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【50道解答题·专项集训】浙教版数学八年级下册第2章 一元二次方程
1．合肥市某小区有一块长12米、宽6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿化地，它们的面积之和为36平方米，两块绿化地之间及周围留有宽度相等的小路，求小路的宽度为多少米．
2． 已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求的值．
3． 已知关于x的方程
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若x=1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；
（3）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边b，c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长.
4．解方程：2x2+3x﹣1=0．
5．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
6．有一个人患了流感，此流感传染了两轮，其中第二轮传染后新增患者为56个人，求每轮传染中平均一个人传染给几个人．
7．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了减少库存，商场决定采取适当的降价措施，但每件商品盈利不得低于32元，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件．问每件商品降价多少元时，商场每天盈利可达2100元？
8．为响应国家全民阅读的号召，望月湖社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率；
（2）已知2019年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2020年达到1440人，如果2020年图书借阅总量的增长率与前两年相同，那么2019至2020年的人均借阅量增长率是多少？
9．如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），用于修建自行车棚，若所用栅栏的总长度为34米，墙的最大可用长度为18米，为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个2米宽的门（门用其他材料），设栅栏的长为x米，解答下列问题：
（1）　 　米．（用含x的代数式表示）
（2）若围成的自行车棚的面积为平方米，求栅栏的长．
（3）围成的自行车棚的面积能为平方米吗？请说明理由．
10．某商场销售一款消毒用湿巾，这款消毒用湿巾的成本价为每包6元，当销售单价定为10元时，每天可售出80包，根据市场行情，现决定降价销售，市场调研反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20包，为使每天这种消毒湿巾的利润达到360元，商场应把这种消毒湿巾降价多少元？
11．关于的方程的有实根．
（1）求实数的取值范围．
（2）若方程两实根是一矩形的两邻边的长，且矩形的对角线长为，试求的值．
12．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且为整数，求整数m所有可能的值．
13．2023年10月18日，成都嘉祥外国语学校第二十一届秋季运动会拉开帷幕，本次运动会以“青春展风采，运动向未来”为主题，作为本次运动会吉祥物“嘉乐宝”深受大家的喜爱，嘉祥文创店准备生产并售卖印有“嘉乐宝”T恤，经统计平均每天可售出30件，每件盈利50元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元．
（1）若每件商品降价3元，平均每天的销售量为　 　件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？
（3）店主每天能获得2200元的利润吗？为什么，请说明理由．
14．今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率．
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
15．列方程或方程组解应用题：
某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？
16．已知关于x的方程的解都是整数，求整数k的值.
17．某商场以每件40元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于65元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间满足一次函数y=-x+80的关系.
（1）当每件售价48元时，每天的利润是　 　元；
（2）销售这种商品，要想每天获利300元，每件商品的售价应为多少元
（3）销售这种商品，每天是否能获利500元 为什么
18．小明制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为．
（1）求长方形信封的长和宽．
（2）小明能将贺卡不折叠就直接放入此信封吗？请通过计算给出判断．
19．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根.
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值.
20．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量是销售单价的函数，其销售单价，周销售量，周销售利润的三组对应值如表：
销售单价元
周销售量件
周销售利润元
（1）请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的与之间的函数表达式；
（2）请求出该商品的进价；
若该公司想每周获利元，并尽可能让利给顾客，请求出此时该商品销售单价．
21．为落实“两免一补”政策，封开县2023年投入教育经费2500万元，预计2025年投入教育经费3600万元，已知2023年到2025年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长．
（1）求每年的平均增长率；
（2）按该平均增长率请你帮计算一下2026年封开县投入的教育经费为多少万元？
22．已知关于 的一元二次方程有 两个不相等的实数根，求k的取值范围.
23．某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为，；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为．
（1）求安全区域的宽度；
（2）某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以36.45万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
24．（1）如果关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．
（2）如果关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
25．已知一本数学书长为，宽为，厚为．一张长方形包书纸如图所示，它的面积为，虚线表示的是折痕．由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形，求正方形的边长．
26．在“哈尔滨工程大学”校庆中，1000架无人机“舞动苍穹，逐梦深蓝”形成了一道靓丽的风景线．某无人机公司统计发现：公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；
（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本200元，生产1架B型无人机的成本是300元，若生产A、B两种型号无人机共100架，预算投入生产的成本不高于22500元，问最多能生产B型无人机多少架？
27．栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件．
（1）求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率；
（2）从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．
29．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长；
（2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由．
30．已知关于的一元二次方程.
（1）当时，求方程的解；
（2）若该方程有实数根，求的取值范围.
31．随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率．
32．若 是关于x的一元二次方程，则a是多少 ，且该一元二次方程的解为多少？
33．完成下列问题：
（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，求m+n的值；
（2）已知x，y为实数，且y=，求2xy的值．
34．阅读下面的例题，
范例：解方程x2-|x|-2=0，
解： (1)当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，解得：x1=2，x2=-1(不合题意，舍去)。
( 2 )当x<0时，原方程化为x2+x-2=0，解得：x1=-2，x2=1(不合题意，舍去)。
∴原方程的根是x1=2，x2=-2
请参照例题解方程x2-|x-1|-1=0
35．已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：方程有两个不相等的实数根.
（2）若 Rt△ABC的两边AB，AC的长分别是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，求 k 的值.
36．某公司研制出一种新产品，每件产品成本1000元，销售单价定为1200元.为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过10件，每件按1200元销售；若一次购买该产品超过10件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低5元，但销售单价均不低于1050元.
（1）设一次购买该产品的数量为x件，销售单价为y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利3125元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由.
