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人教版八年级下数学进阶测试 21.2平行四边形（二阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本8题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2025八下·慈利期中）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·广州期中）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE：EF：FB为(　　)
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
3．（2025八下·南宁月考）如图，在中，于点，，交的延长线于点．若，，且的周长为40，则的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
4．（2024·灞桥模拟）如图，在中，，点E是的中点，若平分，线段的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022九上·射洪期中）如图，已知四边形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（　　）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．EF变化不定
6．如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025八上·宁波开学考）如图，在□ABCD中，AB=2，∠D=45°，∠ACD=90°，M是AD的中点，E是AB延长线上的动点，作∠EMF=90°交AC的延长线于点F.记BE=x，CF=y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C．xy D．
8．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF 都是等边三角形，下列结论：①AB⊥AC ②四边形AEFD是平行四边形 ③∠DFE=150° ④S四边形AEFD =8.其中错误的个数是 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
9．（2025八下·龙港期中） 如图，点G是等边三角形ABC内任意一点，GD//BC，GE//AC，GF//AB，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，AB=6，则DG+EG+FG=　 　.
10．（2025八下·宜州期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为　 　．
11．如图，在四边形ABCD 中， ∥M 为BD 的中点，则 CM 的长为　 　.
12．如图，在平行四边形ABCD 中， 的角平分线BF 交AD 于点F， 的角平分线CG 交AD 于点G，两条角平分线在平行四边形内部相交于点 P，连接 PE， 若 则GF的长为　 　.
13．（2025八下·余姚期中） 如图，在□ABCD中，∠A=60°，E是AD上一点，连接BE.将△ABE沿BE对折得到△A'BE，当点A'恰好落在边AD上时，A'D=4（图甲)，当点A'恰好落在边CD上时，A'D=6（图乙)，则AB=　 　.
阅卷人 三、解答题：本大题共2小题，共11分。
得分
14．（2025八下·成都月考）如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若．求线段长．
15．（2025八下·诸暨期中）如图，在中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意；
D、根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DCE=∠BEC，
∵CE是∠DCB的平分线，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠CEB=∠BCE，
∴BC=BE=4，
∵F是AB的中点，AB=6，
∴FB=3，
∴EF=BE﹣FB=1，
∴AE=AB﹣EF﹣FB=2，
∴AE：EF：FB=2：1：3，
故答案为B．
【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及线段中点的性质。利用平行四边形对边平行的性质，可得，因此，结合CE是平分线的定义，能推出，进而得到，根据等角对等边可确定；再根据F是AB中点且，求出，接着通过线段的差求出，，最后计算得出。
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的周长为40，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的面积为．
故答案为：D．
【分析】首先根据平行四边形的性质可得出，再根据的周长为40，即可得出，进而根据平行四边形的面积计算公式可得出，进一步即可求得，进而即可根据平行四边形的面积计算公式得出的面积为．
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长交于，
由题意知，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴是的中点，，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
故选：B．
【分析】利用ASA证明，再根据全等三角形的性质求出，，最后根据三角形的中位线计算求解即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AR，如图，
因为AR不变，
E、F分别是、的中点，
由中位线的性质得，
当点P在上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变
故选：C．
【分析】连接AR，根据三角形中位线定理即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，
AD=BC=10，AB=CD=6，AD//BC，
∠FBC=∠AFB，∠DEC=∠BCE，
平分，平分，
∠ABF=∠CBF，∠DCE=∠BCE，
∠ABF=∠AFB，∠DEC=∠DCE，
AB=AE=6，DE=DC=6，
EF=AF+DE-AD=6+6-10=2，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质，得到AD//BC，AD=BC，AB=CD，然后根据BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，得到△ABF和△CDE为等腰三角形，然后利用线段的和差计算即可得到EF的长.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CM， 设AF， ME交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=90°，
∵∠D=45°，
∴∠CAD=∠D=45°，
∴CA=CD，
∵AM=MD，
∴CM = AM = MD， CM⊥AD，
∵∠AMC=∠EMF=90°，
∴∠AME=∠CMF，
∵∠EAO=∠FMO=90°， ∠AOE=∠FOBE=2M，
∴∠E=∠F，
∴△AME≌△CMF(AAS)，
∴AE=CF，
∵AE-BE=AB=2，
∴CF-BE=2，
∴y-x=2，
∴x-y=-2的值不变.
