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广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·湛江期中）若复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由，
可得，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】根据复数的除法运算法则，从而求得复数z，再利用共轭复数的定义得出复数，结合复数求模公式，从而得出共轭复数的模.
2．（2025高一下·湛江期中）已知直线a在平面α外，则（　　）
A．a∥α
B．直线a与平面α至少有一个公共点
C．a∩α=A
D．直线a与平面α至多有一个公共点
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】因为a在平面α外，所以a∥α或a∩α=A，所以直线a与平面α至多有一个公共点.
故答案为：D.
【分析】利用直线在平面外，可得直线a与平面α至多有一个公共点，即可得出结论。
3．（2025高一下·湛江期中）是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（　　）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由，，得，
因为，，三点共线，所以，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据向量的线性运算求向量，再利用向量共线列式求值即可.
4．（2025高一下·湛江期中）知 为 的三个内角 的对边，向量 ．若 ，且 ，则角 的大小分别为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；正弦定理
【解析】【解答】由 可得 即 所以角 ，
因为
所以 可得
故答案为：C
【分析】根据题意由数量积的坐标公式代入数值即可得出，由此即可求出结合已知条件利用正弦定理即可得到，进而得出由此即可求出角C的值，然后由三角形的内角和即可求出角B的大小。
5．（2025高一下·湛江期中）已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（　　）
A． B．6 C． D．3
【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：根据可知条件，可得向量在向量上的投影向量为，
所以，则.
故答案为：A.
【分析】根据数量积求投影向量公式和已知条件计算即可.
6．（2025高一下·湛江期中）如图所示，三棱柱ABC－A'B'C'中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC'B'F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A'C'B'的体积)，V2的两部分，那么（　　）
A．6︰5 B．7︰5 C．8︰3 D．4︰3
【答案】B
【知识点】柱体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，
则，
因为分别为的中点，
所以，
则，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和中点的性质，再利用三角形面积公式，从而得到，再利用棱台的体积公式得出，再根据，从而得出的值.
7．（2025高一下·湛江期中）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东方向，距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北方向的C处，且已知A，C之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为（　　）
A．海里/小时 B．海里/小时
C．海里/小时 D．海里/小时
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
由题意得，
则，
在中，，，
由余弦定理，
得：，解得，
设船速为x，则，所以，
则货船的速度大小为海里小时.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合角之间的关系和两角差的余弦公式，从而求出的值，再利用余弦定理得出该货船的速度大小.
8．（2025高一下·湛江期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：过点分别作交于点，交于点，连接，
要想平面，则四边形为平行四边形，
所以，
设，则，所以，
由勾股定理，得，
其中，
当且仅当时，等号成立，则.
故答案为：B.
【分析】先作出辅助线，由题可得四边形为平行四边形，从而得出，设，再利用勾股定理和两点距离公式以及二次函数求最值的方法，从而得出线段长的最小值．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·湛江期中）下列说法正确的是（　　）
A．若，，则
B．在中，若，，则
C．已知向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是
D．已知，，为的内角，，的对边，则“”的充要条件是“”
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、向量不能比较大小，故A错误；
B、，故B正确；
C、由即解得，故C正确；
D、由正弦定理，可知，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】向量是矢量，不能比较大小即可判断A；根据向量数量积的定义以及等腰三角形的性质求解即可判断B；由与的夹角为钝角 ，可得利用向量数量积为负，且不反向共线求解即可判断C；利用正弦定理和大边（角）对大角（边）求解即可判断D.
10．（2025高一下·湛江期中）已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（　　）
A．的虚部为i
B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限
D．为方程的一个根
【答案】C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
对应点为在第二象限，故C对；
又因为，虚部为，故A错，
因为，故B错；
又因为，
所以，复数为方程的一个根，故D对.
故答案为：CD.
【分析】根据复数的四则运算法则以及共轭复数定义得到，从而判断出选项A；利用复数的运算法则和复数求模公式，则判断出选项B；利用复数的几何意义判断出选项C；利用一元二次方程的根是复数的特征和代入检验法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2025高一下·湛江期中）如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（　　）
A．不存在点，使得//平面
B．过三点的平面截正方体所得截面面积是
C．三棱锥的体积不为定值
D．三棱锥的外接球表面积为
【答案】B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，当为中点时，
由中位线定理，可得，
因为平面，平面，
所以平面，故A错误；
对于B，由中位线定理，可得，
在正方体中，易证，所以，
又因为，所以截面为等腰梯形，
则，故B正确；
对于C，因为，为定值，故C错误；
对于D，因为三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径，
所以，三棱锥的外接球的表面积，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据中位线定理得出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，则判断出选项A；利用中位线定理和正方体的结构特征以及截面等腰梯形的面积公式，则判断出选项B；利用等体积法和三棱锥的体积公式，则判断出选项C；结合补形法和长方体外接球半径求解方法可判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·湛江期中）已知的面积为，，，则　 　.
