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2026年云南省大理州中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.春节期间某一天,昆明、昭通、香格里拉、玉溪四个城市的最低气温分别是8 ℃,-3 ℃,-10 ℃,0 ℃,其中最低气温是( )
A.-10 ℃ B.-3 ℃ C.0 ℃ D.8 ℃
2.如图所示是由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图,则这个立体图形可能是( )
A. B. C. D.
3.2025年4月15日,“有一种叫云南的生活·旅居云南”系列新闻发布会·丽江专场在丽江市阳光100雪山艺术村举行.今年一季度,全市接待游客约20 076 000人次,同比增长4.3%.数20 076 000用科学记数法表示为( )
A.2.007 6×105 B.2.007 6×106 C.2.007 6×107 D.20.076×106
4.如图所示,已知∠1=∠2,∠ABC=125°,则∠C的度数为( )
A.62.5° B.65° C.125° D.55°
5.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录,下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则cos B的值等于( )
A. B. C. D.
7.据统计,某校七个班了解并使用过人工智能Al软件的同学人数分别为25,26,27,28,30,30,30.那么这些数据的中位数和众数分别是( )
A.25和29 B.25和30 C.28和29 D.28和30
8.若代数式有意义,则x的取值范围是( )
A.x>3 B.x≤3 C.x≥3 D.x≠3
9.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法,“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度.如图所示,点A,B,Q在同一水平线上,∠ABC和∠AQP均为直角,AP与BC相交于点D.测得AB=40 cm,BD=20 cm,BQ=11.6 m,则树高PQ为( )
A.5.8 m B.6 m C.6.8 m D.25.8 m
10.下列计算正确的是( )
A.a5+a5=2a10 B.a3·2a2=2a6 C.(a+1)2=a2+1 D.(-2ab)2=4a2b2
11.已知某市2022年工业碳排放总量为1 000万吨,为响应国家“双碳”目标,该市通过技术升级,2024年的工业碳排放总量降至810万吨.若设年平均减少率为x,则下列方程正确的是( )
A.1 000(1+x)2=810 B.1 000(1-x)2=810 C.810(1+x)2=1 000 D.810(1-x)2=1 000
12.观察下列关于x的单项式,探究其规律:
3x,-x2,x3,-x4,x5,….按照上述规律,第2 026个单项式是( )
A.x2 025 B.-x2 026 C.x2 026 D.-x2 025
13.如图所示,点A在y=(k>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,
且△ABO的面积为4,则k的值为( )
A.2 B.4 C.8 D.12
14.如图所示,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,AB=AD,AC与BD交于点G,∠BOC=54°,则∠AGB的度数为( )
A.108° B.110° C.99° D.117°
15.估计×的值在( )
A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.分解因式:2x2-12x+18=　 　.
17.“爱护眼睛,拥抱光明”.某校数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查,并按照国家分类标准统计人数,绘制成如下所示的不完整的统计图表:
类别 检查结果 人数
A 正常 80
B 轻度近视
C 中度近视 70
D 重度近视
若该校共有学生1 600人,估算该校学生近视程度为中度和重度的总人数为　 　人.
18.小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起(一边重合),示意图如图所示,则形成的∠1的度数是　 　.
19.如图所示,正五边形ABCDE的边长为6,以顶点A为圆心,AB长为半径画圆.若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图,则这个圆锥底面圆的半径是　 .
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20.(7分)计算:-3tan 30°+-(π-3)0+|1-|.
21.(6分)如图所示,在△ABC中,点D是边BC上一点,点E是边BC延长线上一点,BD=EC,点F为△ABC外一点,连接DF,EF,∠A=∠F,AC∥DF.求证:△ABC≌△FED.