故答案为：B.
【分析】证明△AME≌△CMF， 推出AE=CF可得结论.
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①∵AB=3，AC=4，BC=5
∴
∴△ABC为直角三角形
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC
故①正确；
②∵ △ABD， △ACE， △BCF 都是等边三角形
∴∠ABD=∠CBF=60°，∠BCF=∠ACE=60°，AB=BD=AD，AC=CE=AE，BC=BF
∴∠ABC=∠DBF
在△ABC和△DBF中
BC=BF
∠ABC=∠DBF
AB=BD
∴△ABC≌△DBF（ASA）
∴DF=AC
∴DE=AE
同理可证：△ABC≌△EFC（ASA）
∴AB=EF=3
∴AD=EF=4
∴四边形 AEFD是平行四边形
故②正确；
③∵ △ABD，△ACE都是等边三角形
∴∠BAD=∠CAE=60°
又∵∠BAC=90°
∴ ∠DAE =180°-∠BAD-∠CAE-∠BAC=180°-60°-60°-90°=150°
∵四边形 AEFD是平行四边形
∴ ∠DFE =∠DAE
∴ ∠DFE=150°
故 ③ 正确；
④
如图，作AM⊥DF，交DF于点M
∵△ABC≌△DBF
∴∠BAC=∠BDF=90°，AB=AD=3
∵△ABD是等边三角形
∴∠ADB=60°
∴∠ADE=∠BDF-∠ADB=90°-60°=30°
∴
∴
故 ④ 错误；
故答案为：A.
【分析】
①利用勾股定理逆定理判断即可； ② 证明△ABC和△BDF、△ABC和△EFC全等，再利用两组对边分别相等证明平行四边形即可； ③ 等边三角形内角为60°和①中结论∠BAC为直角，根据周角定义，即可； ④ 作的高AM，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AM，再根据平行四边形面积的公式即可得出答案。
9．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长FG交BC于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=6，
∵GF∥AB，GE∥AC，
∴∠GHE=∠B=60°，∠GEH=∠C=60°，
∴△GEH与△FCH都是等边三角形，
∴GE=GH，FH=HC，
∴HF=GF+GH=GF+GE=HC
∵GD∥BC，FH∥AB，
∴四边形BDGH是平行四边形，
∴DG=BH，
∴DG+EG+FG=BH+HC=BC=6.
故答案为：6.
【分析】延长FG交BC于点H，由等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，AB=BC=6，由二直线平行，同位角相等得∠GHE=∠B=60°及∠GEH=∠C=60°，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△GEH与△FCH都是等边三角形， 由等边三角形的三边相等得GE=GH，FH=HC，从而根据线段和差及等量代换可得GF+GE=HC；由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BDGH是平行四边形，由平行四边形的对边相等得DG=BH，从而根据线段和差及等量代换可得DG+EG+FG=BH+HC=BC，此题得解.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
，
，
点是中点，
，
，
，
，
即，
∴，
故答案为：．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分可求得、的长度，用三角形面积公式求得，然后根据三角形OED的面积可得关于EF的方程，解方程即可求解．
11．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长CM交AD于点N，连结BN
∵AD∥BC
∴∠CBM=∠DNM
∵M为BD的中点
∴BM=DM
在△BCM和△NDM中
∠CBM=∠DNM
∠BMC=∠NMD
BM=DM
∴△BCM≌△NDM（AAS）
∴BC=DN=3，CM=NM
∵AD=6
∴AN=AD-DN=6-3=3
∴BC=AN
∴四边形ABCN是平行四边形
∴AB=CN
∵AC⊥BC
在Rt△ABC中，BC=3，AC=4
∴
∴
故答案为：.
【分析】本题运用了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理。先证明△BCM≌△NDM，得到AN，从而得到四边形ABCN是平行四边形，可到AB=AN=2CM，再用勾股定理求出AB，即可得到CM.
