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二元一次方程组 单元精选真题测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面是二元一次方程2x-y=5的解的是（　　）
A． B． C． D．
2．将一张面值50元的人民币，兑换成5元和2元的两种零钱（两种都要兑换），兑换方案有（　　）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
3．已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．小明带着20元钱到超市购买笔和练习本，每支笔3元，每个练习本2元，若两种物品都要购买且把20元钱花完，则共有几种不同的购买方案 （　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
5．我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（　　）
A． B． C． D．
6．用代入法解方程组，消去y后所得到的方程，正确的是（　　）
A． B． C． D．
7． 将一个大正方形和四个完全相同的小正方形按图①， ②两种方式摆放， 则图②中阴影部分的面积 (用 的代数式表示) 是 (　　)
A． B． C． D．
8．端午节快到了，商店准备推出粽子礼盒，若3个粽子装一盒则装完还多2个礼盒，若2个粽子装一盒还多6个粽子．设有个礼盒，个粽子，所满足的关系式为（　　）
A． B．
C． D．
9．已知，满足方程组，则的值是（　　）
A．4 B． C．3 D．
10．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 二元一次方程的正整数解是　 　．
12． 若关于，的方程组的解满足，则的值为　 　．
13．已知关于，的二元一次方程，则　 　．
14． 中国古代的数学专著《九章算术》有方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量各为两，两，可得方程组是　 　．
15． 如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，求图中阴影部分面积为　 　平方厘米．
16．已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则关于n，y的二元一次方程组 的解为 　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程
（1）；
（2）
18．已知代数式kx+b。当x=3时，它的值是6，当x=-1时，它的值是-8。
（1） 求k，b的值。
（2）若该代数式的值是m，用含m的代数式表示x。
19．装商店决定购进A、B两种纪念品，若购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要2000元；若购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要1050元。
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
20．已知关于的方程组．
（1）若方程组的解满足，求的值；
（2）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？
21． 如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.
（1）小长方形的长和宽各是多少？
（2）求阴影部分的面积.
22．如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗卖到地，两次运输第一次：地食品厂，第二次：食品厂地共支出公路运费元，铁路运费元．已知公路运费为元千米吨，铁路运费为元千米吨．
（1）求该食品厂到地，地的距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费）
23．对于关于 x，y 的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组.
（1）下列方程组是“开心”方程组的是　 　（只填写序号)
①②③
（2）若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求k的值；
（3）若对于任意的有理数m，关 于x，y的方程组都是“开心”方程组，求ab的值.
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二元一次方程组 单元精选真题测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面是二元一次方程2x-y=5的解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、将代入原方程，左边为2×4-3=5，右边为5，左边=右边，故A选项符合题意；
B、将代入原方程，左边为2×2-1=3，右边为5，左边≠右边，故B选项不符合题意；
C、将代入原方程，左边为2×1-3=-1，右边为5，左边≠右边，故C选项不符合题意；
D、将代入原方程，左边为2×5-4=6，右边为5，左边≠右边，故D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】将每个选项中的x和y值代入方程，验证等式是否成立，成立的即为正确选项.
2．将一张面值50元的人民币，兑换成5元和2元的两种零钱（两种都要兑换），兑换方案有（　　）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【答案】A
【解析】【解答】解：设x张5元的和y张2元的，根据题意，得：5x+2y=50，
∴方程的解为：或或或或.
∵ 两种都要兑换 ，
∴和舍去。
∴共有4种兑换方案。
故答案为：A。
【分析】设x张5元的和y张2元的，根据题意，得出二元一次方程，然后求得符合条件的整数解即可。
3．已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：把代入方程组得：，
解得：，
所以，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出，最后代入求解即可。
4．小明带着20元钱到超市购买笔和练习本，每支笔3元，每个练习本2元，若两种物品都要购买且把20元钱花完，则共有几种不同的购买方案 （　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【解析】【解答】解：设购买笔和练习本分别为 ，由题意可知 ，
又∵ 为正整数
∴ 的取值可为
， ，
共有三组解，
故答案为B.
【分析】设购买笔和练习本分别为 ，由题意列关于x、y的方程，求出方程的正整数解即可.
5．我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设有x人，该物品价值y元，由题意得，
故答案为：A
【分析】设有x人，该物品价值y元，根据“每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元”结合题意即可列出二元一次方程组，从而即可求解.
6．用代入法解方程组，消去y后所得到的方程，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：把代入得：，
∴．
故答案为：A．
【分析】把代入，即可求出答案.
