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(共26张PPT)
第19章　四边形
19.2.1　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形边和角的性质
19.2　平行四边形
　平行四边形的定义及表示
1.如图,若AB∥CD∥EF,AE∥BF,则图中的平行四边形有
( )
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
C
解析　根据平行四边形的定义,可知四边形ABDC、四边形
ABFE和四边形CDFE是平行四边形,共3个.
2.如图,在 ABCD中,∠A= ∠D,则∠D的度数为 ( )
A.140°　　 B.120°　　 C.110°　　 D.100°
D
解析　∵∠A= ∠D,∴设∠D=x,则∠A= x,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,
∴ x+x=180°,∴x=100°,∴∠D=100°.
　平行四边形边、角的性质
3.【学科特色·教材变式】(2025安徽合肥二十九中期末)已知
平行四边形ABCD中,∠A+∠C=260°,则∠B的度数是( )
A.100°　　 B.70°　　 C.60°　　 D.50°
D
解析　∵四边形ABCD是平行四边形,∠A+∠C=260°,
∴∠B+∠A=180°,∠A=∠C=130°,
∴∠B=180°-∠A=180°-130°=50°.故选D.
4.(2025贵州贵阳清镇模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AD=
5,DC=3,以B为圆心,BA长为半径画弧,交BC于点E,则CE的长
为 ( )
A.2　　 B.3　　 C.4　　 D.5
A
解析　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=3,AD=BC=5,根据作法知AB=EB=3,
∴CE=BC-EB=5-3=2.故选A.
5.(2025广东广州天河华美英语实验学校期中)如图,平行四边
形OABC的顶点O,A,C的坐标分别为(0,0),(4,0),(1,3),那么顶点
B的坐标为_____________.
(5,3)
解析　∵A(4,0),∴OA=4,∵四边形OABC是平行四边形,∴BC
=OA=4,BC∥OA,∵C(1,3),∴B(5,3).
6.(2025四川宜宾中考)如图,点E是平行四边形ABCD边CD的
中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,AD=5.求证:△ADE
≌△FCE,并求BF的长.
解析　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,BC=AD=5,∴∠D=∠FCE,
∵E是CD的中点,∴DE=CE,
在△ADE和△FCE中,
∴△ADE≌△FCE(ASA).
∴FC=AD=5,∴BF=BC+FC=5+5=10.
　平行线之间的距离
7.【学科特色·教材变式】(2025安徽合肥庐江期中)如图,已知
直线m∥n,则下列能表示直线m,n之间的距离的是 ( )
A.线段AB的长　　 B.线段AC的长
C.线段AD的长　　 D.线段DE的长
B
解析　∵直线m∥n,AC⊥n,∴线段AC的长能表示直线m,n之
间的距离.
8.(2025湖南邵阳城步第四民族中学月考)如图,a∥b,点B,C在
直线a上,点A在直线b上,AB⊥AC,AB=6,AC=8,BC=10,则图中a
与b之间的距离为_________.
解析　设a与b之间的距离为x,则S△ABC= BC·x= AC·AB,∵AB=
6,AC=8,BC=10,∴x= = ,∴a与b之间的距离为 .
9.(2025河南许昌襄城期中,★★☆)如图,AB∥DC,ED∥BC,AE
∥BD,那么图中和△ABD面积相等的三角形(不包括△ABD)
有 ( )
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
B
解析　∵AB∥DC,两条平行线之间的距离处处相等,∴△ABC
与△ABD同底等高,∴△ABC与△ABD的面积相等,∵AE∥BD,
两条平行线之间的距离处处相等,∴△BED与△ABD同底
等高,∴△BED与△ABD的面积相等,∴和△ABD面积相等的
三角形有△ABC与△BDE,共2个.故选B.
10.(2025安徽安庆怀宁期末,★★☆)如图,在 ABCD中,AD=10,
点E是边BC上一点,连接AE,DE,BE=4,将△ABE沿AE折叠,点
B恰好落在DE上的点B'处,则DB'的长为 ( )
C
A.7　　 B.6.5　　 C.6　　 D.5
解析　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∵将△ABE沿AE折叠,点B恰好落在DE上的点B'处,
∴∠AEB=∠AED,B'E=BE=4,∴∠DAE=∠AED,
∴DE=AD=10,∴DB'=DE-B'E=10-4=6.故选C.
11.【学科特色·分类讨论思想】(2025安徽淮北期末,★★☆)
已知 ABCD的周长为48 cm,∠ABC的平分线交边AD所在的
直线于点E,且AE∶ED=3∶2,则边AD的长是 ( )
A.9 cm或18 cm　　 B.6 cm或15 cm
C.9 cm　　 D.15 cm
B
解析　如图1,当点E在线段AD上时,
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,
∵AE∶ED=3∶2,∴设AE=3x cm,ED=2x cm,则AB=AE=3x cm,
∵ ABCD的周长是48 cm,∴2(3x+3x+2x)=48,解得x=3,
∴AD=AE+ED=3x+2x=5x=5×3=15(cm);
如图2,当点E在AD的延长线上时,同理可得AB=AE,
∵AE∶ED=3∶2,∴设AE=3y cm,ED=2y cm,
则AB=AE=3y cm,AD=AE-ED=3y-2y=y(cm),
∵ ABCD的周长为48 cm,
∴2(3y+y)=48,解得y=6,∴AD=6 cm.
综上所述,边AD的长是6 cm或15 cm.故选B.
12.(2025安徽黄山期末,★★☆)如图,点E是平行四边形ABCD
内一点,△BCE是正三角形,连接AE,DE,若AE⊥AD,DE⊥EC,
且AE=1,∠ADE=30°,则AB的长是_________.
解析　∵AE⊥AD,DE⊥EC,∴∠EAD=∠DEC=90°,
∵∠ADE=30°,AE=1,∴DE=2AE=2,
∴AD= = = ,
∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC=AD= ,AB=CD,
∵△EBC为等边三角形,∴EC=BC= ,
在Rt△DEC中,DE=2,EC= ,
∴CD= = = ,∴AB= .
13.(2025安徽马鞍山期中,★★☆)如图,在平行四边形ABCD
中,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F.
(1)求证:BE=DF.
(2)如果AB=2 ,AE=EF=2,求AD的长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴∠ABE=∠CDF,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°,
∴△ABE≌△CDF(AAS),∴BE=DF.
(2)在Rt△ABE中,由勾股定理得BE= = =2,
∴DF=BE=2,∴DE=EF+DF=4,
在Rt△ADE中,由勾股定理得AD= = =2 .
14.【新课标·推理能力】如图,在平行四边形ABCD中,BE平分
∠ABC交CD于点E,CF⊥AD于点F,交BE于点G,且CF=CE,连
接EF.
(1)如图1,若CD=5,DF=3,求BC的长.
(2)如图2,若CM平分∠DCF交BE于点M,CN⊥BE于点N,求证:
CM+EF= NE.
解析 (1)∵CF⊥AD,∴∠CFD=90°,
∴CF= = =4,
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠BEC=∠ABE,
∴∠CBE=∠BEC,∴BC=CE,
∵CF=CE,∴BC=CF=4.
(2)证明:如图,延长CM交EF于H,
∵CE=CF,CM平分∠DCF,
∴CH⊥EF,EF=2EH,
∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,
∵AD∥BC,CF⊥AD,∴CF⊥BC,∴∠BCF=90°,
∴∠ABC+∠DCF=90°,
∵BE平分∠ABC,CM平分∠DCF,
∴∠ABE= ∠ABC,∠ECM= ∠DCF,
∵∠CEB=∠ABE,
∴∠BMC=∠CEB+∠ECM= (∠ABC+∠DCF)=45°,
∴∠EMH=∠BMC=45°,
∵CN⊥BE,∴∠CNM=90°,
又∵∠EHM=90°,∴△CMN和△EMH是等腰直角三角形,
∴CM= MN,EH= EM,∴EF= EM,
∴CM+EF= MN+ EM= (EM+MN)= NE.(共31张PPT)
第19章　四边形
第2课时　多边形的外角和
19.1　多边形
　多边形的外角和定理
1.(2025安徽淮北五校联考月考)下列图形中,内角和与外角和
相等的是 ( )
A B C D
B
解析　任意多边形的外角和等于360°.A.三角形的内角和等于180°,故三角形的内角和与外角和不相等,A不符合题意.B.四边形的内角和等于360°,故四边形的内角和与外角和相等,B符合题意.C.五边形的内角和等于540°,故五边形的内角和与外角和不相等,C不符合题意.D.六边形的内角和等于720°,故六边形的内角和与外角和不相等,D不符合题意.故选B.
2.(2025安徽淮南期末)已知一个多边形的内角和与外角和的
差是1 260°,则这个多边形的边数是 ( )
A.9　　 B.10　　 C.12　　 D.11
D
解析　设这个多边形的边数是n,由题意得(n-2)×180°-360°
=1 260°,∴n=11,∴这个多边形的边数是11.故选D.
3.(2025安徽安庆岳西月考)如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形
ABCDE的4个外角.若∠A=120°,则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为
____________.
300°
解析　如图,延长BA,
由题意得∠5=180°-∠EAB=60°,
又∵多边形的外角和为360°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°.
4.【学科特色·教材变式】(2025安徽淮南凤台期末)已知一个
多边形的每一个外角都是与它相邻的内角的 .试求出:
(1)这个多边形的每一个外角的度数.
(2)这个多边形的内角和.
解析 (1)∵一个多边形的每一个外角都是与它相邻的内角
的 ,
∴这个多边形的每一个外角的度数是 ×180°=60°.
(2)∵多边形的每一个外角的度数是60°,多边形的外角和为
360°,∴多边形的边数是 =6,
∴这个多边形的内角和是(6-2)×180°=720°.
方法归纳 多边形的每个顶点处的一个外角和一个内角互为
邻补角,因此多边形的所有内角和外角的和为n·180°.因为多
边形的内角和为(n-2)·180°,所以多边形的外角和为360°.
　正多边形
5.(2025安徽宿州泗县期末)一个正多边形,它的内角和是外角
和的2倍,则该正多边形是 ( )
A.正四边形　　 B.正五边形
C.正六边形　　 D.正七边形
C
解析　设这个正多边形的边数为n,由题意得(n-2)·180°=2×
360°,解得n=6,所以这个正多边形是正六边形.
6.(2025安徽宣城宁国二模)如图,在正五边形ABCDE中,连接
AC,则∠ACD的度数为 ( )
A.60°　　 B.72°　　
C.75°　　 D.80°
B
解析　∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠B=∠BCD= =108°,AB=BC,
∴∠BCA=∠BAC= ×(180°-108°)=36°,
∴∠ACD=72°.
7.【学科特色·教材变式】(2025安徽合肥期末)如图,小明从点
A出发,前进10 m后向右转20°,再前进10 m后又向右转20°,这
样一直下去,直到他第一次回到出发点A为止,他所走的路线
构成了一个多边形.那么小明一共走了___________m.
180
解析　∵小明每次都是向右转20°且走的路程相同,
∴走过的路线构成一个正多边形,且每一个外角都是20°,
∴多边形的边数为360°÷20°=18,
∴小明一共走了18×10=180(m).
8.(2025吉林长春中考)图①是一个正十二面体,它的每个面都
是正五边形,图②是其表面展开图,则∠α为__________°.
36
解析　∵正五边形每个内角的度数为 ×(5-2)×180°=108°,∴∠α=360°-3×108°=36°.
　四边形具有不稳定性
9.【学科特色·教材变式】(2025山东聊城阳谷期末)下列图形
中,不是运用三角形的稳定性的是 ( )
A B C D
C
解析　伸缩门是利用了四边形的不稳定性,A,B,D选项中的图
形都是利用了三角形的稳定性.
10.(2025湖南湘西州期末)小李家有一个六边形置物架已经变
形,需通过增加木条使其固定,则工人师傅至少需要加固木条
的数量为 ( )
A.2　　 B.3　　 C.4　　 D.5
B
解析　依据三角形的稳定性可知,将六边形置物架钉上木条
后分成三角形即可使其固定,如图,工人师傅至少需要加固木
条的数量为3.
11.(2025四川广元中考,★★☆)如图,在正八边形ABCDEFGH
中,对角线HB,AC交于点K,则∠AKH= ( )

