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广东省惠州市光正实验学校2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·惠州期中）复数（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B
【分析】利用分子、分母同时乘以分母的共轭复数结合除法运算可得.
2．（2025高一下·惠州期中）圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，则此圆柱的侧面积为（　　）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意可知，圆柱的底面直径和高均为2，
所以圆柱的底面周长为，
则圆柱的侧面积为.
故答案为：D.
【分析】利用圆柱的轴截面的结构特征，从而得出圆柱的底面直径和高，再利用圆的周长公式可得底面圆的周长，再乘以高，从而得出此圆柱的侧面积.
3．（2025高一下·惠州期中）已知向量，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解： ，解得
∴
故选：A.
【分析】先根据向量共线的坐标运算求出x，进而求得，再根据模长公式求得即可.
4．（2025高一下·惠州期中）已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中，则该平面图形的面积为（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：作出原图形如下图所示：
则，
所以，该平面图形的面积为.
故答案为：D.
【分析】利用斜二测画法作出原图形，从而得出原图形中的线段长度，再由三角形的面积公式可得该平面图形的面积.
5．（2025高一下·惠州期中）下列正确的是（　　）
A．过球面上两点与球心有且只有一个平面
B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；平面的基本性质及推论；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于选项A：当球面上两点与球心在一条直线上时，这样的平面有无数多个，如下图：
故A错误；
对于选项B： 若平面与圆锥底面不平行，则此时截出来的不是圆台，如下图：
故B错误；
对于选项C：由正棱锥的定义与性质知，正棱锥的所有侧棱均相等，底面是正多边形，
所以侧面是全等的等腰三角形，故C正确；
对于选项D：棱台要求侧棱的延长线交于一点，反例如下：
故D错误.
故答案为：C.
【分析】举反例结合平面确定条件、圆台的结构特征、正棱锥的侧面的结构特征、棱台的结构特征，从而逐项判断找出正确的选项.
6．（2025高一下·惠州期中）已知，内角的对边分别是，则等于（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
由正弦定理，
得，
∴.
故答案为：A．
【分析】利用已知条件和正弦定理，从而得出角A的正弦值，再利用三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值．
7．（2025高一下·惠州期中）若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知（，）为“理想复数”，则
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：.
【分析】利用“理想复数”定义结合复数的混合运算法则，从而得出.
8．（2025高一下·惠州期中）在中，，为边的中点，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 在中，，为边的中点，
则，
平方可得，
则，即为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，两边平方，结合数量积的运算律计算即可.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2025高一下·惠州期中）已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（　　）
A．
B．复数的虚部为
C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为
D．若复数是关于的方程的一个根，则
【答案】A,C,D
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故复数的虚部为，故B错误；
C、由题意，
又，则向量，
故向量对应的复数为，故C正确；
D、若复数是关于的方程的一个根，
则，故和均为方程的根，
故，
所以，
故，，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用模长公式进行计算即可判断A；利用复数除法法则和虚部的概念即可判断B；利用复数的几何意义来判断C；和均为方程的根，利用根与系数关系求解即可判断D.
10．（2025高一下·惠州期中）（多选题）下列四个命题中，真命题是（　　）
A．若是两条直线，是两个平面， 且， 则是异面直线.
B．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
C．若直线相交，是平面且，则直线不在平面内.
D．若是平面，直线，直线，则.
【答案】B,C
【知识点】命题的真假判断与应用；异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于选项A，例如长方体对面的两条对角线就是共面的，不合题意，故A错误；
对于选项B，设，
因为不重合，易知可确定唯一平面，
又因为，所以，
又因为，所以，符合题意，故B正确；
对于选项C，设，，则，所以，直线不在平面内，符合题意；
对于选项D，因为直线，直线，所以，或与异面，不符合题意，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】通过特例法和异面直线的定义，则可判断选项A；利用确定平面的条件和点、线、面的包含关系，则可判断选项B；利用直线与平面平行的性质定理和直线与平面的位置关系，则可判断选项C；利用直线与平面平行的性质定理和平面内两直线的位置关系，则可判断选项D，从而找出真命题的选项.