12．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵PE=BE
∴∠EBP=∠EPB
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABP=∠EBP
∴∠ABP=∠EPB
∴AB∥PE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC
∴CD∥PE
∴∠CPE=∠DCP
∵CG是的角平分线
∴∠DCP=∠PCE
∴∠CEP=∠ECP
∴PE=CE
∵PE=3
∴AD=BC=BE+CE=2PE=6
∵AD∥BC
∴∠EBP=∠AFB
∴∠ABP=∠AFB
∴AB=AF=4
同理可证：CD=GD=4
∴GF=AF+GD-AD=4+4-6=2
故答案为：2
【分析】
本题需要用平行四边形性质、角平分线定义、等腰三角形的性质以及线段的和差关系。先证明BE=CE=PE，再证明AB=AF；CD=DG，再利用线段和差关系求出GF.
13．【答案】38
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作，
设，
在图甲中，
由轴对称的性质可得，
，
，
，
，
在图乙中，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
，
解得，
.
故答案为：38.
【分析】设，由轴对称的性质可得，，在图乙中作，利用含角直角三角形的性质可得CF=x+2，A'F=x-8，再利用勾股定理列出关于x的方程，解得x=19，进而求得AB的长度.
14．【答案】（1）证明：连接BD交AC于点O，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥BF
∴∠ABF=90°
∵AB=8，BF=6
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接，根据平行四边形的性质可得，根据已知证得，从而证得结论；
（2）根据勾股定理求出，然后求得，进而求出．
（1）证明：连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴．
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴AE=CF，∠AED=∠CBF，
∴AE/CF，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：∵BD⊥AD，AB=5，BC=AD=3，
∴，
连接AC交EF于O，如图，
∴，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴DE=BF，
设DE=BF=x，
∴EF=2x+4，
∵EF-AF=2，
∴AF=2x+2，
∵AF2=AD2+DF2，
∴(2x+2)2=32+(4+x)2，
∴(负值舍去)，
∴DE的长为
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质，得∠ADB=∠CBD，则∠ADE=∠CBF，根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE=CF，∠AED=∠CBF，从而证明AE//CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
(2)根据勾股定理得到，连接AC交EF于O，求，根据平行四边形的性质得到，设DE=BF=x，根据勾股定理即可得到结论.
1 / 1人教版八年级下数学进阶测试 21.2平行四边形（二阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本8题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2025八下·慈利期中）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意；
D、根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2．（2025八下·广州期中）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE：EF：FB为(　　)
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DCE=∠BEC，
∵CE是∠DCB的平分线，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠CEB=∠BCE，
∴BC=BE=4，
∵F是AB的中点，AB=6，
∴FB=3，
∴EF=BE﹣FB=1，
∴AE=AB﹣EF﹣FB=2，
∴AE：EF：FB=2：1：3，
故答案为B．
【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及线段中点的性质。利用平行四边形对边平行的性质，可得，因此，结合CE是平分线的定义，能推出，进而得到，根据等角对等边可确定；再根据F是AB中点且，求出，接着通过线段的差求出，，最后计算得出。
3．（2025八下·南宁月考）如图，在中，于点，，交的延长线于点．若，，且的周长为40，则的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的周长为40，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的面积为．
故答案为：D．
【分析】首先根据平行四边形的性质可得出，再根据的周长为40，即可得出，进而根据平行四边形的面积计算公式可得出，进一步即可求得，进而即可根据平行四边形的面积计算公式得出的面积为．
4．（2024·灞桥模拟）如图，在中，，点E是的中点，若平分，线段的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长交于，
由题意知，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴是的中点，，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
故选：B．
【分析】利用ASA证明，再根据全等三角形的性质求出，，最后根据三角形的中位线计算求解即可.
5．（2022九上·射洪期中）如图，已知四边形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（　　）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．EF变化不定
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AR，如图，
因为AR不变，
E、F分别是、的中点，
由中位线的性质得，
当点P在上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变
故选：C．
【分析】连接AR，根据三角形中位线定理即可求出答案.
6．如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，
AD=BC=10，AB=CD=6，AD//BC，
∠FBC=∠AFB，∠DEC=∠BCE，
平分，平分，
∠ABF=∠CBF，∠DCE=∠BCE，
∠ABF=∠AFB，∠DEC=∠DCE，
AB=AE=6，DE=DC=6，
EF=AF+DE-AD=6+6-10=2，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质，得到AD//BC，AD=BC，AB=CD，然后根据BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，得到△ABF和△CDE为等腰三角形，然后利用线段的和差计算即可得到EF的长.
