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广西钦州市大寺中学2026年春季学期高二年级第一周考试数学试卷
一、单选题
1．某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（ ）
A．12 B．9 C．8 D．7
2．一个五位数任意相邻两位所组成的两位数(包括00，0X)均是4的倍数，这样的五位数有（ ）个.
A． B． C． D．
3．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（ ）
A．61 B．62 C．63 D．64
4．四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队和排球队，每人限报其中的一支，那么不同的报名方法有（ ）种.
A．12 B．16 C．81 D．256
5．已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（ ）
A．2个 B．4个 C．1个 D．12个
6．给如图所示的六块区域，，，，，涂色，有四种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都要使用），要求相邻区域涂不同颜色，则不同的涂色方法种数是（ ）

A．192 B．168 C．224 D．208
7．如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．n元有序数对，其中且不全相等，则满足方程的有序数对共有（ ）组.
A． B． C． D．
二、多选题
9．将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（ ）
A B E
C
D
A．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法
B．若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法
C．若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法
D．若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法
10．用0，1，2，3，4，5，6这7个数字，可以组成（ ）
A．180个无重复数字的三位数 B．75个无重复数字且为奇数的三位数
C．30个无重复数字且能被25整除的四位数 D．480个无重复数字且比1300大的四位数
11．现有数字0，1，1，1，2，3，4，5，下列说法正确的是（ ）
A．可以组成720个没有重复数字的六位数
B．可以组成288个没有重复数字的六位偶数
C．可以组成3240个六位数
D．可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数
三、填空题
12．如图，一条电路从处到处接通时，可构成线路的条数为________．
13．有8块不同的积木，每块积木的形状为方形或者圆形，颜色为红色或者黄色，印有城市名为南昌或北京．从8块不同的积木中按顺序任取块积木表示后一次与前一次取出的积木在形状、颜色、城市名三个方面恰好有两个相同的所有不同取法总数，则_____．
14．在矩形内部（不包含矩形边界）有个点，将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，则当时，三角形区域的个数为___________；若对如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，则至少需要___________种不同的颜色．
四、解答题
15．若集合、满足，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆，求集合的不同分拆种数.
16．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？
17．已知是次多项式，是次多项式，，且，那么展开后至多有多少项？整理合并同类项后至多有多少项？
18．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，求从最初位置爬到6号蜂房共有多少种不同的爬法？
19．根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，有3名同学和2名家长相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求：
(1)甲同学必须坐乙同学左边的坐法有多少种？
(2)2名家长互不相邻的坐法有多少种？
(3)2名家长坐一起有多少种？
参考答案
1．D
【详解】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为.
故选：D
2．A
【详解】若五位数的形式是20×××，40×××，60×××，80×××时，
此时百位的数字可以是0,4,8中的任何一个，十位和个位数字也是0,4,8中的任何一个，
故此时共有种情况，
若五位数的形式是12×××，16×××，24×××，28×××，32×××，36×××，44×××，48×××，52×××，56×××，64×××，68×××，72×××，76×××，84×××，88×××，92×××,96×××时，
此时百位的数字可以是0,4,8中的任何一个，十位和个位数字也是0,4,8中的任何一个，
故此时共有种情况，
综上可得：符合条件的五位数共有个，
故选：A
3．D
【详解】三个人任选一部电影观看，共分三步，
第一步，甲从四部电影中任选一部，有4种不同的选法；
第二步，乙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法；
第三步，丙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法，
根据分步乘法计数原理，不同的选法共有，
故选：D.
4．C
【详解】由题意知，每名学生都有种报名情况，
由分步乘法计数原理可得，不同的报名方法有种.
故选：C.
5．B
【详解】在第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
由题意得点的横坐标有，两种选择，点的纵坐标有3，5两种选择．
由分步乘法计数原理，得在第二象限的点有个．
故选：B．
6．A
【详解】第一步，给，，三块区域涂色，有种涂色方法；
第二步，给区域涂色，有种涂色方法；
第三步，给区域涂色，有种涂色方法；
第四步，给区域涂色，有种涂色方法，
综上，不同的涂色方法种数是，故A正确.
故选：A.
7．B
【详解】元件不通，设备从a到b的电路工作不正常，共有种，
元件正常，当且仅当元件都不通，设备从a到b的电路工作不正常，只有1种，
所以.
故选：B
8．A
【详解】由，得，即，
又，从而，
当且仅当时等号成立，即，
又不全相等，故有序数对共有种情况，
故选：A．
9．AB
【详解】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确；
对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则B和D同色，A和E同色，则共有种不同涂法，故B正确；
对于C，因4种不同颜色全部用上，B，D同色，相邻区域不同色，故可以先涂B，D区域，有种涂法，
因三个区域都与B，D相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误；
对于D，按照ABC的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，
因B，D不同色（D只有一种颜色可选），此时ABCD四块区域所用颜色各不相同，涂E只能与A同色，此时共有24种涂法，故D错误．
故选：AB.