【答案】2
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可得，则，
又因为，
所以，则，
综上所述，.
故答案为：2.
【分析】利用三角形面积公式可得的值，再由数量积的运算律得出，再结合已知条件和数量积的定义，从而得出b的值，进而得出AC的长.
13．（2025高一下·湛江期中）三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于　 　.
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图：将三棱锥补成长方体，
则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的.
设长方体外接球半径为，
则，
所以，
则该三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】先利用补形法结合勾股定理求出三棱锥外接球的半径R，再利用球的表面积公式得出该三棱锥的外接球表面积.
14．（2025高一下·湛江期中）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则　 　．
【答案】
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则，
因为，，
所以，则．
故答案为：.
【分析】由题意可得：，根据五角星中的长度关系，结合平面向量的线性运算求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·湛江期中）已知向量满足．
（1）若，求向量与的夹角；
（2）若．求的值．
【答案】（1）解：，
则，，
，因为，所以，
则向量与的夹角为；
（2）解：由，得，则，解得，
则.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）由题意，利用向量的数量积，结合向量夹角公式求解即可；
（2）将平方，利用向量的数量运算求得，再利用向量的数量积，结合向量的模长计算即可.
（1）由，得，，
因此，而，则，
所以向量与的夹角为.
（2）由，得，则，解得，
所以.
16．（2025高一下·湛江期中）如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．过点作交线段于点，且．
（1）求；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：依题意，得：，
由正弦定理，得，
整理得，
所以为钝角，且.
（2）解：因为，，，
所以，
则，
所以，
由余弦定理，得，
则，
所以.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，再利用为钝角，从而得出的值.
（2）利用余弦定理得出的值，再利用三角形的面积公式计算可得.
（1）依题意，，
由正弦定理得，
整理得，
所以为钝角，且.
（2）由于，，，
所以，则，
所以，由余弦定理得，
即，
所以.
17．（2025高一下·湛江期中）已知直三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明：连接交与O，
则为的中点，
连接，则，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：由（1）可得，平面，
所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用中位线定理得出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面.
（2）利用（1）得出平面，再利用等体积法和三棱锥的体积公式，从而得出三棱锥的体积．
（1）
连接交与O，则为的中点，
连接，则，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）可得，平面，
所以.
18．（2025高一下·湛江期中）已知的内角的对边为，且
（1）求；
（2）若的面积为
①已知为的中点，且，求底边上中线的长；
②求内角的角平分线长的最大值.
【答案】（1）解：由正弦定理，得，
则，
所以，
因为，所以，
则.
（2）解：①由（1）知，
因为的面积为，所以，
解得，且，解得，
因为，
所以
，
所以，则.
②因为为角的角平分线，
所以，
又因为，
得到，
因为，所以，
由二倍角公式，得，
则，解得，
又因为，
所以，
因为，当且仅当时，等号取得到，
所以，
则.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得的值，再由同角三角函数的基本关系和角A的取值范围，从而得出角A的正弦值.
（2）①根据三角形的面积公式可得的值，再结合和向量的模长公式，从而得出底边上中线的长.
②利用等面积法可得，再根据半角公式可得的值，从而可得的值，再利用基本不等式求最值可得答案.
（1）由正弦定理得，即，
故，因为，所以，
所以.
（2）①由（1）知，因为的面积为，
所以，解得，
且，解得，由于，
所以
，所以，即.
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
得到，
由于，所以，
由二倍角公式得，则，解得，
又，所以，
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故.
19．（2025高一下·湛江期中）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且.
（1）证明：；
（2）在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：设交于点O，连接，
在正方形中，则，，
因为，所以，
又因为 平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）解：侧棱上存在一点F，满足条件.
证明如下：如图，正方形中，，
在线段取一点G，使得，
由，得，
连接，则，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，则，
所以＝.
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）设交AC于点O，由题意可得PO⊥AC，，再利用线面垂直判定定理，从而证出直线平面，再根据线面垂直的定义可证出.
（2）在线段PE取一点G，使得，由已知证出平面，从而得到平面平面，再由面面平行的性质定理得出，最后由线线平行对应边成比例，从而可得的值.
（1）设交于点O，连接，正方形中，则，，
又，则，又平面，
因此平面，而平面，
所以.
（2）侧棱上存在一点F，满足条件，
证明如下：如图，正方形中，，
在线段取一点G，使得，由，得，
连接，则，而平面，平面，
则平面，由平面，，平面，
得平面平面，而平面平面，平面平面，
于是，，
所以＝.