A.30°　　 B.35°　　 C.40°　　 D.45°
D
解析　∵八边形ABCDEFGH为正八边形,
∴∠HAB=∠ABC=(8-2)×180°÷8=6×180°÷8=135°,
BC=AB=AH,
∴∠BAC=∠BCA=∠ABH=∠AHB=(180°-135°)÷2=22.5°,
∴∠AKH=∠BAC+∠ABH=22.5°+22.5°=45°.故选D.
12.(2025吉林油田二中模拟,★★☆)小明在制作树叶标本时,
不小心将制作好的标本遮盖住了数学作业本上一个正n边形
的一部分.如图,若正n边形的两条边所在直线AM,BN所夹锐角
为36°,则n的值是_________.
5
解析　如图,由题意得∠C=36°,∴∠CAB=∠CBA=
=72°,∴正多边形的边数n= =5.
13.(2025陕西宝鸡期末改编,★★☆)如图所示的是一块正多
边形的碎瓷片,经测量,BC∥AD且∠ADC=30°,则这个正多边
形的内角和与外角和之比是___________.
5∶1
解析　如图,延长DC到点E,
可知∠ECB是正多边形的一个外角,
∵BC∥AD,∴∠ECB=∠ADC=30°,
∴该正多边形的边数为360°÷30°=12.
∴该正多边形的内角和为(12-2)×180°=1 800°.
∴该正多边形的内角和与外角和之比为1 800°∶360°=5∶1.
14.(2025安徽淮北二中二模,★★☆)如图,将一把直尺放在正
五边形ABCDE上,分别交AB,BC,AE于点F,H,G,I,则∠AFG+
∠CHI=___________°.
108
解析　∵五边形ABCDE是正五边形,
∴每个内角的度数为 =108°.
如图,过点B作BP∥FG,
∵将一把直尺放在正五边形ABCDE上,
∴FG∥HI,∴FG∥BP∥HI,
∴∠AFG=∠ABP,∠CHI=∠CBP,
∵∠ABP+∠CBP=∠ABC=108°,
∴∠AFG+∠CHI=108°.
15.(2025安徽芜湖期中,★★☆)小云求一个多边形的内角和
时,少加了一个内角,得到2 010°.
(1)求少加的内角的度数.
(2)请通过计算,判断这个多边形能否是正多边形.
解析 (1)设这个多边形的边数为n,
则2 010°<(n-2)·180°<2 010°+180°,解得13 ∵n为正整数,∴n=14,
∴少加的内角的度数为(14-2)×180°-2 010°=150°.
(2)若这个多边形是正多边形,则每个外角的度数为180°-150°
=30°,∴它的边数为 =12,
由(1)可知,这个多边形的边数为14,
∵14≠12,∴这个多边形不是正多边形.
16.【新课标·推理能力】请阅读下列材料,并完成相应的任务.
已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和”,那么五边形的外角与内角之间又有什么关系呢 如图1,
∠1,∠2是五边形ABCDE的两个外角,∠1+∠2=∠A+∠B+∠C
-180°.下面是该结论的证明过程(部分):
证明:∵五边形的内角和为540°,
∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°.
……
(1)按照上面的证明思路,完成证明的剩余部分.
(2)知识应用:如图2,EF,DF分别是五边形ABCDE的外角∠DEH
和∠EDG的平分线,若∠A+∠B+∠C=320°,求∠F的度数.
(3)拓展提升:如图3,在五边形BCDEF中,∠C=∠E=90°,∠ABF
和∠BFG是五边形BCDEF的外角,且∠ABH= ∠ABF,∠GFH
= ∠BFG,∠H=140°,则∠D的度数为_______.
解析 (1)证明的剩余部分如下:
∴∠A+∠B+∠C=540°-∠3-∠4,
∵∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°,
∴∠1+∠2=360°-∠3-∠4,
∴∠A+∠B+∠C-(∠1+∠2)=540°-∠3-∠4-(360°-∠3-∠4)
=180°,
∴∠1+∠2=∠A+∠B+∠C-180°.
(2)由(1)得∠DEH+∠EDG=∠A+∠B+∠C-180°,
∵∠A+∠B+∠C=320°,
∴∠DEH+∠EDG=320°-180°=140°,
∵EF平分∠DEH,DF平分∠EDG,
∴∠DEF= ∠DEH,∠EDF= ∠EDG,
∴∠DEF+∠EDF= (∠DEH+∠EDG)= ×140°=70°,
∵∠DEF+∠EDF+∠F=180°,
∴∠F=180°-70°=110°.
(3)120°.详解:∵∠H=140°,
∴∠HBF+∠HFB=180°-140°=40°,
∵∠ABH= ∠ABF,∠GFH= ∠BFG,
∴∠ABF+∠BFG=3(∠HBF+∠HFB)=3×40°=120°,
由(1)得∠ABF+∠BFG=∠C+∠D+∠E-180°,
∴∠C+∠D+∠E=∠ABF+∠BFG+180°=120°+180°=300°,∵∠C=∠E=90°,
∴∠D=300°-90°-90°=120°.(共29张PPT)
第19章　四边形
19.3.1　矩形
第2课时　矩形的判定
19.3　矩形、菱形、正方形
　矩形的判定
1.(2025安徽马鞍山含山一中期中)如图,要使 ABCD成为矩
形,则可添加的一个条件是 ( )
A.AB=AD　　 B.AC⊥BD
C.AD=BD　　 D.AC=BD
D
解析　添加D选项中的AC=BD,根据对角线相等的平行四边
形是矩形,能得到 ABCD为矩形,所以该选项正确,符合题意.
2.【学科特色·数学活动】(2025湖南长沙雅礼教育集团期中)
活动课上,小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形,现
要判断这个四边形是不是矩形,以下测量方案正确的是 ( )
A.测量是不是有三个角是直角
A

B.测量对角线是否相等
C.测量两组对边是否分别相等
D.测量对角线是否互相垂直
解析　∵有三个角是直角的四边形是矩形,∴要判断这个四
边形是不是矩形,可以测量是不是有三个角是直角.
3.(2025甘肃临夏州康乐附城中学月考)如图,在△ABC中,点D在边
BC上,DF∥AB,DE∥AC,当∠A=__________°时,四边形AEDF
是矩形.

90
解析　当∠A=90°时,四边形AEDF是矩形.理由:∵DF∥AB,
DE∥AC,∴四边形AEDF是平行四边形,∵∠A=90°,∴四边形
AEDF是矩形.
4.(2024吉林长春中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,
O是边AB的中点,∠AOD=∠BOC.求证:四边形ABCD是矩形.

证明　∵O是边AB的中点,∴OA=OB,
在△AOD和△BOC中,
∴△AOD≌△BOC(ASA),∴DA=CB,
∵∠A=∠B=90°,∴∠A+∠B=180°,∴DA∥CB,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵∠A=90°,∴四边形ABCD是矩形.
　矩形的性质与判定的综合应用
5.【学科特色·教材变式】(2025陕西咸阳秦都期末)如图,在四
边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,连接AC,BD,相交于点O,若OA=
OD=5,AB=6,则四边形ABCD的面积为 ( )

A.24　　 B.36　　 C.48　　 D.60
C
解析　∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OD=OB,∵OA=OD=5,∴AC=2OA=10,BD=2OD=10,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,
∵AB=6,∴BC= = =8,
∴S四边形ABCD=BC·AB=8×6=48.
6.(2025安徽六安月考)如图,将矩形ABCD对折,使AB与CD边
重合,得到折痕MN,展开,再将点A沿过点D的直线折叠到MN
上,对应点为A',折痕为DE,若AB=10,BC=6,则A'N的长度为
( )
A.10-3 　　 B.4　　
A
C.10-2 　　 D.3
解析　根据折叠的性质得AM=DM= AD,∠DMA'=∠AMA'
=90°,AD=A'D,
∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠A=∠B=90°,
∵BC=6,∴AD=6,∴DM=3,A'D=6,
在Rt△DMA'中,由勾股定理得A'M= = =3 ,
∵∠A=∠B=∠AMA'=90°,
∴四边形ABNM是矩形,∴MN=AB=10,
∴A'N=MN-A'M=10-3 .故选A.
7.(2025安徽马鞍山含山一中期中)如图,在 ABCD中,BE平分
∠ABC,CE平分∠BCD,BF∥CE,CF∥BE.
(1)求证:四边形BECF是矩形.
(2)若∠ABC=60°,BC=8,求矩形BECF的周长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,
∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,
∴∠EBC= ∠ABC,∠ECB= ∠BCD,
∴∠EBC+∠ECB=90°,∴∠E=90°,
∵BF∥CE,CF∥BE,
∴四边形BECF是平行四边形,
∵∠E=90°,∴四边形BECF是矩形.
(2)∵∠ABC=60°,∴∠EBC=30°,
∵∠E=90°,BC=8,∴EC= BC=4,
∴BE= =4 ,
故矩形BECF的周长为2(EC+BE)=8 +8.

8.(2025安徽阜阳十一中期中,★★☆)如图,有一个绳索拉直的
木马秋千,绳索AB的长度为5米,若将它往水平方向向前推进3
米(即DE=3米),且绳索保持拉直的状态,则此时木马上升的高
度为 ( )
A.1米　　 B. 米　　
C.3米　　 D.4米
A
解析　如图,过点C作CF⊥AD于点F,
∴四边形CFDE为矩形,
∴CF=DE=3米,
∵AB=AC=5米,
∴AF= =4(米),
∴BF=AB-AF=1米,
∴此时木马上升的高度为1米.
9.【新考向·动点探究题】(2025安徽淮南寿县期末,★★★)如
图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是斜边BC上的一个动点,过点
D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
(1)四边形AEDF的形状是_______.
(2)若AB=3,AC=4,连接EF,则EF的最小值为___________.

2.4
　矩形
解析 (1)∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,
∵∠A=90°,∴四边形AEDF是矩形.
(2)如图,连接AD,
∵四边形AEDF是矩形,∴EF=AD,
∴当AD的值最小时,EF的值最小,
在Rt△ABC中,AB=3,AC=4,
由勾股定理,得BC= = =5,
当AD⊥BC时,AD的值最小,
此时AD= = =2.4,
即EF的最小值为2.4.
10.(2025北京中考,★★☆)如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC
的中点,DF⊥BC,垂足为F,点G在DE的延长线上,DG=FC.
(1)求证:四边形DFCG是矩形.
(2)若∠B=45°,DF=3,DG=5,求BC和AC的长.

解析 (1)证明:∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,
∵DG=FC,∴四边形DFCG是平行四边形,
∵DF⊥BC,∴∠DFC=90°,
∴四边形DFCG是矩形.
(2)∵DF⊥BC,∴∠DFB=90°,
∵∠B=45°,∴△BDF是等腰直角三角形,
∴BF=DF=3,
∵DG=FC=5,∴BC=BF+FC=3+5=8,
由(1)可知,DE是△ABC的中位线,四边形DFCG是矩形,∴DE=
BC=4,CG=DF=3,∠G=90°,
∴EG=DG-DE=5-4=1,
∴CE= = = ,
∵E为AC的中点,∴AC=2CE=2 .

11.【新课标·几何直观】(2025安徽阜阳界首月考)学习四边
形之后,某班数学兴趣小组开展了一次操作活动,如图所示,先
将一张等腰三角形纸片沿着底边上的中线剪开,然后将分成
的两个全等三角形纸片拼成一个四边形,记作四边形ABCD,
并求出四边形对角线的长.经过测量,等腰三角形纸片的腰长
为5,底边长为6.
各个小组将他们的方案进行汇报,部分方案信息如下:
方案一 方案二 方案三
图形
计算 结果 AC=5, BD=　 AC=4, BD=　 AC=3,
BD=　
(1)请你完成上述表格.
(2)其中有一个小组拼出了第四种方案,请你画出图形,并直接
写出该图形两条对角线的长.
解析 (1)方案一中,如图1,连接BD,由题意得BC=AD,AB=CD,
∠ABC=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是矩形,∴BD=AC=5;
方案二中,如图2,连接BD,过点D作DH⊥BC交BC的延长线
于H,
由题意得∠DAC=∠ACB=90°,AD=BC=3,CD=5,AC=4,
∴∠ACH=90°,∴四边形ACHD是矩形,
∴CH=AD=3,DH=AC=4,∴BH=BC+CH=6,
∴BD= = =2 ;
方案三中,如图3,连接BD,过点D作DT⊥BA交BA的延长线于T,
易知四边形ACDT是矩形,
∴AT=CD=4,DT=AC=3,∴BT=AT+AB=8,
∴BD= = = .