11．（2025高一下·惠州期中）在中，，，分别是内角，，的对边，下列说法正确的是（　　）
A．若为锐角，则
B．若为锐角，则
C．若，则
D．若为锐角三角形，则
【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的性质；三角函数诱导公式二~六；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：AB、若为锐角，由余弦定理可得，
故A正确、B错误；
C、若，由正弦定理，可得，则，由大边对大角，
可得，故C正确；
D、若为锐角三角形，则且，，
因为正弦函数在区间单调递增，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】若为锐角，由余弦定理即可判断AB；由，结合正弦定理即可比较a，b大小，根据大边对大角即可判断C；若为锐角三角形，利用正弦函数性质结合诱导公式求解即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·惠州期中）已知向量，若，则实数　 　.
【答案】
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，
解得.
故答案为：.
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示公式计算得出实数t的值.
13．（2025高一下·惠州期中）已知复数，则　 　．
【答案】
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由虚数乘方的性质，
可得，其中，
则，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】根据虚数单位乘方的性质，从而得出的值，再结合虚数单位i的周期性得出，再利用的值得到复数，再由共轭复数的概念，从而得出复数.
14．（2025高一下·惠州期中）已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是　 　.
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，，
则，，
由正弦定理，得外接圆半径，
设球半径为，则，
解得，
所以球的体积是.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和正弦定理得到的外接圆半径，利用球面的截面小圆的性质求出球的半径，再根据球的体积公式，从而得出球的体积.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·惠州期中）如图，在正方体中，是棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明：连接交于，连接，如图所示：
因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点，
又因为是的中点，所以是的中位线，所以，
又因为面，面，所以平面；
（2）解：因为正方体中，平面，
所以．
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线性质结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）易知平面，利用等体积法，结合锥体的体积公式求解即可.
（1）连接交于，连接，如图，
因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点，
又是的中点，则是的中位线，故，
又面，面，所以平面．
（2）因为正方体中，平面，
所以．
16．（2025高一下·惠州期中）在中，已知，，点为线段中点，，设，.
（1）用向量，表示；
（2）若，求.
【答案】（1）解：如图所示，，
所以
所以.
（2）解：因为点为线段中点，
用三点共线的向量表达式结论得：
由（1）知，
则
所以，
则，
则.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件和向量共线定理以及三角形法则，则根据平面向量基本定理，从而用向量，表示.
（2）利用中点的性质和（1）中结论，从而将用基底表示出来，再用数量积运算律和两向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出的值.
（1）如图所示，
，
所以，
所以.
（2）点为线段中点，用三点共线的向量表达式结论得，
由（1）知，则，
，则.则.
17．（2025高一下·惠州期中）已知复数，（，为虚数单位）．
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．
【答案】（1）解：复数，，
则，
因为复数为纯虚数，所以，解得；
（2）解：由，
可得，
因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得；
所以实数的取值范围为.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【分析】（1）先根据复数的加法运算求得，再根据复数为纯虚数，列出方程组，求解即可；
（2）根据复数代数形式的乘除运算化简得到，再根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，求解即可.
（1）解：由复数，，
可得，
因为复数为纯虚数，所以，解得．
（2）解：由，
可得，
因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得
所以实数的取值范围为．
18．（2025高一下·惠州期中）已知的内角的对边分别为，且的周长为．
（1）求；
（2）若，，是的平分线，且交于点，求．
【答案】（1）解：因为的周长为，
可得，
由正弦定理，可得，
则，
整理得，
由余弦定理，
可得．
因为，
所以．
（2）解：在中，因为，，
由余弦定理，得，
则，
解得或（舍去），
又因为是的平分线，
可得，
又因为，
所以，
解得．

【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理将化为，再结合余弦定理以及三角形中角A的取值范围可得角A的值.
