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(共21张PPT)
第六章
圆
第25节
圆的有关概念及性质
圆的
平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆
定义
圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形
定义
连接圆上任意两点的线段叫做弦
弦
直径
经过①圆心的弦叫做直径：直径是圆内最长的弦
定义
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧
半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆
弧
劣弧
小于半圆的弧叫做劣弧如图，AC,BC,AB
优弧
大于半圆的弧P叫做优弧.如图，ABC,ACB,BAC
等弧
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧
圆心角
顶点在②圆心的角叫做圆心角.如图，∠AOB
圆周角
顶点在3圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.如图，∠ACB
2.圆的性质：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过④圆心的直线.圆是中心对称图形，对称中心为
对称性
⑤圆心
旋转不变性
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合
3.确定圆的条件：
(1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆
考点2)弦、弧、圆心角的关系（贵州3年1考）
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑥相等
如图，有以下三个元素：
定理
所对的弦⑦相等
(1)∠AOB=∠COD;
B
(2)AB=CD;
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
(3)AB=CD.
推论
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都
只要满足其中一个，
分别⑧相等
另外两个一定成立，即“知一求二”
易错提醒
(1)在运用定理、推论时，一定要有“同圆或等圆”的前提条件.若给出等弧，则确定是在同圆或等圆中，而
等弦和长度相等的弧不一定是在同圆或等圆中；
(2)在同圆或等圆中，若AB=2A'B′，则∠AOB=2∠A'OB'成立，但AB=2A'B'一定不成立：
考点3)垂径定理及其推论
如图，有以下五个元素：
垂直于弦的直径⑨平分这条弦，并且10平分
B
定理
弦所对的弧
D
(1)AC=BC;(2)AD=BD;
平分弦（不是直径）的直径1①垂直于弦，并且
(3)CD⊥AB;(4)AE=BE;
推论
12平分弦所对的弧
(5)CD是⊙0的直径
只要满足其中两个，另外三个一定成立，即
“知二求三”
考点4)圆周角定理及其推论（贵州3年2考）
如图，AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的
定理
13一半
D
(1)同弧或等弧所对的圆周角4相等；
B
推论
(2)直径所对的圆周角是1⑤直角；90°的圆周角
LBAC三D∠B0C,LB4C
所对的弦是16直径
∠ADB=90°(共32张PPT)
考点1)点、直线与圆的位置关系
类别
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
相离
相切
相交
数量关系
d①>r
d2=r
d③d④>r
d⑤=r
d6dA
图示
d A
B
B
B
没有公共点
有一个公共点
有两个公共点
考点2)切线的性质与判定（贵州3年2考）
性质
圆的切线⑦垂直于过切点的半径
判定
过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
判定方法
(1)线与圆公共点明确：连半径，证垂直；(2)线与圆公共点不明确：作垂直，证半径
考点3)切线长与切线长定理
过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫
如图，P是⊙0
切线长
做这点到圆的切线长
外一点，PA,PB
分别切⊙0于
切线长
A,B两点，则PA
过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长⑧相等
定理
=PB
考点4)三角形的外接圆和内切圆（贵州3年1考）
定义
图形
圆心
结论
和三角形三边都相
OD=OE=OF,∠EOD+∠C=
三角形的
切的圆可以作出一
E
内心：三角形三条⑨角
180°，∠AOB=90°+
内切圆
个，并且只能作出
平分线的交点
C,
一个
A
B
CE=CD
三角形的
三角形的三个顶点
外心：三角形三边10垂
OA=OB=OC,∠BOC=
外接圆
确定一个圆
直平分线的交点
2∠BAC
B
知识拓展
任意三角形的内切圆
直角三角形的内切圆
B
B
ab
r=-
等面积法)》
a+b+c
r=-
等面积法)
a+b+c
r=
A
+h-C(切线长定理)
b
b
例
题多问中考母题·衍生变式
（2024·遂宁T24变式)
如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是AC的中
点，DW⊥AB于点E,交AC于点F,交⊙O于点N,连
接DB交AC于点G
(1)若∠CGB=65°，求∠CAB的度数；
(2)求证：AF=DF;
(3)延长GD至点M,使DM=DG,连接AM.求证：AM是
D
C
M
G
E
A
B
E
0
N
(1)解：40°.
(2)证明：如图，连接AD.
M
设OD交AC于点I.
.·OD=OA,∴.∠ODA=∠OAD.
B
E
.D是AC的中点，.OD⊥AC.
