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(共25张PPT)
第9章　二次根式
9.2　二次根式的乘法与除法
第2课时　二次根式的除法
　二次根式的除法法则
1.下列计算正确的是 ( )
A. ÷ =4　　　 B.3 ÷2 =1
C. ÷ =2　　　 D. ÷ =2
C
解析 A选项, ÷ = =2;B选项,3 ÷2 =1.5;C选项,
÷ = =2;D选项, ÷ = = = .故选C.
2.(2025山东济宁育才学校期中)墨迹覆盖了等式 ÷■=
中的除数,则被墨迹覆盖住的数是 ( )
A.-3 　　　 B.3 　　　 C.-6 　　　 D.6
B
解析　∵ ÷ = = =3 ,
∴“■”处的数为3 ,故选B.
3.(2024江苏南京中考)计算: =__________.
2
解析 = = = =2 .
4.已知一个三角形的面积为 ,一边长为 ,则这条边上的
高为_________.
4
解析　∵S= ah,∴h= = =2 =2 =4.
5.计算:
(1) ÷ .(2) ÷ .
(3)-4 ÷ .
解析 (1) ÷ = = = .
(2) ÷ = = .
(3)-4 ÷ =
= =-7 .
　二次根式除法法则的逆用
6.下列计算错误的是 ( )
A. = 　　　 B. =
C. = 　　　 D. =
C
解析　当被开方数是带分数时,要先化成假分数,再化简.
= = ,故选项C中的计算错误.
7.(2025湖北孝感汉川期中)等式 = 成立的条件是
( )
A.x≥-1　　　 B.x≤3
C.-1≤x≤3　　　 D.-1 D
解析　根据商的算术平方根的性质,得 解不等式组,
得-18.【学科特色·教材变式】(2025山东青岛二中月考)化简:
(1) =_________.(2) =_________.
(3) =_________.(4) =_________.
解析 (1) = = .
(2) = = .
(3) = = = .
(4) = = = .
　分母有理化
9.计算 的结果是 ( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
A
解析 = = ,故选A.
10.(2025四川成都八区联考期末)无理数 的倒数是 ( )
A. 　　　 B.- 　　　 C. 　　　 D.-
C
解析 的倒数为 = = ,故选C.
11.在将式子 (m>0)化简时,小明的方法是 = =
= ,小亮的方法是 = = ,小丽的方法是 =
= = .则下列说法正确的是 ( )
A.小明、小亮的方法正确,小丽的方法不正确
B.小明、小丽的方法正确,小亮的方法不正确
C.小明、小亮、小丽的方法都正确
D.小明、小丽、小亮的方法都不正确
C
解析　小明的方法是原式的分子、分母都乘有理化因式 ,
再化简得到结果;小亮的方法是将分子利用二次根式的性质
进行变形,再约去分子与分母的公因式;小丽的方法是将分子
利用二次根式的性质进行变形,再利用二次根式的除法法则
进行计算.他们三个的方法都正确.
12.(2025上海浦东新区洋泾中学南校期末)写出 的一个
有理化因式:____________________.
(答案不唯一)
解析　两个二次根式相乘时,它们的积不含二次根式,这样的
两个式子互为有理化因式.∵ · =2a+b,∴
的一个有理化因式为 .(答案不唯一)

13.(2025河北廊坊安次期中,★☆☆)计算6 × ÷2 的
结果是 ( )
A.-4　　　 B.-2 　　　 C.40　　　 D.7
D
解析 6 × ÷2 = × = ×
=7.
14.(2025山东烟台蓬莱期中,★☆☆)估计(3 - )÷ 的值
应在 ( )
A.3和4之间　　　 B.4和5之间
C.5和6之间　　　 D.6和7之间
B
解析 (3 - )÷ =3 - =3 - =3 -2=
-2.∵6< <7,∴4< -2<5,故选B.
15.(2025山东德州天衢新区期中,★★☆)小明是这样化简
的: = = = = = ,则他没有用到的数学知识
是 ( )
A. = (a≥0,b>0)
B.分数的基本性质
C.( )2=a(a≥0)
D. =a(a≥0)
C
解析　第一步, = ,这一步运用了 = (a≥0,b>0),故选
项A不符合题意;第二步, = ,这一步运用了分数的基本
性质,故选项B不符合题意;第三步, = ,这是对乘法运
算结果的整理;第四步, = ,逆用了 = (a≥0,b>0);
第五步, = ,这一步运用了 =a(a≥0),故选项D不符合
题意.在整个化简过程中,没有用到( )2=a(a≥0),故选C.
16.(2025山东济南莱芜期中,★★☆)如果ab>0,a+b<0,那么下
列各式中计算正确的是 ( )
A. = 　　　 B. × =1
C. ÷ =b　　　 D.( )2=-ab
B
解析　∵ab>0,a+b<0,∴a<0,b<0,∴ = = , × =
= =1, ÷ = = = =|b|=-b,( )2=
ab,故选项A,C,D计算错误,选项B计算正确.
17.(★★☆)老师在复习“二次根式”时,在黑板上写出下面
的一道题作为练习:已知 =a, =b,用含a,b的代数式表示
.小豪、小麦两位同学走上讲台,书写了下面两种解法:
小豪: = = = = = = .
小麦: = =7 ,因为 = = = = ,所以
=7 = .
老师看罢,提出下面的问题:
(1)两位同学的解法都正确吗
(2)请你说明理由.
解析 (1)两位同学的解法都正确.
(2)观察两位同学的解答过程可知,都符合二次根式的性质,所
得结果可相互转换, = = = ,∴两位同学的
解法都正确.

