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2025-2026学年下学期九年级第一次月考数学试卷
一．选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．将方程x2﹣2x＝1化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　）
A．x2+2x﹣1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣2x+1＝0
3．如图，l1∥l2∥l3，BC＝3，，则AC等于（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
4．一个不透明的口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，则这个口袋中红球的数量最有可能是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．7
5．抛物线y＝3（x+1）2先向上平移4个单位，再向右平移3个单位，最终解析式为（　　）
A．y＝3（x+4）2+4 B．y＝3（x﹣2）2+4
C．y＝3（x﹣2）2﹣4 D．y＝3（x+4）2﹣4
6．小康利用复印机将一张长为5cm，周长为16cm的矩形图片放大，其中放大后的矩形长为10cm，则放大后的矩形周长为（　　）
A．16cm B．21cm C．32cm D．42cm
7．二次函数．y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣b的图象大致是（　　）
A．B． C． D．
8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，已知∠A＝22.5°，，则CD的长为（　　）
A． B．4 C． D．3
9．已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（R＞0，单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断正确的为（　　）
R/Ω 20 30 40 50 60 70 80 90 100
I/A 5 … a … … b 1
A．a＜b B．当R＞500Ω，I＞2A
C．图象经过一、三象限 D．图象经过点（25，4）
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，BC＝4，AD＝2，线段AD绕点A旋转，点P为CD的中点，则BP的最小值是（　　）
A．6 B． C． D．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．至少需要调查 　 　 名同学，才能使“有两个同学生日在同一个月”为必然事件．
12．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）＝0有实数根，则m的取值范围是　 　 ．
13．如图，抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A、B两点，P为抛物线的顶点，△ABQ中，∠BAQ＝90°，线段PQ把图形AQBP（上半部分以抛物线为边界）分为两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 　 　 ．
14．在等腰△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，点O是△ABC的角平分线BD上的一点，半径为1的⊙O经过点B，将⊙O沿BD方向平移，当⊙O与△ABC的边相切时，⊙O平移的距离是 　 　 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形ABO的顶点O在原点，直角边OB在x轴上，∠ABO＝90°，反比例函数的图象分别交OA，BA边于点C，D，连接OD，若AD＝2BD，S△AOD＝16，则k的值为 　 　 ．
三．解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）解方程：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）x2﹣4x+2＝0．
17．（9分）在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处）．
（1）作出△ABC的中心对称图形△A1B1C1，A点为对称中心；
（2）作出△ABC关于点P的位似△A′B′C′，且位似比为1：2．
18．（9分）2026年央视春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”．以“四马齐驱”为创意核心，期许人们以千里马般的昂扬姿态奔赴新一年，也祝愿个人、社会与国家都能带着一往无前的气势开拓新局．现将分别印有“骐”“骥”“驰”“骋”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片的形状、大小、质地等完全相同，即除印有的字外无其他差别．
（1）若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“骥”的概率为　 　 ；
（2）若从盒子中随机摸出2张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的概率．
19．（9分）铁塔位于某市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔AB的高度，如图，在地面BC上取E、G两点，分别竖立高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔27m，并且开封铁塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆GH走3m到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度．
20．（9分）如图是一个6×6的正方形网格，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母．
（1）在图1中画出△ABC的外接圆圆心O位置．
（2）若每个小正方形网格的边长为1，则图2中阴影部分（弓形）的面积是　 　 ．
21．（9分）如图，正比例函数与反比例函数相交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，OB＝4，点C在线段AB上，且，连接OC．
（1）求k的值；
（2）点P为B点上方该反比例函数图象上的点，当△PAC与△BOC的面积相等时，请求出点P的坐标．
22．（10分）【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间 0 1 2 3
刹车后行驶的距离y 0 27 48 63
发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；
（3）若汽车司机发现正前方70m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
23．（10分）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
特例研究
在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O．
（1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　 　 ，k的值为　 　 ；
（2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值；
类比探究
（3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B D B C C B D C
二．填空题
11．13．
12．m≥2．
13．1．
14．或．
15．16．
三．解答题
16．解：（1）由题意得，x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
，
，．
17．解：（1）△ABC关于A的中心对称图形△A1B1C1，如图1即为所求；
（2）△ABC关于点P的位似△A′B′C′，如图2即为所求．
18．解：（1）由题意知从盒子中随机抽取一张卡片，摸出的这张卡片上印有“骥”的概率为，
故答案为：；
（2）设印有“骐”“骥”“驰”“骋”的四张卡片为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的结果是C，D和D，C有2种，
∴P（摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”）．
19．解：设塔的高度为x米，
由题得，
即，
∵，
即，
∴，
∵，
即，
解得x＝56，
∴开封铁塔的高度为56m．
20．解：（1）选取三角形的任意两条边（如AB和BC），分别作出它们的垂直平分线，点O即为所求作．
（2）
连接OA、OC，
，，，
∵，
即OA2+OC2＝AC2，
∴△AOC为直角三角形，∠AOC＝90°，
∴．
故答案为：5π﹣10．
21．解：（1）由条件可知A点纵坐标为4，代入，得，解得x＝8，
则A点坐标为（8，4），代入，得，解得k＝32；
（2）由（1）知A（8，4），
∴AB＝8，
∵，
∴BC＝3，
∴AC＝5，
设P点坐标为，
由条件可知，
∴，
解得：p＝5，
∴P点坐标为．
22．解：（1）设y关于t的函数解析式为y＝at2+bt+c，将（0，0），（1，27），（2，48）代入得，
，
解得：，
∴y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t；
（2）由（1）得y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t，
当t＝4时，y＝﹣3×42+30×4＝72，
∴汽车刹车4s后，行驶了72米；
（3）由（1）得y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t，
∴y＝﹣3t2+30t＝﹣3（t﹣5）2+75，
∴当t＝5时，汽车停下，行驶了75米，
∵75＞70，
∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．
23．解：（1）∵在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，
∴∠OAB＝∠DAC＝45°，，
∵△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，
∴旋转角为45°，，
故答案为：45°；；
（2）根据题意得△AEF∽△AOB，
∴∠EAF＝∠OAB，，
∴∠FAB＝∠EAO，，
∴△AFB∽△AEO，
∴，
∵∠OAB＝45°，∠AOB＝90°，
∴，
∴；
（3）的值与α无关；理由如下：
同理可证△AFB∽△AEO，
∴，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵O是AB的垂直平分线与BD的交点，
∴AO＝BO，
∴∠BAO＝∠ABO＝30°，
如图3，过点O作OG⊥AB于点G，
∴AB＝2BG，AO＝BO＝2OG，
在直角三角形BOG中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴的值与α无关．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/26 15:46:21；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353

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