37．益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件商品？每件应定价多少？
38．2022年冬季奥运会和冬季残奥会两件赛事在我国首都北京和河北省石家庄市举行，某商家购进了冬季残奥会吉祥物“雪容融”纪念品，每个的进价是30元．为了增大“雪容融”类纪念品的销售量，商家决定对“雪容融”类纪念品进行降价销售，当销售价为每个44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个．请问商家应将“雪容融”类纪念品每个降价多少元时，每天售出此类纪念品能获利400元？
39．解方程：
（1）（配方法）
（2）x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法）
40．某超市经销一种成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月能销售500千克．据市场调查发现，销售单价每涨1元，月销售量就会减少10千克．该水产品价格经过两个月持续上涨，每千克由原来的50元涨到72元．针对这种水产品销售情况，请解答以下问题：
（1）求该水产品平均每个月的价格增长率；
（2）超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月利润达到8000元，销售单价应定为多少元？
41．已知关于x的方程2x2+bx+c=0的根为x1=-2，x2=3，求b+c的值
42．某商品进价30元，销售期间发现，当销售单价定价50元时，每天可售出100个．临近五一，商家决定开启大促，经市场调研发现，销售单价每下降2元，每天销量增加20个，设每个商品降价x元．
（1）求每天销量y（个）关于x（元）的函数关系式；
（2）求该商品的销售单价是多少元时，商家每天获利1760元；
（3）请说明：商家每天的获利是否能达到3000元？
43．若关于的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”例如方程：有解，所以为“明一方程”．
（1）下列方程是“明一方程”的有　 　；
；
；
．
（2）已知直线轴交于点，与轴交于点，且当时，关于的方程为“明一方程”，求该直线解析式；
（3）已知为“明一方程”为常数，且的两个根，试求的取值范围．
44．小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是元台厂商建议，台灯的标价应不低于元台，且不高于元台．
（1）小亮根据日常销售的数据发现，当销售价格为元台时，每天能售出台；若台灯的价格每上涨元，日销量会下降台求日销售量台与元台之间的函数关系式；
（2）“”促销日之前的销售数据显示，最高日销售利润为元“”当天，小亮为提高店铺知名度，采用如下促销方式：台灯按元台标价，并打折销售；当天销售量在台的基础上增加了倍，日销售利润上升为“”促销日之前的最高日销售利润的倍，求的值．
45．所谓完全平方式， 就是对于一个整式， 如果存在另一个整式， 使， 那么称 是完全平方式. 例如.
（1）下列各式中， 属于完全平方式的是 　 　(填序号).
①；②； ③；
④； ⑤； ⑥.
（2）若 和 都是完全平方式(其中 都是常熟)， 求的值.
（3）如果多项式 加上一个单选式后，能成为一个完全平方式， 那么加上的单选式可以是哪些(请直接写出所有可能的情况)
46．已知a、b为整数，方程3x2－3(a＋b)x＋4ab＝0的两个实数根满足α、β满足α(α＋1)＋β(β＋1)＝(α＋1)(β＋1)．试求所有的整数对（a，b）．
47．一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程x2-(m+2)x+4m=0，试求m的值及此直角三角形的三边长。
48．已知在关于 的分式方程 ① 和一元二次方程②中， 均为实数，方程①的根为非负数．
（1） 求 的取值范围．
（2） 当 为整数， 且 ， 方程②有两个整数解 时， 求方程②的整数解．
（3） 当方程②有两个实数解 ， 满足 ，且 为负整数时， 试判断 是否成立， 并说明理由．
49．如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是．
（1）为何值时，在的中垂线上？
（2）为何值时，的长度为？
（3）是否存在的值，使得五边形的面积为？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
50．如图，在直角三角形中，，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线运动，点Q沿边的延长线运动，与直线相交于点D．设P点运动时间为t，的面积为S．
（1）填空： ； ；
（2）当点P运动几秒时，和面积相等？
（3）作于点E，当点P，Q运动时，线段的长度是否改变？若不变，请直接写出线段的长度；若改变，请说明理由．
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【50道解答题·专项集训】浙教版数学八年级下册第2章 一元二次方程
1．合肥市某小区有一块长12米、宽6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿化地，它们的面积之和为36平方米，两块绿化地之间及周围留有宽度相等的小路，求小路的宽度为多少米．
【答案】解：设小路的宽度为x米，根据题意得
(12-3x)）(6-2x)=36，
解得x1=1或x2=6（不合题意，含去）
答：小路的宽为1米。
【解析】【分析】根据长方形跟正方形的几何关系，可列出方程，解出小路的宽。
2． 已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求的值．
【答案】（1）解：∵方程，，
∴，
∴，
解得．
（2）解：∵的两个实数根分别是，，且，
∴，
∵，
∴，
∵为符合条件的最小整数，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴或，
∴或（舍去），
故．
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，根据题意建立可得，由为符合条件的最小整数，则，再代入方程可得m的值，即可求出答案.
3． 已知关于x的方程
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若x=1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；
（3）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边b，c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长.
【答案】（1）证明：∵x2-(2k+1)x+4(k-)=0
∴=[-(2k+1)]2-4×4(k-)
=4k2-12k+9
=(2k-3)2 ≥0.
∴无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）解：把x=1代人x2-(2k+1)x+4(k-)=0，得
1-(2k+1)+4(k-)=0，
解得k=1.
则方程为：
∴
与k的值为1，方程的另一根为2；
（3）解：x2-(2k+1)x+4(k-)=0
整理得(x-2)[x-(2k-1)]=0，
∴x1=2，x2=2k-1
①当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，
∵b，c恰是这个方程的两根，则2=2k-1，
解得 k=，则三角形的三边长分别为2，2，4，
∵2+2=4，这不满足三角形三边的关系，舍去；
②当a=4为等腰△ABC的腰，
∵b，c恰是这个方程的两根，所以只能2k-1=4，解得k=
则三角形三边长分别为2，4，4，
此时三角形的周长为2+4+4=10.
∴△ABC的周长为10.
【解析】【分析】（1）计算方程根的判别式并证明其非负即可；
（2）根据方程根的定义把x=1代人x2-(2k+1)x+4(k-)=0，据此求出k的值，即可得到原方程为，进而解此方程即可求解；
（3）根据原方程得到x1=2，x2=2k-1，进而分两种情况讨论，①当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，②当a=4为等腰△ABC的腰，分别列出方程即可求解.