18.【新课标·推理能力】阅读材料,并解决下列问题.
在比较同号两数的大小时,可以通过比较两个数的商与1的大
小来判断这两个数的大小,如当a,b都是正数时,①若 >1,则a>
b;②若 =1,则a=b;③若 <1,则a法称为作商法.
(1)请用上述方法比较5 与7 的大小.
(2)写出 与 (a为正整数)的大小关系,并证明你的结论.
解析 (1)∵ < ,∴ = <1,∴5 <7 .
(2) < .
证明: ÷ = × = × =
.∵( +2)2-1<( +2)2,
∴ ÷ <1,∴ < .(共16张PPT)
第9章　二次根式
9.3　二次根式的加法与减法
第1课时　二次根式的加法与减法
　同类二次根式
1.(2025山东临沂莒南期中)下列二次根式中,可与 进行合并
的二次根式为 ( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
A
解析 A. =4 ,可以与 合并,故此选项符合题意;B.
不可以与 合并,故此选项不符合题意;C. =3 ,不可以与
合并,故此选项不符合题意;D. 不可以与 合并,故此选
项不符合题意.故选A.
2.(2025山东烟台栖霞期中)下列二次根式中,是同类二次根式
的是 ( )
A. 与 　　　 B. 与
C.2b 与b 　　　 D. 与
B
解析　选项A, =2 , =2 ,∴ 与 不是同类二次根
式;选项B, =x , =2 ,∴ 与 是同类二次
根式;选项C,b =b· = ,∴2b 与b 不是同类二次根
式;选项D, =|a| , =|b| ,∴ 与 不是同类二
次根式.
　二次根式的加减法则
3.(2025重庆彭水五校联考期中)下列计算正确的是 ( )
A. - = 　　　 B. + =
C.2 -6 =-4　　　 D.3 - =2
D
解析 =2 ,与- 不是同类二次根式,无法合并,故选项A
计算错误; + =2+3=5≠ = ,故选项B计算错误;
2 -6 =(2-6)× =-4 ≠-4,故选项C计算错误;3 - =(3-
1)× =2 ,故选项D计算正确.
4.(2024吉林长春中考)计算: - =_________.
解析 - =2 - = .
5.(2025河北唐山十二中二模)已知n为正整数,若计算 -
的结果为2 ,则n=__________.
50
解析　由题意可得 - =2 ,∴ =2 + =2 +3 =
5 = ,∴n=50.
6.计算:(1)2 -6 +3 .
(2)5 + -x .
(3) -(2 - ).
解析 (1)原式=4 -2 +12 =14 .
(2)原式= + -2 =0.
(3)原式= -
= - - +2 = + .

7.(2025河北廊坊安次期中,★☆☆)若a+ = ,则表示实数
a的点会落在数轴上的 ( )

