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【50道填空题·专项集训】浙教版数学八年级下册第2章 一元二次方程
1．若方程 （其中a，b，c为常数且 ）的两个实数根分别为 ， ，则 　 　， 　 　．（用a，b，c表示）
2．方程x(x－1)＝x的解为　 　
3．已知a是关于x方程x2-2x-8=0的一个根，则a2-2a的值为　 　.
4．已知 是关于 的一元二次方程，则 的值为　 　.
5．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有　 　人患有流感．
6．如果关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0的一根为3，则另一根为　 　.
7．关于x的一元二次方程x2-5x+c=0的两个实数根分别是m，n，且满足2m-n=1，则c的值为　 　.
8．已知方程 是关于 的一元二次方程，则 　 　．
9． 若m，n是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则 3m+n的值为　 　.
10．已知（a﹣2）x2+（a﹣1）x﹣3=0是关于x的一元二次方程，则a满足的条件是　 　 .
11．已知，，则x的值为　 　．
12．若3是关于x的方程x2﹣x+c=0的一个根，则方程的另一个根等于　 　．
13．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为　 　．
14．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2021=0有一根为x=﹣1，则a+b=　 　．
15．用配方法将方程 化为 的形式为　 　．
16．已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1＝0的根，求代数式a2﹣2015a﹣ 的值为　 　.
17．已知三角形两边长分别是3和5，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为　 　．
18．已知一元二次方程x -5x-2=0的两根为x1，x2，则(x1-1)(x2-1)的值是　 　 。
19．若 ，则代数式 的值为　 　．
20．已知关于的 方程 有两个实数根，则 的取值范围是　 　．
21．已知m，n是方程x2﹣x﹣2016=0的两个实数根，则m2+n的值为　 　．
22．某种产品原来每件800元，经过两次降价,且每次降价的百分率相同，现在每件售价为578元，如果每次的降价的百分率是x，则可列方程：　 　.
23．已知 是方程 的一个解， 则 的值为　 　.
24．当k　 　 时，关于x的方程有两个实数根；
25．一元二次方程的解是　 　．
26．某种水果的原价为15元/箱，经过连续两次增长后的售价为30元/箱．设平均每次增长的百分率为x，根据题意列方程是　 　．
27．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，某养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均为x只，则可列方程为　 　．
28．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由前年的12000元/平方米下降到今年的10000元/平方米，每年下降的百分率相同，求这两年平均每年降价的百分率，设平均每年下降的百分率为x，则可列方程为　 　．
29．若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，则x1﹣x1x2+x2的值是　 　．
30．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利6元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．现该商场要保证每天盈利1600元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价　 　元．
31．方程 的解是　 　.
32．方程（a－1）x2＋2（a＋1）x＋a＋5=0有两个实根，则正整数a的值为　 　.
33．为了响应全民阅读的号召，某校图书馆利用节假日面向社会开放．据统计，第一个月进馆560人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆830人次．设该校图书馆第二个月、第三个月进馆人次的平均增长率为x，则可列方程为　 　．
34．已知关于x的一元二次方程x2-2x+3m＝0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y＝t2-2t+4m+1，则y的取值范围为 　 　．
35．
若关于x的方程 有两个相等的实数根，则式子 的值为　 　
36．已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+ =0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是　 　．
37．已知 ， ．当 　 　时， ．
38． 定义新运算：例如：，．若，则的值为　 　．
39．已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值是　 　．
40．已知a是 的一个根，则代数式 的值为　 　。
41．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为　 　．
42．已知实数，满足，，且，且的值为　 　．
43．我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2=( )2，3=( )2等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3-2 的算术平方根。
解：3-2 =2-2 +1=( )2-2 +1=( -1)2，
∴3-2 的算术平方根是 -1。
你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：
（1）填空： = 　 　。
=　 　
（2）化简：
44．阅读理解：对于 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
理解运用：如果 ，那么 ，
即有 或 ，
因此，方程 和 的所有解就是方程 的解.
解决问题：求方程 的解为　 　.
45．商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得
，据此可得，最佳利好系数k的值等于　 　 ．
46．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根，，其中，则　 　，若，为常数，则的值为　 　．
47．已知，，且，则=　 　.