22.(7分)列方程解应用题:为改善居住环境,某村准备明年在村后荒山上种植960棵树,由于共青团员的支持,实际每天比原计划多种20棵,结果提前4天完成任务,原计划每天种植多少棵
23.(6分)鲜花饼是一款经典特色小吃,以云南特有的食用玫瑰花入料,以“花味、云南味”为特色.在云南某地区的旅游景区内有A:嘉华,B:潘祥记,C:花满楼,D:吉庆祥四种鲜花饼品牌店各一家.某旅游团从中依次选择两家鲜花饼店为旅客购置伴手礼,假设每一家被选到的可能性相等.
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法,列出所有可能出现的结果总数;
(2)求该旅游团同时选到A和B两家鲜花饼店的概率.
24.(8分)如图所示,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF,AF与DE交于点O.
(1)求证:四边形AEFD为矩形;
(2)若AB=6,OE=4,∠BAE=∠DEF,求BF,DF的长.
25.(8分) 请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 某校计划购买云南大理扎染布和剑川民族木雕，用于举办文化展览，增强学生对云南民族艺术的了解，提升文化自信．
素材一 购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等；
素材二 购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元；
素材三 该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍．
请完成下列任务：
任务一 每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？
任务二 给出最节省费用的购买方案．
26.(8分)已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴是直线x=-,经过点(0,-1).设该抛物线与x轴交点的横坐标为t.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)记T=,比较T与的大小.
27.(12分)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,延长AB至点D,使得BC2=BD·AB,P是半圆上一动点(点P在左上半圆,且不与点A,C重合),连接PA,PB,PC,CD.
(1)若∠PAB=65°,求∠PCB的度数;
(2)求证:CD是☉O的切线;
(3)看一看,想一想,证一证:若AB=2BC,以下与线段PA,PB,PC有关的三个结论:PA>PB-2PC,PA=PB-2PC,PA一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.春节期间某一天,昆明、昭通、香格里拉、玉溪四个城市的最低气温分别是8 ℃,-3 ℃,-10 ℃,0 ℃,其中最低气温是(A)
A.-10 ℃ B.-3 ℃ C.0 ℃ D.8 ℃
2.如图所示是由几个大小相同的小正方体组成的立体图形的俯视图,则这个立体图形可能是(D)
A. B. C. D.
3.2025年4月15日,“有一种叫云南的生活·旅居云南”系列新闻发布会·丽江专场在丽江市阳光100雪山艺术村举行.今年一季度,全市接待游客约20 076 000人次,同比增长4.3%.数20 076 000用科学记数法表示为(C)
A.2.007 6×105 B.2.007 6×106 C.2.007 6×107 D.20.076×106
4.如图所示,已知∠1=∠2,∠ABC=125°,则∠C的度数为(D)
A.62.5° B.65° C.125° D.55°
5.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录,下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(D)
A. B. C. D.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则cos B的值等于(A)
A. B. C. D.
7.据统计,某校七个班了解并使用过人工智能Al软件的同学人数分别为25,26,27,28,30,30,30.那么这些数据的中位数和众数分别是(D)
A.25和29 B.25和30 C.28和29 D.28和30
8.若代数式有意义,则x的取值范围是(A)
A.x>3 B.x≤3 C.x≥3 D.x≠3
9.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法,“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度.如图所示,点A,B,Q在同一水平线上,∠ABC和∠AQP均为直角,AP与BC相交于点D.测得AB=40 cm,BD=20 cm,BQ=11.6 m,则树高PQ为(B)
A.5.8 m B.6 m C.6.8 m D.25.8 m
10.下列计算正确的是(D)
A.a5+a5=2a10 B.a3·2a2=2a6 C.(a+1)2=a2+1 D.(-2ab)2=4a2b2
11.已知某市2022年工业碳排放总量为1 000万吨,为响应国家“双碳”目标,该市通过技术升级,2024年的工业碳排放总量降至810万吨.若设年平均减少率为x,则下列方程正确的是(B)
A.1 000(1+x)2=810 B.1 000(1-x)2=810 C.810(1+x)2=1 000 D.810(1-x)2=1 000
12.观察下列关于x的单项式,探究其规律:
3x,-x2,x3,-x4,x5,….按照上述规律,第2 026个单项式是(B)
A.x2 025 B.-x2 026 C.x2 026 D.-x2 025
13.如图所示,点A在y=(k>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,
且△ABO的面积为4,则k的值为(C)
A.2 B.4 C.8 D.12
14.如图所示,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,AB=AD,AC与BD交于点G,∠BOC=54°,则∠AGB的度数为(A)
A.108° B.110° C.99° D.117°
15.估计×的值在(D)
A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.分解因式:2x2-12x+18=　2　.