4．解方程：2x2+3x﹣1=0．
【答案】解：这里a=2，b=3，c=﹣1，
∵△=9+8=17，
∴x=．
【解析】【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
5．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设羊圈的宽AB=CD=x米，则长米，
由题意，得，
解得：，，
∴当时，，当时，，
∴当羊圈的长和宽分别为40米、16米或32米、20米时，能围成一个面积为640的羊圈；
（2）解：不能，理由如下：
根据题意，得，
整理得：，
∴，
∴一元二次方程没有实数根，
∴羊圈的面积不能达到．
【解析】【分析】（1）设羊圈的宽AB=CD=x米，则长米，根据“ 围成一个面积为640的羊圈 ”列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）由（1）同理列出一元二次方程且整理成一般形式，然后由一元二次方程根的判别式可知一元二次方程无实根，即可求解．
6．有一个人患了流感，此流感传染了两轮，其中第二轮传染后新增患者为56个人，求每轮传染中平均一个人传染给几个人．
【答案】解：设每轮传染中平均一个人传染给x个人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染给7个人．
【解析】【分析】设每轮传染中平均一个人传染给x个人，根据题意列出方程，再求解即可。
7．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了减少库存，商场决定采取适当的降价措施，但每件商品盈利不得低于32元，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件．问每件商品降价多少元时，商场每天盈利可达2100元？
【答案】解：设每件商品售价为x元，根据题意得：
，
整理得：，
解得，，
∵每件商品盈利不低于32元，
∴，
∴，
∴．
故每件商品降价15元时，商场每天盈利可达2100元．
【解析】【分析】本题首先假设降价x元，根据题意得等量关系：降价后每件的利润×降价后的销售件数=总利润。据此列出方程，求解后，根据题意确定满足条件的x的取值，即可得到答案．
8．为响应国家全民阅读的号召，望月湖社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2017年图书借阅总量是7500本，2019年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2017年至2019年的年平均增长率；
（2）已知2019年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2020年达到1440人，如果2020年图书借阅总量的增长率与前两年相同，那么2019至2020年的人均借阅量增长率是多少？
【答案】（1）解：设从2017年至2019年的平均增长率为，
由题意可得：，
（舍），
答：从2017年至2019年的平均增长率为；
（2）解：由题意可得：
2020年图书借阅总量为：（本），
则2019年人均借阅量为：（本），
2020年人均借阅量为：（本），
∴，
2019至2020年的人均借阅量增长率是．
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程求解即可；
（2）根据题意先求出 2020年图书借阅总量为12960本，再计算求解即可。
9．如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），用于修建自行车棚，若所用栅栏的总长度为34米，墙的最大可用长度为18米，为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个2米宽的门（门用其他材料），设栅栏的长为x米，解答下列问题：
（1）　 　米．（用含x的代数式表示）
（2）若围成的自行车棚的面积为平方米，求栅栏的长．
（3）围成的自行车棚的面积能为平方米吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）解： 根据图形，可列方程：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
栅栏的长为14米；
（3）解：不能，理由如下：
依题意得：，
整理得：，
，
方程没有实数根，
自行车棚的面积不能为平方米．
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，，
米，
故答案为：
【分析】（1）结合“所用栅栏的总长度为34米”和栅栏的长为x米，列出代数式，再求解即可；
（2）利用“围成的自行车棚的面积为平方米”列出方程，再求解即可；
（3）利用“自行车棚的面积能为平方米”列出方程，再求解即可.
（1）解：依题意得：，，
米，
故答案为：；
（2）解： 根据图形，可列方程：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
栅栏的长为14米；
（3）解：不能，理由如下：
依题意得：，
整理得：，
，
方程没有实数根，
自行车棚的面积不能为平方米．
10．某商场销售一款消毒用湿巾，这款消毒用湿巾的成本价为每包6元，当销售单价定为10元时，每天可售出80包，根据市场行情，现决定降价销售，市场调研反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20包，为使每天这种消毒湿巾的利润达到360元，商场应把这种消毒湿巾降价多少元？
【答案】解：设这种消毒湿巾降价 元，根据题意得：
，
解得： ，
答：商场应把这种消毒湿巾降价1元，可使每天这种消毒湿巾的利润达到360元．
【解析】【分析】先求出 ， 再计算求解即可。
11．关于的方程的有实根．
（1）求实数的取值范围．
（2）若方程两实根是一矩形的两邻边的长，且矩形的对角线长为，试求的值．
【答案】（1）解：∵方程有实数根，
∴，即．
解得；
（2）解：根据根与系数的关系可知：，
∵α，β是一矩形的两邻边的长，
∴，
化简得，
解得(舍去)
∴．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析可得，再求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x2=c/a）可得，再求解即可.
（1）解：∵方程有实数根，
∴，即．
解得；
（2）解：由根与系数的关系可知：．
∵α，β是一矩形的两邻边的长，
∴，
化简得，
解得(舍去)
∴．
12．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且为整数，求整数m所有可能的值．
【答案】（1）证明：，
无论取何值，方程都有两个不相等的实数根.
（2）解：，即，
解得：或．
一元二次方程的两根为，，
，
，
，
如果为整数，则或或0或2，
整数的所有可能的值为或或0或2．
【解析】【分析】（1）因为恒成立，所以无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根得证.
（2）先解方程，得到方程的两根大小分别为m，m+1，因为，所以，代入 ，得到整数m所有可能的值.
13．2023年10月18日，成都嘉祥外国语学校第二十一届秋季运动会拉开帷幕，本次运动会以“青春展风采，运动向未来”为主题，作为本次运动会吉祥物“嘉乐宝”深受大家的喜爱，嘉祥文创店准备生产并售卖印有“嘉乐宝”T恤，经统计平均每天可售出30件，每件盈利50元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元．
（1）若每件商品降价3元，平均每天的销售量为　 　件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？
（3）店主每天能获得2200元的利润吗？为什么，请说明理由．
【答案】（1）36
（2）设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为2100元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：当每件商品降价15元或20元时，该商品每天销售利润为2100元；
（3）店主不能获得每天2200元的利润．，理由如下：
设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为2200元，
由题意得：，
整理得：，
，
此方程无实数根，
店主不能获得每天2200元的利润．
【解析】【解答】解：每件商品降价3元，则平均每天销售量为件）；
故答案为：36；
【分析】（1）由题意列出代数式即可；
（2）设每件商品降价元时，根据该商店每天销售利润为2100元，由题意列出一元二次方程，解出方程并检验即可；
（3）设每件商品降价元时，根据该商店每天销售利润为2200元，列出一元二次方程整理得：，根据根的判别式，方程无实数根，即可得解．
14．今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率．
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
【答案】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得，（舍去），
答：四、五这两个月的月平均增长率.
（2）解：设降价m元，商场月获利4250元，
根据题意得：，
解得，（舍去），
答：当商品降价5元时，商场月获利4250元.