(2)图4即为所求作的图形,两条对角线的长分别为5, .
详解:如图,连接BD交AC于点O,
在四边形ABCD中,AD=AB=4,CD=CB=3,AC=5,∠ADC=∠ABC
=90°,
∴AC垂直平分BD,
∵S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC,
∴ AC·OD+ AC·OB= AD·CD+ AB·BC,
∴ (OD+OB)= ×3×4+ ×3×4,∴ BD=12,
∴BD= .(共25张PPT)
第19章　四边形
19.2.1　平行四边形的性质
第2课时　平行四边形对角线的性质
19.2　平行四边形
　平行四边形对角线的性质
1.(2025福建泉州惠安模拟)如图, ABCD的对角线AC=6,BD=
10,则AB的长可以是 ( )
A.2　　 B.7　　 C.8　　 D.9
B
解析　∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA= AC=3,OB= BD
=5,由三角形三边关系得到5-3可以是7.故选B.
2.【学科特色·教材变式】(2025安徽滁州全椒二模)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.若AC=6,BD=10,∠ACB=90°,则BC的长为 ( )
A.2　　 B.3　　 C.4　　 D.5
C
解析　∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OC= AC=3,OB= BD=5,
∵∠ACB=90°,
∴BC= = =4.故选C.
3.(2025福建厦门模拟)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于
点O,BC=2,△BOC的周长为5,则AC+BD=_________.
6
解析　∵BC=2,△BOC的周长为5,∴OB+OC=5-2=3,∵四边形
ABCD是平行四边形,∴AC=2OC,BD=2OB,∴AC+BD=2(OC+
OB)=2×3=6.
　平行四边形的性质的综合应用
4.(2025山东泰安岱岳期中)如图,在 ABCD中,点O是对角线
AC,BD的交点,EF过点O且垂直于AD,垂足为E.
(1)求证:OE=OF.
(2)若S ABCD=63,OE=3.5,求AD的长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,∴∠EAO=∠FCO,
在△AEO和△CFO中,
∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=OF.
(2)∵OE=OF,OE=3.5,∴EF=2OE=7,
又∵EF⊥AD,∴S ABCD=AD·EF=63,∴AD=9.
5.(2025重庆石柱中学月考)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD
相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,
F,AC平分∠DAE.
(1)当∠AOE=60°时,求∠ACB的大小.
(2)求证:BE=DF.
解析 (1)∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°,
∵∠AOE=60°,∴∠EAO=90°-60°=30°,
∵AC平分∠DAE,∴∠DAC=∠EAO=30°,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠ACB=∠DAC=30°.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°,
在△AEO和△CFO中,
∴△AEO≌△CFO(AAS),∴OE=OF,
∴OB-OE=OD-OF,即BE=DF.
6.(2025安徽蚌埠禹会月考,★★★)如图,在平行四边形ABCD
中,AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,BC=6,BE=2,记
OA的长为x,OB的长为y,当x,y的值发生变化时,下列代数式的
值不变的是 ( )
A
A.x2-y2　　 B.x2+y2　　 C.x+y　　 D.xy
解析　如图,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,
∵AE⊥BC,DF⊥BC,∴∠AEB=∠DFC=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥CD,AC=2OA=2x,BD=2OB=2y,∴∠ABE=∠DCF,
∴△ABE≌△DCF(AAS),∴AE=DF,BE=CF=2,
由勾股定理可得AE2=AC2-CE2=AC2-42=4x2-16,DF2=BD2-BF2=
BD2-(BC+CF)2=4y2-64,
∵AE=DF(两条平行线之间的距离处处相等),
∴4x2-16=4y2-64,∴4y2-4x2=48,∴y2-x2=12,∴x2-y2=-12,
∴当x,y的值发生变化时,代数式x2-y2的值不变.故选A.
7.(2025辽宁大连中山月考,★★☆)某学校劳动菜园的平面示
意图如图1所示,在 ABCD中,两条主路AC,BD交于点O,经测
量,AB=10 m,AC=24 m,BD=20 m,请你解决以下问题:
(1)求劳动菜园的面积.
(2)李老师准备再修建两条小道AM,CN对菜园进行分割.小明提出的方案为点M在OD上,点N在OB上,且DM=ON(点M与点O,D不重合),如图2,李老师对这个方案表示支持,并计划在△AOM与△CON两块菜地所在区域种植草莓,求种植草莓区域的面积.
解析 (1)如图,过点B作BE⊥AC于点E,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA= AC=12 m,OB= BD=10 m,
∵AB=OB=10 m,∴AE= OA=6 m,
∴BE= = =8(m),
∴劳动菜园的面积=2× AC·BE=192 m2.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,
又∵DM=ON,∴BN=OM,
易知点A和点C到BD的距离相等,∴S△BNC=S△AOM,
∴种植草莓区域的面积=S△AOM+S△CON=S△BNC+S△CON=S△BOC
= S ABCD=48 m2.
8.【新课标·推理能力】(2025广东河源期末)已知, ABCD的
对角线AC和BD相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交
于点E和点F.
(1)如图①,求证:OE=OF.
(2)如图②,已知AD=1,BD=2,AC=2 ,∠DOF=∠α,
(Ⅰ)求∠DAO的度数,并写出当∠α为多少度时,EF⊥AC.
(Ⅱ)在(Ⅰ)成立的条件下,连接AF,求△ADF的周长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,AB∥CD,
∴∠EBO=∠FDO,∠OEB=∠OFD,
在△BOE和△DOF中,
∴△BOE≌△DOF(AAS),∴OE=OF.
(2)(Ⅰ)∵四边形ABCD是平行四边形,BD=2,AC=2 ,
∴OD= BD=1,OA= AC= ,
又∵AD=1,∴AD2+OD2=12+12=( )2=OA2,
∴△ADO是等腰直角三角形,
∴∠ADO=90°,∠DAO=∠DOA=45°,
当∠α=45°时,EF⊥AC,理由如下:
∵当∠DOF=∠α=45°时,
∠AOF=∠AOD+∠DOF=90°,
∴EF⊥AC.
(Ⅱ)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB=CD,
又∵EF⊥AC,∴EF垂直平分AC,∴AF=CF,
由(Ⅰ)知∠ADO=90°,即∠ADB=90°,
∴AB= = = ,
∴CD=AB= ,则△ADF的周长为AD+DF+AF=AD+DF+CF=
AD+CD=1+ .
微专题　平行四边形中的面积问题
方法指引　在平行四边形中,经常运用夹在两条平行线之间
的平行线段相等,从而得到面积关系.
1.(2025湖北孝感孝昌期中)如图,点E在平行四边形ABCD的边
AD上,△ABE的面积记为S1,△CDE的面积记为S2,△BCE的面
积记为S3,则下列结论正确的是 ( )
A.S1+S2=S3
A
B.S1+S2>S3
C.S1+S2D.以上结论都不对
解析　设AD和BC之间的距离是h,
根据题意,得S1= AE·h,S2= DE·h,S3= BC·h.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC.∴S1+S2= (AE+DE)·
h= AD·h= BC·h=S3.故选A.
2.【学科特色·转化思想】(2025安徽淮南期中)如图,在 ABCD
中,对角线AC,BD交于点O,过点O作直线EF分别交AD,BC于点F,E.若AB=3,AC=4,AD=5,则图中阴影部分的面积为( )
B
A.1.5　　 B.3　　 C.6　　 D.4
解析　∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=3,AD∥BC,OB=OD,
∴S△AOD= S△ACD,∠OBE=∠ODF,
∵CD=3,AC=4,AD=5,∴CD2+AC2=AD2,
∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°,
∴S△AOD= × AC·CD= × ×4×3=3,
在△BOE和△DOF中,
∴△BOE≌△DOF(ASA),∴S△BOE=S△DOF,
∴题图中阴影部分的面积=S△AOF+S△BOE=S△AOF+S△DOF=S△AOD=3.
故选B.(共31张PPT)
第19章　四边形
第2课时　菱形的判定
19.3.2　菱形
　菱形的判定
1.(2025河南漯河召陵实验中学三模)如图,要使 ABCD成为
菱形,则可以添加条件 ( )
A.AC=AD　　
B.∠ABC=90°
C.AC⊥BD　　
C
D.AC=BD
解析　根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形知要使
ABCD成为菱形,则可添加条件AC⊥BD.故选C.
2.【学科特色·教材变式】(2025青海师大附中三模)依据所标
数据,下列四边形不一定为菱形的是 ( )

C
A　　 B C D
解析 A.32+42=52,由勾股定理的逆定理可推出四边形的对角
线互相垂直,四边形的对角线又互相平分,可判定四边形是菱
形,故A不符合题意;B.四边形的四条边相等,可判定四边形是
菱形,故B不符合题意;C.四边形的对角线互相平分,只能判定
四边形是平行四边形,不能判定四边形是菱形,故C符合题意;
D.由同旁内角互补,得到四边形的两组对边分别平行,又四边
形的邻边相等,可判定四边形是菱形,故D不符合题意.故选C.
3.(2025江苏苏州期中)如图,连接四边形ABCD各边中点,得到
四边形EFGH,当四边形ABCD的对角线AC与BD满足_______
______时,就能保证四边形EFGH是菱形.
BD
AC=
解析　∵E,F,G,H分别为AD,AB,BC,CD的中点,∴EF= BD,
FG= AC,GH= BD,EH= AC,当AC=BD时,EF=FG=GH=EH,
∴四边形EFGH是菱形.
4.(2025江苏扬州中考节选)如图,在 ABCD中,对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F.求证:四边形AFCE是菱形.
证明　∵EF垂直平分AC,
∴EA=EC,FA=FC,OA=OC,∠AOE=∠COF=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF,
在△OAE和△OCF中,
∴△OAE≌△OCF(ASA),∴EA=FC,∴EA=EC=FA=FC,
∴四边形AFCE是菱形.
　菱形的性质与判定的综合应用
5.【学科特色·多解法】(2025湖南中考)如图,在四边形ABCD
中,对角线AC与BD互相垂直平分,AB=3,则四边形ABCD的周
长为 ( )
A.6　　 B.9　　 C.12　　 D.18
C
解析　【解法一】∵在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相
垂直平分,∴AB=AD,CB=CD,BA=BC,
∴BC=CD=DA=AB,
∵AB=3,∴四边形ABCD的周长为3×4=12.
【解法二】∵对角线AC与BD互相垂直平分,
∴四边形ABCD为菱形,
∵AB=3,∴四边形ABCD的周长为3×4=12.故选C.
6.【新课标·尺规作图】(2025四川内江中考)按如下步骤作四
边形ABCD:(1)画∠EAF;(2)以点A为圆心,1个单位长度为半径
画弧,分别交AE,AF于点B,D;(3)分别以点B和点D为圆心,1个
单位长度为半径画弧,两弧交于点C;(4)连接BC,DC,BD.若∠A
=40°,则∠BDC的度数是 ( )

D
A.64°　　 B.66°　　 C.68°　　 D.70°
解析　根据作图可得AB=AD=BC=CD,∴四边形ABCD是菱
形,∠ADB=∠ABD= ×(180°-40°)=70°,∴∠BDC=∠BDA
=70°.故选D.
7.(2025贵州中考)如图,在 ABCD中,E为对角线AC的中点,连
接BE,且BE⊥AC,垂足为E.延长BC至F,使CF=CE,连接EF,FD,
且EF交CD于点G.
(1)求证: ABCD是菱形.
(2)若BE=EF,EC=4,求△DCF的面积.
解析 (1)证明:∵E为对角线AC的中点,BE⊥AC,
∴BE垂直平分AC,∴AB=BC,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.
(2)∵BE=EF,∴∠EBF=∠EFB,
∵CF=CE,∴∠CEF=∠CFE,
∴∠BCE=∠CEF+∠CFE=2∠CFE=2∠EBF,
∵∠BEC=90°,∴∠CBE=30°,∠BCA=60°,
∴∠ACB=∠ACD=60°,
∴∠DCF=180°-60°-60°=60°,
∴∠BCE=∠DCF,∵BC=CD,CE=CF,
∴△BCE≌△DCF(SAS),∴∠DFC=∠BEC=90°,
∵CF=CE=4,∴DF= CF=4 ,
∴△DCF的面积= DF·CF= ×4 ×4=8 .

8.(2025江苏镇江丹阳期中,★★☆)四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列4组条件:①AB=BC=CD=AD;②∠ABC=
∠BCD,∠CDA=∠DAB;③OA=OC,OB=OD,AC⊥BD;④∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°.
其中,能得到四边形ABCD是菱形的有 ( )
A.1组　　 B.2组　　 C.3组　　 D.4组
B
解析　①∵AB=BC=CD=AD,∴四边形ABCD是菱形,故①符
合题意.②∵∠ABC=∠BCD,∠CDA=∠DAB,∴∠ABC+∠CDA=∠BCD+∠DAB= ×360°=180°.如图1,AB∥CD,易知四
边形ABCD是平行四边形,∵∠ABC+∠BCD=2∠BCD=180°,
∴∠BCD=90°,∴四边形ABCD是矩形;如图2,AB与CD不平行,
延长BA,CD交于点E,则BE=CE,∵∠CDA=∠DAB,∴∠EAD=
∠EDA,∴AE=DE,∴BE-AE=CE-DE,∴AB=CD,易得∠EDA=
∠ABC=∠DCB,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是等腰梯形.∴四
边形ABCD是矩形或梯形,但不一定是菱形,故②不符合题意.
③∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC⊥
BD,∴四边形ABCD是菱形,故③符合题意.④∵∠ABC=∠BCD
=∠CDA=90°,∴四边形ABCD是矩形,但不一定是菱形,故
④不符合题意.故能得到四边形ABCD是菱形的条件有2组.故
选B.
9.【学科特色·方程思想】(2025安徽淮南期末,★★☆)两张全
等的矩形纸片ABCD,AECF按如图所示的方式放置,AB=AF,
AE=BC,若AB=1,BC=3,则图中重叠(阴影)部分的面积为
( )
C

A. 　　 B.2 　　
C. 　　 D.2
解析　如图,设BC交AE于点G,AD交CF于点H,
∵四边形ABCD是矩形,四边形AECF是矩形,
∴AH∥GC,AG∥CH,∴四边形AGCH是平行四边形,∵四边形ABCD≌四边形AECF,∴AB=CE,
在△ABG和△CEG中, ∴△ABG≌△CEG(AAS),∴AG=CG,∴四边形AGCH是菱形,∵BG+CG=3,∴BG+AG=3,设
AG=CG=x,则BG=3-x,在Rt△ABG中,∵∠B=90°,∴(3-x)2+12=x2,解得x= ,∴菱形AGCH的面积为AB·CG=1× = .故选C.
10.(2025江苏盐城盐都第一共同体月考,★★☆)如图,在四边
形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线
BE交AD的延长线于点F,连接CF.若AD=1,CF=2,则BF的长为
__________.
2
解析　∵AD∥BC,∴∠FDE=∠BCE,∵点E为CD的中点,
∴DE=EC,在△BCE与△FDE中, ∴△BCE≌
△FDE(ASA),∴BC=FD,∵AD∥BC,∴四边形BCFD为平行四
边形,又∵BD=BC,∴四边形BCFD是菱形,∴BD=DF=CF=2,
∴AF=AD+DF=3,∵∠A=90°,∴AB= = = ,
∴BF= = =2 .
11.(2025安徽滁州月考改编,★★☆)如图,在平行四边形ABCD
中,点E,F分别在AB,CD上,BE=DF,连接EF与对角线AC相交于
点O.
(1)求证:OE=OF.
(2)连接CE,G为CE的中点,连接OG.若OG=2,求AE的长.
(3)在(2)的条件下,若EF⊥AC,则CE=_______.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,
∵BE=DF,∴AE=CF,
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF.
(2)∵点G为CE的中点,OE=OF,∴OG是△EFC的中位线,
∵OG=2,∴CF=2OG=4,∴AE=CF=4.
(3)连接AF,∵△AOE≌△COF,∴OA=OC,
又∵OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形,
∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形,∴CE=AE=4.

