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人教版八年级下数学进阶测试 21.2平行四边形（三阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本8题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2024·秦安模拟）如图，在中，是锐角，点F是边的中点，于点E，连接．若，，，则长为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接，取的中点H，连接，设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵与不平行，
∴四边形是梯形，
∵点F是边的中点，
∴是梯形的中位线，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故选B．
【分析】本题重点考查了平行四边形的性质、梯形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质以及勾股定理的应用。解题的关键在于正确添加辅助线。首先连接线段，并找到其中点H，然后连接。设，可以证明是梯形的中位线，从而得到。接着利用直角三角形斜边上的性质，得出。最后通过勾股定理建立方程 ，求解x的值后，即可得到的长度。
2．（2025八下·义乌期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG=AB，连接OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（　　）
A．12 B．15 C．15 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OE，设OF与EG交于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD
∵O为BD中点，E为BC中点，
∴OE=，OECD，
∴∠OEG=∠FGE，
∵∠OHE=∠FHG，
∴ OEH FGH，
∴OH=FH，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵
，
故答案为：B．
【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，由平行四边形性质得OB=OD，AB=CD，由三角形中位线定理得出OE=FG，OE∥FG，由二直线平行，内错角相等得∠OEG=∠FGE，结合对顶角相等，可用“AAS”证△OEH≌△FGH，由全等三角形的对应边相等得OH=FH；设hBE为△BEO中BE边上的高，hBC为平行四边形ABCD中BC边上的高，根据平行四边形的中心对称性可求出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△BOE的面积为；设hAB为为平行四边形ABCD中AB边上的高，hOE是△OEH中OE边上的高，根据平行四边形的中心对称性及全等三角形对应边上的高线相等推出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△EOH的面积为，最后根据全等三角形的面积相等及S阴影=S△BEO+S△OEH+S△GFH计算即可.
3．（2025八下·宁海期中）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG=DH.对于结论：①GF⊥BD；②∠DEH=∠BFG；③EH// GF；④EG=BD.其中正确的为（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
在和中，
∴
∴则②正确；
∴
∴
∴四边形EGFH为平行四边形，则③正确；
∴
则不一定成立，则④错误；
∵不一定等于90°，
∴不正确，则①错误；
综上所述，正确的说法有②③.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得到进而利用"SAS"证明则进而得到结合平行线的判定得到即可证明四边形EGFH为平行四边形，则最后逐项分析即可.
4．（2025八上·奉化期末）如图，在中，，，点在边上，连结．点是的中点，连接．若，则的长是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，取中点为点，连接FE交延长交AC于点G.
，，点为中点，
，，
在中，，
为CD中点，
，
是的中位线，
，
，
点是的中点，点为中点，
故选：B．
【分析】
由于等腰三角形具有三线合一性，因此可取BC中点F，则AF垂直平分BC，可由勾股定理求得AF，又点E是CD中点，则EF是的中位线，则EF平行AB，再延长FE交AC于点G，则FG是中位线，即FG等于AB的一半，再由中线等分三角形的面积可得的面积等于面积的四分之一，再由面积公式即可求得AE长．
5．（2025八下·珠海期末） 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴AO=CO，∠ABC=∠ADC=60°，AD//BC，AD=BC，AB=CD=2，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=AE=BE=2，∠AEB=60°，
∵AB=BC= 2，即BC=4，
∴BE=CE=2=AE，
∴∠EAC=∠ECA=∠AEB= 30°，
∴∠CAD=∠EAD-∠CAE=30°，故A正确，不符合题意；
∵AO=CO，BE=CE，
∴OE=AB=AD，故C正确，不符合题意；
过A作AK⊥BC，
在Rt△ABK中，∠BAK=90°-∠ABC=30° ，∠AKB=90° ，
∴BK=BE=1
∴AK=
∴ ，故B正确，不符合题意；
过D作DH⊥BC，
DH= AK=， ，
∵∠DCH=∠ADC=60°，
∴∠CDH=30° ，
∴CH= CD= 1，则BH=BC+CH=5，
∴BD=故D错误，符合题意
故答案为：D .
