆期末节选)4(3x+1)2-1=0.
(2)(2x-1)2=(3-x)2.
解析 (1)∵4(3x+1)2-1=0,∴(3x+1)2= ,
∴3x+1=± ,∴x1=- ,x2=- .
(2)∵(2x-1)2=(3-x)2,∴2x-1=±(3-x),
∴2x-1=3-x或2x-1=-3+x,∴x1= ,x2=-2.
　用配方法解一元二次方程
6.(2025安徽淮北五校期中)用配方法解一元二次方程x2-6x=3,
配方正确的是 ( )
A.(x+3)2=12　　 B.(x-3)2=12
C.(x+3)2=3　　 D.(x-3)2=3
B
解析　∵x2-6x=3,∴x2-6x+9=3+9,∴(x-3)2=12.
7.(2025安徽芜湖十一中月考)用配方法解一元二次方程- x2-
2x+ =0,可将方程化为 ( )
A.x2+ x=- 　　 B.x2- x=
C.x2+ x= 　　 D.x2- x=-
C
解析　二次项系数化为1得x2+ x- =0,移项得x2+ x= .
8.用配方法解方程:
(1)(2025山西运城一模)x(x-4)=2.
(2)(2025江苏苏州期中)-3x2+4x+1=0.
(3)5x2-3x+5=x2+5x.
解析 (1)原方程整理得x2-4x=2,
∴x2-4x+4=2+4,∴(x-2)2=6,
∴x-2=± ,∴x1=2+ ,x2=2- .
(2)原方程整理得x2- x= ,
∴x2- x+ = + ,∴ = ,
∴x- =± ,∴x1= + ,x2= - .
(3)原方程整理得4x2-8x+5=0,
∴4(x2-2x+1)+1=0,∴4(x-1)2=-1<0,
∴该方程没有实数根.
9.(2025广东湛江期末,★★☆)某数学兴趣小组的四人以接龙
的方式用配方法解一元二次方程,每人负责完成一个步骤(如
图),老师看后,发现最后结果是错误的,并说:“错误是从某位
同学负责的步骤开始出现的.”则这位同学是 ( )
B
A.甲　　 B.乙　　 C.丙　　 D.丁
解析 2x2+4x-1=0,2x2+4x=1,所以甲同学负责的步骤没错;x2+
2x= ,所以乙同学负责的步骤开始出现错误.故选B.
10.【新考向·新定义题】(2025河北唐山迁西期中,★★☆)现
在定义一种运算,其规则为a*b=a2-b2,根据此规则,如果x满足
2(x+2)*5=-1,那么x的值为 ( )
A.-2+ 　　 B.-2+2
C.-2± 　　 D.-2±2
C
解析　由题意可得[2(x+2)]2-52=-1,整理得4(x+2)2=24,(x+2)2=6,
直接开平方得x+2=± ,则x=-2± .
11.【新课标·运算能力】【新考向·新定义题】(2025安徽合
肥期中)小慧在学习配方法的知识时,发现一个有趣的现象:关
于x的多项式x2-2x+3,由于x2-2x+3=(x-1)2+2,所以当x-1=0时,多
项式x2-2x+3有最小值;多项式-x2-2x+3,由于-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
所以当x+1=0时,多项式-x2-2x+3有最大值.于是小慧给出一个
定义:关于x的二次多项式,当x-t=0时,该多项式有最值,就称该
多项式关于x=t对称,例如x2-2x+3关于x=1对称.请结合小慧的
思考过程,运用此定义解决下列问题:
(1)多项式x2+6x+5关于x=_______对称.
(2)关于x的多项式x2+ax+c关于x=-1对称,且最小值为3,求方程
x2+ax+c=7的解.
解析 (1)原式=(x2+6x+9)-4=(x+3)2-4,
∴当x+3=0,即x=-3时,多项式x2+6x+5有最小值,∴多项式x2+6x
+5关于x=-3对称.故答案为-3.