12.【新课标·推理能力】【新考向·动点探究题】(2025安徽
铜陵十五中期中)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四
边形OABC为矩形,A(0,5),C(26,0),点E是OC的中点,动点M在
线段AB上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动(到点B
时停止).设动点M的运动时间为t秒.
(1)当t为何值时,四边形MOEB是平行四边形
(2)若四边形MOEB是平行四边形,请判断四边形MAOE的形
状,并说明理由.
(3)在线段AB上是否存在一点N,使得以O,E,M,N为顶点的四边
形是菱形 若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
解析 (1)∵四边形OABC为矩形,A(0,5),C(26,0),∴OA=BC=5,
AB=OC=26,AB∥OC,
∵点E是OC的中点,∴OE= OC=13,
由题意得AM=2t,∴BM=26-2t,
∵MB∥OE,∴当MB=OE时,四边形MOEB是平行四边形,
此时26-2t=13,解得t= .
(2)四边形MOEB是矩形.理由如下:
∵四边形MOEB是平行四边形,∴MB=OE=13,
∴AM=26-13=13,∴AM=OE,
∵AB∥OC,∴四边形MAOE是平行四边形,
∵四边形OABC为矩形,∴∠AOE=90°,∴四边形MAOE是矩形.
(3)存在,分两种情况:
①如图1,当点N在点M右侧时,
∵四边形OENM为菱形,∴OE=OM=MN=13,
在Rt△OAM中,由勾股定理得AM= = =12,
∴2t=12,解得t=6;
②如图2,当点N在点M左侧时,
∵四边形OEMN为菱形,∴OE=ON=MN=13,
在Rt△OAN中,由勾股定理得AN= = =12,
∴2t=12+13=25,解得t=12.5.
综上所述,t的值为6或12.5时,以O,E,M,N为顶点的四边形是菱形.(共17张PPT)
第19章　四边形
第1课时　多边形及其内角和
19.1　多边形
　多边形及其相关概念
1.下列图形不是凸多边形的是 ( )
A B C D
D
解析　根据凸多边形的概念“一个多边形,如果把它任何一
边双向延长,其他各边都在延长所得直线的同侧,这样的多边
形就是凸多边形”可知选项D中的图形不是凸多边形.
2.(2025安徽合肥一六八中学期中)从七边形的一个顶点出发
最多能画对角线的条数为 ( )
A.4　　 B.5　　 C.6　　 D.7
A
解析　从七边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为7-
3=4.
3.(2025江苏无锡期末)从n边形纸片(n≥4)的一个顶点出发,沿
对角线将其剪成三角形纸片,剪成的三角形纸片有________
个.(用含n的代数式表示)
(n-2)
解析　从n边形纸片(n≥4)的一个顶点出发,可以引出(n-3)条
对角线,沿对角线将其剪成三角形纸片,剪成的三角形纸片有n
-3+1=(n-2)个.
　多边形的内角和定理
4.(2025北京中考)若一个六边形的每个内角都是x°,则x的值为
( )
A.60　　 B.90　　 C.120　　 D.150
C
解析　∵六边形的内角和为(6-2)×180°=720°,且每个内角相
等,∴x°=720°÷6=120°,故x为120,故选C.
5.(2025山西吕梁孝义三模)如图所示的是厨房三角落地置物架
搁物板的示意图,其中∠A=∠B=∠E=90°,∠C=∠D,则∠C
的度数是___________°.
135
解析　∵五边形的内角和为(5-2)×180°=3×180°=540°,
∴∠C+∠D=540°-90°-90°-90°=270°,
又∵∠C=∠D,∴∠C= ×270°=135°.
6.(2025安徽合肥教育联盟月考)如图,∠ABC=110°,∠DEF=
140°,求∠A+∠C+∠D+∠F的度数.
解析　如图,连接AC,DF,
∵∠ABC=110°,∠DEF=140°,
∴∠1+∠2=70°,∠3+∠4=40°,
∴∠BAF+∠BCD+∠CDE+∠AFE=360°-70°-40°=250°.
7.【学科特色·易错题】(2025上海松江期中,★★☆)一个多边
形截去一个角后,得到的新多边形的内角和为540°,则原多边
形边数为 ( )
A.4　　 B.6
C.4或6　　 D.4或5或6
D
解析　设新多边形边数为n,∵新多边形的内角和为540°,
∴(n-2)×180°=540°,解得n=5,
若多边形截去一个角,则会存在以下三种情况:
多边形边数增加1,不变或减少1.如图,
∴原多边形边数为4或5或6.故选D.
易错警示 本题易误认为“截去一个角”只是去掉一个顶
点,不影响边数而忽略分类讨论.
8.(2025安徽合肥四十二中期末,★★☆)如图,在六边形ABCDEF
中,若∠A+∠B+∠C+∠D=520°,∠DEF与∠AFE的平分线交
于点G,则∠G等于 ( )
A.55°　　 B.65°　　 C.70°　　 D.80°
D
解析　六边形ABCDEF的内角和是(6-2)×180°=4×180°=720°,
∵∠A+∠B+∠C+∠D=520°,
∴∠DEF+∠AFE=720°-520°=200°,
∵EG平分∠DEF,FG平分∠AFE,
∴∠GEF+∠GFE= (∠DEF+∠AFE)= ×200°=100°,
∴∠G=180°-100°=80°.故选D.
9.【学科特色·教材变式】(2025安徽合肥四十八中期中,★★☆)
已知两个多边形的内角总和为1 080°,且边数之比为2∶3,
则这两个多边形的边数分别是___________.
4,6
解析　设这两个多边形的边数分别为2n,3n.
根据多边形内角和公式,得
(2n-2)×180°+(3n-2)×180°=1 080°,
解得n=2,所以2n=4,3n=6,
即这两个多边形的边数分别是4,6.
10.(2025河北邢台威县期中,★★☆)已知n边形的内角和θ=(n-
2)×180°.
(1)嘉嘉同学说:“θ能取900°.”琪琪同学说:“θ也能取600°.”
嘉嘉、琪琪的说法对吗 若对,求出边数n.若不对,请说明理由.
(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了540°,用列方程
的方法确定x.
解析 (1)嘉嘉的说法对.
当θ取900°时,900°=(n-2)×180°,解得n=7.
琪琪的说法不对.理由如下:
当θ取600°时,600°=(n-2)×180°,解得n= ,
∵n为整数,∴θ不能取600°.
(2)根据多边形的内角和公式得
(n-2)×180°+540°=(n+x-2)×180°,
解得x=3.(共37张PPT)
第19章　四边形
19.3.1　矩形
第1课时　矩形的性质
19.3　矩形、菱形、正方形
　矩形的定义及性质
1.(2024安徽阜阳界首期末)矩形是特殊的平行四边形,下列性
质矩形具有而平行四边形不一定具有的是 ( )
A.对边平行　　 B.对边相等
C.对角线互相平分　　 D.对角线相等
D
解析 A.矩形和平行四边形的对边都平行,故不合题意;B.矩
形和平行四边形的对边都相等,故不合题意;C.矩形和平行四
边形的对角线都互相平分,故不合题意;D.矩形的对角线相等,
平行四边形的对角线不一定相等,故符合题意.
2.(2025安徽池州四模)如图,两条平行线过矩形的两个顶点,若
∠1=α,则∠2= ( )

A.90°-α　　 B.90°+α　　 C.180°-α　　 D.180°+α
B
解析　如图,∵两条平行线过矩形的两个顶点,∠1=α,∴∠3=∠1
=α,由矩形的性质可得∠3+∠4=90°,∴∠4=90°-∠3=90°-α,
∵∠4+∠2=180°,∴∠2=180°-∠4=180°-(90°-α)=90°+α.

3.【学科特色·教材变式】(2025安徽合肥瑶海二模)如图,矩形
ABCD的两条对角线相交于点O,AD=12,DC=5,则△AOB的周
长是 ( )

A.13　　 B.15　　 C.17　　 D.18
D
解析　∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,AO=BO= AC,
∴△ACD是直角三角形,∵AD=12,DC=5,∴AC= =13,
∴AO+BO=13,∴△AOB的周长是13+5=18.
4.(2025山东青岛崂山二模)如图,在矩形OABC中,点B的坐标
是(5,2),则AC的长为_________.

解析　如图,连接OB,过点B作BH⊥x轴于点H,
∵点B的坐标是(5,2),∴BH=2,OH=5,
∴OB= = = ,
∵四边形OABC是矩形,∴AC=OB= .
5.(2025辽宁大连瓦房店期中)如图,在矩形ABCD中,点E在AD
上,且EC平分∠BED.
(1)求证:BE=BC.
(2)若AB=3,∠ABE=45°,求矩形ABCD的面积.

解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE,
∵EC平分∠BED,∴∠DEC=∠BEC,
∴∠BEC=∠BCE,∴BE=BC.
(2)∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,
∵AB=3,∠ABE=45°,∴AB=AE=3,
∴BE= AB=3 ,由(1)可知BE=BC=3 ,
∴矩形ABCD的面积=BC·AB=3 ×3=9 .
　直角三角形斜边上中线的性质
6.【新考向·尺规作图】(2025安徽滁州天长期末)如图,在△ABC
中,∠ACB=90°,D是AB边的中点,以点C为圆心,CD的长为
半径画弧,与线段BD相交于另一点E,连接CE.若BC=6,AC=8,
则CE的长为 ( )
A.3　　 B.4　　
C.5　　 D.6
C
解析　在Rt△ABC中,BC=6,AC=8,
∴AB= =10,
∵D是AB边的中点,∴CD= AB= ×10=5,
由题意得CE=CD=5.故选C.
7.(2025江苏扬州中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,
BC的中点,点F在线段DE的延长线上,且∠BFC=90°.若AC=4,
BC=8,则DF的长是_________.

6
解析　∵点D,E分别是边AB,BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,∴DE= AC= ×4=2,
在Rt△BFC中,E是斜边BC的中点,BC=8,
∴FE= BC= ×8=4,∴DF=DE+FE=2+4=6.
8.【学科特色·易错题】(2025安徽马鞍山含山一中期中)在一
张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点
与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的
直角梯形,其中三边AB,BC,CD的长分别是5,8,6,则原直角三角
形纸片的斜边长是_____________.
20或2
解析　连接BD,当BD是原直角三角形纸片斜边上的中线时,
补全三角形如图1,
在Rt△BCD中,BC=8,CD=6,
由勾股定理得BD= = =10,
则EF=2BD=20;
连接AC,当AC为原直角三角形纸片斜边上的中线时,补全三
角形如图2,在Rt△ABC中,AB=5,BC=8,
∴AC= = = ,
∴EF=2AC=2 .
综上所述,原直角三角形纸片的斜边长是20或2 .
易错警示 分清楚哪一个角是直角三角形的直角,再补全直
角三角形进行求解,否则会漏解.
9.(2025安徽黄山期中)如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,
CD=12,AD=13,点E是AD的中点,求CE的长.

解析　∵在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,
∴AC= = =5,
∵CD=12,AD=13,
∴AC2+CD2=52+122=169,AD2=169,
∴AC2+CD2=AD2,
∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°,
∵点E是AD的中点,AD为斜边,
∴CE= AD= ×13=6.5.