.DN⊥AB,∴.∠OED=∠OIA=90°，
.∴.∠ODF=∠OAF=90°-∠AOD,
.∠ODA-∠ODF=∠OAD-∠OAF,
.∠FDA=∠FAD,.AF=DF.(共19张PPT)
考点1扇形的弧长与面积的相关计算（贵州3年1考）
圆的周长：C=2πr
弧长
nn
扇形弧长：1=①
180
B
圆的面积：S=πr2
r为⊙0的半径，
面积
扇形面积：S扇形=2
n°为AB所对的圆心角的度数，
360
2
L是扇形AOB的弧长
考点2)圆锥的相关计算
(1)圆锥的侧面展开图是3扇形；
圆锥与其
(2)圆锥的母线长等于其侧面展开图（扇形）的④半径；
侧面展开
(3)圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图（扇形）的弧长，即2πr=
nTl
圆锥
图之间的
180
关系
(4)圆锥的母线长1，底面圆半径r和圆锥的高h这三个量之间的数量关系是
5r2+h2=12
侧面积
S圆锥侧=
Tl2
三πrl
360
表面积
S圆维表
=S圆锥侧+S
nTl2
锥底
+ur2=url+ur2
360
1
体积
V圆锥=
Tr2h
3
考点3)圆与正多边形
公式
图示
180°·（n-2)
360°
内角、外角
正n边形的每个内角为
每个外角为
n
360°
中心角
0=
n
R
边心距
中心角：0边长：a
正多边形的周长
C=na
边心距：r
半径：R
正多边形的面积S=。Cr
考点1
扇形弧长的相关计算
1.（2024·贵州)如图，在扇形纸扇中，若∠AOB
=150°，0A=24,则AB的长为
C
A.30m
B.25π
C.20m
D.10π
A
B
O
2.生活情境题(2025·苏州)“苏州之眼”摩天
轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个
回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所
示.该摩天轮高128m(即最高点离水面平
台MW的距离)，圆心O到MW的距离为68
m,摩天轮匀速旋转一圈用时30min.某轿
厢从点A出发，10min后到达点B,此过程
中，该轿厢所经过的路径（即AB)长度为
40T
m.（结果保留π)
且23232
宝
B
O
A
M
N
B
”““*他他。◆、小
C
A
3.（2025·铜仁江口县三模)如图，小明同学把
块等腰直角三角尺的顶点A放在半径为3
的圆形铁丝上，三角尺的斜边及一条直角
边分别与圆交于点B,C,则图中BC的长为
3π
2
80°，半径OA=3,C是AB上一点，连接OC,
D是OC上一点，且OD=DC,连接BD.若
T
BD⊥OC,则AC的长为
3
A
C
D
O
B
B
F
C
L
G
H
A
E K
D
B
5.(2025·兰州)如图，黄金矩形ABCD中
AD
/5-1
以宽AB为边在其内部作正方形
2
ABFE,得到四边形CDEF是黄金矩形.依此
作法，四边形DEGH、四边形EGL也是黄
金矩形.依次以点E,G,为圆心作AF,FH,
HK,曲线AFHK叫做“黄金螺线”.若AD
2,则“黄金螺线”AFHK的长为
(W5-1)(共17张PPT)
类型1)
定点定长
例1】
如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,若∠BAC=25°，
∠CAD=75°，则∠BDC=
12.5o,∠DBC=37.5
o.
B
模型特点：
情形一：动点到定点的距离固定；
情形二：三条共端点的线段相等
例2如图，在矩形ABCD中，BC=5,CD=12,M为边AB上一
动点，沿DM翻折△MDA得到△MDA,,则BA,长的最小值是
A M
B
D
C
图解思路：
根据折叠的性质
DA=DA
B
点A,在以，点D为圆心，
DA的长为半径的圆上
当BA,所在的直线经过圆心
D时，BA的长取得最小值
解题策略
1.利用圆周角定理求角度
2.当圆上的动点M,圆外一定点
N,圆心O三点共线时，MN取得
最值：当点M位于点O,N之间
时，MW取得最小值，如图①；当
点O位于点M,N之间时，MW取
得最大值，如图②
N M
L
M
N
2
类型
2
定弦对定角
例3如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB
=2,BC=3,P是△ABC内部的一个动点，且
满足∠PAB=∠PBC,连接CP,则线段CP长
的最小值为√10-1
图解思路：
∠ABC=90°，∠PAB=∠PBC
∠APB=90°
点P在以AB为直径的圆上
B
当CP所在直线经过圆心O时，CP在图中点P'处取得最小值
模型特点：线段固定，且该线段所
对的角度固定
解题策略：
1.确定定弦、定角度数：当0°<α<
90°时，点C在优弧上运动，如图
①：当α=90°时，点C在整个圆上
运动，如图②；当90°C在劣弧上运动，如图③
C
C
a
A
B
2
A
B
①
2
O
360°-2a
A
B
C
3
类型
3
四点共圆
例4】
如图，D为平面内△ABC外一动点，连接
AD,BD,CD,∠ABD+∠ACD=180°，AD平分
∠CAB.若BD=3,则CD的长为
3
A
B
C
D
∠ABD+
A.B.D.C
∠ACD=180°
四，点共圆
BD-CD
根据孤、弦的
关系求长度
AD平分
∠CAB
例5如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB
A
E
=4,D为AB边的中点，连接CD,过点B
作BE⊥CD交CD的延长线于点E.若
B
5V3
∠ACD=30°，则△CBE的面积为
2
模型特点：
情形一：对角互补的四边形的四个
顶点共圆；
情形二：两个共斜边的直角三角形的
四个顶点共圆，圆心为斜边的中点，

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