【分析】
根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到△ABE是等边三角形，再进行角度的和差运算可判断A；结合已知条件可得OE=AB=AD，可判断C；过A作AK⊥BC，利用30直角三角形的性质可得BK，再利用勾股定理计算可得AK，再代入面颊公式计算可判断B；过D作DH⊥BC，通过30直角三角形的性质和勾股定理计算可判断D，逐一判断即可解答.
6．（2025·黑龙江）如图，在中，，点D、E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，
∵点N是DE的中点，
∴DN=EN，
∵DH∥BC，
∴∠ADH=∠B=90°，
∠DHN=∠ECN，∠HDN=∠ECN，
∴△HDN≌△CEN，
∴HD=CE=3，HN=CN，
在Rt△ADH中：AH=，
又∵M是AC的中点，
∴MN是△ACH的中位线，
∴MN=.
故答案为：A.
【分析】过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，构造全等三角形△HDN≌△CEN，将已知线段进行转化HD=CE=3，利用勾股定理求得线段AH的长度，再利用三角形中位线定理求出线段 MN 的长度。
7．（2022八下·北仑期中）已知点D与点 A（8，0） ，B（0，6），C（ a ， -a ）是一个平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为（　　）
A．8 B． C． D．6
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①当CD为平行四边形的一条边时，如图所示，
∴CD=AB==10；
②当CD为平行四边形的对角线时，连接AB、CD交于点G，如图所示，
∵平行四边形ADBC，A（8，0） ，B（0，6）
∴G（，），即G（4，3），
又∵C（ a ，-a ），
∴CD=2CG=2=2=2，
∴当a=时，CD的值最小，CDmin=2=7.
∵7＜10，
∴CD长的最小值为7.
故答案为：B.
【分析】由题意，需要分两种情况：①当CD为平行四边形的一条边时，②当CD为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形性质及两点间距离公式、完全平方式的性质求出CD的长，再进行大小比较，即可确定CD长的最小值.
8．（2024九上·罗湖月考）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　）
A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，，
∵点E是AB中点，点H是CD中点，
∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，
∴四边形AECH是平行四边形，
∴，
∵点P是DF的中点，点H是CD的中点，
∴PH是△CDF的中位线，
∴，
∴点P在AH上，
∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，
∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，
∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，，
∴∠AHB＝90°，
∴BP的最小值为.
故选：C．
【分析】取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，根据矩形性质可得AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，，再根据线段中点可得CH＝AE＝DH＝BE＝4，根据平行四边形判定定理可得四边形AECH是平行四边形，则，再根据三角形中位线定理可得，当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，根据等边对等角可得∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，，则∠AHB＝90°，即可求出答案.
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
9．（2025八下·镇海区期末）如图，在中，，，，点、分别在线段、上，且，连结，若平分，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 如图，过点B作BH⊥DA交DA延长线于H点，过B作BGIIEF，交AH的延长线于G，
∵BE平分∠AEF，
∴∠GEB=∠FEB，
∵BG∥EF，
∴∠FEB=∠EBG，
∴∠EBG=∠GEB，
∴GB=GE，
∵DE=DF，BG∥EF，
∴DG=DB，GE=BF=GB，
∵∠ABC=60°，AB=3，
∴∠BAH=60°，即∠ABH=30°.
∴AH=AB=，
∴BH=，
∴DH=AD+AH=5+，
∴RtABDH中， BD==7，
∴GH=DG-DH=7-=，
∴在RtABGH中，.GB=，
∴BF=，
∴DF=BD-BF=7-，
∴ DE=7-，
故答案为：7-.
【分析】通过角平分线和平分线得到等腰三角形GBE，再根据平行四边形的性质，得到∠GAB=60°，借助勾股定理求得AH，BHHD，BD，再求GH，GB，最后根据线段的和差倍关系求得DF的长即DE的长.