(2)原式=x2+ax+ a2+c- a2= +c- a2,∴当x+ a=0,即x=
- a时,多项式x2+ax+c有最小值,最小值为c- a2,
∵关于x的多项式x2+ax+c关于x=-1对称,且最小值为3,∴- a=
-1,c- a2=3,∴a=2,c=4,
代入方程x2+ax+c=7可得x2+2x+4=7,
∴x2+2x+1=4,∴(x+1)2=4,∴x+1=±2,
解得x1=1,x2=-3.
微专题　利用配方法求二次三项式的最值
方法指引 (1)二次项系数为1:x2+px+q=x2+px+ +q-
= +q- p2(加上“一次项系数一半的平方”).
(2)二次项系数不为1:先将二次项系数化为1,再按照上述配方
法进行操作.
1.(2025湖北武汉硚口期末)若x为任意实数,则代数式x2+4x+2
的最小值是 ( )
A.6　　 B.3　　
C.-1　　 D.-2
D
解析 x2+4x+2=(x2+4x+4)-2=(x+2)2-2,∵对于任意实数x,(x+2)2
≥0,∴x2+4x+2=(x+2)2-2≥-2,∴x2+4x+2的最小值是-2.
2.无论x,y取何实数,x2-4x+y2+6y+8总有 ( )
A.最大值8 B.最小值8
C.最大值-5　　 D.最小值-5
D
解析 x2-4x+y2+6y+8=x2-4x+4+y2+6y+9-5=(x-2)2+(y+3)2-5,
∵(x-2)2≥0,(y+3)2≥0,∴(x-2)2+(y+3)2-5≥-5,
∴x2-4x+y2+6y+8的最小值是-5.
3.(2025江苏南京一中模拟)在数学课上,刘老师要求同学们将
一个关于字母x的二次三项式x2+bx+c(b,c是常数)配成(x-m)2+
m(m是常数)的形式,则b+c的最小值是_______.
　-
解析　∵(x-m)2+m=x2-2mx+m2+m,∴b=-2m,c=m2+m,∴b+c=-2m
+m2+m=m2-m= - ,∵ ≥0,∴当m- =0时,b+c有
最小值,最小值为- .(共21张PPT)
第17章　一元二次方程及其应用
第3课时　可化为一元二次方程的分式方程的应用
17.5　一元二次方程的应用
　可化为一元二次方程的分式方程的解法
1.把分式方程 = +3转化为一元二次方程时,方程两边
需同乘 ( )
A.3x(x+2)　　 B.3x(x-2)
C.3(x2+4)　　 D.(x+2)(x-2)
D
解析　把分式方程 = +3转化为一元二次方程时,方程
两边需同乘(x+2)(x-2).
2.(2025山东泰安泰山期中)在分式方程 + =5中,设
=y,可得到关于y的整式方程为 ( )
A.y2+5y+5=0　　 B.y2-5y+5=0
C.y2+5y+1=0　　 D.y2-5y+1=0
D
解析　∵ =y,∴ = ,分式方程 + =5可化为
y+ =5,去分母得y2+1=5y,整理得y2-5y+1=0.
3.【新考向·新定义题】(2025黑龙江大庆模拟)若a,b两个数满
足关系式a+b= +2,则a,b称为“协变数对”,记作[a,b],例如:
8与2满足8+2= +2,则[8,2]是“协变数对”,若[6,2x]是“协
变数对”,则x=____________.
1或-3
解析　由题意可得6+2x= +2,整理得3+x= +1,去分母得3x+
x2=3+x,整理得x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3,经检验,x=1和x=-3都
是分式方程的解.故x的值为1或-3.
4.解下列方程:
(1) + =1.　　 (2) + =1.
解析 (1)去分母得3-x=x2-3x,移项、合并同类项得x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3.检验:当x=-1时,x2-3x≠0,当x=3时,x2-3x=0,∴原
分式方程的解为x=-1.