48．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2）， =　 　．
49．设a，b是方程x2+x-9=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为　 　．
50．若实数，满足，则的最大值与最小值之和为　 　 ．
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【50道填空题·专项集训】浙教版数学八年级下册第2章 一元二次方程
1．若方程 （其中a，b，c为常数且 ）的两个实数根分别为 ， ，则 　 　， 　 　．（用a，b，c表示）
【答案】；
【解析】【解答】解：由题意知 ，
故答案为： ； ．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得答案。
2．方程x(x－1)＝x的解为　 　
【答案】
【解析】【解答】解：x（x－1）＝x，x（x－1）-x=0，x（x－2）＝0，∴ ．
【分析】由题意先移项，再提公因式x可分解因式求解。
3．已知a是关于x方程x2-2x-8=0的一个根，则a2-2a的值为　 　.
【答案】8
【解析】【解答】解：把x=a代入一元二次方程得：
，
∴ ；
故答案为：8.
【分析】根据方程根的定义，把x=a代入一元二次方程，然后可求解.
4．已知 是关于 的一元二次方程，则 的值为　 　.
【答案】0或3
【解析】【解答】 是关于 的一元二次方程 ，故m-1≠0且=2
m≠1，解得m1=0或m2=3
故答案为0和3
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案。
5．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有　 　人患有流感．
【答案】729
【解析】【解答】设每轮传染中平均每个人传染的人数为x人，
由题意可列得， ，
解得 ， （舍去），
即每轮传染中平均每个人传染的人数为8人，
经过三轮传染后患上流感的人数为： （人）.
故答案为： 729 .
【分析】设每轮传染中平均每个人传染的人数为x人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感列方程求解，然后可得三轮过后患流感的人数。
6．如果关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0的一根为3，则另一根为　 　.
【答案】－1
【解析】【解答】解：设方程的另一根为a，根据根与系数的关系得到3+a=-2，解得a=-1，即方程的另一根为-1.
故答案为：-1.
【分析】设方程的另一根为a，根据一元二次方程的根与系数的关系“x1+x2=”可得关于a的方程，解方程即可求解.
7．关于x的一元二次方程x2-5x+c=0的两个实数根分别是m，n，且满足2m-n=1，则c的值为　 　.
【答案】6
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-5x+c=0的两个实数根分别是m，n，
∴m+n=5，mn=c
又∵2m-n=1，
∴3m=6，得m=2
∴n=3
∴c=mn=2×3=6.
故答案为：6.
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合已知条件组成方程组求出两根的值，最后代入两根之积求出c的值.
8．已知方程 是关于 的一元二次方程，则 　 　．
【答案】-3
【解析】【解答】解： 是关于 的一元二次方程，
，
解得： .
故答案为：-3.
【分析】由一元二次方程的定义即可判断。
9． 若m，n是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则 3m+n的值为　 　.
【答案】4
【解析】【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴m+n=4， mn=-3，且
则 4m+ mn+m+n=3+(-3)+4=4.
故答案为：4.
【分析】根据题意，利用一元二次方程根与系数的关系即可求解.
10．已知（a﹣2）x2+（a﹣1）x﹣3=0是关于x的一元二次方程，则a满足的条件是　 　 .
【答案】a≠2
【解析】【解答】解：∵（a﹣2）x2+（a﹣1）x﹣3=0是关于x的一元二次方程，
∴a满足的条件是：a≠2．
故答案为：a≠2．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出a满足的条件即可．
11．已知，，则x的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
将代入
可得：，
即：，
，
∴或，
∵，
∴（舍），
∴，
故答案为：2．
【分析】将代入，可得，求出或，再结合，求出x的值即可.
12．若3是关于x的方程x2﹣x+c=0的一个根，则方程的另一个根等于　 　．
【答案】-2
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为a，
∵3是关于x的方程x2﹣x+c=0的一个根，
∴a+3=1，
解得：a=﹣2，
故答案为：﹣2．
【分析】设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系得出a+3=1，求出即可．
13．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为　 　．
【答案】（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2　
【解析】【解答】解：设竿长为x尺，
由题意得，（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2．
故答案为：（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2．
【分析】设竿长为x尺，根据题意可得，则房门的宽为x﹣4，高为x﹣2，对角线长为x，然后根据勾股定理列出方程．
14．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2021=0有一根为x=﹣1，则a+b=　 　．
【答案】2021
【解析】【解答】解：将 代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2021=0中，
得： ，
∴ ，
故答案为：2021．
【分析】先求出，再计算求解即可。
15．用配方法将方程 化为 的形式为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：移项，得 ，
在方程两边加上一次项系数一半的平方得， ，
即 ，
故答案是： ．
【分析】先移项，再利用配方法解一元二次方程即可得出答案。
16．已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1＝0的根，求代数式a2﹣2015a﹣ 的值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：
是方程
的根，
，
，
原式
.
故答案为：
.
【分析】根据方程解的概念可得a2=2016a-1，然后代入代数式中化简即可.