17.“爱护眼睛,拥抱光明”.某校数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查,并按照国家分类标准统计人数,绘制成如下所示的不完整的统计图表:
类别 检查结果 人数
A 正常 80
B 轻度近视
C 中度近视 70
D 重度近视
若该校共有学生1 600人,估算该校学生近视程度为中度和重度的总人数为　720　人.
18.小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起(一边重合),示意图如图所示,则形成的∠1的度数是　132°　.
19.如图所示,正五边形ABCDE的边长为6,以顶点A为圆心,AB长为半径画圆.若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图,则这个圆锥底面圆的半径是　　.
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20.(7分)计算:-3tan 30°+-(π-3)0+|1-|.
解:原式=3-3×-3-1+-1 (5分)
=3--3-1+-1
=-2.(7分)
21.(6分)如图所示,在△ABC中,点D是边BC上一点,点E是边BC延长线上一点,BD=EC,点F为△ABC外一点,连接DF,EF,∠A=∠F,AC∥DF.求证:△ABC≌△FED.
证明:∵BD=EC,
∴BD+DC=EC+DC,
即BC=ED.(1分)
∵AC∥DF,
∴∠ACB=∠FDE.(2分)
在△ABC与△FED中,
∴△ABC≌△FED(AAS).(6分)
22.(7分)列方程解应用题:为改善居住环境,某村准备明年在村后荒山上种植960棵树,由于共青团员的支持,实际每天比原计划多种20棵,结果提前4天完成任务,原计划每天种植多少棵
解:设原计划每天种植x棵,则实际每天种植(x+20)棵.(1分)
根据题意列方程,得
-=4,(4分)
整理,得4x2+80x-19 200=0,
解得x=60或x=-80(舍去).(5分)
经检验,x=60是原方程的解,且符合题意.(6分)
答:原计划每天种植60棵.(7分)
23.(6分)鲜花饼是一款经典特色小吃,以云南特有的食用玫瑰花入料,以“花味、云南味”为特色.在云南某地区的旅游景区内有A:嘉华,B:潘祥记,C:花满楼,D:吉庆祥四种鲜花饼品牌店各一家.某旅游团从中依次选择两家鲜花饼店为旅客购置伴手礼,假设每一家被选到的可能性相等.
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法,列出所有可能出现的结果总数;
(2)求该旅游团同时选到A和B两家鲜花饼店的概率.
解:(1)列表如下:
第二家 第一家
A B C D
A - (B,A) (C,A) (D,A)
B (A,B) - (C,B) (D,B)
C (A,C) (B,C) - (D,C)
D (A,D) (B,D) (C,D) -
共有12种等可能结果.(4分)
(2)由(1)可知,共有12种等可能的结果,其中选到A和B两家品牌店的情况有2种,分别是(A,B),(B,A),
∴该旅游团选到A和B两家品牌店的概率P==.(6分)
24.(8分)如图所示,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF,AF与DE交于点O.
(1)求证:四边形AEFD为矩形;
(2)若AB=6,OE=4,∠BAE=∠DEF,求BF,DF的长.
(1)证明:∵BE=CF,
∴BE+CE=CF+CE,
即BC=EF.(1分)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴AD=BC=EF.
又∵AD∥EF,
∴四边形AEFD为平行四边形.(3分)
∵AE⊥BC,
∴∠AEF=90°,
∴平行四边形AEFD为矩形.(4分)
(2)解:∵四边形AEFD为矩形,
∴AF=DE,OA=OF=AF,OD=OE=DE,AE=DF,(5分)
∴AF=DE=2OE=8,OA=OF=OD=OE,∴∠DEF=∠AFE.
∵∠AEF=90°,
∴∠EAF+∠AFE=90°.(6分)
∵∠BAE=∠DEF,∠DEF=∠AFE,
∴∠BAE+∠EAF=90°.
∴∠BAF=90°,
在Rt△BAF中,由勾股定理,得BF2=AB2+AF2=62+82=100,
∴BF=10.(7分)
∵S△BAF=AB·AF=BF·AE,
∴×6×8=×10×AE,
解得AE=4.8,
∴DF=AE=4.8.(8分)
25.(8分) 请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 某校计划购买云南大理扎染布和剑川民族木雕，用于举办文化展览，增强学生对云南民族艺术的了解，提升文化自信．
素材一 购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等；
素材二 购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元；
素材三 该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍．
请完成下列任务：
任务一 每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？
任务二 给出最节省费用的购买方案．
解：任务一：每个扎染布元，每个民族木雕元，
解得，
每个扎染布元，每个民族木雕元；
任务二：设购买扎染布个，则购买民族木雕个，
购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的倍
，
解得，，
设购买总费用为，
，
，
越小，的值越小，
当购买扎染布个时，购买总费用的最低，此时，购买民族木雕个，总费用为元，
当购买扎染布个、民族木雕个时，购买的总费用最低，最低总费用为元．
26.(8分)已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴是直线x=-,经过点(0,-1).设该抛物线与x轴交点的横坐标为t.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)记T=,比较T与的大小.
解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴是直线x=-,∴-=-,∴b=1.
∵抛物线经过点(0,-1),∴c=-1,
∴抛物线的函数解析式为y=x2+x-1.
(2)∵抛物线与x轴交点的横坐标为t,
∴t2+t-1=0,即t2=1-t,
∴t4=1-2t+t2=1-2t+1-t=2-3t,
∴t8=4-12t+9t2=4-12t+9-9t=13-21t.
∵t2+t-1=0,∴t2-1=-t,
∴t4-2t2+1=t2,∴t4-3t2+1=0,
∴t7-3t5+t3=0,
∴T====t.
∵t2+t-1=0,
∴t=或t=.
当t=时,T=;
当t=时,T<.
27.(12分)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,延长AB至点D,使得BC2=BD·AB,P是半圆上一动点(点P在左上半圆,且不与点A,C重合),连接PA,PB,PC,CD.
(1)若∠PAB=65°,求∠PCB的度数;
(2)求证:CD是☉O的切线;
(3)看一看,想一想,证一证:若AB=2BC,以下与线段PA,PB,PC有关的三个结论:PA>PB-2PC,PA=PB-2PC,PA(1)解:∵四边形ABCP是圆内接四边形,
∴∠PAB+∠PCB=180°.
∵∠PAB=65°,∴∠PCB=115°.
(2)证明:∵AC是☉O的直径,
∴∠ABC=90°, ∴∠CBD=∠ABC=90°.
∵BC2=BD·AB,
∴=,
∴△ABC∽△CBD,
∴∠CAB=∠DCB,
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=∠ACB+∠CAB=90°,∴OC⊥CD.
∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.
(3)解:PA=PB-2PC正确.理由如下:
如图所示,过点C作CH⊥PB于点H.
∵AC是直径,
∴∠ABC=∠APC=90°.
∵AB=2BC,
∴设BC=x,则AB=2x,
由勾股定理得AC=x.
∵∠CPH=∠CAB,
∴cos∠CPH=cos∠CAB,
∴==,
∴PH=PC.
∵∠CBH=∠PAC,
∴cos∠CBH=cos∠PAC,
∴=,
∴BH==,
∴PB=PH+BH=+=,
∴PA=PB-2PC.

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