(2)去分母得x-2+x+6=x2-4,移项、合并同类项得x2-2x-8=0,解得
x1=4,x2=-2,检验:当x=4时,x2-4≠0,当x=-2时,x2-4=0,∴原分式方
程的解为x=4.
　可化为一元二次方程的分式方程的应用
5.【学科特色·教材变式】(2025广东惠州惠城十校模拟)某单位向一所希望小学赠送1 080本课外书,现用A,B两种不同的包装箱进行包装,单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个;已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书.若设每个A型包装箱可以装书x本,则根据题意列得方程为( )
C
A. = +6　　 B. = -6
C. = -6　 D. = +6
解析　∵每个A型包装箱可以装书x本,每个B型包装箱比每个
A型包装箱可多装15本课外书,∴每个B型包装箱可以装书(x+
15)本,依题意得 = -6.
6.【新考向·地域文化】(2024安徽安庆怀宁期末)怀宁蓝莓是
安徽省怀宁县依托北纬30°低山丘陵地理优势培育的特色农
产品,已成为安徽省有影响力的绿色食品区域公用品牌,每年
的5月中旬至7月中旬是怀宁蓝莓的采摘期.某超市从蓝莓基
地第一次购进了3 000元的蓝莓,很快售完,第二次又以同样的
钱购进蓝莓,因为第二次购进的蓝莓个头小,所以单价比第一
次少20元,但质量却比第一次多25千克,则第一次购进每千克
蓝莓的价格是 ( )
A.60元　　 B.50元　 C.40元　　 D.30元　
A
解析　设第一次购进每千克蓝莓的价格是x元,根据题意,得
= +25,解得x1=60,x2=-40(负数,舍去),经检验,x=60是
分式方程的解且符合题意,故第一次购进每千克蓝莓的价格
是60元.
7.某品牌瓶装饮料每箱的价格为26元,某商店对该款瓶装饮料
进行“买一送三”的整箱促销活动,即整箱购买,买一箱送三
瓶,这相当于每瓶比原价便宜了0.6元,则该品牌瓶装饮料一箱
有__________瓶.
10
解析　设该品牌瓶装饮料一箱有x瓶,由题意得 - =0.6,
解得x1=-13(负数,舍去),x2=10,经检验,x=10是原分式方程的解
且符合题意,故该品牌瓶装饮料一箱有10瓶.
8.(2025上海杨浦月考,★★☆)甲容器盛满酒精,乙容器盛满
水,乙容器的容量是甲容器的2倍.现从两容器中各取出6 L来,
然后把取出的酒精注入乙容器,把取出的水注入甲容器,这时
甲、乙两容器中酒精与水量的比相等,则甲容器原有酒精
( )
A.6 L　　 B.9 L　　 C.12 L　　 D.18 L
B
解析　设甲容器的容积为x L,则乙容器的容积为2x L,由题意
得 = ,解得x1=9,x2=0(舍去),经检验,x=9是原方程的根,
且符合题意,∴甲容器原有酒精9 L,故选B.
9.(2025湖北黄石期末,★★★)大数学家欧拉的《代数引论》
中有一个“农妇卖鸡蛋”的问题:A,B两个农妇一共带了100
个鸡蛋到集市上去卖,结果卖得的钱币数相同.A说:“如果我
拿了你的鸡蛋,我就能卖得45个钱币.”B说:“如果我拿了你
的鸡蛋,只能卖得20个钱币.”根据以上信息,可计算出A,B两
个农妇各带的鸡蛋数是 ( )
A.A农妇带了30个鸡蛋,B农妇带了70个鸡蛋
B.A农妇带了40个鸡蛋,B农妇带了60个鸡蛋
B
C.A农妇带了60个鸡蛋,B农妇带了40个鸡蛋
D.A农妇带了70个鸡蛋,B农妇带了30个鸡蛋
解析　设A农妇带了x个鸡蛋,则B农妇带了(100-x)个鸡蛋,由A,
B两个农妇的对话可得,A农妇带的每个鸡蛋的平均价格为
元,B农妇带的每个鸡蛋的平均价格为 元,由题意可得
·x= ·(100-x),解得x1=40,x2=-200(负数,舍去),经检验,x=
40是原分式方程的解,且符合题意,∴100-x=60.故A农妇带了
40个鸡蛋,B农妇带了60个鸡蛋.