10．（2025·深圳三模）如图，线段AB与CD相交于点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作 过点D作 于点M， 过点B作BC∥AC交CM于点F， 如图所示：
在 中，
由勾股定理得： ，
∴四边形ABFC是平行四边形，
，
∴当 为最小时， 为最小，根据“两点之间线段最短”得：
∴当点D， B， F在同一条直线上时， 为最小，最小值是线段DF的长，
的最小值是线段DF的长，在 中，
由勾股定理得： ，
的最小值是
故答案为：
【分析】过点C作CM∥AB，过点D作DM⊥CM于点M， 过点B作BC'IAC交CM于点F， 则∠MCD=∠AOC =30°， 进而得 证明四边形ABFC是平行四边形， AF= AB=6，AC = BF， 则AC+BD=BF+BD， 由此得当iBF+BD为最小时，AC+BD为最小，根据“两点之间线段最短”得： BF+BD≤DF， 因此当点D， B， F在同一条直线上时，BF+BD为最小，最小值是线段DF的长，然后在Rt△DFM中， 由勾股定理求出 即可得出AC+BD的最小值.
11．（2025八下·达川期末）如图，在中，是的中点，连接、，是的中点，连接交于点．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：取的中点F，连接，，过点D作DG//MN交BE的延长线与点G，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵E为的中点，为的中点，
∴，，
∴，
∵AB//CD，
∴四边形BFDE和四边形AFED都是平行四边形，
∴，，
∴NG//MD.
∵、为的对角线，M为的中点，
∴为、的交点，
∴.
∵DG//MN，NG//MD，
∴四边形MNGD为平行四边形.
∴NG=DM=3.
∵MN//DG，
∴∠DGE=∠CNE.
∵点E为CD的中点，
∴DE=CE.
又∵∠DEG=∠CEN，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】取的中点F，连接，，过点D作DG//MN交BE的延长线与点G，证明四边形BFDE和四边形AFED都是平行四边形，得出，，证明为、的交点，可得.证明四边形MNGD为平行四边形，可得NG=DM=3.证明△DEG≌△CEN，可得，最后利用线段的和差即可求出结果．
12．（2025八下·浙江月考）如图，在平行四边形中，，，作的平分线交边于点，且有，是边上的动点，且满足，是边上的动点，连接．当时，的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，，AD=BC=8
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD//BC，AG⊥BC于点G，
∴，
∴AG=4.
∵，即，
∴.
∵AD=8，
∴，
∴.
∵BF=BM，∠ABE=∠EBC，BP=BP，
∴△FBP≌△MBP(SAS)，
∴PF=PM，
∴，
∴F，P，N三点共线，且FN⊥CD，此时，F与A重合，P与O重合，C与N重合，
∴
故答案为：.
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，证明AE=AB，利用等面积法可求得AG=4，进而再利用平面四边形的面积公式求得.利用勾股定理计算DK的长，可得DK=DC.证明△FBP≌△MBP，可得PF=PM，继而由，可得F，P，N三点共线，且FN⊥CD，可得F与A重合，P与O重合，C与N重合，继而可得BM的长.
13．（2024·婺城二模）如图，在中，，，点、分别是、上的动点，，连结，作关于的对称线段，当与的某边平行时，　 　．
【答案】6或1或
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；角平分线的概念；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=7，AB=CD=5，
当C'D'∥AD时，如图：
作∠ADC的角平分线DE交BC于点E，则∠ADE=∠EDC，
∵C'D'与CD关于MN对称，C'D'∥AD，
∴MN∥DE，
∴四边形MDEN是平行四边形，
∴NE=MD，
∵AM=CN，
∴BN=MD，
故BE=BN+NE=2MD，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠DEC=∠EDC，
∴EC=DC=5，
∴BE=2MD=BC-CE=2，
∴MD=1，
∴AM=AD-MD=7-1=6；
当C'D'∥AD时，如图：
延长AD，作∠ADC的邻补角∠CDF的角平分线DG交BC的延长线于点G，则∠CDG=∠GDF，
∵C'D'与CD关于MN对称，C'D'∥AD，
∴MN∥DG，
∴四边形MDGN是平行四边形，
∴NG=MD，
∵AM=CN，
∴BN=MD=NG，
故BG=BN+NG=2MD，
∵AD∥BC，
∴∠FDG=∠DGC，
∴∠DGC=∠GDC，
∴GC=DC=5，
∴BG=2MD=BC+CE=7+5=12，
∴MD=6，
∴AM=AD-MD=7-6=1；
当C'D'∥CD时，如图：
则点M、N是AD、BC的中点，
故；
故答案为：6或1或.