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，准确列出等量关系式是解题关键．
（1）设四月，五月的月平均增长率为x，
三月份销售量为256件，四月份的销售量是在三月份基础上增长的，所以四月份销售件数为：256(1+x)件；五月份的销售量是在四月份基础上又增长x，所以五月份销售量为件，由此可得方程：，解得x的值即可，需注意增长率x＞0，故负值需舍去，由此可得出答案；
（2）设降价m元，
原来每件利润为40-25=15元，降价m元后，每件利润为(40-m-25)元，由原来月销售量为400件，每降价1元，月销售量增加5件可知：降价m元后，月销售量为(400+5m)件，根据总利润=单件利润×销售数量可得方程：，解得m的值即可得出答案.
（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x，
根据题意，得，
解得，（舍去），
答：四、五这两个月的月平均增长率；
（2）解：设降价m元，商场月获利4250元，
根据题意，得
，
解得，（舍去），
答：当商品降价5元时，商场月获利4250元．
15．列方程或方程组解应用题：
某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，求该公司这两年盈利额的年平均增长率是多少？
【答案】解：设该公司这两年盈利额的年平均增长率是x，根据题意可得，2013年的盈利额×（1+增长率）2=2015年的盈利额，据此列方程求解．
设该公司这两年盈利额的年平均增长率是x，
由题意得，200×（1+x）2=242，
解得：x=0.1=10%．
答：该公司这两年盈利额的年平均增长率是10%
【解析】【分析】利用连续增长两次公式：a(1+x)2=b，分别代入数据即可.
16．已知关于x的方程的解都是整数，求整数k的值.
【答案】解：设一元二次方程的两个整数解分别为
由根与系数的关系知：
都是整数
能被72整除
或或或
、、、、、、
同时能被整除
和和都应舍去
综上所述，的值等于或或.
答：的值等于或或.
【解析】【分析】设出方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得出两根的和与两根的积分别为，由于已知都是整数，则先由能被72整除确定出满足条件的的值，再求出整数；由于同时能被整除，可排除不符合条件的的值，剩余部分即所有满足条件的的值.
17．某商场以每件40元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于65元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间满足一次函数y=-x+80的关系.
（1）当每件售价48元时，每天的利润是　 　元；
（2）销售这种商品，要想每天获利300元，每件商品的售价应为多少元
（3）销售这种商品，每天是否能获利500元 为什么
【答案】（1）256
（2）解：设每件商品售价应为x元.
根据题意得： (x-40) (-x+80)=300，整理得：x2-120x+3500=0，
解得：x1=50，x2=70(舍)
答：每件商品的售价应定为50元；
（3）不能，理由如下：
设每件商品售价应为x元，根据题意得： (x-40) (-x+80)=500
整理得：x2-120x+3700=0，
△=(-120)2-4×1×3700=-400<0，
∴该方程没有实数根，
∴销售这种商品，每天不能获利500元.
【解析】【解答】解：（1）将x=48代入一次函数y=-x+80
可得：y=32
∴利润为：(48-40)×32=256元
故答案为：256
【分析】（1）将x=48代入一次函数y=-x+80可得销售量，再根据总利润=单件利润×总销售量即可求出答案.
（2）设每件商品售价应为x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设每件商品售价应为x元，根据题意建立方程，根据判别式可得方程无实数根.
18．小明制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为．
（1）求长方形信封的长和宽．
（2）小明能将贺卡不折叠就直接放入此信封吗？请通过计算给出判断．
【答案】（1）解：设长方形信封的长为，宽为．
由题意，得，
∴，负值舍去
∴，．
答：长方形信封的长为，宽为．
（2）解：不能，
理由：面积为的正方形贺卡的边长是．
∵，，
∴，即信封的宽小于正方形贺卡的边长，
∴小明不能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
【解析】【分析】（1）设长方形信封的长为，宽为，根据长方形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（2）求出正方形的边长，再比较大小即可求出答案.
（1）解：设长方形信封的长为，宽为．
由题意，得，
∴，负值舍去
∴，．
答：长方形信封的长为，宽为．
（2）不能，
理由：面积为的正方形贺卡的边长是．
∵，，
∴，即信封的宽小于正方形贺卡的边长，
∴小明不能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
19．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根.
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值.
【答案】（1）证明：∵ Δ=4-4×(-3m2)=4+12m2＞0，
∴ 方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：∵ α+β=2，且 α+2β=5，
∴ β=3，α=-1，
∴ -3m2=-3，
∴ m=±1.
【解析】【分析】（1）先计算判别式，再判断判别式的符号，即可证明；
（2）根据根与系数的关系可得 α+β=2，求得α和β，再根据根与系数的关系得-3m2=-3， 即可求得.
20．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量是销售单价的函数，其销售单价，周销售量，周销售利润的三组对应值如表：
销售单价元
周销售量件
周销售利润元
（1）请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的与之间的函数表达式；
（2）请求出该商品的进价；
若该公司想每周获利元，并尽可能让利给顾客，请求出此时该商品销售单价．
【答案】（1）解：由题意，设关于的函数解析式为，
将和代入，得，
解得，
关于的函数解析式为．
（2）解：由题意，由表格知，时，，，
设该商品进价为元，
，
解得．
该商品进价为元．
设此时该商品销售单价为元，
则，
整理得，
解得，，
每件的售价尽可能让利给顾客，
此时该商品销售单价为元．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）根据题意，设该商品进价为元，根据表格列出一元一次方程，即可得解；设此时该商品销售单价为元，列出一元二次方程，解之即可。
21．为落实“两免一补”政策，封开县2023年投入教育经费2500万元，预计2025年投入教育经费3600万元，已知2023年到2025年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长．
（1）求每年的平均增长率；
（2）按该平均增长率请你帮计算一下2026年封开县投入的教育经费为多少万元？
【答案】（1）解：设每年平均增长的百分率为．
得方程：，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：每年平均增长的百分率为20%．
（2）解：2026年该区教育经费为（万元）．
答：预计2026年该区教育经费应投入4320万元．
【解析】【分析】（1）设每年平均增长的百分率为，根据“封开县2023年投入教育经费2500万元，预计2025年投入教育经费3600万元”即可列出一元二次方程，从而解方程即可求解；
（2）根据（1）中的增长的百分率进行计算即可求解。
22．已知关于 的一元二次方程有 两个不相等的实数根，求k的取值范围.
【答案】解：∵原方程是一元二次方程，
∴ ，解得 ；
∵方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ；
∴使原方程有两个不相等的实数根， 的取值范围为 且 .
【解析】【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围.