A.①段　　　 B.②段　　　 C.③段　　　 D.④段
B
解析　∵a+ = ,∴a= - =3 -2 = ,∵ < <
,∴1< <2,即1故表示实数a的点会落在数轴上的②段.故选B.
8.(2025福建莆田仙游月考,★★☆)若最简二次根式- 与
能够合并,则a-b=_________.
0
解析　∵最简二次根式- 与 能够合并,
∴- 与 是同类二次根式,
∴ 解得 ∴a-b=2-2=0.
9.【学科特色·分类讨论思想】(2025安徽合肥庐江月考,★★
☆)已知一等腰三角形的周长为12 ,其中一边长2 ,则这个
等腰三角形的腰长为__________.
5
解析　分情况讨论:①当腰长为2 时,底边长为12 -2 -
2 =8 ,∵2 +2 =4 <8 ,∴长为2 ,2 ,8 的三条
线段不能构成三角形,舍去;②当底边长为2 时,腰长为
=5 ,2 ,5 ,5 满足三角形的三边关系,符合题
意.综上所述,这个等腰三角形的腰长为5 .
10.(2025北京人大附中期中,★★☆)若 +2 +2x =12,
则x的值为_________.
2
解析　∵ +2 +2x =12,∴3 + +2 =12,
即3 + +2 =12,∴6 =12,解得x=2.经检验,x=2符合
题意.
11.(★★☆)嘉淇准备完成题目:
计算: - .他发现数字“■”印刷不清
楚.
(1)他把“■”猜成3,请你计算:
- .
(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是0.”
请你通过计算说明原题中“■”是多少.
解析 (1)原式= - = -
= -2 - +2 = .
(2)设“■”是a,则原式= - =
- = a-2 - +2 = =0,则 a-
12=0,解得a=4 ,即原题中“■”是4 .(共29张PPT)
第9章　二次根式
9.2　二次根式的乘法与除法
第1课时　二次根式的乘法
　二次根式的乘法法则
1.(2024江苏南通中考)计算 × 的结果是( )
A.9　　　 B.3　　　 C.3 　　　 D.
B
解析 × = = =3,故选B.
2.(2025湖北武汉武昌拼搏联盟期中)下列运算正确的是 ( )
A. × = 　　　 B.9 × =
C. × =18　　　 D. × =6
D
解析 × = ×2=2 ,故选项A计算错误;9 × =
9 =9 =9× =3,故选项B计算错误; × = =
=3 ,故选项C计算错误; × = = =6,故选项D计
算正确.
3.(2025内蒙古通辽开鲁期中)与 的乘积仍为无理数的是
( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
B
解析 × =2,2不是无理数,故选项A不符合题意; × =
, 是无理数,故选项B符合题意; × = =4,4不是无
理数,故选项C不符合题意; × = =1,1不是无理数,故选
项D不符合题意.故选B.
4.(2025四川凉山州模拟)若 · = ,则实数x的取
值范围是___________.
x>2
解析　根据题意可知x+2≥0, >0,∴x-2>0,解x+2≥0,得x≥
-2,解x-2>0,得x>2,∴实数x的取值范围是x>2.
5.蔬菜是人们日常饮食中必不可少的食物之一,可以提供人体
所必需的多种维生素、矿物质等营养物质,小明家有一块长
为 米,宽为 米的用来种植蔬菜的长方形田地,则该长方
形田地的面积为__________平方米.
8
解析　∵长方形的面积=长×宽,∴长方形田地的面积为 ×
= = =8 (平方米).
6.计算 ×7 × 的结果是__________.
8
解析　原式= × =4×2 =8 .
　二次根式乘法法则的逆用
7.(2025广西河池宜州期中)使 = · 成立
的条件是 ( )
A.x≤3　　 　 B.x≥-2
C.-2≤x≤3　　　 D.-2 C
解析　由题意得, 解不等式组,得-2≤x≤3.
8.(2025广东汕头金平金园实验中学期中)下列各式计算正确
的是 ( )
A. = × =(-2)×(-4)=8
B. =4a(a≥0)
C. =3+4=7
D. = × =9×1=9
D
解析　∵ 和 无意义,∴选项A计算错误;
∵ =2 a(a≥0),∴选项B计算错误;
∵ = =5,∴选项C计算错误;
∵ = = × =9×1=9,
∴选项D计算正确.故选D.
9.化简:(1) .(2) (m≥0,n≥0).
(3) .(4) .
解析 (1)原式= = × =10 .
(2)∵m≥0,n≥0,∴原式= =3m .
(3)原式= = × =8×9=72.
(4)原式= =
= × =13×11=143.
方法点拨　在运用 = · (a≥0,b≥0)进行化简时,一是注意公式中字母的符号;二是注意被开方式一定要是乘积的形式;三是当被开方式为乘积的形式时,不要急于相乘,可以先将能开得尽方的因式提取出来.
　最简二次根式
10.(2025山东聊城阳谷实验中学月考)下列二次根式中,是最
简二次根式的是 ( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
B
解析 的被开方数是分数,不是最简二次根式,故选项A不
符合题意; 满足最简二次根式的定义,是最简二次根式,故选
项B符合题意; 的被开方数是小数,不是最简二次根式,故
选项C不符合题意; = ,被开方数中含有能开得尽方
的因数25,不是最简二次根式,故选项D不符合题意.
11.下列各式中,哪些是最简二次根式 把不是最简二次根式的
化成最简二次根式.
(1) .(2) .(3) .
(4) (a≥0).(5) .
解析 (1) 是最简二次根式.
(2)不是最简二次根式, =6 .
(3)不是最简二次根式, =5a .
(4) (a≥0)是最简二次根式.
(5)不是最简二次根式, =(a+b) .

12.(2025湖北宜昌十六中教联体期中,★☆☆)下列整数x的值
能使 为最简二次根式的是 ( )
A.10　　　 B.20　　　 C.30　　　 D.40
D
解析　当x=10时, = = ,不是最简二次根式,故选
项A不符合题意;当x=20时, = = ,不是最简二次
根式,故选项B不符合题意;当x=30时, = = ,不是
最简二次根式,故选项C不符合题意;当x=40时, =
= ,是最简二次根式,故选项D符合题意.
13.(2025山东淄博临淄期中,★★☆)对于任意不相等的两个
实数a,b,定义运算如下:a※b= ,例如3※2= = ,那
么8※12的值为( )
A. 　　　 B.- 　　　 C. 　　　 D.-
B
解析　∵a※b= ,∴8※12= =- =- ,故选B.
14.(2025山东淄博张店期中,★★☆)把-x 根号外的因式移
到根号内,结果为 ( )
A. 　　　 B.-
C. 　　　 D.-
A
解析　根据二次根式有意义的条件,得- >0,∴x<0,∴-x =
= ,故选A.
15.(★★☆)若 =a, =b,则 可以表示为 ( )
A.10 　　　 B.100 　　　
C.10ab　　　 D.100ab
C
解析 = = × × =10ab.
16.(2025广东汕头金平金园实验中学期中,★★☆)已知任意
三角形的三边长,如何求三角形的面积 海伦在他的著作《测
地术》一书中,给出了海伦公式S= ①,其
中a,b,c是三角形的三边长,p= ,S为三角形的面积,并给
出了证明.我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边
长求面积的秦九韶公式S= ②,对公式
②进行整理变形,发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一
个公式,所以我们也称①为海伦-秦九韶公式.在△ABC中,若
BC=4,AC=5,AB=7,则△ABC的面积为( )
A.4 　　　 B.8 　　　 C.4 　　　 D.8
C
解析　∵BC=4,AC=5,AB=7,∴p= = =8,
∴S△ABC= = =
4 ,故选C.
17.【学科特色·易错题】(2025山东临沂兰山期中,★★★)已
知ab≠0,且a　-a
解析　∵-a2b≥0,∴a2b≤0.∵ab≠0,∴a2b<0.
∵a2>0,∴b<0.∵a∴ = · =|a|· =-a .
易错警示　本题易因忽略条件a<0,b<0而得到错误答案a .
18.(★★☆)计算 × 的结果为__________,这个数对应的点
落在了数轴上的______段.
　④
2
解析 × = =2 .∵9<12<16,∴3< <4,则这个数对
应的点落在了数轴上的④段.