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AD∥BC，AD=BC=7，AB=CD=5，当C'D'∥AD时，作∠ADC的角平分线DE交BC于点E，则∠ADE=∠EDC，结合对称可得MN∥DE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等可得NE=MD，结合题意求得BE=BN+NE=2MD，根据两直线平行，内错角相等，推得∠DEC=∠EDC，根据等角对等边可得EC=DC=5，求得MD=1，根据AM=AD-MD求出AM的值、当C'D'∥AD时，延长AD，作∠ADC的邻补角∠CDF的角平分线DG交BC的延长线于点G，则∠CDG=∠GDF，同理根据AM=AD-MD求出AM的值、当C'D'∥CD时，点M、N是AD、BC的中点，根据求出AM的值.
阅卷人 三、解答题：本大题共2小题，共11分。
得分
14．（2024八下·新田月考） 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．
【答案】证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，
∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，
∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PF＝AD，PFAD，EP＝BC，EPBC，
∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠AHF＝∠BGF．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】 连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP， 根据三角形中位线定理得到 PF＝AD，PFAD，EP＝BC，EPBC，再根据平行线的性质得到 ∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP， ，然后利用等腰三角形的性质即可证明结论.
15．（2025八下·长兴期中）已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点．
（1）如图，连接并延长交的延长线于点，求证：；
（2）如图，若，求；
（3）如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边上的中点，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
为的中点，为的中点，
设，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再由平行线的性质及全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，连接并延长交的延长线于点，再由（1）结论及等腰三角形的性质，最后根据平行线的性质即可解答；
（3）连接并延长交的延长线于点，由（1）可得，加上，利用等腰三角形的性质即可得出∠FDM=90°，进而得出为直角三角形，再由勾股定理即可求出结果.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边上的中点，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
为的中点，为的中点，
设，
，
，
，
，
，
．
1 / 1人教版八年级下数学进阶测试 21.2平行四边形（三阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本8题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2024·秦安模拟）如图，在中，是锐角，点F是边的中点，于点E，连接．若，，，则长为（　　）
A．2 B． C． D．
2．（2025八下·义乌期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG=AB，连接OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（　　）
A．12 B．15 C．15 D．
3．（2025八下·宁海期中）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG=DH.对于结论：①GF⊥BD；②∠DEH=∠BFG；③EH// GF；④EG=BD.其中正确的为（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4．（2025八上·奉化期末）如图，在中，，，点在边上，连结．点是的中点，连接．若，则的长是（　　）
A．2 B． C． D．
5．（2025八下·珠海期末） 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．
6．（2025·黑龙江）如图，在中，，点D、E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
7．（2022八下·北仑期中）已知点D与点 A（8，0） ，B（0，6），C（ a ， -a ）是一个平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为（　　）
A．8 B． C． D．6
8．（2024九上·罗湖月考）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　）
A．4 B．8 C． D．
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
9．（2025八下·镇海区期末）如图，在中，，，，点、分别在线段、上，且，连结，若平分，则的长为　 　．
10．（2025·深圳三模）如图，线段AB与CD相交于点，则的最小值为　 　．
11．（2025八下·达川期末）如图，在中，是的中点，连接、，是的中点，连接交于点．若，则的长为　 　．
12．（2025八下·浙江月考）如图，在平行四边形中，，，作的平分线交边于点，且有，是边上的动点，且满足，是边上的动点，连接．当时，的值为　 　．