17．已知三角形两边长分别是3和5，第三边的长为一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为　 　．
【答案】11或12
【解析】【解答】解：∵x2-7x+12=0，
∴(x-3)(x-4)=0，
∴x=3或x=4.
∵三角形的两边分别为3和5，
∴2<另一边<8，
∴另一边长可以为3或4，
∴周长为3+5+3=11或3+5+4=12.
故答案为：11或12.
【分析】利用因式分解法可得方程的解，根据三角形的三边关系求出另一边长的范围，进而可得另一边的长，据此不难求出周长.
18．已知一元二次方程x -5x-2=0的两根为x1，x2，则(x1-1)(x2-1)的值是　 　 。
【答案】-6
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x -5x-2=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=5，x1·x2=-2，
∴ (x1-1)(x2-1)=x1·x2-（x1+x2）+1=-2-5+1=-6.
故答案为：-6.
【分析】一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=-p，x1x2=q，根据已知方程求出x1+x2，x1x2的值，再将代数式转化为x1·x2-（x1+x2）+1，然后代入求值。
19．若 ，则代数式 的值为　 　．
【答案】8
【解析】【解答】原式= =2×4=8．
故答案为：8．
【分析】方法一：将x2-3x看成是一个整体，代入代数式求值即可；方法二：求出x的值，再代入代数式求值.方法一更简便.
20．已知关于的 方程 有两个实数根，则 的取值范围是　 　．
【答案】0≤m≤2且m≠1
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【分析】关于x的一元二次方程 有两个实数根，即判别式△＝b2 4ac≥0，m-1≠0，2-m≥0，即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围．
21．已知m，n是方程x2﹣x﹣2016=0的两个实数根，则m2+n的值为　 　．
【答案】2017
【解析】【解答】解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2016=0的两个实数根，
∴m2﹣m﹣2016=0，即m2=m+2016；
∵m+n=1，
∴m2+n=m+n+2016=1+2016=2017．
故答案为2017．
【分析】利用一元二次方程解的定义，将x=m代入已知方程求得m2=m+2016；然后根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、m+n的值代入所求的代数式求值即可．
22．某种产品原来每件800元，经过两次降价,且每次降价的百分率相同，现在每件售价为578元，如果每次的降价的百分率是x，则可列方程：　 　.
【答案】800（1-x）2=578
【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为800×（1-x），
第二次降价后的价格为800（1-x）2，
可列方程为800（1-x）2=578．
故答案为：800（1-x）2=578．
【分析】根据等量关系：原价×（1-降价的百分率）2=现在的售价，把相关数值代入即可．
23．已知 是方程 的一个解， 则 的值为　 　.
【答案】-3
【解析】【解答】解：∵为方程的一个根，∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查一元二次方程的解.一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，可得：，变形可得：，原式变形可得：，再进行整体代入可求出式子的值．
24．当k　 　 时，关于x的方程有两个实数根；
【答案】 且
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴且，
∴ 且 .
故答案为： 且 .
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出且，再计算求解即可。
25．一元二次方程的解是　 　．
【答案】4或-4
【解析】【解答】解：，
开方得：.
故答案为：4或-4.
【分析】利用直接开平方法进行计算即可.
26．某种水果的原价为15元/箱，经过连续两次增长后的售价为30元/箱．设平均每次增长的百分率为x，根据题意列方程是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设平均每次涨价的百分率为x，
依题意得： ．
故答案为： ．
【分析】设平均每次涨价的百分率为x，根据“ 经过连续两次增长后的售价为30元/箱 ”可直接列出方程。
27．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，某养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均为x只，则可列方程为　 　．
【答案】x+1+x（x+1）=169
【解析】【解答】解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得： x+1+x（x+1）=169，
故答案为： x+1+x（x+1）=169．
【分析】根据两天后发现共有169只鸡患有这种病 ，列方程即可。
28．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由前年的12000元/平方米下降到今年的10000元/平方米，每年下降的百分率相同，求这两年平均每年降价的百分率，设平均每年下降的百分率为x，则可列方程为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设平均每年下降的百分率位x，
由题意可得方程： ，
故答案为： .
【分析】利用百分率表示出表示出今年的价格，列出方程即可。
29．若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，则x1﹣x1x2+x2的值是　 　．
【答案】﹣
【解析】【解答】解：∵方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，
∴x1+x2=﹣2，x1 x2= ，
∴x1﹣x1x2+x2=﹣2﹣ =﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2、x1 x2= ，将其代入x1﹣x1x2+x2中即可得出结论．
30．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利6元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．现该商场要保证每天盈利1600元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价　 　元．
【答案】4
【解析】【解答】设每千克应涨价x元，由题意列方程得：
（6+x）（200-10x）=1600，
解得：x=4或x=10，
为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价4元；
故答案为：4．
【分析】设每千克应涨价x元，则每千克的盈利为（6+x）元，由于 每千克涨价1元，销售量将减少10千克 ，故每天的销售量为（200-10x）千克，根据销售数量乘以每千克的利润=每天的总利润即可列出方程，求解再检验即可。
31．方程 的解是　 　.