7． 将一个大正方形和四个完全相同的小正方形按图①， ②两种方式摆放， 则图②中阴影部分的面积 (用 的代数式表示) 是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由题意，得：
，解得：，
∴图②中阴影部分的面积为；
故答案为：B．
【分析】设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，根据图形，列出方程组，求出，再用分割法求出图②阴影部分的面积即可．
8．端午节快到了，商店准备推出粽子礼盒，若3个粽子装一盒则装完还多2个礼盒，若2个粽子装一盒还多6个粽子．设有个礼盒，个粽子，所满足的关系式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据条件“ 若3个粽子装一盒则装完还多2个礼盒 ”，即用（x-2）个礼盒，每个礼盒装3个粽子刚好装完y个粽子，于是有3(x-2)=y；根据条件“ 若2个粽子装一盒还多6个粽子 ”，即用x个礼盒，每个礼盒装2个粽子下，还剩6个粽子，于是有2x+6=y.
因此，得到二元一次方程组.
故答案为：A.
【分析】要抓住等量关系的重点，即不论哪种包装方式，粽子的数量保持不变.
9．已知，满足方程组，则的值是（　　）
A．4 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
由①+②得：3m+3n=3a+9，
∴m+n=a+3③
把③代入m+n-a得：
m+n-a=a+3-a=3.
故答案为：C.
【分析】由题意，将两个方程左右分别相加并整理可求得m+n的值，然后整体代换即可求解.
10．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
【分析】先将a=1代入原方程组，进而即可解出x和y，再代入方程结合题意即可判断①；根据题意⑤+⑥，进而即可求出a，从而判断②；根据题意即可得到x+y=4，进而即可判断③；根据题意列出可能的解即可判断④。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 二元一次方程的正整数解是　 　．
【答案】，．
【解析】【解答】解：∵，
∴y=9-3x，
当x=1时，y=9-3×1=6；
当x=2时，y=9-3×2=3；
当x=3时，y=9-3×3=0；
∴二元一次方程的正整数解是和，
故答案为：和.
【分析】利用二元一次方程的计算方法及正整数解的定义分析求解即可.
12． 若关于，的方程组的解满足，则的值为　 　．
【答案】2023
【解析】【解答】解：由题意得，
①＋②得6x+6y=6k+6，
∴x+y=k+1=2024，
∴k=2023，
故答案为：2023
【分析】先根据题意①＋②得6x+6y=6k+6，进而得到x+y=k+1=2024，从而即可求出k.
13．已知关于，的二元一次方程，则　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程，
∴，
解得，，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】利用二元一次方程的概念“含有两个未知数，未知数的次数为1次的整式方程”，可得到关于m的方程和不等式，然后求出m、n的值，代入计算求出m+n的值.
14． 中国古代的数学专著《九章算术》有方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量各为两，两，可得方程组是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设每只雀、燕的重量各为两，两，由题意得：
.
故第一空答案为：.
【分析】根据两个等量关系： “五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），互换其中一只，恰好一样重” 即可列出方程组。
15． 如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，求图中阴影部分面积为　 　平方厘米．
【答案】44
【解析】【解答】解：设小长方形长为xcm，宽为ycm，
∴，
解得，
∴ 阴影部分面积为
故答案为：44.
【分析】设小长方形长为xcm，宽为ycm，观察图形列出二元一次方程组，解方程组即可得到长方形的长和宽，再利用阴影部分呢度面积=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可得到答案。
16．已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则关于n，y的二元一次方程组 的解为 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：关于x、y的方程组 可化为，
与关于x、y的方程组为同解方程组，
根据整体换元可知
解得.
故答案为：.
【分析】整体法观察两个方程为同解方程，整体换元即可求解x、y的值.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，
把②代入①，得2x﹣3（x﹣5）＝12，
去括号，得2x﹣3x+15＝12，
解得：x＝3，
把x＝3代入②，得y＝3﹣5＝﹣2，
∴方程组的解为
（2）解：，
由②，得y＝2x﹣5③，
把③代入①，得3x+4（2x﹣5）＝2，
去括号，得3x+8x﹣20＝2，
解得：x＝2，
把x＝2代入③，得y＝2×2﹣5＝﹣1，
∴方程组的解为
【解析】【分析】(1)（2）利用代入消元法即可解答二元一次方程组；
18．已知代数式kx+b。当x=3时，它的值是6，当x=-1时，它的值是-8。
（1） 求k，b的值。
（2）若该代数式的值是m，用含m的代数式表示x。
【答案】（1）解：因为x=3时，它的值是6；当x=-1时，它的值是-8，
所以解得
（2）解：因为该代数的值是m，
所以
解得
【解析】【分析】(1)根据题意，列出方程组求解；
（2）根据“该代数式的值是m”及（1）求出的代数式，列出方程求出x.
19．装商店决定购进A、B两种纪念品，若购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要2000元；若购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要1050元。
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
【答案】（1）解：设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，
，解得，
答：购进A种纪念品每件需150元，B种纪念品每件需100元.
（2）解：设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，
，
化简得，
，
当a=12时，b=22；当a=14时，b=19；当a=16时，b=16；当a=18时，b=13，
答：共有4种方案：购进A种纪念品12件，B种纪念品22件；购进A种纪念品14件，B种纪念品19件；购进A种纪念品16件，B种纪念品16件；购进A种纪念品18件，B种纪念品13件.