13．（2024·婺城二模）如图，在中，，，点、分别是、上的动点，，连结，作关于的对称线段，当与的某边平行时，　 　．
阅卷人 三、解答题：本大题共2小题，共11分。
得分
14．（2024八下·新田月考） 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．
15．（2025八下·长兴期中）已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点．
（1）如图，连接并延长交的延长线于点，求证：；
（2）如图，若，求；
（3）如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接，取的中点H，连接，设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵与不平行，
∴四边形是梯形，
∵点F是边的中点，
∴是梯形的中位线，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故选B．
【分析】本题重点考查了平行四边形的性质、梯形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质以及勾股定理的应用。解题的关键在于正确添加辅助线。首先连接线段，并找到其中点H，然后连接。设，可以证明是梯形的中位线，从而得到。接着利用直角三角形斜边上的性质，得出。最后通过勾股定理建立方程 ，求解x的值后，即可得到的长度。
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OE，设OF与EG交于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD
∵O为BD中点，E为BC中点，
∴OE=，OECD，
∴∠OEG=∠FGE，
∵∠OHE=∠FHG，
∴ OEH FGH，
∴OH=FH，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵
，
故答案为：B．
【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，由平行四边形性质得OB=OD，AB=CD，由三角形中位线定理得出OE=FG，OE∥FG，由二直线平行，内错角相等得∠OEG=∠FGE，结合对顶角相等，可用“AAS”证△OEH≌△FGH，由全等三角形的对应边相等得OH=FH；设hBE为△BEO中BE边上的高，hBC为平行四边形ABCD中BC边上的高，根据平行四边形的中心对称性可求出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△BOE的面积为；设hAB为为平行四边形ABCD中AB边上的高，hOE是△OEH中OE边上的高，根据平行四边形的中心对称性及全等三角形对应边上的高线相等推出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△EOH的面积为，最后根据全等三角形的面积相等及S阴影=S△BEO+S△OEH+S△GFH计算即可.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
在和中，
∴
∴则②正确；
∴
∴
∴四边形EGFH为平行四边形，则③正确；
∴
则不一定成立，则④错误；
∵不一定等于90°，
∴不正确，则①错误；
综上所述，正确的说法有②③.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得到进而利用"SAS"证明则进而得到结合平行线的判定得到即可证明四边形EGFH为平行四边形，则最后逐项分析即可.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，取中点为点，连接FE交延长交AC于点G.
，，点为中点，
，，
在中，，
为CD中点，
，
是的中位线，
，
，
点是的中点，点为中点，
故选：B．
【分析】
由于等腰三角形具有三线合一性，因此可取BC中点F，则AF垂直平分BC，可由勾股定理求得AF，又点E是CD中点，则EF是的中位线，则EF平行AB，再延长FE交AC于点G，则FG是中位线，即FG等于AB的一半，再由中线等分三角形的面积可得的面积等于面积的四分之一，再由面积公式即可求得AE长．
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴AO=CO，∠ABC=∠ADC=60°，AD//BC，AD=BC，AB=CD=2，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=AE=BE=2，∠AEB=60°，
∵AB=BC= 2，即BC=4，
∴BE=CE=2=AE，
∴∠EAC=∠ECA=∠AEB= 30°，
∴∠CAD=∠EAD-∠CAE=30°，故A正确，不符合题意；
∵AO=CO，BE=CE，
∴OE=AB=AD，故C正确，不符合题意；
过A作AK⊥BC，
在Rt△ABK中，∠BAK=90°-∠ABC=30° ，∠AKB=90° ，
∴BK=BE=1
∴AK=
∴ ，故B正确，不符合题意；
过D作DH⊥BC，
DH= AK=， ，
∵∠DCH=∠ADC=60°，
∴∠CDH=30° ，
∴CH= CD= 1，则BH=BC+CH=5，
∴BD=故D错误，符合题意
故答案为：D .
【分析】
根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到△ABE是等边三角形，再进行角度的和差运算可判断A；结合已知条件可得OE=AB=AD，可判断C；过A作AK⊥BC，利用30直角三角形的性质可得BK，再利用勾股定理计算可得AK，再代入面颊公式计算可判断B；过D作DH⊥BC，通过30直角三角形的性质和勾股定理计算可判断D，逐一判断即可解答.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，
∵点N是DE的中点，
∴DN=EN，
∵DH∥BC，
∴∠ADH=∠B=90°，
∠DHN=∠ECN，∠HDN=∠ECN，
∴△HDN≌△CEN，
∴HD=CE=3，HN=CN，
在Rt△ADH中：AH=，
又∵M是AC的中点，
∴MN是△ACH的中位线，
∴MN=.
故答案为：A.