（2）由余弦定理得到，解方程得出c的值，再由是的平分线以及列出方程求解得出AD的长.
（1）解：因为的周长为，可得，
由正弦定理，可得，即，
整理得，
又由余弦定理，可得．
因为，所以．
（2）解：在中，因为，，
由余弦定理得，即，
解得或（舍去），
又因为是的平分线，可得，，
所以，解得．
19．（2025高一下·惠州期中）设是直线外一点，点在直线上（点与点、任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记在中，角、、的对边分别是、、，点在射线上.
（1）若是的中点，由点对施以视角运算，求的值；
（2）若，，，由点对施以视角运算，，求的周长；
（3）若，由点对施以视角运算， 求的最小值.
【答案】（1）解：由定义可知：，
在三角形中，，
则，
在三角形中，，
则，
因为是的中点，且，
所以.
（2）解：因为点在射线上，，且，
所以在线段外，且，
则，
所以，
在中，由余弦定理，可得，
则，
解得（负值已舍去），
所以，
则的周长为.
（3）解：因为，
所以，则，
又因为，所以，
因为，
所以，
又因为，所以，则，
所以，
当且仅当时，即当，时等号成立，
则的最小值为.

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由新定义结合正弦定理，从而得出的值.
（2）根据新定义和已知条件，从而得到，再由余弦定理求出、的值，再利用三角形的周长公式，从而求出三角形的周长.
（3）依题意可得，由等面积法和三角形的面积公式，从而得到，进而得到，再由基本不等式可求得的最小值.
（1）由定义可知：，
在三角形中，，即，
在三角形中，，即，
因为是的中点，且，所以
（2）因为点在射线上，，且，
所以在线段外，且，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得，
即，解得（负值已舍去），所以，
所以的周长为.
（3）因为，所以，则，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为.
1 / 1广东省惠州市光正实验学校2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·惠州期中）复数（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·惠州期中）圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，则此圆柱的侧面积为（　　）
A．4 B．6 C． D．
3．（2025高一下·惠州期中）已知向量，若，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·惠州期中）已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中，则该平面图形的面积为（　　）
A． B．2 C． D．4
5．（2025高一下·惠州期中）下列正确的是（　　）
A．过球面上两点与球心有且只有一个平面
B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
6．（2025高一下·惠州期中）已知，内角的对边分别是，则等于（　　）
A． B． C．或 D．或
7．（2025高一下·惠州期中）若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知（，）为“理想复数”，则
A． B． C． D．
8．（2025高一下·惠州期中）在中，，为边的中点，则为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2025高一下·惠州期中）已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（　　）
A．
B．复数的虚部为
C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为
D．若复数是关于的方程的一个根，则
10．（2025高一下·惠州期中）（多选题）下列四个命题中，真命题是（　　）
A．若是两条直线，是两个平面， 且， 则是异面直线.
B．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
C．若直线相交，是平面且，则直线不在平面内.
D．若是平面，直线，直线，则.
11．（2025高一下·惠州期中）在中，，，分别是内角，，的对边，下列说法正确的是（　　）
A．若为锐角，则
B．若为锐角，则
C．若，则
D．若为锐角三角形，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·惠州期中）已知向量，若，则实数　 　.
13．（2025高一下·惠州期中）已知复数，则　 　．
14．（2025高一下·惠州期中）已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·惠州期中）如图，在正方体中，是棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积．
16．（2025高一下·惠州期中）在中，已知，，点为线段中点，，设，.
（1）用向量，表示；
（2）若，求.
17．（2025高一下·惠州期中）已知复数，（，为虚数单位）．
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围．
18．（2025高一下·惠州期中）已知的内角的对边分别为，且的周长为．
（1）求；
（2）若，，是的平分线，且交于点，求．
19．（2025高一下·惠州期中）设是直线外一点，点在直线上（点与点、任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记在中，角、、的对边分别是、、，点在射线上.