19.【新课标·运算能力】(2025河南漯河临颍期中)
【观察计算】
(1)4+3______2 ;
1+ ______2 ;
5+5______2 .(填“>”“<”或“=”)
【归纳发现】
(2)比较m+n与2 (m≥0,n≥0)的大小,并说明理由.
【实践应用】
(3)设计师要对某区域进行设计改造,将该区域用篱笆围成一
个长方形花圃,如图,该花圃恰好可以借用一段墙体,若要围成
一个面积为200平方米的花圃,则所用的篱笆至少需要多少
米

解析 (1)∵4+3=7= ,2 = ,∴4+3>2 .∵1+ =
= ,2 = = ,∴1+ >2 .
∵5+5=10,2 =10,∴5+5=2 .
(2)m+n≥2 .理由:∵m≥0,n≥0,∴m=( )2,n=( )2,∴m+n
-2 =( )2+( )2-2 =( - )2≥0,∴m+n≥2 .
(3)设长方形花圃与墙平行的一边长为x(x>0)米,与墙垂直的一
边长为y(y>0)米,由题意得所用篱笆长为(x+2y)米,xy=200,由
(2)可得x+2y≥2 ,∵2 =2 =2 =40,∴x+2y≥
40,∴所用的篱笆至少需要40米.(共23张PPT)
第9章　二次根式
9.3　二次根式的加法与减法
第2课时　二次根式的混合运算
　二次根式的混合运算
1.(2025山东烟台莱州期中)下列计算错误的是 ( )
A. ÷ =2
B.(3- )2=11-6
C.(4 -3 )÷2 =2-
D.( +7)( -7)=-2
D
解析　选项A, ÷ = =2 ,正确,不符合题意;选
项B,(3- )2=9-6 +2=11-6 ,正确,不符合题意;选项C,(4 -
3 )÷2 =2- ,正确,不符合题意;选项D,( +7)( -7)=5-
49=-44,原计算错误,符合题意.
2.(2025山东日照期中)在算式“( +1)□( -1)”的“□”
中填上一种运算符号,使其运算结果为有理数,则“□”中填
入的运算符号可能为( )
A.+　　　 B.÷ C.+或×　　　 D.-或×
D
解析 ( +1)+( -1)=2 ,结果不是有理数,故选项A,C不符
合题意;( +1)÷( -1)= =3+2 ,结果不是有理数,故
选项B不符合题意;( +1)×( -1)=2-1=1,结果是有理数,( +
1)-( -1)=2,结果是有理数,故选项D符合题意.
3.(2025陕西延安志丹期中)化简( - )2 025( + )2 024的结果
为 ( )
A. + 　　　 B. - C.1　　　 D.-1
B
解析　原式=( - )2 024×( + )2 024×( - )=
×( - )=12 024×( - )= - ,故
选B.
4.按如图所示的程序计算,若开始输入的n值为 ,则最后输出
的结果是 ( )

A.14　　　 B.16　　　 C.8+5 　　　 D.14+
C
解析　当n= 时,n(n+1)=2+ <15;当n=2+ 时,n(n+1)=8+
5 >15,∴输出结果为8+5 .故选C.
5.【学科特色·多解法】计算: ÷ =_________.
3
解析　【解法一】原式= ÷ =(4 - )÷ =
3 ÷ =3.
【解法二】原式=4 ÷ -3 ÷ =4-3 =4-3 =
4-3× =4-1=3.
6.计算:(1) + ( - )+ .
(2)4 - + × -( )0.
(3) ÷ + × - .
解析 (1)原式= +1+3-3 +2 =4.
(2)原式=2 -2 + -1=3-1=2.
(3)原式= + - =3+ - =3+ .
7.计算下列各题:
(1)(3 - )( +2 ).
(2)( - )2-( + )2.
(3)( - )( + )-( +1)2.
解析 (1)原式=( - )( + )
=( )2-( )2=18-12=6.
(2)原式=( - + + )( - - - )
=2 ×(-2 )=-4 .
(3)原式=(7-3)-(3+2 +1)=7-3-3-2 -1=-2 .
方法点拨　在进行二次根式的混合运算时,灵活运用乘法公
式可简化计算过程.
8.(2025山东烟台莱州期中)已知x=2- ,y=2+ .
(1)求x+y和xy的值.
(2)求x2+y2-3xy的值.
(3)若x的小数部分是a,y的整数部分是b,求ax-by的值.
解析 (1)∵x=2- ,y=2+ ,∴x+y=2- +2+ =4,xy=
(2- )(2+ )=4-3=1.
(2)∵x+y=4,xy=1,
∴x2+y2-3xy=(x+y)2-5xy=42-5×1=11.
(3)∵1< <2,∴3<2+ <4,-2<- <-1,∴0<2- <1.∵x的小数
部分是a,y的整数部分是b,∴a=2- ,b=3,∴ax-by=(2- )(2-
)-3(2+ )=4-4 +3-6-3 =1-7 .