1 / 1广东省湛江市第二十一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·湛江期中）若复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·湛江期中）已知直线a在平面α外，则（　　）
A．a∥α
B．直线a与平面α至少有一个公共点
C．a∩α=A
D．直线a与平面α至多有一个公共点
3．（2025高一下·湛江期中）是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（　　）
A．3 B． C． D．2
4．（2025高一下·湛江期中）知 为 的三个内角 的对边，向量 ．若 ，且 ，则角 的大小分别为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一下·湛江期中）已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（　　）
A． B．6 C． D．3
6．（2025高一下·湛江期中）如图所示，三棱柱ABC－A'B'C'中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC'B'F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A'C'B'的体积)，V2的两部分，那么（　　）
A．6︰5 B．7︰5 C．8︰3 D．4︰3
7．（2025高一下·湛江期中）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东方向，距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北方向的C处，且已知A，C之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为（　　）
A．海里/小时 B．海里/小时
C．海里/小时 D．海里/小时
8．（2025高一下·湛江期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·湛江期中）下列说法正确的是（　　）
A．若，，则
B．在中，若，，则
C．已知向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是
D．已知，，为的内角，，的对边，则“”的充要条件是“”
10．（2025高一下·湛江期中）已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（　　）
A．的虚部为i
B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限
D．为方程的一个根
11．（2025高一下·湛江期中）如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（　　）
A．不存在点，使得//平面
B．过三点的平面截正方体所得截面面积是
C．三棱锥的体积不为定值
D．三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·湛江期中）已知的面积为，，，则　 　.
13．（2025高一下·湛江期中）三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于　 　.
14．（2025高一下·湛江期中）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·湛江期中）已知向量满足．
（1）若，求向量与的夹角；
（2）若．求的值．
16．（2025高一下·湛江期中）如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．过点作交线段于点，且．
（1）求；
（2）求的面积．
17．（2025高一下·湛江期中）已知直三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
18．（2025高一下·湛江期中）已知的内角的对边为，且
（1）求；
（2）若的面积为
①已知为的中点，且，求底边上中线的长；
②求内角的角平分线长的最大值.
19．（2025高一下·湛江期中）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且.
（1）证明：；
（2）在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由，
可得，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】根据复数的除法运算法则，从而求得复数z，再利用共轭复数的定义得出复数，结合复数求模公式，从而得出共轭复数的模.
2．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】因为a在平面α外，所以a∥α或a∩α=A，所以直线a与平面α至多有一个公共点.
故答案为：D.
【分析】利用直线在平面外，可得直线a与平面α至多有一个公共点，即可得出结论。
3．【答案】A
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由，，得，
因为，，三点共线，所以，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据向量的线性运算求向量，再利用向量共线列式求值即可.
4．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；正弦定理
【解析】【解答】由 可得 即 所以角 ，
因为
所以 可得
故答案为：C
【分析】根据题意由数量积的坐标公式代入数值即可得出，由此即可求出结合已知条件利用正弦定理即可得到，进而得出由此即可求出角C的值，然后由三角形的内角和即可求出角B的大小。
5．【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：根据可知条件，可得向量在向量上的投影向量为，
所以，则.
故答案为：A.
【分析】根据数量积求投影向量公式和已知条件计算即可.
6．【答案】B
【知识点】柱体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，
则，
因为分别为的中点，
所以，
则，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和中点的性质，再利用三角形面积公式，从而得到，再利用棱台的体积公式得出，再根据，从而得出的值.
7．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
由题意得，
则，
在中，，，
由余弦定理，
得：，解得，
设船速为x，则，所以，
则货船的速度大小为海里小时.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合角之间的关系和两角差的余弦公式，从而求出的值，再利用余弦定理得出该货船的速度大小.
8．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：过点分别作交于点，交于点，连接，
要想平面，则四边形为平行四边形，
所以，
设，则，所以，
由勾股定理，得，
其中，
当且仅当时，等号成立，则.
故答案为：B.
【分析】先作出辅助线，由题可得四边形为平行四边形，从而得出，设，再利用勾股定理和两点距离公式以及二次函数求最值的方法，从而得出线段长的最小值．
9．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、向量不能比较大小，故A错误；
B、，故B正确；
C、由即解得，故C正确；
D、由正弦定理，可知，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】向量是矢量，不能比较大小即可判断A；根据向量数量积的定义以及等腰三角形的性质求解即可判断B；由与的夹角为钝角 ，可得利用向量数量积为负，且不反向共线求解即可判断C；利用正弦定理和大边（角）对大角（边）求解即可判断D.
10．【答案】C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
对应点为在第二象限，故C对；
又因为，虚部为，故A错，
因为，故B错；
又因为，
所以，复数为方程的一个根，故D对.
故答案为：CD.