10.【学科特色·方程思想】(2025安徽合肥庐江二模,★★☆)
如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,AB=4,BC=8,点E为BC上
一点,连接DE,F为DE的中点,若OF=CF,则BE的长为 ( )
A. 　　 B.5　　
C. 　　 D.6
B
解析　∵四边形ABCD是矩形,
∴OB=OD,∠BCD=90°,
∵F为DE的中点,∴DE=2CF,BE=2OF,
∵OF=CF,∴DE=BE,设DE=BE=x,则CE=8-x,
∵DE2=CE2+CD2,∴x2=(8-x)2+42,解得x=5,
∴BE=5.故选B.
11.(2025上海浦东新区建平实验中学期末,★★☆)如图,在△ABC
中,∠BAC为钝角,AF,CE都是这个三角形的高,P为AC的中点,
若∠B=42°,则∠EPF的度数为___________.

96°
解析　∵CE⊥BA,∠B=42°,∴∠BCE=48°,
∵AF⊥BC,CE⊥BA,P为AC的中点,
∴PF= AC=PC,PE= AC=PC,
∴∠PFC=∠PCF,∠PEC=∠PCE,
∴∠EPF=2∠PCF+2∠PCE=2∠BCE=96°.
方法归纳 当已知条件中有直角三角形斜边的中点时,要首
先考虑运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解
题.
12.(2024安徽合肥庐江柯坦中学期中,★★☆)如图,在矩形纸
片ABCD中,CD=2,点E在AB上,若点B关于直线CE的对称点B'
落在AD上,∠B'CE=22.5°,则
(1)∠AEB'=__________°.
(2)BE的长为____________.
4-2
45
解析 (1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,∵点B关于直线
CE的对称点B'落在AD上,∴∠EB'C=∠B=90°,∠B'EC=∠BEC,
∵∠B'CE=22.5°,∴∠BEC=∠B'EC=90°-∠B'CE=90°-22.5°
=67.5°,∴∠AEB'=180°-∠BEC-∠B'EC=180°-67.5°-67.5°
=45°.
(2)由(1)易知△AEB'是等腰直角三角形,
∴AE=AB',设AE=AB'=x,则BE=B'E= x,
∵AE+BE=AB=CD,∴x+ x=2,∴x=2 -2,
∴BE=AB-AE=2-(2 -2)=4-2 .
13.【新考向·动点探究题】(2025安徽安庆月考,★★★)如图,
在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的边AB=4,BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小,当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时,矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.
(1)当∠OAD=30°时,求OD的长度及点C的坐标.
(2)设AD的中点为M.
①连接OM,MC,当四边形OMCD的面积为 时,
求OA的长.
②当点A移动到某一位置时,点C到点O的距离有最大值,请直接写出其最大值.
解析 (1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=6,AB=CD=4.
在Rt△AOD中,∠OAD=30°,AD=6,则OD= AD=3.
过点C作CE⊥y轴于点E,如图,
在矩形ABCD中,∠ADC=90°,
∴∠CDE+∠ADO=90°,
又∵∠OAD+∠ADO=90°,∴∠CDE=∠OAD=30°,
∴在Rt△CED中,CE= CD=2,∴DE= = =2 ,
∴OE=OD+DE=3+2 ,∴点C的坐标是(2,3+2 ).
(2)①∵M为AD的中点,
∴AM=DM=3,∴S△DCM= ×4×3=6,
又∵S四边形OMCD= ,
∴S△ODM= -6= ,∴S△OAD=2S△ODM=9,
设OA=x,OD=y,则 ∴x2+y2=2xy,
∴(x-y)2=0,∴x=y=3 ,∴OA=3 .
②点C到点O的最大值为8.详解:∵M为AD的中点,
∴DM=OM=3,∴CM= = =5,
连接OC,根据两点之间线段最短可得OC≤OM+CM=8,
∴当O,M,C三点在同一直线时,OC取得最大值,为8.

14.【新课标·推理能力】(2025安徽亳州期末)【填空】如图,
在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5.
(1)点D1是AB的中点,过点D1作D1C1⊥CB于点C1,连接CD1,则
△CD1C1的周长是_______.
(2)点D2是D1B的中点,过点D2作D2C2⊥CB于点C2,连接C1D2,则
△C1D2C2的周长是_______.
(3)点D3是D2B的中点,过点D3作D3C3⊥CB于点C3,连接C2D3,则
△C2D3C3的周长是_______.
……
【找规律】按上述操作进行下去,则△C9D10C10的周长是_____.
【猜想】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若△ABC的周长为l,按上
述操作进行下去,则△Cn-1DnCn的周长是_______(用含n和l的
式子表示,不用说明理由).
解析　【填空】(1)由条件可知AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,
∵点D1是AB的中点,∴D1C=D1B= AB= ,
∵D1C1⊥CB,∴D1C1∥AC,
∴C1C=C1B= BC=2,∴D1C1是△ABC的中位线,∴D1C1= AC= ,
∴△CD1C1的周长是 +2+ =6.
(2)同(1)可得△C1D2C2的周长=D2C1+C1C2+D2C2= (D1B+BC1+
D1C1)= × =3.
(3)同(1)可得△C2D3C3的周长=D3C2+C2C3+D3C3= (D2B+BC2+
D2C2)= × = .
【找规律】∵△CD1C1的周长是6= ×12,△C1D2C2的周长是3=
×12,△C2D3C3的周长是 = ×12,……,∴△C9D10C10的
周长是 ×12= = .
【猜想】由上述规律可得△Cn-1DnCn的周长是 .(共29张PPT)
第19章　四边形
19.2.2　平行四边形的判定
第2课时　平行四边形的判定定理2、3
19.2　平行四边形
　平行四边形的判定定理2
1.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是 ( )
A B C D
C
解析　由两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可得C中
四边形是平行四边形,故选项C符合题意,故选C.
2.【学科特色·教材变式】(2025广东阳江阳东模拟)如图,在△ABC中,∠B=49°,分别以点A,C为圆心,BC,AB长为半径作弧,两弧相交于点D,连接AD,CD,则∠ADC的度数为 ( )
A.41°　　 B.49°　　 C.51°　　 D.59°
B
解析　由题意得AD=BC,CD=AB,∴四边形ABCD是平行四边
形,∴∠ADC=∠B=49°.故选B.
3.如图,AB=CD=EF,且△ACE≌△BDF,则图中平行四边形有
_________个.
3
解析　∵△ACE≌△BDF,∴AC=BD,CE=DF,AE=BF,∵AB=
CD=EF,∴平行四边形有 ACDB, CEFD, AEFB,共3个.
4.【新考向·操作实践题】(2025宁夏银川唐徕中学一模)某同
学用两副三角尺拼出了如图所示内部有留白的四边形(直角
三角尺互不重叠).
(1)证明:拼出的四边形是平行四边形.(根据需要,自己标字母)
(2)请拼出另一种符合题意的图,并画出图形.
解析 (1)证明:如图,
由题意可得AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)如图,四边形ABCD即为所求.
　平行四边形的判定定理3
5.【新考向·尺规作图】(2025河北唐山丰润模拟)综合实践课
上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD
为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程.在嘉嘉的作图过程中,可
直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 ( )
A.两组对边分别平行　　
C
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分　　
D.一组对边平行且相等
解析　由作图可知OD=OB,OA=OC,
∴四边形ABCD是平行四边形.故选C.
6.(2025北京西城十三中分校期中)如图,在四边形ABCD中,AD
∥BC,对角线AC,BD交于点O,现有三个条件:①AD=BC;②OB=
OD;③AB=CD.其中可以判定四边形ABCD是平行四边形的是
_______(只写序号即可).
　①②
解析　①∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,
故①符合题意;②∵AD∥BC,∴∠OBC=∠ODA,又∵OB=OD,
∠BOC=∠DOA,∴△OBC≌△ODA(ASA),∴OA=OC,∴四边
形ABCD是平行四边形,故②符合题意;③由AD∥BC,AB=CD
不能判定四边形ABCD是平行四边形,故③不符合题意.
7.(2025安徽宿州砀山期末)如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高.点E在AB的延长线上,连接ED,∠AED=30°,过点A作AF⊥AB,与ED的延长线交于点F,连接BF,CF,CE.
(1)求证:四边形BECF为平行四边形.
(2)若AB=6,请直接写出四边形BECF的周长.
解析 (1)证明:∵AD是等边三角形ABC中BC边上的高,
∴BD=DC,∠BAD=∠CAD=30°,
∵∠AED=30°,∴∠EAD=∠AED,∴ED=AD,
∵AF⊥AB,∴∠BAF=90°.
∴∠DAF=90°-∠EAD=90°-30°=60°,
又∵∠ADF=∠AED+∠EAD=60°,
∴△ADF为等边三角形,∴AD=DF,
∴ED=DF,
又∵BD=DC,∴四边形BECF为平行四边形.
(2)四边形BECF的周长为6 +6.
详解:∵AB=6,∴BD=3,AD=3 ,
由(1)知△ADF为等边三角形,∴AF=AD=3 ,
∴BF= = =3 ,
∵∠ABC=60°,∠AED=30°,
∴∠BDE=30°,∴BE=BD=3,
∴四边形BECF的周长为2(BF+BE)=2×(3 +3)=6 +6.
8.(2025安徽安庆部分学校期中,★★☆)已知四边形的四条边
长分别为a,b,c,d,其中a,c为一组对边的长,且满足a2+c2+
=2ac,则四边形一定是 ( )
A.任意四边形　　
B.平行四边形
C.对角线相等的四边形　　
D.无法确定
B
解析　∵a2+c2+ =2ac,∴(a2+c2-2ac)+ =0,
∴(a-c)2+ =0,∴a-c=0,b-d=0,∴a=c,b=d,
∴该四边形为平行四边形.故选B.
9.(2025四川成都实验外国语学校月考改编,★★☆)如图,四边
形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的线段EF与AD,
BC分别交于点E,F.若AB=CD=4,AD=BC=5,OE=1.5,则四边形
EFCD的周长为__________.
12
解析　∵AB=CD=4,AD=BC=5,∴四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AO=CO,∴∠OAE=∠OCF,
又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA),
∴EO=FO=1.5,AE=CF,∴四边形EFCD的周长为CD+DE+EF+
CF=CD+DE+EF+AE=CD+AD+EF=4+5+1.5×2=12.
10.【新考向·开放探究题】(2025上海奉贤月考,★★☆)【阅读材料】
老师提出的问题 同学们的方案
如图,在平行四边形ABCD中,
AD线BD上如何确定点E,F的位
置,使四边形AECF为平行四
边形 方案1:分别作AE平分∠BAD,
CF平分∠BCD,交BD于点E,F
方案2:取BD的两个三等分点E,F
方案3:在BD上任取一点E,连
接AE,再以C为圆心,AE长为
半径画弧,交BD于点F
【解决问题】
(1)写出以上三种方案中的正确方案,并选择一种正确的方案,
在图中画出图形,并说明理由.
(2)除了这些同学们已经研究过的方案,你还有其他方案吗 请
写出方案,画出图形,并说明理由.
解析 (1)方案一、二正确,方案三不正确,理由如下:
方案一:如图1,连接AC交BD于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,AD∥CB,∠BAD=∠BCD,OA=OC,OD=OB,
∴∠ADE=∠CBF,
∵AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,
∴∠DAE= ∠BAD,∠BCF= ∠BCD,
∴∠DAE=∠BCF,
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(ASA),∴DE=BF,
∵OD=OB,∴OD-DE=OB-BF,∴OE=OF,
又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.
方案二:如图2,连接AC交BD于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OD=OB= BD,
∵点E,F是BD的两个三等分点,
∴DE=EF=BF= BD,
∴OE=OD-DE= BD- BD= BD,OF=OB-BF= BD- BD= BD,
∴OE=OF,
又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.
方案三:如图3,连接AC交BD于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,AD∥CB,OA=OC,OD=OB,
∴∠ADE=∠CBF,
依题意得AE=CF,
在△ADE和△CBF中,AD=CB,AE=CF,∠ADE=∠CBF,不符合全等三角形的判定条件,无法证明DE=BF,故方案三不正确.
(2)(答案不唯一)有,过点A,C分别作BD的垂线,垂足分别为E,F,
则四边形AECF是平行四边形.
理由:如图4,连接AC交BD于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,AD∥CB,
OA=OC,OD=OB,∴∠ADE=∠CBF,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AED=∠CFB=90°,
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(AAS),∴DE=BF,
∵OD=OB,∴OD-DE=OB-BF,∴OE=OF,
又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.
11.【新课标·推理能力】(2024江苏盐城射阳外国语学校月考)如图,平行四边形ABCD在平面直角坐标系中,点B,点C都在x轴上,其中OA=4,OB=3,AD=6,E是线段OD的中点.
(1)求点C,D的坐标.
(2)平面内是否存在一点N,使以A,D,E,N为顶点的四边形是平
行四边形 若存在,请直接写出点N的坐标.若不存在,请说明理由.
解析 (1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BC=AD=6,AD∥BC,
∵点B,C都在x轴上,点A在y轴上,OA=4,
∴D(6,4),
∵OB=3,∴OC=BC-OB=3,∴C(3,0).
(2)存在,点N的坐标为(-3,2)或(9,2)或(3,6).
详解:∵D(6,4),E为线段OD的中点,∴E(3,2),
已知A(0,4),设点N的坐标为(x,y),
如图,分情况讨论:①当AE为对角线时, = , = ,
解得x=-3,y=2,∴N(-3,2);
②当DE为对角线时, = , = ,
解得x=9,y=2,∴N'(9,2);
③当AD为对角线时, = , =4,解得x=3,y=6,∴N″(3,6).
综上所述,平面内存在一点N,使以A,D,E,N为顶点的四边形是
平行四边形,点N的坐标为(-3,2)或(9,2)或(3,6).
方法归纳 1.遇到平行四边形存在性问题,首先看平行四边形
的顶点顺序是否确定,如果确定就直接用中点坐标公式求解;
如果顶点顺序不确定,设出要求点的坐标,然后按照对角线进
行分类讨论求解.
2.中点坐标公式:若四边形ABCD是平行四边形,则
即平行四边形对角线互相平分,两对角线中
点坐标相同.(共33张PPT)
第19章　四边形
19.2.2　平行四边形的判定
第3课时　三角形的中位线
19.2　平行四边形
　平行线等分线段定理及其推论
1.(2025安徽滁州天长期末)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC和DF
被l1,l2,l3所截,已知AB=BC=5,EF=4,则DE的长为 ( )
A.2　　 B.3　　 C.4　　 D.
C
解析　∵直线l1∥l2∥l3,AB=BC,∴DE=EF=4.故选C.
2.如图,S△ABC=32,AC=8,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN
的长为_________.
4
解析　如图,过点B作BD∥MN交AC于点D,
∵S△ABC= AC·BD=32,AC=8,∴BD=8,
∵点M为BC的中点,∴点N是CD的中点,
∴MN是△BCD的中位线,∴MN= BD=4.
　三角形的中位线
3.(2025广东中考)如图,点D,E,F分别是△ABC各边的中点,∠A
=70°,则∠EDF= ( )