9.【学科特色·整体思想】(★★☆)如图,从一个大正方形中截
去面积为S1和S2的两个小正方形,若阴影部分的周长和面积分
别是8 +12 和24 ,则S1+S2的值是 ( )

A.48　　　 B.48 　　　 C.62　　　 D.62
C
解析　由题意得,题图中阴影部分为两个大小相同的长方形,
设阴影部分的一个长方形的一边长为a,其邻边长为b,根据题
意,得 ∴a+b=2 +3 ,∴S1+S2=a2+b2=(a+
b)2-2ab=(2 +3 )2-24 =8+24 +54-24 =62.
10.(2025山东烟台栖霞期中,★★☆)幻方是一种传统游戏,类
比幻方,我们给出如图所示的方格,要使方格中横向、纵向及
对角线方向上的实数相乘的结果都相等,则(A+B)×D+C的值
为____________.
12+
解析　由题意可得A= × ×5 ÷5 =2 ,B= ×
×5 ÷10 =1,C= × ×5 ÷5 =2,D= × ×
5 ÷10 = ,
则(A+B)×D+C=(2 +1)× +2=10+ +2=12+ .
11.【新考向·阅读理解题】(★★☆)阅读下列材料:(3+ )(3-
)=32-( )2=6,像3+ 和3- 这样两个含有根式的代数式,
它们的积不含根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,
其中一个代数式是另一个代数式的有理化因式.请运用上面
的知识解决下列问题:
(1)指出 - 的一个有理化因式,并将 化简为分母中
不含根式的式子.
(2)通过化简,比较 和 的大小关系.
(3)已知 + =8, - =a.
①求a的值.
②结合①的结果,解方程: + =8.
解析 (1)∵( - )( + )=( )2-( )2=3,∴ - 的一个
有理化因式是 + (答案不唯一). =
= .
(2) = = .∵ > , > ,
∴ + > + ,∴ > ,
∴ > .
(3)①∵ + =8, - =a,
∴( + )( - )=8a,
∴20-x-(4-x)=8a,∴16=8a,∴a=2.
②由①知 - =2,∵ + =8,
两等式相加,得2 =10,∴ =5,∴20-x=25,解得x=-5.

12.【新课标·创新意识】【阅读学习】
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另
一个式子的平方,如3+2 =(1+ )2.善于思考的小明进行了
以下探索:
设a+b =(m+n )2(其中a,b,m,n均为整数),则a+b =m2+2n2+
2mn .
∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把形如a+b 的式
子化成平方形式的方法.
【解决问题】
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b =(m+n )2,用含m,n的式
子分别表示a,b:a=_______,b=_______.
(2)利用(1)的结论,找一组正整数a,b,m,n(m≠n),使得a+b =(m
+n )2成立,且a+b+m+n的值最小.请写出a,b,m,n的值.
(3)若a+6 =(m+n )2,且a,m,n均为正整数,求a的值.
解析 (1)m2+3n2;2mn.详解:∵a+b =(m+n )2=m2+2mn +
3n2,∴a=m2+3n2,b=2mn.
(2)由(1)知a=m2+3n2,b=2mn,∵a,b,m,n均为正整数,m≠n,且使a
+b+m+n的值最小,∴m,n的值尽量小,若m=2,n=1,则a=7,b=4,
∴a+b+m+n=14;若m=1,n=2,则a=13,b=4,∴a+b+m+n=20.
∵14<20,∴m=2,n=1,a=7,b=4符合题意.
(3)∵a+6 =(m+n )2=m2+5n2+2mn ,∴a=m2+5n2,2mn=6,
∵a,m,n均为正整数,∴m=3,n=1或m=1,n=3.当m=3,n=1时,a=9+
5=14;当m=1,n=3时,a=1+5×9=46.综上,a的值为14或46.(共28张PPT)
第9章自主检测
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2024四川绵阳中考)若式子 在实数范围内有意义,则x的
取值范围为 ( )
A.x<0　　　 B.x≤0　　　 C.x>0　　　 D.x≥0
C
解析　根据二次根式和分式有意义的条件,得x≥0且x≠0,解
得x>0,∴x的取值范围为x>0,故选C.
2.(2025山东烟台蓬莱期中)下列各式:① ;② ;③ ;
④ ;⑤ .其中是二次根式的有 ( )
A.4个　　　 B.3个　　　 C.2个　　　 D.1个
C
解析　形如 (a≥0)的式子是二次根式,① 是二次根式;
② 中-19<0,不是二次根式;③ 中x2+1>0,是二次根
式;④ 的根指数是3,不是二次根式;⑤当x>-1时,-2x-2<0,
不是二次根式,故二次根式共有2个,故选C.
3.(2025北京理工大学附中期中)下列式子正确的是 ( )
A. =±3　　　 B.( )2=3
C.- =2　　　 D. =-2
B
解析 =3,故选项A错误;( )2=3,故选项B正确;- =-2,故
选项C错误; =|-2|=2,故选项D错误.故选B.
4.(2025山东烟台芝罘期中)下列二次根式是最简二次根式的
是 ( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
D
解析　选项A, = = ,不符合题意;选项B, = ,不符
合题意;选项C, =2 ,不符合题意;选项D, 是最简二次根
式,符合题意.故选D.
5.(2025山东烟台栖霞期中)下列各式中,运算正确的是( )
A.2+ =2 　　　 B. - =2
C. × =3 　　　 D. ÷3=9
C
解析　选项A,2与 不能合并,原计算错误;选项B, 与- 不
是同类二次根式,不能合并,原计算错误;选项C, × = =
3 ,原计算正确;选项D, ÷3= ÷ = = ,原计算
错误.故选C.
6.(2025山东淄博淄川期中)若 与 可以合并成一项,则m
的值可以是 ( )
A.50　　　 B.15　　　 C.0.5　　　 D.
D
解析　选项A,当m=50时, 化简得5 ,不可以与 合并成
一项;选项B,当m=15时, = ,不可以与 合并成一项;选
项C,当m=0.5时, 化简得 ,不可以与 合并成一项;选项
D,当m= 时, 化简得 ,可以与 合并成一项.故选D.
7.(2025广东阳江阳东期中)正整数a,b满足a>b,且 和 是可
以合并的二次根式,若 + = , - = ,则 的值为
( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.1
A
解析　由题意得 解方程组,得
∴a=48,b=3,则 = = = ,故选A.
8.已知 + =3,且0A.- 　　　 B.± 　　　 C. 　　　 D.-
A
解析　∵0 =3,∴ =9,∴m+2+ =9,∴m-2+ =5,
∴ =5,∵ - <0,∴ - =- ,故选A.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2024山东威海中考)计算: - × =________.
　-2
解析 - × =2 - =2 -4 =-2 .
10.【学科特色·数形结合思想】(2024内蒙古中考改编)实数a,
b在数轴上对应的点的位置如图所示,则 -(b-a-2)的化
简结果是_________.