（1）若是的中点，由点对施以视角运算，求的值；
（2）若，，，由点对施以视角运算，，求的周长；
（3）若，由点对施以视角运算， 求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B
【分析】利用分子、分母同时乘以分母的共轭复数结合除法运算可得.
2．【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意可知，圆柱的底面直径和高均为2，
所以圆柱的底面周长为，
则圆柱的侧面积为.
故答案为：D.
【分析】利用圆柱的轴截面的结构特征，从而得出圆柱的底面直径和高，再利用圆的周长公式可得底面圆的周长，再乘以高，从而得出此圆柱的侧面积.
3．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解： ，解得
∴
故选：A.
【分析】先根据向量共线的坐标运算求出x，进而求得，再根据模长公式求得即可.
4．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：作出原图形如下图所示：
则，
所以，该平面图形的面积为.
故答案为：D.
【分析】利用斜二测画法作出原图形，从而得出原图形中的线段长度，再由三角形的面积公式可得该平面图形的面积.
5．【答案】C
【知识点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；平面的基本性质及推论；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于选项A：当球面上两点与球心在一条直线上时，这样的平面有无数多个，如下图：
故A错误；
对于选项B： 若平面与圆锥底面不平行，则此时截出来的不是圆台，如下图：
故B错误；
对于选项C：由正棱锥的定义与性质知，正棱锥的所有侧棱均相等，底面是正多边形，
所以侧面是全等的等腰三角形，故C正确；
对于选项D：棱台要求侧棱的延长线交于一点，反例如下：
故D错误.
故答案为：C.
【分析】举反例结合平面确定条件、圆台的结构特征、正棱锥的侧面的结构特征、棱台的结构特征，从而逐项判断找出正确的选项.
6．【答案】A
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
由正弦定理，
得，
∴.
故答案为：A．
【分析】利用已知条件和正弦定理，从而得出角A的正弦值，再利用三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值．
7．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：.
【分析】利用“理想复数”定义结合复数的混合运算法则，从而得出.
8．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 在中，，为边的中点，
则，
平方可得，
则，即为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，两边平方，结合数量积的运算律计算即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故复数的虚部为，故B错误；
C、由题意，
又，则向量，
故向量对应的复数为，故C正确；
D、若复数是关于的方程的一个根，
则，故和均为方程的根，
故，
所以，
故，，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用模长公式进行计算即可判断A；利用复数除法法则和虚部的概念即可判断B；利用复数的几何意义来判断C；和均为方程的根，利用根与系数关系求解即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】命题的真假判断与应用；异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于选项A，例如长方体对面的两条对角线就是共面的，不合题意，故A错误；
对于选项B，设，
因为不重合，易知可确定唯一平面，
又因为，所以，
又因为，所以，符合题意，故B正确；
对于选项C，设，，则，所以，直线不在平面内，符合题意；
对于选项D，因为直线，直线，所以，或与异面，不符合题意，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】通过特例法和异面直线的定义，则可判断选项A；利用确定平面的条件和点、线、面的包含关系，则可判断选项B；利用直线与平面平行的性质定理和直线与平面的位置关系，则可判断选项C；利用直线与平面平行的性质定理和平面内两直线的位置关系，则可判断选项D，从而找出真命题的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】正弦函数的性质；三角函数诱导公式二~六；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：AB、若为锐角，由余弦定理可得，
故A正确、B错误；
C、若，由正弦定理，可得，则，由大边对大角，
可得，故C正确；
D、若为锐角三角形，则且，，
因为正弦函数在区间单调递增，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】若为锐角，由余弦定理即可判断AB；由，结合正弦定理即可比较a，b大小，根据大边对大角即可判断C；若为锐角三角形，利用正弦函数性质结合诱导公式求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，
解得.
故答案为：.
【分析】利用平面向量垂直的坐标表示公式计算得出实数t的值.