10.(2025江苏宿迁沭阳模拟节选,★★☆)某商场准备购进甲、乙两种服装出售,甲种服装每件售价为130元,乙种服装每件售价为100元,每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元,用240元单独购进甲种服装的数量比单独购进乙种服装的数量少1件,现计划购进两种服装共100件,其中甲种服装不少于68件.
(1)甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元
(2)若购进这100件服装的费用不得超过7 600元,求甲种服装
最多购进多少件.
解析 (1)设甲种服装每件的进价是x元,
则乙种服装每件的进价是(x-20)元,
由题意得 +1= ,
∴x1=80,x2=-60(负数,舍去),
经检验,x=80是原方程的解且符合题意,
∴x-20=80-20=60.
答:甲种服装每件的进价是80元,乙种服装每件的进价是60元.
(2)设购进甲种服装y件,
则购进乙种服装(100-y)件,
由题意可得
解得68≤y≤80.∴y的最大值为80.
答:甲种服装最多购进80件.
11.【新课标·运算能力】为了加快城镇化建设,某镇对一条道
路进行改造,由甲、乙两工程队合作20天可完成,甲工程队单
独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天.
(2)若甲工程队单独施工a天后,再由甲、乙两工程队合作施工
y天完成此项工程,试用含a的代数式表示y.
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施工每
天需付施工费2.5万元,那么甲工程队至少要单独施工多少天
后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元
解析 (1)设乙工程队单独完成此项工程需要x天,则甲工程队
单独完成此项工程需要(x+30)天,
根据题意得 + =1,
解得x1=-20(负数,舍去),x2=30,
经检验,x=30是原方程的解且符合题意,
∴x+30=60.
答:甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天、30天.
(2)设工作总量为1,则甲、乙两工程队的工作效率分别为 , ,
所以y= =20- .
(3)设甲工程队单独施工b天后,再由甲、乙两工程队合作施工
完成剩下的工程,
由题意得b×1+ ×(1+2.5)≤64,解得b≥36.
答:甲工程队至少要单独施工36天后,再由甲、乙两工程队合
作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元.(共23张PPT)
第17章　一元二次方程及其应用
第3课时　因式分解法
17.2　一元二次方程的解法
　用因式分解法解一元二次方程
1.(2024贵州中考)一元二次方程x2-2x=0的解是 ( )
A.x1=3,x2=1　　 B.x1=2,x2=0
C.x1=3,x2=-2　　 D.x1=-2,x2=-1
B
解析　∵x2-2x=0,∴x(x-2)=0,∴x=0或x-2=0,∴x1=2,x2=0.
2.(2025安徽合肥寿春中学期中)已知一元二次方程的两根分
别为x1=3,x2=-4,则这个方程可以为 ( )
A.(x-3)(x+4)=0　　 B.(x+3)(x-4)=0
C.(x+3)(x+4)=0　　 D.(x-3)(x-4)=0
A
解析　∵方程两根分别为x1=3,x2=-4,∴方程可以为(x-3)(x+4)=0.
3.(2024广西崇左期中)解一元二次方程x(x-1)=x-1的过程中,变
形正确的是 ( )
A.x=1　　 B.(x+1)(x-1)=0
C.(x-1)2=0　　 D.(x+1)2=0
C
解析　移项得x(x-1)-(x-1)=0,
提取公因式得(x-1)(x-1)=0,
即(x-1)2=0.故选C.