23．某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为，；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为．
（1）求安全区域的宽度；
（2）某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以36.45万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【答案】（1）解：设安全区域的宽度为米，由题意可得：
，
整理，得：，
解得：，（不符合题意，故舍去），
安全区域的宽度为米；
（2）解：设每次降价的百分率为，由题意可得：
，
解得：，（不符合题意，故舍去），
每次降价的百分率为．
【解析】【分析】（1）设安全区域的宽度为米，根据总面积为列方程求解即可；
（2）设每次降价的百分率为，根据题中的等量关系列方程求解即可．
（1）解：设安全区域的宽度为米，由题意可得：
，
整理，得：，
解得：，（不符合题意，故舍去），
安全区域的宽度为米；
（2）解：设每次降价的百分率为，由题意可得：
，
解得：，（不符合题意，故舍去），
每次降价的百分率为．
24．（1）如果关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．
（2）如果关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
【答案】解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得，
∵方程是一元二次方程，有意义，
∴，且，
解得且，
综上所述，的取值范围为且．
（2）∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，
∴，，
∵，
∴，即，
解得或（舍去），
∴的值为．
【解析】【分析】（1）根据这个一元二次方程有实数根，转化为待求字母的不等式求解；
（2）先根据一元二次方程有两个实数根，求出字母m的范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，列出关于待求字母的方程求解．
25．已知一本数学书长为，宽为，厚为．一张长方形包书纸如图所示，它的面积为，虚线表示的是折痕．由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形，求正方形的边长．
【答案】解：设正方形的边长为，由题意得
，
整理得，
或
解得，．
经检验：不合题意，舍去，取．
答：正方形的边长为；
【解析】【分析】设正方形的边长为xcm，由题意得长方形包书纸的长为(18.5×2+1+2x)，宽为(26+2x)，然后根据矩形的面积=长×宽结合一张长方形包书纸的面积为1408cm2可得关于x的方程，求解即可.
26．在“哈尔滨工程大学”校庆中，1000架无人机“舞动苍穹，逐梦深蓝”形成了一道靓丽的风景线．某无人机公司统计发现：公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；
（2）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本200元，生产1架B型无人机的成本是300元，若生产A、B两种型号无人机共100架，预算投入生产的成本不高于22500元，问最多能生产B型无人机多少架？
【答案】（1）解：设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为x，由题意得：
解得：，
答：该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为
（2）解：设生产B型号无人机a架，则生产A型号无人机架，由题意得：
解得：
答：最多能生产B型无人机25架
【解析】【分析】（1）由题意设出该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为x，列出方程求解即可；
（2）根据题意设生产B型号无人机a架，则生产A型号无人机100-a架，已知A、B两种型号无人机共100架，预算投入生产的成本不高于22500元，列出不等式方程，求解即可.
27．栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件．
（1）求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率；
（2）从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？
【答案】（1）解：设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，
∴月销售量为：，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该吉祥物摆件售价为元时，月销售利润达元．
【解析】【分析】（1）设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为；
（2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，
∴月销售量为：，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该吉祥物摆件售价为元时，月销售利润达元．
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．
【答案】（1）证明：△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3）
＝4k2+4k+1﹣16k+12
＝4k2﹣12k+13
＝（2k﹣3）2+4，
∵（2k﹣3）2≥0，
∴△＞0，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得AB+BC＝2k+1，AB BC＝4k﹣3，
而AB2+BC2＝AC2＝（）2，
∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，
整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k1＝3，k2＝﹣2，
而AB+BC＝2k+1＞0，AB BC＝4k﹣3＞0，
∴k的值为3，
∴AB+BC＝7，
∴矩形ABCD的周长为14．
【解析】【分析】（1）利用根的判别式求出△，进而结合偶数次幂的非负性即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得AB+BC＝2k+1，AB BC＝4k﹣3，然后利用勾股定理求出得到（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，即可求出k的值，然后根据AB+BC＝2k+1＞0，AB BC＝4k﹣3＞0，得到k的值，进而即可求解.
29．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长；
（2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：假设AB长为x米，根据题意可得：，
羊圈的总面积为300平方米 ，可列方程为：，
对方程进行化简可得：（x-5）×(x-15)=0
解得：x1=5，x2=15，
当x1=5，可知AD=80-4×5=60米，不符合题意要求的最大可用长度为30米，所以舍去，
因此变成AB的长为15米；
（2）解：假设羊圈的面积可以为 440平方米，因此有如下方程：
，
对方程进行整理得：，
根据根式判别公式可得：，不存在实数根，所以不能满足羊圈的面积为440平方米.
【解析】【分析】（1）、根据题意假设AB长为x，从图中可知：；矩形面积为：长×宽，所以S矩=AB×AD=；求解上述一元二次方程，解得：x1=5，x2=15；将x1值分别代入AD的方程，x1=5时，AD=60米，超出题意要求的30米，故不符合题意，因此AB长为15米。
（2）、根据（1）的S矩方程，可得S矩=AB×AD=；化简整理得：；根据求根进行判断： ，因为其小于0，不存在实数根，所以面积不能为440平方米。
30．已知关于的一元二次方程.
（1）当时，求方程的解；
（2）若该方程有实数根，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，原方程可化为，
配方，得，
解得.
（2）解：∵该方程有实数根，
∴，
解得，
即若该方程有实数根，的取值范围是.
【解析】【分析】（1）把k=1代入已知方程，然后利用公式法解方程；
（2）根据一元二次方程的定义和△的意义得到△≥0，解不等式即可得到k的取值范围．
31．随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率．
【答案】解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，
由题意得：200(1﹣x)2＝98
解得：x1＝1.7（不合题意舍去），x2＝0.3＝30%．
答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．
【解析】【分析】此题的等量关系是：药品原价×（1-平均每次降价的百分率）2=两次降价后药品的价格，设未知数，列方程求出符合题意的x的值。
32．若 是关于x的一元二次方程，则a是多少 ，且该一元二次方程的解为多少？
【答案】解：|2a+3|=2
2a+3=±2
当 时，
当 时
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可得|2a+3|=2，且a+1不为0，解得，再将a = - 或 a = - 代入原方程即可求解。
33．完成下列问题：
（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，求m+n的值；
（2）已知x，y为实数，且y=，求2xy的值．
【答案】解：（1）由题意得n2+mn+2n=0，∵n≠0，
∴n+m+2=0，
得m+n=﹣2；
（2）解：由题意得，2x﹣5≥0且5﹣2x≥0，
解得x≥且x≤，
所以，x=，y=﹣3，
∴2xy=﹣15．
【解析】【分析】（1）利用方程解的定义找到相等关系n2+mn+2n=0，再把所求的代数式化简后整理出m+n=﹣2，即为所求；
（2）根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
34．阅读下面的例题，
范例：解方程x2-|x|-2=0，
解： (1)当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，解得：x1=2，x2=-1(不合题意，舍去)。
( 2 )当x<0时，原方程化为x2+x-2=0，解得：x1=-2，x2=1(不合题意，舍去)。
∴原方程的根是x1=2，x2=-2
请参照例题解方程x2-|x-1|-1=0
【答案】解：当x-1≥0即x≥1时，
x2-（x-1）-1=0
∴x2-x=0
∴x（x-1）=0
解之：x1=0（不符合题意，舍去），x2=1
当x-1＜0即x＜1时，
x2-（1-x）-1=0
∴x2+x-2=0
∴（x+2）（x-1）=0
解之：x1=1（不符合题意，舍去），x2=-2
∴x1=1，x2=-2.