【解析】【分析】(1)设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要2000元可得10x+5y=2000；根据购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要1050元可得5x+3y=1050，进而解得.
(2)设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，根据该商店决定出4000元全部用来购进这两种纪念品可列出二元一次方程，再根据各纪念品至少购进12件可得当a=14时，b=19；当a=16时，b=16；当a=18时，b=13，故共有3种方案：购进A种纪念品14件，B种纪念品19件；购进A种纪念品16件，B种纪念品16件；购进A种纪念品18件，B种纪念品13件.
20．已知关于的方程组．
（1）若方程组的解满足，求的值；
（2）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？
【答案】（1）解：∵方程组的解满足，且关于x，y的方程组，∴联立，
解得，
把代入，
可得，
解得
（2）解： 无论实数取何值，方程总有一个公共解，∴方程的解与无关，
∴，
将代入，
可得．
∴这个公共解为
【解析】【分析】（1）根据题意将方程组重新组合，利用加减消元法求出x，y的值，然后代入，可求出m的值.
（2）由无论实数取何值，方程总有一个固定的解，可得含的项的系数为，可得出，即可求出的值，从而得出这个方程的公共解.
（1）解：∵方程组的解满足，且关于x，y的方程组，
∴联立，
解得，
把代入，
可得，
解得．
（2）解： 无论实数取何值，方程总有一个公共解，
∴方程的解与无关，
∴，
将代入，
可得．
∴这个公共解为．
21． 如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.
（1）小长方形的长和宽各是多少？
（2）求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：设小长方形的长为，宽为，
根据图形可知：，
解得：，
答：小长方形的长为，宽为；
（2）解：由（）得：小长方形的长为，宽为，
∴长方形的宽为，
则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，
，
，
答：阴影部分的面积为．
【解析】【分析】(1)根据图形找到大长方形的长，宽与小长方形的长，宽之间的等量关系列，出方程即可.
(2)先求出大小长方形的长和宽，再用大长方形的面积-6个小长方形的面积即得阴影部分面积.
22．如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗卖到地，两次运输第一次：地食品厂，第二次：食品厂地共支出公路运费元，铁路运费元．已知公路运费为元千米吨，铁路运费为元千米吨．
（1）求该食品厂到地，地的距离分别是多少千米？
（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费）
【答案】（1）解：设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里，
根据题意可列方程组，
解得，
答：这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米.
（2）解：设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨，
由题意可列方程组，，
解得，
答：该食品厂买进原料吨，卖出食品吨.
（3）解：设卖出的食品每吨售价为元，
由题意列方程，，
解得 ，
答：卖出的食品每吨售价是元.
【解析】【分析】（1）设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里，根据题意列出方程组，解方程组即可求得 该食品厂到地，地的距离 ；
（2）设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨，根据题意列出方程组，解方程组即可求得该食品厂买进原料及卖出食品的吨数 ；
（3）设卖出的食品每吨售价为元，根据题意列出方程，解方程即可求得卖出的食品每吨售价 ．
（1）解：设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里，
根据题意，得：，
解得：，
答：这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米．
（2）解：设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨，
由题意得：，
解得：，
答：该食品厂买进原料吨，卖出食品吨．
（3）解：设卖出的食品每吨售价为元，
由题意得：，
解得：，
答：卖出的食品每吨售价是元．
23．对于关于 x，y 的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组.
（1）下列方程组是“开心”方程组的是　 　（只填写序号)
①②③
（2）若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求k的值；
（3）若对于任意的有理数m，关 于x，y的方程组都是“开心”方程组，求ab的值.
【答案】（1）②
（2）解：
①+②得：7x+7y=3k+8，
解得
是“开心”方程组，
∴|x+y|=1，
∴
解得：k=-或 k=-5.
（3）解：∵对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“开心”方程组，
，
联立得：
或
解得：或
①把代入得：，
整理得，
∵m为任意有理数，
∴，，解得：，，
∴；
②把代入得：，
整理得.
∵m为任意有理数，
∴，，解得：，，
∴；
综上所述，ab的值为或.
【解析】【解答】解：（1）①由于存在方程，即，不属于“开心”方程组；②存在方程，属于“开心”方程组；③将上下方程相加，得4x+4y=6，整理可得，即，不属于“开心”方程组.
故答案为：②.
【分析】（1）根据“开心”方程组的定义，只要在方程组中能直接找到或整理后找到即为“开心”方程组；
（2）将原方程组的上下方程相加，可得，由于原方程组是“开心”方程组，则必有，根据绝对值定义求出两个不同的k值；
（3）由于方程组属于“开心”方程组，则可联立求出可能得x、y值，再将不同的x、y值分别代入，由于m为任意有理数下均成立，即对整理后，m的系数必然为0，故可以得到关于a、b的方程，解之即可.
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