10．AB
【详解】对于A，无重复数学的三位数的情况数为，故A正确；
对于B，为奇数的三位数的个位可选的数字有，则无重复数学且为奇数的三位数的情况数为，故B正确；
对于C，能被整除的四位数的最后两位有，则无重复数字且能被整除的四位数的情况数有，故C错误；
对于D，当千位比大的无重复数字的四位数的情况数有；
当千位为且百位比大的无重复数字的四位数的情况数有；
当千位为、百位为且十位比大的无重复数字的四位数的情况数有；
当千位为、百位为、十位为且个位比大的无重复数字的四位数的情况数有.
综上可得，故D错误.
故选：AB.
11．CD
【详解】对于A，没有重复数字的六位数应由0，1，2，3，4，5组成，共有个，故A错误；
对于B，没有重复数字的六位偶数有两类情况，末位为0的有个，末位不为0的有个，共有个，故B错误；
对于C，没有重复数字的六位数有600个，有两个1的六位数有个，有三个1的六位数有个，共有个，故C正确；
对于D，先排0，2，3，4，5，首位为0的有个，首位不为0的有个，再插人，共有个，故D正确，
故选：CD．
12．6
【详解】从处到处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通有2条线路；
第二步，后一个并联电路接通有3条线路．
由分步乘法计数原理知电路从处到处接通时，可构成线路的条数为（条）．
故答案为：6.
13．240
【详解】如图，，，其中第一个坐标表示方形或者圆形的积木，第二个坐标表示红色或者黄色的积木，第三个坐标表示印有南昌或北京的积木．
显然从中任取一点沿正方体的棱走步的不同走法，即为．
则，
(前四个点共面)(前四个点不共面)，
(前四个点共面)
(前四个点不共面)，
(前四个点共面)(前四个点不共面)，
(前四个点共面)
(前四个点不共面)，所以．
故答案为：
14．
【详解】在矩形内部（不包含矩形边界）有个点，
将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，
设三角形的个数为，
当时，在矩形内部（不包含矩形边界）有个点，这个点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，即这个点和矩形的四个点构成个的满足条件的三角形，即；
当时，第二个点是在满足第一个点的三角形中的一个三角形内部，这个点和这个三角形的三个点构成三个满足条件的三角形，同时去掉这个点所在的大三角形，故；
同理，，故构成等差数列，首项为，公差为，
故
则三角形的个数为，
则当时，三角形的个数为；
若对如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，
如果用2种颜色，则同色且同色，且两色相异，则必定与中某块同色，
与题设不合；
如果用3种颜色，
假设在号区域内涂红色，在号区域内涂黑色，在号区域内涂黑色，
在号区域内涂红色，则在号区域内不能涂红色和黑色，只能涂第三种颜色，
假设在号区域内涂蓝色，在号区域内涂黑色，在号区域内涂红色，
故至少需要种不同的颜色．
故答案为：，.
15．27
【详解】，对分以下几种情况讨论：
若，必有,,，共1种拆分；
若，则,或,,，共2种拆分；同理，时，各有2种拆分；
若,，则、,、,或,,，共4种拆分；同理,、,时，各有4种拆分；
若,,，则、、、、,、,、,，,,．共8种拆分；
共有种不同的拆分．
16．
【详解】（1）高一和高二各选1人作为中心发言人，有（种）选法；
（2）高二和高三各选1人作为中心发言人，有（种）选法；
（3）高一和高三各选1人作为中心发言人，有（种）选法．
故共有（种）选法．
17．，
【详解】由，且，是次多项式，则多项式中至多项.
是次多项式，则多项式中至多项.
要得到展开式中的一项，即两多项式各取一项相乘，可分2个步骤：
第一步，从多项式中任选一项，至多有种选法；
第二步，从多项式中任选一项，至多有种选法；
由分步乘法原理得，展开后至多有项.
又多项式中最高次为，故整理合并同类项后至多有项.
展开后至多有项，整理合并同类项后至多有项.
18．21种
【详解】解法1：由树形图可得，蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房先进入0号蜂房有13种爬法；蜜蜂先进入1号蜂房共有8种爬法．
所以蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房，共有种不同的爬法．
说明：图1所表示的图形叫树形图．用这种方式解决排列组合问题较为直观形象．
解法2：依题意，蜜蜂爬到0号蜂房有1种爬法；爬到1号蜂房有2种爬法；
爬到2号蜂房有种爬法（在爬到0号或1号蜂房后再爬到2号蜂房）；
同理，爬到3号蜂房有种爬法；
爬到4号蜂房有种爬法；
爬到5号蜂房有种爬法；
爬到6号蜂房有种爬法．
所以蜜蜂从最初位置爬到6号蜂房共有21种不同的爬法．
19．(1)60
(2)72
(3)48
【详解】（1）因为甲同学必须坐乙同学左边，又一共有5人，
故所求坐法有种.
（2）根据题意，先将3名同学排好，有种坐法，
再在这3名同学之间及两头的4个空位中插入2名家长，有种坐法，
由分步乘法计数原理可知，共有种坐法.
（3）两名家长捆绑有种，然后与三名学生和整体进行全排，所以有种.

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