【解析】【分析】分情况讨论：当x-1≥0即x≥1时；当x-1＜0即x＜1时，分别得到关于x的一元二次方程，利用因式分解法求出一元二次方程的解即可。
35．已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：方程有两个不相等的实数根.
（2）若 Rt△ABC的两边AB，AC的长分别是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，求 k 的值.
【答案】（1）证明：关于的一元二次方程为，
，
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）解：关于的一元二次方程为，
，
解得：.
∵ Rt△ABC的两边AB，AC的长分别是这个方程的两个实数根 ，
分两种情况讨论如下：
当为直角边时，，解得：；
当为斜边时，，解得：（根据边长为正判断不合题意，舍去），
或．
【解析】【分析】（1）先求出一元二次方程判别式，据此可判断根的情况；
（2）先通过因式分解法解出一元二次方程的解：，再进行分类讨论：当为直角边时；当为斜边时；利用勾股定理可列出方程：或，解方程可求出k的值.
36．某公司研制出一种新产品，每件产品成本1000元，销售单价定为1200元.为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过10件，每件按1200元销售；若一次购买该产品超过10件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低5元，但销售单价均不低于1050元.
（1）设一次购买该产品的数量为x件，销售单价为y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利3125元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由.
【答案】（1）解：由题意，设一次购买数量为x件(x为正整数)，销售单价为y元，
∴①当0∴y=1200
∵销售单价最低为1050元，
∴令1200-5(x-10)=1050，解得x=40
∴当购买数量超过10件、且不超过40件时，单价随购买数量增加而降低；
②当10∴y=1200-5(x-10)，即y=-5x+1250；
③当x>40时，单价已降至最低1050元，不再继续降价，
∴y=1050
综上，函数关系式为：
（2）解：①当0∴200x=3125
∴，不在0②当10∴(-5x+250)x=3125
∴x=25
∵10<25≤40，符合题意，
∴此时销售单价：y=-5×25+1250=1125元；
③当x>40时，销售单价y=1050，单件利润1050-1000=50
∴50x=3125
∴
∵购买数量必须为正整数，
∴此情况不成立.
综上，公司能恰好获利3125元，此时该产品的销售单价为1125元.
【解析】【分析】(1)依据题意，设一次购买数量为x件(x为正整数)，销售单价为y元，进而分①当040时，三种情形分析计算可以得解；
(2)依据题意，结合(1)分三种情况分析可以得解.
37．益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件商品？每件应定价多少？
【答案】解：依题意，
整理得，
解得，．
因为，
所以不合题意，舍去．
所以（件）．
答：需要进货100件，每件商品应定价25元．
【解析】【分析】根据题意列出方程求出a的值，再将a的值代入计算即可。
38．2022年冬季奥运会和冬季残奥会两件赛事在我国首都北京和河北省石家庄市举行，某商家购进了冬季残奥会吉祥物“雪容融”纪念品，每个的进价是30元．为了增大“雪容融”类纪念品的销售量，商家决定对“雪容融”类纪念品进行降价销售，当销售价为每个44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个．请问商家应将“雪容融”类纪念品每个降价多少元时，每天售出此类纪念品能获利400元？
【答案】解：设降价x元，每天售出此类纪念品能获利400元，
由题意得：
解得：，
答：商家应将“雪容融”类纪念品每个降价4元或6元时，每天售出此类纪念品能获利400元．
【解析】【分析】设降价x元，每天售出此类纪念品能获利400元，由题意可得每个的利润为(44-x-30)元，每天的销售量为(20+5x)个，然后根据每个的利润×销售量=总利润可得关于x的方程，求解即可.
39．解方程：
（1）（配方法）
（2）x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法）
【答案】（1）（1）解：整理得，
配方得，即，
开方得，
所以=1，=；
（2）（2）解：因式分解得（x-2）（x+1）=0，
x-2=0或x+1=0，
所以=2，=-1．
【解析】【分析】（1）通过配方法将方程转化为完全平方形式，得到，再通过直接开平方法求解；
（2）采用因式分解法对方程进行求解。
（1）解：整理得，
配方得，即，
开方得，
所以=1，=；
（2）解：因式分解得（x-2）（x+1）=0，
x-2=0或x+1=0，
所以=2，=-1．
40．某超市经销一种成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月能销售500千克．据市场调查发现，销售单价每涨1元，月销售量就会减少10千克．该水产品价格经过两个月持续上涨，每千克由原来的50元涨到72元．针对这种水产品销售情况，请解答以下问题：
（1）求该水产品平均每个月的价格增长率；
（2）超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月利润达到8000元，销售单价应定为多少元？
【答案】（1）解：设该水产品平均每个月的价格增长率为，
由题意可得：，
解得：，（舍去），
答：该水产品平均每个月的价格增长率为；
（2）解：设销售单价应定为元，由题意可得：
，
整理得，
即，
解得：，，
当时，销售成本为元元；
当时，销售成本为元元；
∴销售单价应定为80元．
【解析】【分析】（1）此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可，进而利用直接开平方法解方程即可；
（2）设销售单价应定为x元，利用每千克的利润销量=总利润，列出方程，再根据月成本不超过10000元进行判断，即可得解．
41．已知关于x的方程2x2+bx+c=0的根为x1=-2，x2=3，求b+c的值
【答案】解：∵关于x的方程2x2+bx+c=0的根为x1=-2，x2=3，
∴- 2+3= ，-2×3 =
∴b=-2，c=-12，∴b+c=-2-12=-14．
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=，x1·x2==，据此求出b、c的值，继而求解.