2
解析　由数轴可知,-3∴a-b<0,∴原式=b-a-b+a+2=2.
11.(2025广东汕头期末)如图,某小区内有一块矩形广场,广场
长为12 米,宽为14 米,广场中间有两块大小相同的矩形绿
地(阴影部分),每块小矩形绿地的长为(2 +2)米,宽为(2 -
2)米.除绿地部分外,广场的其他部分都要铺上地砖,则这个广
场铺设地砖的面积为_________________平方米.
(168 -96)
解析　由题意可知,这个广场铺设地砖的面积为12 ×14 -
2×[(2 +2)(2 -2)]=168 -2×[ -22]=168 -2×48=
(168 -96)平方米.
12.(2025山东济南市中育秀中学月考改编)已知x= ,
y= ,且19x2+123xy+19y2=1 985,则正整数n的值为____.
2
解析　∵x= =n+1+n-2 =2n+1-
2 ,
y= =n+1+n+2 =2n+1+2 ,
∴x+y=4n+2,xy= · =1.
∵19x2+123xy+19y2=1 985,∴19(x+y)2+85xy=1 985,
∴19(4n+2)2+85=1 985,整理得4n+2=±10,
解得n=2或n=-3(舍去),故答案为2.
三、解答题(共40分)
13.(2025山东潍坊奎文期中)(9分)计算:
(1) × ÷ .
(2) + - + .
(3)( -1)2-(2+ )(2- ).
解析 (1)原式= = = .
(2)原式= +2 -3 + = -3 .
(3)原式=3-2 +1-[22-( )2]=3-2 +1-4+3=3-2 .
14.(2025山东淄博临淄期中)(8分)求代数式a+ 的值,
其中a=2 023.下面是小明的解题过程,小明检查时发现有错误.
解:a+
=a+ , 第一步
当a=2 023时,
原式=a+1-a=1. 第二步
(1)小明是从第_____步开始出错的,原代数式的值为_______.
(2)求代数式b+2 的值,其中b= .
解析 (1)小明是从第二步开始出错的.
当a=2 023时,1-a<0,
∴ =|1-a|=a-1,
∴原式=a+(a-1)=2a-1=2×2 023-1=4 045.
(2)b+2 =b+2 ,
∵b= ,∴b-3<0,
∴ =|b-3|=3-b,
∴原式=b+2 =b+2(3-b)=6-b=6- .
15.(10分)已知直角三角形的两条直角边长分别为2 + 和
2 - .
(1)求这个直角三角形的面积和斜边长.
(2)求斜边上的高和中线的长.
解析 (1)这个直角三角形的面积为 (2 + )(2 - )= ×
(12-2)=5,斜边长为 =
= =2 .
(2)∵直角三角形的面积= ,
∴斜边上的高= = = ,
斜边上的中线的长= = .
16.(2025山东淄博张店重庆路中学期中改编)(13分)已知a=
,求2a2+4a+1的值.小明是这样分析与解答的:
∵a= = = -1,
∴a+1= ,
∴(a+1)2=2,即a2+2a+1=2,
∴a2+2a=1,
∴2a2+4a+1=2(a2+2a)+1=2×1+1=3.
请你根据小明的分析过程,解决如下问题:
(1)若a= ,求3a2-12a-1的值.
(2)求 + + +…+ 的值.
(3)比较 - 与 - 的大小,并说明理由.
解析 (1)∵a= = =2+ ,
∴a-2= ,∴(a-2)2=3,即a2-4a+4=3,
∴a2-4a=-1,
∴3a2-12a-1=3(a2-4a)-1
=3×(-1)-1=-4.
(2) + + +…+
= + + +…+