4.【学科特色·整体思想】已知关于x的方程ax2+bx+c=1的解
与(x-1)(x-2)=0的解相同,则a+b+c=_________.
1
解析　∵(x-1)(x-2)=0,∴x-1=0或x-2=0,解得x1=1,x2=2,
把x1=1代入方程ax2+bx+c=1得a+b+c=1.
5.【学科特色·教材变式】解方程.
(1)(2024安徽中考)x2-2x=3.
(2)(2025安徽淮北五校期中改编)x(x+3)=4(x+3).
(3)(2025上海宝山淞谊实验学校期末)3x- =2.
(4)(2025安徽合肥四十六中期中)(x-1)(x+3)=5.
解析 (1)x2-2x=3,∴x2-2x-3=0,
∴(x-3)(x+1)=0,∴x-3=0或x+1=0,
∴x1=3,x2=-1.
(2)原方程整理得x(x+3)-4(x+3)=0,
∴(x+3)(x-4)=0,∴x+3=0或x-4=0,
∴x1=-3,x2=4.
(3)原方程整理得x2-6x+5=0,
∴(x-5)(x-1)=0,∴x-5=0或x-1=0,
∴x1=5,x2=1.
(4)原方程整理得x2+2x-8=0,
∴(x+4)(x-2)=0,∴x+4=0或x-2=0,
∴x1=-4,x2=2.
方法归纳 因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将一元二
次方程化为一般式,即方程右边为0;(2)将方程左边因式分解
为A×B的形式;(3)根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元
一次方程;(4)分别解方程.
　灵活选择方法解一元二次方程
6.解方程2(4x-3)2=3(4x-3)最适当的方法是 ( )
A.直接开平方法　　 B.配方法
C.公式法　　 D.因式分解法
D
解析　将4x-3看作一个整体,移项后因式分解最简单.
7.在下列各题的横线上填写适当的解法.
(1)3x2-27=0,用__________法较适宜.
(2)x2-4x-3=0,用_______法较适宜.
(3)x2-3x-1=0,用_______法较适宜.
(4)(x+2)(x+4)=x+2,用_________法较适宜.
　因式分解
　公式
　配方
　直接开平方
8.【学科特色·易错题】(2025浙江嘉兴南湖期中)小南和小湖
两位同学解方程4(x-4)=(x-4)2的过程如下:
小南 移项,得4(x-4)-(x-4)2=0,提取公因式得(x-4)(4-x-4)=0,则x-4=0或4-x-4=0,解得x1=4,x2=0 (　 )
小湖 两边同除以(x-4),得4=x-4,则x=8 (　 )
请你判断他们的解法是否正确.若正确请在相应括号中打
“√”;若错误请打“×”.并写出你的解答过程.
解析　均不对,解答过程如下:
∵4(x-4)=(x-4)2,
∴4(x-4)-(x-4)2=0,∴(x-4)[4-(x-4)]=0,
∴x-4=0或4-(x-4)=0,解得x1=4,x2=8.
易错警示 当一元二次方程左右两边含有相同的因式时,不
能盲目同除以这个因式,原因在于这个因式为0时,所进行的计
算无意义(除数不能为0).
9.【新考向·新定义题】(2025河南驻马店期末,★★☆)定义运
算:a☆b=a2-ab-b,例如:3☆2=32-3×2-2=1,则方程x☆2 024=1的
解为 ( )
A.x1=-1,x2=2 025　　 B.x1=-1,x2=-2 025
C.x1=1,x2=2 025　　 D.x1=1,x2=-2 025
A
解析　由题意可得x2-2 024x-2 024=1,∴x2-2 024x-2 025=0,
∴(x+1)(x-2 025)=0,∴x+1=0或x-2 025=0,∴x1=-1,x2=2 025.