7．（2025八上·宁波开学考）如图，在□ABCD中，AB=2，∠D=45°，∠ACD=90°，M是AD的中点，E是AB延长线上的动点，作∠EMF=90°交AC的延长线于点F.记BE=x，CF=y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C．xy D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CM， 设AF， ME交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=90°，
∵∠D=45°，
∴∠CAD=∠D=45°，
∴CA=CD，
∵AM=MD，
∴CM = AM = MD， CM⊥AD，
∵∠AMC=∠EMF=90°，
∴∠AME=∠CMF，
∵∠EAO=∠FMO=90°， ∠AOE=∠FOBE=2M，
∴∠E=∠F，
∴△AME≌△CMF(AAS)，
∴AE=CF，
∵AE-BE=AB=2，
∴CF-BE=2，
∴y-x=2，
∴x-y=-2的值不变.
故答案为：B.
【分析】证明△AME≌△CMF， 推出AE=CF可得结论.
8．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF 都是等边三角形，下列结论：①AB⊥AC ②四边形AEFD是平行四边形 ③∠DFE=150° ④S四边形AEFD =8.其中错误的个数是 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①∵AB=3，AC=4，BC=5
∴
∴△ABC为直角三角形
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC
故①正确；
②∵ △ABD， △ACE， △BCF 都是等边三角形
∴∠ABD=∠CBF=60°，∠BCF=∠ACE=60°，AB=BD=AD，AC=CE=AE，BC=BF
∴∠ABC=∠DBF
在△ABC和△DBF中
BC=BF
∠ABC=∠DBF
AB=BD
∴△ABC≌△DBF（ASA）
∴DF=AC
∴DE=AE
同理可证：△ABC≌△EFC（ASA）
∴AB=EF=3
∴AD=EF=4
∴四边形 AEFD是平行四边形
故②正确；
③∵ △ABD，△ACE都是等边三角形
∴∠BAD=∠CAE=60°
又∵∠BAC=90°
∴ ∠DAE =180°-∠BAD-∠CAE-∠BAC=180°-60°-60°-90°=150°
∵四边形 AEFD是平行四边形
∴ ∠DFE =∠DAE
∴ ∠DFE=150°
故 ③ 正确；
④
如图，作AM⊥DF，交DF于点M
∵△ABC≌△DBF
∴∠BAC=∠BDF=90°，AB=AD=3
∵△ABD是等边三角形
∴∠ADB=60°
∴∠ADE=∠BDF-∠ADB=90°-60°=30°
∴
∴
故 ④ 错误；
故答案为：A.
【分析】
①利用勾股定理逆定理判断即可； ② 证明△ABC和△BDF、△ABC和△EFC全等，再利用两组对边分别相等证明平行四边形即可； ③ 等边三角形内角为60°和①中结论∠BAC为直角，根据周角定义，即可； ④ 作的高AM，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AM，再根据平行四边形面积的公式即可得出答案。
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
9．（2025八下·龙港期中） 如图，点G是等边三角形ABC内任意一点，GD//BC，GE//AC，GF//AB，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，AB=6，则DG+EG+FG=　 　.
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长FG交BC于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=6，
∵GF∥AB，GE∥AC，
∴∠GHE=∠B=60°，∠GEH=∠C=60°，
∴△GEH与△FCH都是等边三角形，
∴GE=GH，FH=HC，
∴HF=GF+GH=GF+GE=HC
∵GD∥BC，FH∥AB，
∴四边形BDGH是平行四边形，
∴DG=BH，
∴DG+EG+FG=BH+HC=BC=6.
故答案为：6.
【分析】延长FG交BC于点H，由等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，AB=BC=6，由二直线平行，同位角相等得∠GHE=∠B=60°及∠GEH=∠C=60°，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△GEH与△FCH都是等边三角形， 由等边三角形的三边相等得GE=GH，FH=HC，从而根据线段和差及等量代换可得GF+GE=HC；由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BDGH是平行四边形，由平行四边形的对边相等得DG=BH，从而根据线段和差及等量代换可得DG+EG+FG=BH+HC=BC，此题得解.