= -1+ - + - +…+ -
= -1
=5-1
=4.
(3) - < - .
理由:
=
= + ,

=
= + .
∵ + > + ,
∴ > ,
∴ - < - .(共13张PPT)
专项突破4　二次根式运算的
四种类型
　运用运算法则进行运算
1.计算:
(1)3 × ÷2 .
(2) ×4 ÷ .
(3)3 -6 +2 .
(4) -3 +|2- |.
解析 (1)原式= × = × = .
(2)原式=2 ×4× ÷4 =8 ÷4 =2.
(3)原式=6 -2 +8 =12 .
(4)原式=2 -3× +2- =2 - +2- =2.
2.计算:
(1) ÷ - ( + )+6 .
(2) × - ÷ .
(3) ÷2 .
(4) - × .
解析 (1)原式= - - +6× =3-2 -3 +3
=3-2 .
(2)原式= ×2 - =4+6-2 =10-2 .
(3)原式=(4 -2 +12 )÷2 =14 ÷2 =7.
(4)原式= -2 ×(2 + )= -2 ×3 = -18 =
- .
　运用乘法公式进行运算
3.计算:
(1)( + )2-(3 +2 )(3 -2 ).
(2)( - )( + )-( + - )( - + ).
(3)(7+4 )(2- )2+(2+ )(2- )- .
解析 (1)原式=( )2+( )2+2 -[(3 )2-(2 )2]=2+3+2 -
18+12=2 -1.
(2)原式=( )2-( )2-[ +( - )][ -( - )]=3-2-[( )2-
( - )2]=1-5+3-2 +2=1-2 .
(3)原式=(7+4 )(7-4 )+22-( )2-
=72-(4 )2+4-3-
=2- .
　运用等式规律进行运算
4.【新考向·规律探究题】观察下列运算:
由( +1)( -1)=1,得 = -1;
由( + )( - )=1,得 = - ;
……
问题:
(1)通过观察你得出什么规律 用含n的式子表示出来.
(2)利用(1)中发现的规律计算:
+ + +…+ +
( +1).
解析 (1) = - (n为正整数).
(2)原式=( -1+ - + - +…+ - + -
)( +1)
=( -1)( +1)=2 025-1=2 024.
　与二次根式有关的化简求值运算
5.先化简,再求值: ÷ ,其中a= +2.
解析　原式= · = ·
= · = ,当a= +2时,原式= =
.
6.(1)已知a= -2,求代数式a3+4a2-a+6的值.
(2)已知x= -2,y= +2,求 + 的值.
解析 (1)∵a= -2,∴a+2= ,∴(a+2)2=5,
∴a2+4a=1,∴原式=a(a2+4a)-a+6=a×1-a+6=6.
(2)∵x= -2,y= +2,
∴x+y=2 ,xy=3-4=-1,
∴原式= = = =-14.
7.若a,b为实数,且b= + +15,试求 -
的值.
解析　由题意,得 ∴a= ,∴b=15,∴a+b>0,a-b<0,ab>
0.∴ - = - = -
= = = × = .(共13张PPT)
第9章　二次根式
9.1　二次根式及其性质
第2课时　二次根式的性质
　二次根式的性质
1.(2025北京实验学校期中)下列各式中,不正确的是 ( )
A. =-2　　　 B.( )2=2
C.- =-2　　　 D.± =±2
A
解析 =|-2|=2,故选项A中的式子不正确,符合题意;
( )2=2,- =-|-2|=-2,± =±|-2|=±2,
故选项B,C,D中的式子正确,不符合题意.故选A.
2.(2025山东济宁微山期中)下列各组数据中能作为直角三角
形的三边长的是 ( )
A. , , 　　　 B.1, ,
C.4,5,6　　　 D.1,1,
B
解析　选项A,( )2=3,( )2=4,( )2=5,则( )2+( )2=7≠
( )2,不能构成直角三角形;选项B,12=1,( )2=2,( )2=3,则
( )2+12=3=( )2,能构成直角三角形;选项C,42=16,52=25,62=
36,则42+52=41≠62,不能构成直角三角形;选项D,12=1,( )2=3,
则12+12=2≠( )2,不能构成直角三角形.
3.(2025山东临沂兰山期中)如果 =1-5a,那么 ( )
A.a< 　　　 B.a≤ 　　　 C.a≥ 　　　 D.a>
B
解析　根据二次根式的性质,得 =|5a-1|=1-5a,∴1-5a
≥0,解得a≤ ,故选B.
4.计算:(1)( )2. (2)- .
(3) . (4)( )2.
解析 (1)( )2=9.(2)- =-|-5|=-5.
(3) =9× =6.(4)( )2=a2.
5.化简:( )2- .
解析　由题意得2-x≥0,∴x≤2,∴x-3<0,
∴( )2- =2-x- =2-x-(3-x)=2-x-3+x=-1.
6.在实数范围内分解因式.
(1)x4-4.　　　　 　 (2)-x2+2 x-2.
(3)3x2-6y2.　　　　　 (4)m2(m-1)+2(1-m).
解析 (1)x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x2+2)(x+ )(x- ).
(2)-x2+2 x-2=-(x2-2 x+2)=-(x- )2.
(3)3x2-6y2=3(x2-2y2)=3(x+ y)(x- y).
(4)m2(m-1)+2(1-m)=m2(m-1)-2(m-1)=(m-1)·(m2-2)=(m-1)(m+ )
(m- ).

7.(2025山东淄博桓台期中,★★☆)要使 =( )2,则x
的取值范围是 ( )
A.x>5　　　 B.x≥5　　　 C.x<5　　　 D.x≤5
B
解析　要使 =( )2,则x-5≥0,解得x≥5.
8.(2024四川乐山中考,★★☆)已知1的结果为 ( )
A.-1　　　 B.1　　　 C.2x-3　　　 D.3-2x
B
解析　∵10,x-2<0,∴ +|x-2|=|x-1|+|x-2|=x-1
+2-x=1,故选B.
9.(2025安徽六安霍邱期中,★★★)已知y= -x+3,当x的
值分别为1,2,3,…,2 025时,所对应的y值的总和是 ( )
A.2 027　　　 B.2 025　　　 C.2 023　　　 D.2 021
A
解析　当x≤2时,x-2≤0,∴ =|x-2|=2-x,∴y=2-x-x+3=5-2x.
当x>2时,x-2>0,∴ =|x-2|=x-2,∴y=x-2-x+3=1.当x的值
分别为1,2,3,…,2 025时,对应的y值的总和是(5-2)+(5-4)+1×
2 023=3+1+2 023=2 027,故选A.
10.(2025山东日照五莲期中,★★☆)已知数a,b,c对应的点的
位置如图所示,化简: -|b-c|- =____________.