42．某商品进价30元，销售期间发现，当销售单价定价50元时，每天可售出100个．临近五一，商家决定开启大促，经市场调研发现，销售单价每下降2元，每天销量增加20个，设每个商品降价x元．
（1）求每天销量y（个）关于x（元）的函数关系式；
（2）求该商品的销售单价是多少元时，商家每天获利1760元；
（3）请说明：商家每天的获利是否能达到3000元？
【答案】（1）解：根据题意得：y＝10020，
即y＝10x+100；
（2）解：根据题意得：（50﹣x﹣30）（10x+100）＝1760，
整理得：x2﹣10x﹣24＝0，
解得：x1＝12，x2＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴50﹣x＝50﹣12＝38．
答：该商品的销售单价是38元时，商家每天获利1760元；
（3）解：商家每天的获利不能达到3000元，理由如下：
假设商家每天的获利能达到3000元，
根据题意得：（50﹣x﹣30）（10x+100）＝3000，
整理得：x2﹣10x+100＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣10）2﹣4×1×100＝﹣300＜0，
∴该方程没有实数根，
∴假设不成立，即商家每天的获利不能达到3000元．
【解析】【分析】（1）根据题意可知降价x元，则每天销量增加个，所以每天得销量为，化简后得y=100+10x；
（2）利用总利润=每个的利润×每天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，解方程后取其符合题意的解，即可得出答案；
（3）先假设商家每天的获利能达到3000元，再利用总利润=每个的利润×每天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac＜0可知方程无解，所以假设不成立，即可得出答案.
43．若关于的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”例如方程：有解，所以为“明一方程”．
（1）下列方程是“明一方程”的有　 　；
；
；
．
（2）已知直线轴交于点，与轴交于点，且当时，关于的方程为“明一方程”，求该直线解析式；
（3）已知为“明一方程”为常数，且的两个根，试求的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：由题意，当时，关于的方程为“明一方程”，
当时，．
．
．
又直线与轴交于点，与轴交于点，
，．
．
．
又，
．
或．
或或．
直线解析式为或或
（3）解：由题意，为“明一”方程，
方程必有一个根是．
．
又，
，，且．
．
，为“明一方程”的两个根，
其中一个是，而另一个为．
．
，
．
【解析】【解答】解：（1）解方程得，
是“明一方程”；
解方程得，，
不是“明一方程”；
解方程得，，
是“明一方程”；
故答案为：①③
【分析】（1）根据“明一方程”的定义结合题意解一元二次方程，从而即可求解；
（2）先根据“明一方程”的定义结合题意得到，再根据一次函数与坐标轴的交点坐标得到，，从而根据三角形的面积结合题意即可得到，解方程即可得到或或，从而即可求解；
（3）先根据“明一”方程的定义即可得到方程必有一个根是，从而结合题意即可得到，再结合已知条件得到，根据一元二次方程的根结合题意得到，从而即可求解.
44．小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型护眼台灯，成本是元台厂商建议，台灯的标价应不低于元台，且不高于元台．
（1）小亮根据日常销售的数据发现，当销售价格为元台时，每天能售出台；若台灯的价格每上涨元，日销量会下降台求日销售量台与元台之间的函数关系式；
（2）“”促销日之前的销售数据显示，最高日销售利润为元“”当天，小亮为提高店铺知名度，采用如下促销方式：台灯按元台标价，并打折销售；当天销售量在台的基础上增加了倍，日销售利润上升为“”促销日之前的最高日销售利润的倍，求的值．
【答案】（1）解：根据题意可得：日销售量盏与时间天之间的函数关系式为：
（2）解：根据题意列方程：，
整理得：．
解得或舍去．
【解析】【分析】（1）根据题意列出日销售量P与x之间的函数关系式即可；
（2）根据题意列出关于a的二元一次方程求解即可。
45．所谓完全平方式， 就是对于一个整式， 如果存在另一个整式， 使， 那么称 是完全平方式. 例如.
（1）下列各式中， 属于完全平方式的是 　 　(填序号).
①；②； ③；
④； ⑤； ⑥.
（2）若 和 都是完全平方式(其中 都是常熟)， 求的值.
（3）如果多项式 加上一个单选式后，能成为一个完全平方式， 那么加上的单选式可以是哪些(请直接写出所有可能的情况)
【答案】（1）①③⑤
（2）解：根据题意得，4x2+5xy+my2=(2x)2+5xy+(y)2，
∴ ()2=my2，
∴ m=，
∵ x2-nxy+y2=x2-nxy+()2，
∴ (y)2=y2，
∴ n=1或-1，
当m=，n=1时，
∴ （m-）-1=；
当m=，n=-1时，
∴ （m-）-1=，
∴ （m-）-1的值为或 .
（3）64x4，-16x2，±8x，-1
【解析】【解答】解：（1）∵a6=(a3)2， 4a2-2ab+b2=(2a-b)2，x2-6x+9=(x-3)2，
∴完全平方式有①③⑤；
（3）64x4+16x2+1=(8x+1)2，
16x2+1-16x2=12，
16x2±8x+1=(4x±1)2，
16x2+1-1=16x2=(4x)2，
故答案为：64x4，-16x2，±8x，-1.
【分析】（1）根据完全平方式的定义和配方法，即可判断；
（2）根据完全平方式的定义可得m和n的值，再代入代数式，即可求得；
（3）根据完全平方式的定义，即可求得.
46．已知a、b为整数，方程3x2－3(a＋b)x＋4ab＝0的两个实数根满足α、β满足α(α＋1)＋β(β＋1)＝(α＋1)(β＋1)．试求所有的整数对（a，b）．
【答案】解：因为
所以
所以
代入①得(
所以
a-b=±1，
而a>b，
所以a-b=1，所以a=b+1，
在原方程中，
整理，并把(a=b+1代进去可知
两边加1并用平方和公式知：
所以-2≤2b+1≤2，
而b为整数，
b=-1或0，
当b=-1时，
a=0，符合题意，
b=0，a=1符合题意，
所以(a，b)为(0，-1)或(1，0).
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出a与b的关系，再根据根的判别式求出b的取值范围，从而判断出a、b的值.