10.(2024内蒙古赤峰中考,★★☆)等腰三角形的两边长分别
是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为( )
A.17或13　　 B.13或21
C.17　　 D.13
C
解析　∵x2-10x+21=0,∴(x-3)(x-7)=0,∴x1=3,x2=7,当等腰三角
形的三边长分别是3,3,7时,3+3<7,不符合三角形的三边关系,
应舍去;当等腰三角形的三边长分别是7,7,3时,3+7>7,符合三
角形的三边关系.综上所述,这个三角形的周长是7+7+3=17.
11.(2025广东揭阳榕城模拟,★★★)关于x的方程x2-2mx+m2=4
的两个根x1,x2满足x1=2x2+3,且x1>x2,则m的值为 ( )
A.-3　　 B.1　　 C.3　　 D.9
C
解析　∵x2-2mx+m2=4,∴[x-(m+2)][x-(m-2)]=0,∴x-(m+2)=0或x
-(m-2)=0,∵x1>x2,∴x1=m+2,x2=m-2,∵x1=2x2+3,∴m+2=2(m-2)+
3,解得m=3.
12.(★★☆)解高次方程的思想就是“降次”,将含未知数的
某部分用低次项替换,例如解四次方程x4+2x2-8=0时,可设y=x2,
则原方程可化为y2+2y-8=0,先解出y,再将y的值代入y=x2中解x
的值,由此高次方程得解.解高次方程也可以将方程中某个部
分看成一个整体,例如上述方程中,可将x2看成一个整体,得(x2)2
+2x2-8=0,解出x2的值,再进一步求解即可.根据上述方法,回答
问题:
(1)若(2x2+2y2-3)(2x2+2y2+3)=7,则x2+y2的值为_______.
(2)解方程:(y2-3y)2-4y2+12y=0.
解析 (1)设t=x2+y2,则t≥0,原方程可化为(2t-3)(2t+3)=7,整理
得t2=4,解得t1=2,t2=-2(不合题意,舍去),所以x2+y2的值为2.故答
案为2.
(2)(y2-3y)2-4y2+12y=0,(y2-3y)2-4(y2-3y)=0,(y2-3y)(y2-3y-4)=0,y2-3y
=0或y2-3y-4=0,解方程y2-3y=0得y1=0,y2=3,解方程y2-3y-4=0得y3
=-1,y4=4,所以原方程的解为y1=0,y2=3,y3=-1,y4=4.
13.【新课标·创新意识】【新考向·阅读理解题】(2025安徽
合肥长丰期中)材料阅读:材料1:“ ”称为二阶行列式,
规定它的运算法则为 =a1b2-a2b1.
如 =5×(-4)-2×(-3)=-14.
材料2:我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程
组、分式方程等方程的方法,虽然各类方程的解法不尽相同,
但是蕴含了相同的数学思想——转化,把未知转化为已知.用
“转化”的数学思想,还可以解一些新的方程.例如,求解部分
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,我们可以利用因式分解把
它转化为一元一次方程来求解.如解方程:x2+3x+2=0,∵x2+3x+
2=(x+1)(x+2),∴(x+1)(x+2)=0,∴x+1=0或x+2=0,∴原方程的解
是x1=-1,x2=-2.
根据材料回答以下问题.
(1)二阶行列式 =_______.
(2)求 =12中x的值.
(3)结合材料,若m= ,n= ,且m-n=0,求x的值.
解析 (1)由题意知 =5×7-6×4=11.故答案为11.
(2)由 =12得x(x+4)-(2x-4)=12,
整理得x2+2x-8=0,∴(x+4)(x-2)=0,
解得x1=-4,x2=2.
(3)由题意知m=x2+3x,n=8x+6,
∵m-n=0,∴x2+3x-8x-6=0,
整理得x2-5x-6=0,
解得x1=-1,x2=6,∴x的值为-1或6.(共28张PPT)
第17章　一元二次方程及其应用
第2课时　公式法
17.2　一元二次方程的解法
　一元二次方程的求根公式
1.(2025安徽合肥三十八中期中)用求根公式解一元二次方程3
x2-2x=1时,a,b,c的值是 ( )
A.3,-1,-2　　 B.3,-2,1
C.3,-2,-1　　 D.3,2,1
C
解析　将原方程整理化为一般式得3x2-2x-1=0,
∴a=3,b=-2,c=-1.