【分析】过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，构造全等三角形△HDN≌△CEN，将已知线段进行转化HD=CE=3，利用勾股定理求得线段AH的长度，再利用三角形中位线定理求出线段 MN 的长度。
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①当CD为平行四边形的一条边时，如图所示，
∴CD=AB==10；
②当CD为平行四边形的对角线时，连接AB、CD交于点G，如图所示，
∵平行四边形ADBC，A（8，0） ，B（0，6）
∴G（，），即G（4，3），
又∵C（ a ，-a ），
∴CD=2CG=2=2=2，
∴当a=时，CD的值最小，CDmin=2=7.
∵7＜10，
∴CD长的最小值为7.
故答案为：B.
【分析】由题意，需要分两种情况：①当CD为平行四边形的一条边时，②当CD为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形性质及两点间距离公式、完全平方式的性质求出CD的长，再进行大小比较，即可确定CD长的最小值.
8．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，，
∵点E是AB中点，点H是CD中点，
∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，
∴四边形AECH是平行四边形，
∴，
∵点P是DF的中点，点H是CD的中点，
∴PH是△CDF的中位线，
∴，
∴点P在AH上，
∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，
∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，
∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，，
∴∠AHB＝90°，
∴BP的最小值为.
故选：C．
【分析】取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，根据矩形性质可得AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，，再根据线段中点可得CH＝AE＝DH＝BE＝4，根据平行四边形判定定理可得四边形AECH是平行四边形，则，再根据三角形中位线定理可得，当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，根据等边对等角可得∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，，则∠AHB＝90°，即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 如图，过点B作BH⊥DA交DA延长线于H点，过B作BGIIEF，交AH的延长线于G，
∵BE平分∠AEF，
∴∠GEB=∠FEB，
∵BG∥EF，
∴∠FEB=∠EBG，
∴∠EBG=∠GEB，
∴GB=GE，
∵DE=DF，BG∥EF，
∴DG=DB，GE=BF=GB，
∵∠ABC=60°，AB=3，
∴∠BAH=60°，即∠ABH=30°.
∴AH=AB=，
∴BH=，
∴DH=AD+AH=5+，
∴RtABDH中， BD==7，
∴GH=DG-DH=7-=，
∴在RtABGH中，.GB=，
∴BF=，
∴DF=BD-BF=7-，
∴ DE=7-，
故答案为：7-.
【分析】通过角平分线和平分线得到等腰三角形GBE，再根据平行四边形的性质，得到∠GAB=60°，借助勾股定理求得AH，BHHD，BD，再求GH，GB，最后根据线段的和差倍关系求得DF的长即DE的长.
10．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作 过点D作 于点M， 过点B作BC∥AC交CM于点F， 如图所示：
在 中，
由勾股定理得： ，
∴四边形ABFC是平行四边形，
，
∴当 为最小时， 为最小，根据“两点之间线段最短”得：
∴当点D， B， F在同一条直线上时， 为最小，最小值是线段DF的长，
的最小值是线段DF的长，在 中，
由勾股定理得： ，
的最小值是
故答案为：
【分析】过点C作CM∥AB，过点D作DM⊥CM于点M， 过点B作BC'IAC交CM于点F， 则∠MCD=∠AOC =30°， 进而得 证明四边形ABFC是平行四边形， AF= AB=6，AC = BF， 则AC+BD=BF+BD， 由此得当iBF+BD为最小时，AC+BD为最小，根据“两点之间线段最短”得： BF+BD≤DF， 因此当点D， B， F在同一条直线上时，BF+BD为最小，最小值是线段DF的长，然后在Rt△DFM中， 由勾股定理求出 即可得出AC+BD的最小值.
11．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：取的中点F，连接，，过点D作DG//MN交BE的延长线与点G，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵E为的中点，为的中点，
∴，，
∴，
∵AB//CD，
∴四边形BFDE和四边形AFED都是平行四边形，
∴，，
∴NG//MD.
∵、为的对角线，M为的中点，
∴为、的交点，
∴.
∵DG//MN，NG//MD，
∴四边形MNGD为平行四边形.
∴NG=DM=3.
∵MN//DG，
∴∠DGE=∠CNE.
∵点E为CD的中点，
∴DE=CE.