13．【答案】
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由虚数乘方的性质，
可得，其中，
则，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】根据虚数单位乘方的性质，从而得出的值，再结合虚数单位i的周期性得出，再利用的值得到复数，再由共轭复数的概念，从而得出复数.
14．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，，
则，，
由正弦定理，得外接圆半径，
设球半径为，则，
解得，
所以球的体积是.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和正弦定理得到的外接圆半径，利用球面的截面小圆的性质求出球的半径，再根据球的体积公式，从而得出球的体积.
15．【答案】（1）证明：连接交于，连接，如图所示：
因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点，
又因为是的中点，所以是的中位线，所以，
又因为面，面，所以平面；
（2）解：因为正方体中，平面，
所以．
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线性质结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）易知平面，利用等体积法，结合锥体的体积公式求解即可.
（1）连接交于，连接，如图，
因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点，
又是的中点，则是的中位线，故，
又面，面，所以平面．
（2）因为正方体中，平面，
所以．
16．【答案】（1）解：如图所示，，
所以
所以.
（2）解：因为点为线段中点，
用三点共线的向量表达式结论得：
由（1）知，
则
所以，
则，
则.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件和向量共线定理以及三角形法则，则根据平面向量基本定理，从而用向量，表示.
（2）利用中点的性质和（1）中结论，从而将用基底表示出来，再用数量积运算律和两向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出的值.
（1）如图所示，
，
所以，
所以.
（2）点为线段中点，用三点共线的向量表达式结论得，
由（1）知，则，
，则.则.
17．【答案】（1）解：复数，，
则，
因为复数为纯虚数，所以，解得；
（2）解：由，
可得，
因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得；
所以实数的取值范围为.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算
【解析】【分析】（1）先根据复数的加法运算求得，再根据复数为纯虚数，列出方程组，求解即可；
（2）根据复数代数形式的乘除运算化简得到，再根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，求解即可.
（1）解：由复数，，
可得，
因为复数为纯虚数，所以，解得．
（2）解：由，
可得，
因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得
所以实数的取值范围为．
18．【答案】（1）解：因为的周长为，
可得，
由正弦定理，可得，
则，
整理得，
由余弦定理，
可得．
因为，
所以．
（2）解：在中，因为，，
由余弦定理，得，
则，
解得或（舍去），
又因为是的平分线，
可得，
又因为，
所以，
解得．

【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理将化为，再结合余弦定理以及三角形中角A的取值范围可得角A的值.
（2）由余弦定理得到，解方程得出c的值，再由是的平分线以及列出方程求解得出AD的长.
（1）解：因为的周长为，可得，
由正弦定理，可得，即，
整理得，
又由余弦定理，可得．
因为，所以．
（2）解：在中，因为，，
由余弦定理得，即，
解得或（舍去），
又因为是的平分线，可得，，
所以，解得．
19．【答案】（1）解：由定义可知：，
在三角形中，，
则，
在三角形中，，
则，
因为是的中点，且，
所以.
（2）解：因为点在射线上，，且，
所以在线段外，且，
则，
所以，
在中，由余弦定理，可得，
则，
解得（负值已舍去），
所以，
则的周长为.
（3）解：因为，
所以，则，
又因为，所以，
因为，
所以，
又因为，所以，则，
所以，
当且仅当时，即当，时等号成立，
则的最小值为.

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由新定义结合正弦定理，从而得出的值.
（2）根据新定义和已知条件，从而得到，再由余弦定理求出、的值，再利用三角形的周长公式，从而求出三角形的周长.
（3）依题意可得，由等面积法和三角形的面积公式，从而得到，进而得到，再由基本不等式可求得的最小值.
（1）由定义可知：，
在三角形中，，即，
在三角形中，，即，
因为是的中点，且，所以
（2）因为点在射线上，，且，
所以在线段外，且，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得，
即，解得（负值已舍去），所以，
所以的周长为.
（3）因为，所以，则，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为.
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