b-2c
解析　观察数轴,可得a∴ -|b-c|- =|a|-|b-c|-|a-c|=-a-(c-b)-(c-a)=-a-c+b-c+a=
b-2c.
11.(★★☆)已知a2+ =4a-4,求 的值.
解析　∵a2+ =4a-4,∴a2-4a+4+ =0,
∴(a-2)2+ =0,
∴a-2=0,b-2=0,∴a=b=2,∴ =2.
12.(2025安徽宣城宁国城关四校联盟期中,★★☆)已知三角
形的两边长分别为3和5,第三边长为c,化简: -
.
解析　根据三角形的三边关系,得5-3
0,c-8<0,∴原式= - =|c-2|- =c-2- |c-8|=c
-2- (8-c)= c-6.(共14张PPT)
第9章　二次根式
9.1　二次根式及其性质
第１课时　二次根式
　二次根式的定义
1.“ ”表示的是一个二次根式,则“△”不可能是 ( )
A.-1　　　 B.4　　　 C.2　　　 D.π
A
解析　∵“ ”表示的是一个二次根式,∴△≥0,
∴A选项中-1不符合条件,故选A.
2.(2025山东济宁鱼台期中)下列式子中,一定是二次根式的是
( )
A. 　　　 B.
C. 　　　 D.
D
解析　-2 025<0,∴ 不是二次根式,故选项A不符合题
意; 的根指数是3,∴ 不是二次根式,故选项B不符合题
意;只有当a-1≥0,即a≥1时, 才是二次根式,故选项C不符
合题意;∵a2+1≥1,∴ 一定是二次根式,故选项D符合题意.
3.下列式子:(1) ;(2) ;(3)- ;(4) ;(5) ;(6)
(x>1);(7) .其中是二次根式的有 ( )
A.2个　　　 B.3个　　　 C.4个　　　 D.5个
D
解析　二次根式有(1) ;(2) ;(3)- ;(5) ;(7) ,
共5个; 的根指数为3,不是二次根式;∵x>1,∴1-x<0,∴
(x>1)不是二次根式.
　二次根式有(无)意义的条件
4.(2025山东临沂临沭期中)若式子 在实数范围内有意
义,则x的取值范围是 ( )
A.x≥-4　　　 B.x>-4
C.x≤4　　　 D.x<-4
A
解析　∵式子 在实数范围内有意义,∴8+2x≥0,解得x
≥-4,故选A.
5.(2025安徽合肥四十五中期末改编)若二次根式 在实
数范围内有意义,则x的值不可能是 ( )
A.-1　　　 B.0　　　 C.1　　　 D.2
D
解析　由题意可知5-4x≥0,解得x≤ ,
∴x的值不可能是2.故选D.
6.(2025天津南开期末)若x<-1,则下列二次根式一定有意义的
是 ( )
A. 　　　 B.
C. 　　　 D.
D
解析　当x<-1时, 无意义,故选项A不符合题意;当x<-1时,x-1
<-2,故 无意义,故选项B不符合题意;当x<-1时,x+1<0,故
无意义,故选项C不符合题意;当x<-1时,1-x>2,故 有
意义,故选项D符合题意.
7.(2025河北廊坊月考)若 在实数范围内有意义,则x的取
值范围在数轴上表示正确的是 ( )
　　　
　　　
D
解析　根据题意知,x+2≥0且x+3≠0,解得x≥-2,∴x的取值范
围在数轴上表示为 .故选D.
方法点拨　对于分式来说,有意义的条件是分母不为0.对于二
次根式来说,有意义的条件是被开方式大于或等于0.对于由这
两种式子组合在一起的代数式来说,同时满足上述两个条件,
代数式才有意义.

8.(2025山东烟台莱州期中,★★☆)要使 + 有意义,
则x应满足 ( )
A. ≤x≤3　　　 B.x≤3且x≠
C. D
解析　由二次根式及分式有意义的条件,得 解不
等式①,得x≤3,解不等式②,得x> ,∴x应满足 9.(2025山东烟台招远期中,★★☆)如果y= + +3,那
么x-y的值是 ( )
A.- 　　　 B. 　　　 C.-6　　　 D.9
B
解析　由二次根式有意义的条件,可知 解得x=2.把x=
2代入y= + +3,得y=3,∴x-y=2-3= ,故选B.
10.(2025安徽六安霍邱期中,★★☆)若 是整数,则满足条
件的自然数n共有 ( )
A.2个　　　 B.3个　　　
C.4个　　　 D.5个
C
解析　根据二次根式有意义的条件,得9-n≥0,解得n≤9.
∵ 是整数,n为自然数,∴9-n为完全平方数且9-n的最大值
为9,∴9-n=0或1或4或9,解得n=9或8或5或0,∴满足条件的自
然数n共有4个,故选C.
11.(2025山东日照期中,★★☆)已知x,y是直角三角形的两边
长,且满足 +(y-3)2=0,则此直角三角形的第三边长为
______________.
或
解析　∵ +(y-3)2=0, ≥0,(y-3)2≥0,∴x-2=0,y-3=0,
∴x=2,y=3.∵x,y是直角三角形的两边长,∴分两种情况考虑:
①当3是一条直角边长时,由勾股定理得第三边长为 =
;②当3是斜边长时,由勾股定理得第三边长为 = .
经检验,上述两种情况均符合三角形的三边关系,∴该直角三
角形的第三边长为 或 .
12.(2025山东济宁微山期中,★★☆)已知 +|a-2 025|=
a,则a-2 0252的值是_____________.
2 026
解析　根据二次根式有意义的条件,得a-2 026≥0,
∴a≥2 026,∴a-2 025>0.
∵ +|a-2 025|=a,∴ +a-2 025=a,∴
=2 025,∴a-2 026=2 0252,∴a-2 0252=2 026.

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