A.20°　　 B.40°　 C.70°　　 D.110°
C
解析　∵D,E分别是BC,AB的中点,∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AC,∴∠DEB=∠A=70°,同理可得DF∥AB,∴∠EDF=
∠DEB=70°.故选C.
4.(2025安徽合肥四十二中湖畔分校期末)如图,四边形ABCD
中,已知对角线AC,BD相交于点O,且AC=BD=6,点E,F,G,H分别
为四边形的边AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的周长为
( )
B
A.24　　 B.12　　
C.6 　　 D.无法确定
解析　在△ABC中,点E,F分别为AB,BC的中点,∴EF= AC,同
理得GH= AC,EH= BD,FG= BD,∴四边形EFGH的周长为
EF+FG+GH+EH= AC+ BD+ AC+ BD=AC+BD=6+6=12.
5.(2025江西南昌期中)如图,在正方形网格中,每个小正方形的
边长均为1,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,则线段DE
的长为_________.
解析　由勾股定理得BC= =5,∵点D,E分别为AB,AC的
中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE= BC= .
6.(2025安徽马鞍山含山一中期中节选)如图,点E是 ABCD对
角线AC上一点,延长BE至点F,使EF=BE,且BF与CD交于点G,
连接DF.
求证:DF∥AC.(要求用两种不同的方法解答)
证明　【证法一】如图1,连接BD交AC于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,
∵EF=BE,
∴OE是△BDF的中位线,
∴OE∥DF,即DF∥AC.
【证法二】如图2,在EA上取一点H,使EH=EC,连接BH,CF,HF.
∵EF=BE,∴四边形BCFH是平行四边形,
∴FH∥BC,FH=BC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴FH∥AD,FH=AD,
∴四边形ADFH是平行四边形,
∴DF∥AH,即DF∥AC.
　三角形的重心
7.(2025河南许昌一模)如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AC的
中点,AD与BE交于点G.若BG=6,则EG= ( )
A.4.5
B.4
C.3.5
D
D.3
解析　∵D,E分别是BC,AC的中点,AD与BE交于点G,∴点G为
△ABC的重心,∴EG= BG= ×6=3.
8.(2025江苏泰州姜堰期中)如图,点G是等腰直角三角形ABC
的重心,若CA=CB=3,则AG的长为_________.
解析　如图,延长AG交BC于点D,
∵点G是等腰直角三角形ABC的重心,
∴CD=DB= BC= ×3= ,AG= AD,
∵∠C=90°,AC=3,∴AD= = ,
∴AG= AD= × = .
9.(2025陕西渭南部分学校模拟,★★☆)如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,若AB=8,BC=6,则
EF的长是 ( )
A.4　　 B.3　　 C.2　　 D.1
D
解析　∵在△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,AB=8,BC=6,
∴BD= BC=3,DE= AB=4,DE∥AB,∴∠ABF=∠DFB,
∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠DBF,
∴∠DBF=∠DFB,∴DF=DB=3,∴EF=DE-DF=1.故选D.
10.(2025安徽合肥五十中期中改编,★★☆)如图,△ABC三边
上的中线AD,BE,CF相交于点G.若S△ABC=24,则图中阴影部分
的面积为 ( )
A.6　　　 B.8　　　 C.10　　　 D.12
B
解析　∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,
∵S△ABC=24,∴S△ABD=S△ACD= S△ABC=12,
由题意可知G是△ABC的重心,∴AG∶GD=2∶1,
∴S△ABG= S△ABD= ×12=8,S△ACG= S△ACD= ×12=8,
∵CF是AB边上的中线,∴AF=BF,
∴S△BFG= S△ABG= ×8=4,
∵BE是AC边上的中线,∴AE=CE,
∴S△CEG= S△ACG= ×8=4,
∴S阴影=S△BFG+S△CEG=4+4=8.
11.(2025安徽合肥长丰厚德中学期末,★★★)如图,∠AOB=60°,C,D是边OA上的两点,且OD=8,CD=2,点P是OB边上的一动
点,连接PD,点Q是PD的中点,连接CQ,则CQ的最小值为( )

A.1　　 B. 　　 C. 　　 D.2
B
解析　如图,过点P作PM∥CQ交OD于点M,
∵点Q为DP的中点,∴DQ=PQ,
∵PM∥CQ,∴CD=MC,∴点C是DM的中点,
∴CQ是△DMP的中位线,∴CQ= MP.
过点M作OB的垂线,垂足为N,则当点P在点N处时,MP取得最
小值,即为MN的长.
∵CD=MC=2,OD=8,∴OM=8-2-2=4.
∵∠AOB=60°,∴∠OMN=90°-60°=30°,
∴ON= OM=2,
∴MN= = =2 ,
则MP的最小值为2 ,∴CQ的最小值为 .故选B.
12.(2025安徽合肥包河期末,★★☆)如图,AD是△ABC的中线,
点E是AD的中点,点F是BE延长线与AC的交点,则 的值为
_________.
解析　如图,过点D作DH∥BF交AC于点H,
∵AD是△ABC的中线,
∴CD=DB,∴CH=HF,
∵DH∥BF,点E是AD的中点,
∴AF=HF,∴ = .
13.【新考向·规律探究题】(2025安徽铜陵一模,★★★)如图,
将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠,使点A落在BC边上的A1
处,称为第1次操作,折痕DE到BC的距离记为h1;还原纸片后,再
将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠,使点A落在DE边上的
A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC的距离记为h2.若h1=1.
(1)h2=_________.
(2)按上述方法不断操作下去,经过第2 025次
操作后得到的折痕D2 024E2 024到BC的距离记
为h2 025,则h2 025的值为_________.
2-
解析 (1)连接AA1,交折痕DE于点M,
根据折叠的性质可知AD=A1D,∠A1DM=∠ADM,
在△ADM和△A1DM中,
∴△ADM≌△A1DM,∴AM=A1M,∠AMD=∠A1MD=90°,
∴DM是△ABA1的中位线,AA1⊥DE,∴DE∥BC,
∴AA1⊥BC,DE是△ABC的中位线,
∵MA1=h1=1,∴AA1=2A1M=2,AM=A1M=1,
同理可得第二次折叠后D1E1是△ADE的中位线,点A到D1E1的距离= AA2= ,∴h2=2- = .
(2)由(1)可知第一次折叠后DE到BC的距离为1,
第二次折叠后D1E1到BC的距离为2- = ,
第三次折叠后点A到D2E2的距离为 ,
∴D2E2到BC的距离为2- ,……,
∴经过第2 025次操作后得到的折痕D2 024E2 024到BC的距离h2 025
=2- .
14.【新课标·应用意识】(2025江苏苏州姑苏立达中学月考)
小李和小王去公园玩标准的跷跷板(两边长度一样)游戏,两同
学越玩越开心,小李对小王说:“真可惜!我最高只能将你翘到
1米高,如果我们两边的跷跷板都再伸长相同的一段长度,那么
我就能将你翘得更高!”
(1)请你根据他们的对话,借助图形,计算出跷跷板的支点O与
地面的距离OP的长.
(2)你认为小李的话对吗
请作图分析,并说明理由.
解析 (1)小李对小王说“真可惜!我最高只能将你翘到1米
高”,情形如图1,
BC是地面,OP是标准跷跷板支架的高度,
AC是跷跷板一端能翘到的最高高度,
∵AC⊥BC,OP⊥BC,∴OP∥AC,
由题意可得BO=OA,∴BP=CP,∴OP是△ABC的中位线,
∵AC=1米,∴OP= AC=0.5米,
∴跷跷板的支点O与地面的距离OP的长为0.5米.
(2)小李的话不对.理由:若将两端同时都再伸长相同的一段长
度,假设为a米(a>0),如图2,
∵OA=BO,∴BO+a=OA+a,即DO=OE.
由(1)得OP=0.5米,
易得OP是△DEF的中位线,∴EF=2OP=1米.
∴跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度,跷跷板能翘到
的最高高度始终为支架OP高度的两倍,
∴不可能翘得更高,
∴小李的话不对.(共31张PPT)
第19章　四边形
19.3.3　正方形
　正方形的定义及其性质
1.(2025海南保亭期中)若正方形的边长为1,则该正方形的对
角线长为 ( )
A.1　　 B. 　　 C.2　　 D.4
B
解析　∵正方形的边长为1,∴对角线长为 = .
2.(2024山西吕梁交城期中)如图,正方形ABCD的对角线AC,
BD交于点O,点E是BC的中点,连接OE,若AB=4,则OE的长为
( )

A. 　　 B.2　　 C. +1　　 D.4
B
解析　∵正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∴AO=OC,
∵点E是BC的中点,∴OE是△ABC的中位线,∴OE= AB=2.
3.(2025安徽淮南期末)如图,在正方形ABCD中,点P是AB上任
意一点,PM⊥AC,PN⊥BD,垂足分别为M,N,若BD=10,则PM+
PN=_________.
5
解析　如图,设AC与BD相交于点O,在正方形ABCD中,AC⊥
BD,∠ABO=45°,∵PM⊥AC,PN⊥BD,
∴四边形PMON是矩形,∴PM=ON,易知PN=BN,
∴PM+PN=ON+BN=OB= BD=5.

4.【学科特色·教材变式】(2025安徽六安霍邱期末)如图,正方
形ABCO的顶点C,A分别在x轴,y轴上,BC是菱形BDCE的对角
线.若BC=12,BD=10,则点D的坐标是______________.

(20,6)
解析　如图,连接DE交BC于点M,
∵四边形BDCE为菱形,
∴BM=MC= BC=6,BC⊥DE.
在Rt△BDM中,BD=10,BM=6,
∴DM= =8.
∵正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴,y轴上,BC=12,
∴BC∥y轴,OC=12,∴点M的坐标为(12,6),
又∵DM⊥BC,DM=8,∴点D的坐标为(20,6).
5.(2025浙江中考)【问题背景】如图所示,某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分),点E在对角线BD上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成的,请写出△ABE
≌△CBE的证明过程.
(2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角”∠BAE的度数.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABD=∠CBD,
又∵BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS).
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,∠ADB=45°,
∵DE=DA,∴∠DAE=∠DEA,
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°,
∴∠DAE=∠DEA=67.5°,
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°.
　正方形的判定
6.【学科特色·教材变式】(2025湖北黄石期末)甲、乙、丙、
丁四位同学到工厂实习,工人师傅拿一把尺子要他们帮助检
测一个四边形构件是不是正方形,他们各自做了如下检测:
甲量得构件四边都相等;乙量得构件的两条对角线相等;
丙量得构件的一组邻边相等;
丁量得构件的四边相等且两条对角线也相等.
检测后,他们都说是正方形,你认为说得最有把握的是 ( )
D
A.甲　　 B.乙　　 C.丙　　 D.丁
解析　甲:∵构件四边都相等,∴此四边形是菱形;
乙:根据两条对角线相等,无法判断是什么四边形;丙:根据一
组邻边相等,无法判断是什么四边形;
丁:∵四边相等,∴此四边形是菱形,
∵两条对角线相等,∴此四边形是正方形.
7.(2025四川乐山中考)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形,现有三个条件可供选择:①AC⊥BD;②AC=BD;③∠ADC=90°.则正确的组合是____________(只需填一种组合即可).