2.(2025安徽合肥包河月考)若用公式法解关于x的一元二次方
程2x2+3x-4=0,其根为 ( )
A.x= 　　
B.x=
C.x= 　　
D.x=
C
解析　∵a=2,b=3,c=-4,∴b2-4ac=41>0,
∴x= = .
3.(2024福建厦门湖里实验中学月考)解一元二次方程ax2+bx+
c=0,得根为 ,则c等于 ( )
A.1　　 B.-1　　 C.0　　 D.2
B
解析　已知一元二次方程ax2+bx+c=0,直接利用公式法可得x=
,∵根为 ,∴2a=2,b2-4ac=b2+4,∴a=1,c
=-1.
4.如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解,那么必须满
足的条件是_______________.
p2-4q≥0
解析　∵a=1,b=p,c=q,∴b2-4ac=p2-4q≥0时,一元二次方程x2+
px+q=0能用公式法求解.
　用公式法解一元二次方程
5.(2025江苏淮安洪泽一模)方程x2+x-1=0的根是 ( )
A.1- 　　 B.
C.-1+ 　　 D.
D
解析　∵x2+x-1=0,∴a=1,b=1,c=-1,∴b2-4ac=12-4×1×(-1)=5>0,
故x= = .
6.【新考向·过程性题】(2025湖南衡阳月考节选)小明在解方
程x2-5x=-4时出现了错误,解答过程如下:
∵a=1,b=-5,c=-4,(第一步)
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(-4)=41,(第二步)
∴x= ,(第三步)
∴x1= ,x2= .(第四步)
小明解答过程是从第______步开始出错的.
　一
解析　小明解方程过程开始出错的步骤是第一步,需要将一
元二次方程转化为一般形式后再判断常数项,即c=4.故答案为
一.
7.(2025四川成都七中一模改编)若一个直角三角形两条直角
边的长分别是一元二次方程x2-6x+4=0的两个实数根,则这个
直角三角形的面积是_________.
2
解析　由公式法解一元二次方程x2-6x+4=0可得x=
= =3± ,∵一个直角三角形两条直角边的长分别是一
元二次方程x2-6x+4=0的两个实数根,∴这个直角三角形的面
积是 ×(3+ )(3- )= ×(9-5)=2.
8.【学科特色·教材变式】用公式法解方程:
(1)(2025安徽合肥五十中期中)x2+4x+2=0.
(2)(2025安徽百校联赢模拟)3x2+3x-1=0.
(3)x2-2x=x-4.
(4)(x+1)(x-5)=-2.
解析 (1)∵x2+4x+2=0,∴a=1,b=4,c=2,
∴b2-4ac=42-4×1×2=8>0,
∴x= = =-2± ,
∴x1=-2+ ,x2=-2- .
(2)∵3x2+3x-1=0,∴a=3,b=3,c=-1,
∴b2-4ac=32-4×3×(-1)=21>0,
∴x= = ,
∴x1= ,x2= .
(3)方程整理成一般式,得x2-3x+4=0,
∴a=1,b=-3,c=4,
∴b2-4ac=(-3)2-4×1×4=-7<0,
∴原一元二次方程无实数根.
(4)方程整理成一般式,得x2-4x-3=0,
∴a=1,b=-4,c=-3,
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-3)=28>0,
∴x= =2± ,∴x1=2+ ,x2=2- .
9.已知关于x的一元二次方程x2-8x-4m-13=0.
(1)若方程的一个根为x=-1,求m的值.
(2)若m=-2,用公式法解此方程.