【答案】
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴3-2x=x2，
∴x2+2x-3=0，
∴（x+3）（x-1）=0，
解得，x1=-3，x2=1，
经检验，当x=1时，原方程无意义，当x=3时，原方程有意义，
故原方程的根是x=-3，
故答案为：x=-3．
【分析】根据解无理方程的方法可以解答此方程，注意无理方程要检验．
32．方程（a－1）x2＋2（a＋1）x＋a＋5=0有两个实根，则正整数a的值为　 　.
【答案】2或3
【解析】【解答】解：方程（a－1）x2＋2（a＋1）x＋a＋5=0有两个实根，
所以：a-1≠0，
故当a≠1时，原方程为一元二次方程，
∵（a-1）x2+2（a+1）x+a+5=0有两个实根，
∴△=[2（a+1）]2－4（a-1） （a+5）≥0，
解得：a≤3
∴此时a≤3且a≠1
故正整数a的值为：a=2或者3
故答案为：2或3．
【分析】由于方程有两个实数根，可得a-1≠0且△≥0，据此解答即可.
33．为了响应全民阅读的号召，某校图书馆利用节假日面向社会开放．据统计，第一个月进馆560人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆830人次．设该校图书馆第二个月、第三个月进馆人次的平均增长率为x，则可列方程为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
【分析】根据 第一个月进馆560人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆830人次 ，列方程求解即可。
34．已知关于x的一元二次方程x2-2x+3m＝0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y＝t2-2t+4m+1，则y的取值范围为 　 　．
【答案】y≤4
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+3m＝0有实数根 ，
∴Δ=b2-4ac=4-12m≥0，解得m≤3，
设此方程的一个实数根为t ，
∴t2-2t+3m=0，
∴t2-2t=-3m，
∴y＝t2-2t+4m+1 =-3m+4m+1=m+1，
∵m≤3，
∴m+1≤4，
∴y≤4.
故答案为：y≤4.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，先求出m≤3，再根据一元二次方程的解的定义得出t2-2t=-3m，代入y＝t2-2t+4m+1，进而得出y的取值范围。
35．
若关于x的方程 有两个相等的实数根，则式子 的值为　 　
【答案】1
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程 有两个相等的实数根， ∴△=0，即(-m)2-4m=0，解得：m1=0，m2=4，当m=0时， =1；当m=4时， =2×42-8×4+1=1，综上所述即可得出 的值为1；
故答案为：1.
【分析】根据关于x的一元二次方程，有两个相等的实数根可知根的判别式等于0，从而列出方程，求解得出m的值，然后将m的值分别代入代数式，按有理数的混合运算顺序算出答案。
36．已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+ =0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是　 　．
【答案】0
【解析】【解答】解：根据题意得△=（1﹣m）2﹣4× ＞0，
解得m＜ ，
所以m的最大整数值为0．
故答案为：0．
【分析】根据判别式的意义得到△=（1﹣m）2﹣4× ＞0，然后解不等式得到m的取值范围，再在此范围内找出最大整数即可．
37．已知 ， ．当 　 　时， ．
【答案】
【解析】【解答】当 时，则有：
解得
故当 时， ．
故答案为： .
【分析】由 得到关于x的一元二次方程，求解方程即可得到x的值.
38． 定义新运算：例如：，．若，则的值为　 　．
【答案】或
【解析】【解答】解：当x≤0时，由新运算可得x2-1=，
∴x2=，
解得x1=(舍去)，x2=；
当x＞0时，由新运算可得-x+1=，
解得x=，
综上x的值为：或.
故答案为：或.
【分析】根据新运算定义，分当x≤0时与当x＞0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x的值即可.
39．已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值是　 　．
【答案】6
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣ =6．
故答案为6．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
40．已知a是 的一个根，则代数式 的值为　 　。
【答案】11
【解析】【解答】解：∵a是方程 的一个根，
∴a2+2a-4=0，
整理得，a2+2a=4，
∴ ，
=3×4-1，
=11．
故答案为：11．
【分析】根据方程的根的定义，把a代入方程求出a2+2a的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．
41．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：原式=（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3=4（x﹣y）2+（x+1）2+3，
∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，
即原式=0+0+3=3，
∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．
故答案为：3
【分析】将所给等式分为两组进行配方，再利用平方项的非负性可判断所给代数式的最小值为3.