47．一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程x2-(m+2)x+4m=0，试求m的值及此直角三角形的三边长。
【答案】解：根据韦达定理：
因为两直角边边长为整数
所以m是整数
又因为判别式 =
设其等于
则有
因为且为整数
或
或
时，两直角边长为12和5，斜边长为13
时，两直角边长为6和8，斜边长为10
【解析】【分析】利用韦达定理x1+x2=m+2，x1x2=4m，容易消去m而直接得到两根的关系，从而解出x1，x2，然后进行检验即可.
48．已知在关于 的分式方程 ① 和一元二次方程②中， 均为实数，方程①的根为非负数．
（1） 求 的取值范围．
（2） 当 为整数， 且 ， 方程②有两个整数解 时， 求方程②的整数解．
（3） 当方程②有两个实数解 ， 满足 ，且 为负整数时， 试判断 是否成立， 并说明理由．
【答案】（1）解：关于 的分式方程 的根为非负数，
∴X≥0，且x≠1，即，且，解得k≥-1且k≠1.
∵一元二次方程中2-k≠0，
∴k≠2，
综上所述，k≥-1且k≠1，k≠2.
（2）解：把k=m+2，n=1代入方程②得- mx2+ 3mx+(1- m)=0，即mx2- 3mx+m-1=0.
∵，即，且m≠0，解得m＞0或m≤，
∵x1，x2是整数，k，m都是整数.
∴为整数，
∴m=1或-1.由（1）知k≠1，则m+2≠1，
∴.m≠-1，
∴m=1.把m=1代入方程mx2- 3mx+m-1=0，得x2- 3x+1-1=0，解得x1= 0， x2=3.
（3）解： 成立，理由如下，
由（1）知k≥-1，又∵k是负整数，
∴k= - 1.
∵（2- k）x2+ 3mx+（3- k）n= 0有两个实数解
整理得即
又
【解析】【分析】（1）解分式方程得，由分式方程的定义可知x-1≠0且方程①的根为非负数，得到且，由一元二次方程定义可知二次项系数2-k≠0，综上可知k的取值范围
（2）将k=m+2，n=1代入方程，由因为方程有两个实数根可知△≥0，确定m的取值范围，又因为x1，x2，k，m为整数，确定1-为整数，得m=1或-1，由（1）中条件确定m=1，代入方程求得方程整数解.
（3）本题由k≥-1且k为负整数确定k=-1，将k=-1代入方程，再由韦达定理得两根和与两根积，由条件得到，代入得到，最后将代入根的判别式证得.
49．如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是．
（1）为何值时，在的中垂线上？
（2）为何值时，的长度为？
（3）是否存在的值，使得五边形的面积为？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵从点开始沿向终点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，
∴，，
则，
当时，点在的中垂线上，
故，
解得：，
故当时，点在的中垂线上．
（2）解：存在，当时，五边形的面积为，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，且，，，
即，
解得：，．
∴当或时，的长度为．
（3）解：∵五边形的面积四边形的面积，
故当五边形的面积为时，；
且，
故，
解得：，，
∵当点运动到点时，两点停止运动，
故当时，即时，两点停止运动，
∴舍去，
∴当时，五边形的面积为．
【解析】【分析】（1）先求出，再结合，可得，最后求出t的值即可；
（2）先求出 ，，，再利用勾股定理定理列出方程，最后求解即可；
（3）先根据题意列出方程，再求出t的值即可.
50．如图，在直角三角形中，，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线运动，点Q沿边的延长线运动，与直线相交于点D．设P点运动时间为t，的面积为S．
（1）填空： ； ；
（2）当点P运动几秒时，和面积相等？
（3）作于点E，当点P，Q运动时，线段的长度是否改变？若不变，请直接写出线段的长度；若改变，请说明理由．
【答案】（1）t，或
（2），，
∴当和面积相等，则，
∴有以下两种情况：
①当时，则，
整理得：，
∵该方程根的判别式：，
∴该方程无解，
即此时不存在和面积相等；
②当时，则，
整理得：，
解得：，或（不合题意，舍去），
∴当点P运动秒时，和面积相等；
（3）线段的长度不改变，始终等于
【解析】【解答】解：（1）∵点点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，运动时间为t，，
∴有以下两种情况：
①当时，点P在线端上，此时，；
②当时，点P在的延长线上，此时，，
综上所述：，或，
故答案为：t，或；
（3）当点P，Q运动时，线段的长度不改变，始终等于，理由如下：
∵在直角三角形中，，
∴，
由勾股定理得：，
过点Q作交的延长线于M，连接，，
则，
分两种情况讨论如下：
①当时，点P在线段上，如图1所示：
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
②当时，点P在的延长线上，如图2所示：
同理：，，
∴，，，
∴，
∴，
综上所述：当点P，Q运动时，线段的长度不改变，始终等于．
故答案为：线段的长度不改变，始终等于
【分析】
（1）依题意分两种情况：①当时，点P在线端上，此时，；②当时，点在的延长线上，此时，，综上所述即可得出答案，解答即可；
（2）根据，，得当和面积相等，则
，分两种情况进行讨论：①当时，则，②当时，则，由此得出的值即可解答；
（3）依题意得，，过点Q作交的延长线于M，连接，，分两种情况讨论如下：①当时，点P在线段上，先证明，得，，则，，再证明，得；②当时，点在的延长线上，同理可得，综上所述即可得出答案．
（1）解：∵点点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，运动时间为t，，
∴有以下两种情况：
①当时，点P在线端上，此时，；
②当时，点P在的延长线上，此时，，
综上所述：，或，
故答案为：t，或；
（2），，
∴当和面积相等，则，
∴有以下两种情况：
①当时，则，
整理得：，
∵该方程根的判别式：，
∴该方程无解，
即此时不存在和面积相等；
②当时，则，
整理得：，
解得：，或（不合题意，舍去），
∴当点P运动秒时，和面积相等；
（3）当点P，Q运动时，线段的长度不改变，始终等于，理由如下：
∵在直角三角形中，，
∴，
由勾股定理得：，
过点Q作交的延长线于M，连接，，
则，
分两种情况讨论如下：
①当时，点P在线段上，如图1所示：
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
②当时，点P在的延长线上，如图2所示：
同理：，，
∴，，，
∴，
∴，
综上所述：当点P，Q运动时，线段的长度不改变，始终等于．
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