【分析】根据复数的四则运算法则以及共轭复数定义得到，从而判断出选项A；利用复数的运算法则和复数求模公式，则判断出选项B；利用复数的几何意义判断出选项C；利用一元二次方程的根是复数的特征和代入检验法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A，当为中点时，
由中位线定理，可得，
因为平面，平面，
所以平面，故A错误；
对于B，由中位线定理，可得，
在正方体中，易证，所以，
又因为，所以截面为等腰梯形，
则，故B正确；
对于C，因为，为定值，故C错误；
对于D，因为三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径，
所以，三棱锥的外接球的表面积，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据中位线定理得出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，则判断出选项A；利用中位线定理和正方体的结构特征以及截面等腰梯形的面积公式，则判断出选项B；利用等体积法和三棱锥的体积公式，则判断出选项C；结合补形法和长方体外接球半径求解方法可判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】2
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意可得，则，
又因为，
所以，则，
综上所述，.
故答案为：2.
【分析】利用三角形面积公式可得的值，再由数量积的运算律得出，再结合已知条件和数量积的定义，从而得出b的值，进而得出AC的长.
13．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图：将三棱锥补成长方体，
则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的.
设长方体外接球半径为，
则，
所以，
则该三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】先利用补形法结合勾股定理求出三棱锥外接球的半径R，再利用球的表面积公式得出该三棱锥的外接球表面积.
14．【答案】
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则，
因为，，
所以，则．
故答案为：.
【分析】由题意可得：，根据五角星中的长度关系，结合平面向量的线性运算求解即可.
15．【答案】（1）解：，
则，，
，因为，所以，
则向量与的夹角为；
（2）解：由，得，则，解得，
则.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）由题意，利用向量的数量积，结合向量夹角公式求解即可；
（2）将平方，利用向量的数量运算求得，再利用向量的数量积，结合向量的模长计算即可.
（1）由，得，，
因此，而，则，
所以向量与的夹角为.
（2）由，得，则，解得，
所以.
16．【答案】（1）解：依题意，得：，
由正弦定理，得，
整理得，
所以为钝角，且.
（2）解：因为，，，
所以，
则，
所以，
由余弦定理，得，
则，
所以.
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，再利用为钝角，从而得出的值.
（2）利用余弦定理得出的值，再利用三角形的面积公式计算可得.
（1）依题意，，
由正弦定理得，
整理得，
所以为钝角，且.
（2）由于，，，
所以，则，
所以，由余弦定理得，
即，
所以.
17．【答案】（1）证明：连接交与O，
则为的中点，
连接，则，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：由（1）可得，平面，
所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用中位线定理得出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面.
（2）利用（1）得出平面，再利用等体积法和三棱锥的体积公式，从而得出三棱锥的体积．
（1）
连接交与O，则为的中点，
连接，则，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）可得，平面，
所以.
18．【答案】（1）解：由正弦定理，得，
则，
所以，
因为，所以，
则.
（2）解：①由（1）知，
因为的面积为，所以，
解得，且，解得，
因为，
所以
，
所以，则.
②因为为角的角平分线，
所以，
又因为，
得到，
因为，所以，
由二倍角公式，得，
则，解得，
又因为，
所以，
因为，当且仅当时，等号取得到，
所以，
则.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得的值，再由同角三角函数的基本关系和角A的取值范围，从而得出角A的正弦值.
（2）①根据三角形的面积公式可得的值，再结合和向量的模长公式，从而得出底边上中线的长.
②利用等面积法可得，再根据半角公式可得的值，从而可得的值，再利用基本不等式求最值可得答案.
（1）由正弦定理得，即，
故，因为，所以，
所以.
（2）①由（1）知，因为的面积为，
所以，解得，
且，解得，由于，
所以
，所以，即.
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
得到，
由于，所以，
由二倍角公式得，则，解得，
又，所以，
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故.
19．【答案】（1）证明：设交于点O，连接，
在正方形中，则，，
因为，所以，
又因为 平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）解：侧棱上存在一点F，满足条件.
证明如下：如图，正方形中，，
在线段取一点G，使得，
由，得，
连接，则，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，则，
所以＝.
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）设交AC于点O，由题意可得PO⊥AC，，再利用线面垂直判定定理，从而证出直线平面，再根据线面垂直的定义可证出.
（2）在线段PE取一点G，使得，由已知证出平面，从而得到平面平面，再由面面平行的性质定理得出，最后由线线平行对应边成比例，从而可得的值.
（1）设交于点O，连接，正方形中，则，，
又，则，又平面，
因此平面，而平面，
所以.
（2）侧棱上存在一点F，满足条件，
证明如下：如图，正方形中，，
在线段取一点G，使得，由，得，
连接，则，而平面，平面，
则平面，由平面，，平面，
得平面平面，而平面平面，平面平面，
于是，，
所以＝.
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