42．已知实数，满足，，且，且的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴α、可以看作方程，
∴
故答案为：.
【分析】通过分析两方程的特点以及所求代数式，不难想到应该是考查根与系数的关系，所以对第二个方程适当变形，易知是一元二次方程的两实数根，利用根与系数的关系求得两个和与两根积，进而求代数式的值。
43．我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2=( )2，3=( )2等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3-2 的算术平方根。
解：3-2 =2-2 +1=( )2-2 +1=( -1)2，
∴3-2 的算术平方根是 -1。
你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：
（1）填空： = 　 　。
=　 　
（2）化简：
【答案】（1） +1；4+
（2）解：原式=
，
= ，
= -1
【解析】【解答】解：（1），
.
故答案为：；；
【分析】（1）根据题意进行配方，再根据算术平方根的定义即可求解；
（2）根据题意把各二次根式进行化简，再合并同类二次根式，即可求解.
44．阅读理解：对于 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
理解运用：如果 ，那么 ，
即有 或 ，
因此，方程 和 的所有解就是方程 的解.
解决问题：求方程 的解为　 　.
【答案】x=2或 或
【解析】【解答】解：∵
，
∴方程 可化为 =0，
∴x－2=0或 ，
解得： 或 或 ，
∴方程 的解为 或 或 ，
故答案为： 或 或 .
【分析】利用阅读材料直接进行解方程即可.
45．商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得
，据此可得，最佳利好系数k的值等于　 　 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴3（c-a）2=（b-a）（b-c）
∵c=a+k（b-a），
∴c-a=k（b-a），
∴3（c-a）2=3
=（b-a）（b-c），
∵b＞a，即b-a≠0，
∴3k2（b-a）=b-c，
∴3k2（b-a）=b-a-k（b-a），
∴3k2=1-k，即3k2+k-1=0，
整理，解得：k=
或
，
又∵0≤k≤1，
∴ k=
.
故答案为：.
【分析】先由得3（c-a）2=（b-a）（b-c），再由c=a+k（b-a）得c-a=k（b-a），即可得3
=（b-a）（b-c），再利用b-a≠0进行化简得3k2（b-a）=b-c，把c=a+k（b-a）代入得到关于k的一元二次方程3k2+k-1=0，解出k值，最后通过0≤k≤1求得符合条件的k值即可.
46．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根，，其中，则　 　，若，为常数，则的值为　 　．
【答案】-2；16
【解析】【解答】解：，
方程可变为，
∴或，
解得，，
∵，
∴，
∵，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；16．
【分析】先变化一元二次方程即可得到，故或，再解方程即可得到，，进而根据得到，；从而结合题意根据非负性得到，解二元一次方程组即可求解。
47．已知，，且，则=　 　.
【答案】-5
【解析】【解答】解：显然，将转化为，
故s与是方程的两个根，，
.
故答案为：-5.
【分析】观察两个方程可得s与是方程的两个根，利用韦达定理可得，，进而计算出代数式的值.
48．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2）， =　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由根与系数的关系得an+bn=n+2，an bn=-2n2，
所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），
则
=
=
=
故答案为：
【分析】由根与系数的关系得an+bn=n+2，an bn=-2n2，所以（an-2）（bn-2）=anbn-2（an+bn）+4=-2n2-2（n+2）+4=-2n（n+1），则 ，然后代入即可求解．
49．设a，b是方程x2+x-9=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为　 　．
【答案】8
【解析】【解答】首先由a、b是方程x2＋x－9＝0的两个实数根，
根据根与系数的关系得a＋b＝－1；
又∵a是方程x2＋x﹣9＝0的实数根，
∴a2＋a－9＝0，
∴a2＋a＝9，
∴a2＋2a＋b
＝（a2＋a）＋（a＋b）
＝9＋（－1）
＝8
即a2＋2a＋b的值为8．
故答案为8．
【分析】一元二次方程实数根的意义，将根代入方程原式成立，得到一个关于a的关系式。再根据根与系数的关系得到一个，然后将两关系式结合求解即可。
50．若实数，满足，则的最大值与最小值之和为　 　 ．
【答案】
【解析】【解答】解：实数，满足
∴2ab2-2ab+a+4=0
∴
即
∴或
解得：
∴的最大值与最小值之和为-8
故答案为：.
【分析】将式子转化为关于b的一元二次方程，根据判别式大于或等于0，列出不等式，求得a的最值，进而即可求解．
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