又∵∠DEG=∠CEN，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】取的中点F，连接，，过点D作DG//MN交BE的延长线与点G，证明四边形BFDE和四边形AFED都是平行四边形，得出，，证明为、的交点，可得.证明四边形MNGD为平行四边形，可得NG=DM=3.证明△DEG≌△CEN，可得，最后利用线段的和差即可求出结果．
12．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，，AD=BC=8
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD//BC，AG⊥BC于点G，
∴，
∴AG=4.
∵，即，
∴.
∵AD=8，
∴，
∴.
∵BF=BM，∠ABE=∠EBC，BP=BP，
∴△FBP≌△MBP(SAS)，
∴PF=PM，
∴，
∴F，P，N三点共线，且FN⊥CD，此时，F与A重合，P与O重合，C与N重合，
∴
故答案为：.
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，作AK⊥CD于点K，在AB上截取BF=BM，连接PF，证明AE=AB，利用等面积法可求得AG=4，进而再利用平面四边形的面积公式求得.利用勾股定理计算DK的长，可得DK=DC.证明△FBP≌△MBP，可得PF=PM，继而由，可得F，P，N三点共线，且FN⊥CD，可得F与A重合，P与O重合，C与N重合，继而可得BM的长.
13．【答案】6或1或
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；角平分线的概念；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=7，AB=CD=5，
当C'D'∥AD时，如图：
作∠ADC的角平分线DE交BC于点E，则∠ADE=∠EDC，
∵C'D'与CD关于MN对称，C'D'∥AD，
∴MN∥DE，
∴四边形MDEN是平行四边形，
∴NE=MD，
∵AM=CN，
∴BN=MD，
故BE=BN+NE=2MD，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠DEC=∠EDC，
∴EC=DC=5，
∴BE=2MD=BC-CE=2，
∴MD=1，
∴AM=AD-MD=7-1=6；
当C'D'∥AD时，如图：
延长AD，作∠ADC的邻补角∠CDF的角平分线DG交BC的延长线于点G，则∠CDG=∠GDF，
∵C'D'与CD关于MN对称，C'D'∥AD，
∴MN∥DG，
∴四边形MDGN是平行四边形，
∴NG=MD，
∵AM=CN，
∴BN=MD=NG，
故BG=BN+NG=2MD，
∵AD∥BC，
∴∠FDG=∠DGC，
∴∠DGC=∠GDC，
∴GC=DC=5，
∴BG=2MD=BC+CE=7+5=12，
∴MD=6，
∴AM=AD-MD=7-6=1；
当C'D'∥CD时，如图：
则点M、N是AD、BC的中点，
故；
故答案为：6或1或.
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AD∥BC，AD=BC=7，AB=CD=5，当C'D'∥AD时，作∠ADC的角平分线DE交BC于点E，则∠ADE=∠EDC，结合对称可得MN∥DE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等可得NE=MD，结合题意求得BE=BN+NE=2MD，根据两直线平行，内错角相等，推得∠DEC=∠EDC，根据等角对等边可得EC=DC=5，求得MD=1，根据AM=AD-MD求出AM的值、当C'D'∥AD时，延长AD，作∠ADC的邻补角∠CDF的角平分线DG交BC的延长线于点G，则∠CDG=∠GDF，同理根据AM=AD-MD求出AM的值、当C'D'∥CD时，点M、N是AD、BC的中点，根据求出AM的值.
14．【答案】证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，
∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，
∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PF＝AD，PFAD，EP＝BC，EPBC，
∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠AHF＝∠BGF．
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】 连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP， 根据三角形中位线定理得到 PF＝AD，PFAD，EP＝BC，EPBC，再根据平行线的性质得到 ∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP， ，然后利用等腰三角形的性质即可证明结论.
15．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边上的中点，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
为的中点，为的中点，
设，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再由平行线的性质及全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，连接并延长交的延长线于点，再由（1）结论及等腰三角形的性质，最后根据平行线的性质即可解答；
（3）连接并延长交的延长线于点，由（1）可得，加上，利用等腰三角形的性质即可得出∠FDM=90°，进而得出为直角三角形，再由勾股定理即可求出结果.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边上的中点，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
为的中点，为的中点，
设，
，
，
，
，
，
．
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