　①②(或①③)
解析　∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形,∵AC=BD,∴四边形ABCD是正方形;
∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱
形,∵∠ADC=90°,∴四边形ABCD是正方形.
8.(2025安徽滁州期末)如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为
AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.
(1)求证:△BCE≌△DCF.
(2)当AB⊥BC时,请判断四边形AEOF的形状,并说明理由.

解析 (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,AB=BC=DC=AD,
∵点E,F分别为AB,AD的中点,
∴AE=BE=DF=AF,
在△BCE和△DCF中,
∴△BCE≌△DCF(SAS).
(2)当AB⊥BC时,四边形AEOF是正方形,理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,∴∠B=∠D,AB=BC=DC=AD,
∵点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,
∴AE=BE=DF=AF,OF= DC,OE= BC,OE∥BC,
∴AE=OE=OF=AF,∴四边形AEOF是菱形,
∵AB⊥BC,OE∥BC,∴OE⊥AB,∴∠AEO=90°,
∴四边形AEOF是正方形.

9.【学科特色·教材变式】(2025安徽芜湖南陵春谷中学期中,★★☆)在复习几种特殊四边形的关系时,某小组同学画出了如下的关系图,组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件,其中填写错误的是 ( )
A
A.①对角相等　　 B.②有一组邻边相等
C.③对角线互相垂直　　 D.④有一个角是直角
解析 A.对角相等的平行四边形不一定是矩形,故选项A符合
题意;B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形,故选项B不符
合题意;C.对角线互相垂直的矩形是正方形,故选项C不符合
题意;D.有一个角是直角的菱形是正方形,故选项D不符合题
意.故选A.
10.【学科特色·转化思想】(2025北京中考,★★☆)如图,在正
方形ABCD中,点E在边CD上,CF⊥BE,垂足为F.若AB=1,∠E-
BC=30°,则△ABF的面积为_________.

解析　如图,过点F分别作FM⊥BC,FN⊥AB,垂足分别为M,N,
连接AM,则∠FMC=90°,
∵四边形ABCD为正方形,∴∠ABC=90°,
∴∠ABC=∠FMC,∴AB∥FM,∴FN=BM,
∵S△ABF= AB·FN,S△ABM= AB·BM,∴S△ABF=S△ABM,
∵CF⊥BE,垂足为F,AB=1=BC,∠EBC=30°,∴∠BFC=90°,
CF= BC= ,∴∠CFM=90°-∠BCF=∠EBC=30°,∴CM= CF
= ,∴BM=BC-CM= ,∴S△ABF=S△ABM= ×1× = .
11.(2025安徽合肥包河期末,★★☆)如图,分别在正方形ABCD
的边AB,BC,CD,DA上截取相等的线段AE,BF,CG,DH,连接EF,
FG,GH,HE得四边形EFGH.
(1)求证:四边形EFGH是正方形.
(2)连接EG,若AB=7,BE=3,求EG的长.

解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∵AE=BF=CG=DH,
∴AB-AE=BC-BF=CD-CG=DA-DH,
∴BE=CF=DG=AH,
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS),
∴HE=EF=FG=GH,∠AEH=∠BFE,
∴四边形EFGH是菱形,
在△BEF中,∠BEF+∠BFE=90°,
∵∠AEH=∠BFE,∴∠BEF+∠AEH=90°,
∴∠HEF=180°-(∠BEF+∠AEH)=90°,
∴四边形EFGH是正方形.
(2)∵AB=7,BE=3,∴AE=AB-BE=4,AH=BE=3,
在Rt△AEH中,由勾股定理得HE= = =5,
∵四边形EFGH是正方形,
∴HE=GH=5,∠EHG=90°,
在Rt△EHG中,由勾股定理得EG= = =5 .

12.【新课标·推理能力】(2025安徽芜湖无为期末)综合实践.
【操作与发现】数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探
究活动,操作如下:
操作一:如图1,对折正方形纸片ABCD,得到折痕AC,把纸片展
平;
操作二:如图2,再次对折正方形纸片ABCD,得到折痕BD,把纸
片展平;
操作三:如图3,将边AB和边BC折叠后在BD上重合,得到折痕
BE和BF;把正方形纸片展平,折痕BE,BF与AC的交点分别为G,
H,连接EH,得图4.
根据以上操作,得到以下结论:
(1)∠EBF=_______°,△BEH的形状是_________.
【探究与证明】
(2)如图5,连接EF,过点H作MN∥CD,分别交AD,BC,EF于点M,
N,P.求证:四边形CFPH是菱形.
　　　　　
　　　
【拓展与计算】
(3)设AB=a,CH=b,求a与b之间的数量关系(用等式表示,不写过
程,直接写出结果).

解析 (1)45;等腰直角三角形.
详解:如图,连接EF,

由题意得∠ABE=∠DBE,∠CBF=∠DBF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠BAE=∠BCF=∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠DBE+∠CBF+∠DBF=90°,
∴2(∠DBE+∠DBF)=90°,
∴∠DBE+∠DBF=45°,即∠EBF=45°.
由折叠得∠ABD=∠CBD,
∴∠ABE=∠EBD=∠DBF=∠CBF=22.5°,
∴∠BEA=90°-∠ABE=67.5°,∠CFB=90°-∠CBF=67.5°,
∵∠DAC=∠ACD=45°,
∴∠AGE=180°-45°-67.5°=67.5°=∠AEG,
∴AE=AG,
同理可得∠CFH=∠CHF=67.5°,CH=CF,
∵∠BAE=∠BCF=90°,AB=BC,∠ABE=∠CBF=22.5°,
∴△ABE≌△CBF,∴AE=CF=CH,
∵∠BAC=45°,∠AHB=∠CHF=67.5°,
∴∠ABH=180°-45°-67.5°=67.5°=∠AHB,∴BC=AB=AH,
∵∠EAH=∠HCB=45°,AE=CH,
∴△AEH≌△CHB,∴EH=BH,
∴∠BEH=∠EBF=45°,∴∠BHE=90°,
∴△BHE为等腰直角三角形.
(2)证明:由(1)知AE=CF,∵AD=CD,∴DE=DF,
又∵∠ADC=90°,∴∠DCA=∠DFE=45°,
∴EF∥AC,∵MN∥CD,∴四边形CFPH是平行四边形,
由(1)知CH=CF,∴四边形CFPH是菱形.
(3)b=( -1)a.
详解:由(1)知,AB=AH=a,
∴AC=AH+CH=a+b,
在Rt△ABC中,AC= = a,
∴a+b= a,∴b=( -1)a.(共30张PPT)
第19章　四边形
19.2.2　平行四边形的判定
第1课时　平行四边形的判定定理1
19.2　平行四边形
　平行四边形的定义判定和判定定理1
1.如图,在 ABCD中,E,F是AD的三等分点,G,H是BC的三等分
点,则图中共有平行四边形 ( )
A.3个　　 B.4个　　 C.5个　　 D.6个
D
解析　∵E,F是AD的三等分点,G,H是BC的三等分点,∴AE=
EF=FD= AD,BG=GH=HC= BC.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴AE=BG,
EF=GH,FD=HC,AF=BH,ED=GC,∴题图中的平行四边形共有
6个,它们分别为平行四边形ABCD,平行四边形ABGE,平行四
边形ABHF,平行四边形EGHF,平行四边形EGCD,平行四边形
FHCD.故选D.
2.(2025河北廊坊固安期中)如图,给出了四边形ABCD的部分
数据,若使得四边形ABCD为平行四边形,还需要一条线段的
长度是3,这条线段是 ( )
A.AB　　 B.BC　　 C.CD　　 D.BD
B
解析　∵∠ADB=∠CBD=25°,∴AD∥CB,∴当AD=BC=3时,
四边形ABCD是平行四边形.故选B.
3.(2025河南周口期末)汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视
线的雨雪和尘土的重要工具,通常两个雨刮器的刷片长度相
同,即AB=CD(如图①).某时刻汽车雨刮器的位置如图②所示,
此时∠ABE=∠C,则下列说法错误的是 ( )
A.四边形ABCD是平行四边形
B
B.∠A=∠D
C.AD=BC
D.AD∥BC
解析　∵∠ABE=∠C,∴AB∥CD,
又∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A+∠D=180°,AD=BC,AD∥BC,
由已知条件无法证明∠A=∠D,故选项B说法错误,符合题意.
4.【学科特色·教材变式】(2025江苏南京江宁月考)小明是这样画平行四边形的:如图,将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到
△A1B1C1的位置,此时四边形ABB1A1就是平行四边形.小明这样
做的依据是_________________________________________.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
解析　根据平移的性质,得到AB∥B1A1,AB=B1A1,
∴四边形ABB1A1是平行四边形.
5.【新考向·条件开放题】(2025安徽六安裕安月考)如图,E,F
是平行四边形ABCD对角线BD上的两点,请你添加一个适当
的条件:____________________,使四边形AECF是平行四边形.
BE=DF(答案不唯一)
解析　要使四边形AECF是平行四边形,就要使AE∥CF,AE=CF,就要使△AEB≌△CFD,由四边形ABCD是平行四边形易得AB=
CD,∠ABE=∠CDF,再添加条件BE=DF或BF=DE可用SAS证得
△AEB≌△CFD,或添加条件∠BAE=∠DCF或∠EAD=∠FCB用ASA证得△AEB≌△CFD,或添加条件∠AEB=∠DFC或∠AEF=∠CFE或AE∥FC用AAS证得△AEB≌△CFD.同理,通过补充条件证得△AFD≌△CEB亦可.
6.【学科特色·教材变式】(2025安徽合肥庐阳期末)如图,在由
边长为1个单位的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点都在
正方形网格的格点上.
(1)请在图中作出 ABCD.
(2)只用无刻度直尺作图:作射线BM,使得BM平分∠ABC.(保留
作图痕迹)
解析 (1)如图,四边形ABCD即为所求.
(2)如图,射线BM即为所求.
7.(2025安徽亳州蒙城中学期中)如图,在四边形ABCD中,AB∥
CD,AD⊥CD,∠B=45°,延长CD到点E,使DE=DA,连接AE.
(1)求证:AE=BC.
(2)若AB=3,CD=1,求四边形ABCE的面积.
解析 (1)证明:∵AB∥CD,∴∠C+∠B=180°,
∵∠B=45°,∴∠C=135°,
∵DE=DA,AD⊥CD,∴∠E=45°,
∴∠E+∠C=180°,∴AE∥BC,又AB∥CE,
∴四边形ABCE是平行四边形,∴AE=BC.
(2)∵四边形ABCE是平行四边形,
∴AB=CE=3,∴AD=DE=CE-CD=2,
∴四边形ABCE的面积=3×2=6.
8.(2025安徽中考,★★☆)在如图所示的 ABCD中,E,G分别
为边AD,BC的中点,点F,H分别在边AB,CD上移动(不与端点重
合),且满足AF=CH,则下列为定值的是 ( )
A.四边形EFGH的周长
C
B.∠EFG的大小
C.四边形EFGH的面积
D.线段FH的长
解析　如图,连接EG,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,
∵E,G分别为边AD,BC的中点,∴AE=DE=BG=CG,
∴四边形ABGE和四边形DEGC是平行四边形,
∴S△EGF= S ABGE,S△EHG= S DEGC,
∴四边形EFGH的面积= S ABCD,
∴四边形EFGH的面积是定值.故选C.
9.(2025河北廊坊香河模拟,★★☆)如图,四边形ABCD为平行
四边形,E为AB的中点.下列两个方案中,能得到以A,B,C,F为顶
点的四边形为平行四边形的是 ( )
D
方案一: F为DA和CE延长线的交点 方案二:
F为DC和AG延长线的交点
A.只有方案一　　 B.只有方案二
C.两个方案都不行　　 D.两个方案都行
解析　方案一:∵四边形ABCD是平行四边形,点E为AB的中
点,∴AD∥BC,AE=BE,
∴∠FAE=∠CBE,∠AFE=∠BCE,
在△AFE和△BCE中,
∴△AFE≌△BCE(AAS),∴AF=BC,
又∵AF∥BC,∴四边形AFBC是平行四边形.
方案二:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,
如图,设AC,BD交于点H,则点H为AC的中点,
∵点E为AB的中点,∴点G为△ABC的重心,
∴AI为BC边上的中线,∴BI=CI,
∵AB∥CF,∴∠BAI=∠CFI,∠ABI=∠FCI,
∴△ABI≌△FCI(AAS),∴AB=CF,
∵AB∥CF,∴四边形ABFC是平行四边形.
综上,方案一和方案二都能得到平行四边形.故选D.
10.(2025浙江杭州西湖公益中学月考,★★☆)如图,将三角形
ABC沿AB方向平移到三角形DEF的位置,若AE=10,BD=2,三角
形ABC的面积为10,则四边形ACFD的面积为__________.
30
解析　如图,连接CD,由平移的性质得AD∥CF,AD=CF,DE=
AB,∴四边形ACFD是平行四边形,∵AE=10,BD=2,∴AB+DE=
AE-BD=8,∴AB=DE=4,∴BD= AB,∴S△CBD= S△ABC= ×10=5,
∴S△ACD=S△ABC+S△CBD=10+5=15,∴S ACFD=2S△ACD=30.
11.(2025江苏南通如皋期末,★★☆)如图,在四边形ABCD中,
AD∥BC,AC⊥BD,点E为AD上一点,连接BE,CE.若AE=DE=BC
= ,则BE2+CE2=__________.
25
解析　如图,设AC与BD相交于点O,
∵AD∥BC,AE=BC= ,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴CE=AB,同理可得BE=CD,
∵AC⊥BD,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°,
∴OA2+OB2+OD2+OC2=AB2+CD2,
∵OA2+OB2+OD2+OC2=AD2+BC2=(2 )2+( )2=25,
∴AB2+CD2=25,∴BE2+CE2=25.
12.【学科特色·方程思想】(2024青海西宁中考,★★☆)如图,
在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AC上,过点D作DE∥
BC交AB于点E,延长BC到点F,使CF=AD,连接CE,DF.
(1)求证:四边形DFCE是平行四边形.
(2)若∠DCE=30°,AC=2,求FC的长.
解析 (1)证明:∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=∠B=45°,
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ACB=90°,∠AED=∠B=45°,
∴∠A=∠AED,∴AD=DE,
∵FC=AD,∴DE=FC,
又∵DE∥FC,∴四边形DFCE是平行四边形.
(2)由(1)可知,FC=DE,∠ADE=90°,
∴∠CDE=90°,
设AD=DE=FC=x,则DC=AC-AD=2-x,
在Rt△DEC中,∠DCE=30°,∴CE=2DE=2x,
由勾股定理得DE2+CD2=CE2,即x2+(2-x)2=(2x)2,
解得x= -1(舍负),∴FC= -1.
13.【新课标·推理能力】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD
=12 cm,BC=15 cm,动点P,Q分别从A,C同时出发,点P以1 cm/s
的速度由A向D运动,点Q以3 cm/s的速度由C向B运动,其中一
动点到达终点时,另一动点随之停止运动,设运动时间为t秒.
(1)AP=_______cm,BQ=_______cm.(用含有t的式子表示)
(2)当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时,求出t
的值.
(3)当t为何值时,点P,Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成
的四边形是平行四边形
解析 (1)t;(15-3t).
(2)设点A到BC的距离为h cm,
∵AD∥BC,四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍,
∴ ×(12-t+3t)×h=2× ×(t+15-3t)×h,∴t=3.
(3)已知AD∥BC,可分情况讨论:
①当AP=BQ时,四边形APQB是平行四边形,
此时t=15-3t,∴t= ;
②当PD=CQ时,四边形PDCQ是平行四边形,
此时12-t=3t,∴t=3;
③当AP=CQ时,四边形APCQ是平行四边形,
此时t=3t,∴t=0(不合题意,舍去);
④当PD=BQ时,四边形PDQB是平行四边形,
此时12-t=15-3t,∴t= .
综上所述,当t= 或3或 时,点P,Q与四边形ABCD的任意两个
顶点所形成的四边形是平行四边形.(共36张PPT)
第19章　四边形
第1课时　菱形的性质
19.3.2　菱形
　菱形的定义及其性质
1.(2025安徽芜湖期末)如图所示的是汽车常备的一种千斤顶
的原理图,其基本形状是一个菱形,中间通过螺杆连接,转动手
柄可改变∠BCD的大小(菱形的边长不变).当∠BCD=52°时,
∠BAC的度数为 ( )
A.26°　　 B.27°　　 C.28°　　 D.29°
A
解析　∵四边形ABCD是菱形,∴∠BAD=∠BCD=52°,
∵AC是对角线,∴AC平分∠BAD,
∴∠BAC= ∠BAD= ×52°=26°.故选A.
2.(2025安徽C20教育联盟二模)如图,在菱形ABCD中,对角线
AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=2,则菱形ABCD的
周长为 ( )