解析 (1)把x=-1代入方程x2-8x-4m-13=0得1+8-4m-13=0,解得
m=-1.
(2)当m=-2时,方程可化为x2-8x-5=0,∵a=1,b=-8,c=-5,∴b2-4ac=
(-8)2-4×1×(-5)=84>0,∴x= =4± ,
∴x1=4+ ,x2=4- .
10.(2024河北中考,★★☆)淇淇在计算正数x的平方时,误算成
x与2的积,求得的答案比正确答案小1,则x= ( )
A.1　　 B. -1
C. +1　　 D.1或 +1
C
解析　由题意得x2-2x=1,∴x2-2x-1=0,∵a=1,b=-2,c=-1,∴b2-4ac
=4+4=8,∴x= =1± ,∵x是正数,∴x= +1.
11.(2025河南漯河模拟,★★☆)已知a是一元二次方程x2-3x-5=
0的较小的根,则下面对a的估值正确的是 ( )
A.-1.5C.-4 A
解析　解一元二次方程x2-3x-5=0得x= ,∴较小的根a=
,
∵ < < ,∴5< <6,∴-3<3- <-2,∴-1.5< <
-1,即-1.512.(2025河北邢台信都期中改编,★★☆)如下所示过程可将x
= 转化为方程x2+x-1=0.
∵x= = ,
∴a=1,b=1,c=-1,
∴x2+x-1=0的一个根是x= .
我们规定:方程x2+x-1=0称为x= 的还原方程,则x=
的还原方程是_________________.
x2-3x+1=0
解析　∵x= = ,
∴a=1,b=-3,c=1,
∴x2-3x+1=0的一个根是x= ,
∴x= 的还原方程是x2-3x+1=0.
13.【新考向·新定义题】(2025安徽合肥四十五中期末,★★★)
定义新运算:对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b中的较大值,如:max{1,3}=3,因此max{-1,-3}=-1.按照这
个规定,若x≠0,且max{x,-x}= ,则x的值是_________.
+2或-1
解析　由题意知,max{x,-x}等于x,-x中较大的值,
∴①当x>0时, =x,
解得x1=- +2(舍去),x2= +2,∴x= +2;
②当x<0时, =-x,
解得x1=1(舍去),x2=-1,∴x=-1.
综上所述,x的值为 +2或-1.
14.【跨信息科技·程序】(2025河北廊坊四中月考,★★☆)有
一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动减去a2,同时B
区就会自动加上3a,已知A,B两区初始显示的分别是25和-15,
第一次按键后,A,B两区显示如图所示.
(1)第一次按键后A区代数式与B区代数式的值相等,请通过计
算求a的值.
(2)从初始状态按3次后,A,B两区代数式的和为1,请通过计算
求a的值.
解析 (1)由题意得25-a2=-15+3a,
整理得a2+3a-40=0,
∵32-4×1×(-40)=169,
∴a= ,∴a1=-8,a2=5,
即a的值为-8或5.
(2)由题意得25-3a2+(-15+9a)=1,
整理得a2-3a-3=0,
∵(-3)2-4×1×(-3)=21>0,∴a= ,
∴a1= ,a2= ,
即a的值为 或 .
15.【新课标·运算能力】(2024安徽合肥肥西联考)一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:x= (b2-4ac≥0).
解方程:
(1)x2+4x=2.
解:移项,得_______,
∴a=_______,b=_______,c=_______,
∴b2-4ac=_______,
∴x= =________,
∴x1=_______,x2=_______.
(2)2x2+x-6=0.
解析 (1)x2+4x=2.
解:移项,得x2+4x-2=0,∴a=1,b=4,c=-2,∴b2-4ac=24,∴x=
=-2± ,∴x1=-2+ ,x2=-2- .
(2)2x2+x-6=0,∴a=2,b=1,c=-6,∵b2-4ac=1+48=49>0,∴x=
= ,∴x1= ,x2=-2.

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