10．（2025八下·宜州期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
四边形是平行四边形，，
，，
，
，
，
，
，
点是中点，
，
，
，
，
即，
∴，
故答案为：．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分可求得、的长度，用三角形面积公式求得，然后根据三角形OED的面积可得关于EF的方程，解方程即可求解．
11．如图，在四边形ABCD 中， ∥M 为BD 的中点，则 CM 的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长CM交AD于点N，连结BN
∵AD∥BC
∴∠CBM=∠DNM
∵M为BD的中点
∴BM=DM
在△BCM和△NDM中
∠CBM=∠DNM
∠BMC=∠NMD
BM=DM
∴△BCM≌△NDM（AAS）
∴BC=DN=3，CM=NM
∵AD=6
∴AN=AD-DN=6-3=3
∴BC=AN
∴四边形ABCN是平行四边形
∴AB=CN
∵AC⊥BC
在Rt△ABC中，BC=3，AC=4
∴
∴
故答案为：.
【分析】本题运用了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理。先证明△BCM≌△NDM，得到AN，从而得到四边形ABCN是平行四边形，可到AB=AN=2CM，再用勾股定理求出AB，即可得到CM.
12．如图，在平行四边形ABCD 中， 的角平分线BF 交AD 于点F， 的角平分线CG 交AD 于点G，两条角平分线在平行四边形内部相交于点 P，连接 PE， 若 则GF的长为　 　.
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵PE=BE
∴∠EBP=∠EPB
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABP=∠EBP
∴∠ABP=∠EPB
∴AB∥PE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC
∴CD∥PE
∴∠CPE=∠DCP
∵CG是的角平分线
∴∠DCP=∠PCE
∴∠CEP=∠ECP
∴PE=CE
∵PE=3
∴AD=BC=BE+CE=2PE=6
∵AD∥BC
∴∠EBP=∠AFB
∴∠ABP=∠AFB
∴AB=AF=4
同理可证：CD=GD=4
∴GF=AF+GD-AD=4+4-6=2
故答案为：2
【分析】
本题需要用平行四边形性质、角平分线定义、等腰三角形的性质以及线段的和差关系。先证明BE=CE=PE，再证明AB=AF；CD=DG，再利用线段和差关系求出GF.
13．（2025八下·余姚期中） 如图，在□ABCD中，∠A=60°，E是AD上一点，连接BE.将△ABE沿BE对折得到△A'BE，当点A'恰好落在边AD上时，A'D=4（图甲)，当点A'恰好落在边CD上时，A'D=6（图乙)，则AB=　 　.
【答案】38
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作，
设，
在图甲中，
由轴对称的性质可得，
，
，
，
，
在图乙中，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
，
解得，
.
故答案为：38.
【分析】设，由轴对称的性质可得，，在图乙中作，利用含角直角三角形的性质可得CF=x+2，A'F=x-8，再利用勾股定理列出关于x的方程，解得x=19，进而求得AB的长度.
阅卷人 三、解答题：本大题共2小题，共11分。
得分
14．（2025八下·成都月考）如图，在中，E，F是对角线上的两点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若．求线段长．
【答案】（1）证明：连接BD交AC于点O，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥BF
∴∠ABF=90°
∵AB=8，BF=6
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接，根据平行四边形的性质可得，根据已知证得，从而证得结论；
（2）根据勾股定理求出，然后求得，进而求出．
（1）证明：连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴．
15．（2025八下·诸暨期中）如图，在中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴AE=CF，∠AED=∠CBF，
∴AE/CF，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：∵BD⊥AD，AB=5，BC=AD=3，
∴，
连接AC交EF于O，如图，
∴，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴DE=BF，
设DE=BF=x，
∴EF=2x+4，
∵EF-AF=2，
∴AF=2x+2，
∵AF2=AD2+DF2，
∴(2x+2)2=32+(4+x)2，
∴(负值舍去)，
∴DE的长为
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质，得∠ADB=∠CBD，则∠ADE=∠CBF，根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE=CF，∠AED=∠CBF，从而证明AE//CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
(2)根据勾股定理得到，连接AC交EF于O，求，根据平行四边形的性质得到，设DE=BF=x，根据勾股定理即可得到结论.
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