A.4　　 B.16　　 C.12　　 D.20
B
解析　∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,BO=DO,又
∵点E是CD的中点,∴OE是△BCD的中位线,∴BC=2OE=2×2
=4,∴菱形ABCD的周长=4×4=16.故选B.
3.(2025安徽宿州泗县月考)如图,在平面直角坐标系中,菱形
OMNP的顶点P的坐标是(3,4),则顶点N的坐标是___________.
(8,4)
解析　如图,延长NP交y轴于点A,
∵四边形OMNP为菱形,
∴NP∥x轴,OP=PN,
∴∠PAO=90°.
∵点P的坐标是(3,4),
∴OA=4,AP=3,
∴点N的纵坐标为4,OP= = =5,∴PN=OP=5,
∴AN=3+5=8,
即N的横坐标是8,∴点N的坐标为(8,4).
4.(2025湖南永州祁阳期末)如图,在菱形ABCD中,AC为对角
线,E是AC上的点,连接BE,DE.
(1)求证:BE=DE.
(2)若BE⊥DE,∠BAD=60°,AB=4,求CE的长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴CB=CD,∠BCE=∠DCE,
∵CE=CE,∴△BCE≌△DCE(SAS),∴BE=DE.
(2)如图,连接BD交AC于点O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AO=OC,OB=OD= BD,AC⊥BD,
∵∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形,
∴BD=AB=4,∴OB=OD= BD=2,
∴OC=OA= =2 ,
∵BE⊥DE,∴OE=OB=OD=2,
∴CE=OC-OE=2 -2.
　菱形的面积
5.(2025安徽安庆外国语学校月考)如图,菱形ABCD的对角线
AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边的中点,连接EF.若EF=
2 ,BD=3,则菱形ABCD的面积为 ( )
A. 　　 B.3 　　 C.6 　　 D.12
C
解析　∵E,F分别是AD,CD边的中点,EF=2 ,
∴AC=2EF=4 ,
∴菱形ABCD的面积= AC·BD= ×4 ×3=6 .
6.(2025河北保定竞秀期末)如图,四边形ABCD是菱形,AC=6,
BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是 ( )

A. 　　 B.6　　 C. 　　 D.12
A
解析　∵四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,∴AC⊥BD,OC=
OA= AC=3,OB=OD= BD=4,∴∠BOC=90°,∴BC=
= =5,∵AE⊥BC,∴S菱形ABCD=5AE= ×6×8,
∴AE= .故选A.
7.【学科特色·转化思想】(2025福建中考)如图,菱形ABCD的
对角线相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E,F.
若OA=2,OD=1,则△AOE与△DOF的面积之和为_________.
1
解析　∵四边形ABCD是菱形,∴BO=DO=1,CD∥AB,DB⊥
AC,∴∠ODF=∠OBE,∠OFD=∠OEB,
∴△DOF≌△BOE(AAS),∴S△DOF=S△BOE,∴△AOE与△DOF的
面积之和=S△BOA= ×2×1=1.
8.【学科特色·教材变式】(2025河北廊坊霸州期中)如图,菱形
花坛ABCD的边长为20 m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建
两条小路AC和BD(小路的宽度忽略不计).
(1)求AC和BD的长.
(2)求菱形花坛ABCD的面积.
解析 (1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=20 m,AC⊥BD,AC=2AO,BD=2OB,BD平分∠ABC,
∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∠ABO=30°,
∴AC=AB=20 m,∴AO=10 m,
∴OB= =10 m,∴BD=2OB=20 m.
(2)菱形花坛ABCD的面积= AC·BD= ×20×20 =200 (m2).
方法归纳　计算菱形面积的方法:(1)底×高;(2)四个小直角三
角形的面积之和;(3)两条对角线长度乘积的一半.

9.【新考向·尺规作图】(2025江苏徐州沛县模拟,★★☆)如图,
在边长为2的菱形ABCD中,分别以点A,B为圆心,大于 AB的
长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN,交AD于点E,
连接CE.若∠B=135°,则CE的长为( )
A
A. 　　 B. +1　　 C. +1　　 D.2
解析　如图,连接BE,由作图痕迹可知,直线MN垂直平分AB,
∴AE=BE,∵四边形ABCD为菱形,∴∠A+∠ABC=180°,
∵∠ABC=135°,∴∠A=45°,∴∠EBA=∠A=45°,∴∠AEB
=90°,∵AB=2,∴BE=AE= ,∵四边形ABCD为菱形,∴AD∥
BC,AB=BC=2,∴∠EBC=∠AEB=90°,∴CE= = = .
10.(2025安徽合肥期中,★★☆)如图,在菱形ABCD中,∠A=70°,
连接BD,将菱形ABCD沿过点B的直线折叠,使得点C的对应
点F恰好落在BD上,折痕BE交CD于点E,延长EF交AD于点G,
则∠DGE的度数为 ( )

A.45°　　 B.50°　　 C.55°　　 D.60°
C
解析　∵四边形ABCD是菱形,∠A=70°,
∴AD∥BC,∠C=∠A=70°,∠ABC=110°,
∵BD是对角线,∴∠CBD= ∠ABC=55°,
∴∠ADB=∠CBD=55°,
由折叠可知,∠BFE=∠C=70°,∴∠DFG=70°,
∴∠DGE=180°-∠DFG-∠ADB=55°.
11.【学科特色·分类讨论思想】(2025安徽六安裕安月考,★
★☆)已知菱形的边长为5,其中一条对角线的长恰好是一元
二次方程x2-10x+24=0的一个根,则这个菱形的面积是( )
A.24　　 B.48　　
C.24或4 　　 D.48或8
C
解析　∵x2-10x+24=0,∴(x-6)(x-4)=0,解得x1=6,x2=4,∴菱形的
一条对角线长为6或4,设菱形的两条对角线长分别为d1和d2,
∵菱形的对角线互相垂直且平分,∴ + =52,整理得 +
=100.
当d1=6时,62+ =100,解得d2=8(负值舍去),此时面积为 ×6×8=
24;当d1=4时,42+ =100,解得d2=2 (负值舍去),此时面积为 ×4×2 =4 .
∴菱形的面积为24或4 .
12.【新考向·动点探究题】(2025黑龙江绥化中考,★★☆)如
图,在菱形ABCD中,AB=4,对角线BD=4 ,点P是边CD的中点,
点M是对角线BD上的一个动点,连接PM,CM,则PM+CM的最
小值是__________.
2
解析　如图,作点P关于BD的对称点P',连接CP',MP',则PM=P'M,
∴PM+CM=P'M+CM≥CP',∴PM+CM的最小值即为CP'的长.
连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是菱形,P为CD中点,
∴AD=CD=AB=4,P'在AD上,AC⊥BD,DO= BD=2 ,AO= AC,
根据勾股定理,得AO= =2,
∴AC=4=AD=CD,∴△ACD为等边三角形.
∴CP'⊥AD,AP'= AD=2.
在Rt△ACP'中,CP'= =2 .
∴PM+CM的最小值为2 .

13.【新课标·推理能力】(2025安徽芜湖期末)如图,在平面直角坐标系中放置一菱形OABC,已知∠ABC=60°,点B在y轴上,OA=1.将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动依次翻转,每次翻转60°,连续翻转2 025次,点B的落点依次为B1,B2,B3,…,则点B2 025的坐标为 ( )
D

A. 　　 B.
C.(1 350.5,0)　　 D.(1 350,0)
解析　∵OA=1,∴菱形OABC的边长为1,∴OB2=2×1=2,如图,
画出第4次、第5次、第6次、第7次翻转后的图形,
由图可知每翻转6次,图形向右平移4个单位,
∵2 025=337×6+3,337×4=1 348,
∴点B3向右平移1 348个单位得到点B2 025,
∵点B3的坐标为(2,0),
∴点B2 025的坐标为(1 350,0).
方法指引　如果一个菱形的内角为60°或120°,那么有下列结
论:(1)两边与较短对角线可构成等边三角形,长对角线长为边
长的 倍;(2)含60°角的菱形的面积= ×边长的平方.
微专题　 含60°角的菱形
1.(2025安徽宣城宁国二模)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交
于点O,∠CBD=30°,过点O作OE⊥BC于点E.若OE= ,则菱
形ABCD的面积为 ( )

A.4　　 B.4 　　 C.8　　 D.8
D
解析　由题意可得AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,
∵∠CBD=30°,OE⊥BC,OE= ,∴OB=2 ,
∴OC=2,∴BD=2OB=4 ,AC=2OC=4,
∴菱形ABCD的面积= AC·BD= ×4×4 =8 .
2.(2025安徽淮南田家庵期中)如图,在菱形ABCD中摆放了一副三角尺,等腰直角三角尺DEF的一条直角边DE在边AD上,直角顶点E为AD的中点,含30°角的直角三角尺BHG的斜边GB在边
AB上,连接AC,若DF=4,则AC的长为 ( )
D
A.8　　 B.4 　　 C.8 　　 D.4
解析　如图,连接BD交AC于O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AC=2OA,
∵∠DEF=∠BHG=90°=∠EHG,∴DE∥GH,BE⊥AD,
∴∠DAB=∠BGH=60°,
∵E是AD的中点,∴DE=AE=EF,在Rt△DEF中,DE2+EF2=DF2,
∴DE=2 ,∴AD=2DE=4 ,
∵∠DAO= ∠DAB=30°,∴DO= AD=2 ,
∴AO= =2 ,∴AC=4 .故选D.

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