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第二十章 勾股定理 单元全优达标检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．满足下列条件的 ，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　）
A．121 B．120 C．90 D．不能确定
3． 甲、乙两人从同一地点出发，甲以的速度向北偏东方向直行，乙以的速度向南偏东方向直行，若他们同时出发，则后他们相距（　　）
A．50m B．70m C．250m D．350m
4．如图，中，，线段的两个端点D、E分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
5．如图， 点 M 是线段的中点，于点C，于点 D， 连接．若则的长为（ ）
A． B． C．3 D．
6．如图，在原点为的数轴上，作一个两直角边长分别是1和3，斜边为的直角三角形，点在点右边的数轴上，且，则点表示的实数是（　　）
A．10 B．3.3 C． D．
7． 下列命题的逆命题成立的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等
B．同位角互补，两直线平行
C．对顶角相等
D．若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形
8．若直角三角形的两直角边长为，，且满足，则该直角三角形的斜边上的高为（　　）
A．5 B．4 C． D．2
9．如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
10．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　）
a b c
3 4 5
8 6 10
15 8 17
24 10 26
… … …
x 14 y
A．67 B．34 C．98 D．73
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 已知Rt△ABC的两条直角边的长分别为5cm和12cm，则它斜边的长为　 　cm.
12．如图，在中，，，．以点为圆心、长为半径画弧，与交于点，再分别以点，为圆心、大于一半的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线分别交，于点，，则的长为　 　．
13．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是　 　．
14．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是上的动点，则的最小值是 　 　．
15．如图，在中，，，，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当平行于的一条边时，的长为　 　．
16．如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
18．如图，在中，，利用尺规以点为圆心，线段的长为半径作弧，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点．
（1）求证：．
（2）求的长．
19． 如图，每个小正方形的边长都为1.
（1） 利用勾股定理求出线段长：　 　，　 　，　 　，　 　；
（2） 求证：.
20．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大．随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，区域内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与点，的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．
（1）求的面积．
（2）着火点能否受到洒水影响？为什么？
21．如图，在中，，点位于上，过点作，为垂足，且．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
22．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2－DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若BC2＝56，AD∶BD＝3∶4，求AC的长．
23．已知，，
（1）如图1，连接、，问与相等吗？并说明理由．
（2）若将绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在边上时，请写出、、之间关系，并说明理由．
（3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点F，求的长．
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第二十章 勾股定理 单元全优达标检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．满足下列条件的 ，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、由 可得 ， ， ，故不是直角三角形，符合题意；
B、由 ，可设 ， ， ，可得 ，是直角三角形，故不符合题意；
C、由 ，即 可得符合勾股定理逆定理，所以是直角三角形，故不符合题意；
D、由 及三角形内角和可得 ，是直角三角形，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理找出三角形中最大角的度数，看最大角的度数是否等于90°，据此可对A，D作出判断；根据勾股定理的逆定理，三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此，可对C，B作出判断.
2．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　）
A．121 B．120 C．90 D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】设直角三角形的另一条直角边为 k ，则斜边为 ，由勾股定理得 ，解之得 ，则其周长为 ，
故答案为：C．
【分析】能够运用代数式求解勾股定理产生的方程，并得出正确结论．
3． 甲、乙两人从同一地点出发，甲以的速度向北偏东方向直行，乙以的速度向南偏东方向直行，若他们同时出发，则后他们相距（　　）
A．50m B．70m C．250m D．350m
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得，甲和乙的路线的夹角为90°，
则S甲=40×5=200m，S乙=30×5=150m，
∴ S相距2=S甲2+S乙2，即S相距=250m，
故答案为：C.
【分析】根据路程=速度×时间和勾股定理，即可求得.
4．如图，中，，线段的两个端点D、E分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，
∵，，，点M、N分别是的中点，
∴，
∴的最小值为．
故选：B
【分析】
连接CM、CN，则由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CN=5、CM=2，显然当C、M、N三点共线时，MN最小．
5．如图， 点 M 是线段的中点，于点C，于点 D， 连接．若则的长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：延长交于点E，
∵
∴
∴，
∵点M是线段的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，AC=2
∴，
在中，
，
∴，
故选：A．
【分析】延长交于点E，根据ASA证明：，得出，最后在中，利用勾股定理：求出DE，而DM是DE的一半.
6．如图，在原点为的数轴上，作一个两直角边长分别是1和3，斜边为的直角三角形，点在点右边的数轴上，且，则点表示的实数是（　　）
A．10 B．3.3 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：两直角边长分别是1和3，斜边为的直角三角形，，
，
点表示的实数为，
故答案为：D
【分析】本题考查实数与数轴．先利用勾股定理求出，再结合数轴可求出点表示的实数 ．
7． 下列命题的逆命题成立的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等
B．同位角互补，两直线平行
C．对顶角相等
D．若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形
【答案】D
【解析】【解答】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意；
B、同位角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角互补，不成立，不符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立，不符合题意；
D、若三角形的三边满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形的逆命题是直角三角形的三边满足a2+b2=c2，成立，符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据对顶角的定义、全等三角形的判定、平行线的判定和勾股定理，对其逆命题进行判断即可解答．

8．若直角三角形的两直角边长为，，且满足，则该直角三角形的斜边上的高为（　　）
A．5 B．4 C． D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴
∴，
由勾股定理得：斜边 ，
设该直角三角形的斜边上的高为h，
∴
解得，
故答案为：C．
【分析】先利用算术平方根和绝对值的非负性求出a，b的值，然后利用勾股定理求出斜边的长度，再利用等面积法求解即可．
9．如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，，
，，
∵是等边三角形，
，，
，
在和中，，
∴
∴，
∴的值为定值，点F一定在一条直线上运动，
作点D关于的对称点G，连接，
根据轴对称可知，，
∴，
∴当最小时，最小，
∵当G、F、B在同一直线上时，最小，
∴的最小值为线段的长，
，
，
∵，
∴是等边三角形，
，，
，
，
，
∴的最小值为，故C正确.
故选：C．
【分析】本题考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、轴对称求最短路径和勾股定理的综合运用，结合和均为等边三角形的性质，通过SAS证明，得出，确定点F的运动轨迹；利用轴对称的性质作点D关于的对称点G，将转化为，根据两点之间线段最短，当G、F、B三点共线时，取得最小值，即的长度；再结合已知条件判定为等边三角形，利用勾股定理求出的长，即为的最小值。
10．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　）
a b c
3 4 5
8 6 10
15 8 17
24 10 26
… … …
x 14 y
A．67 B．34 C．98 D．73
【答案】C
【解析】【解答】解：观察可知，b的通项是2n（n是从2开始的正整数）
则a=n2-1，c=n2+1
当b=14即n=7时，a=48 b=50
a+b=x+y=48+50=98
故答案为：C
【分析】观察找到每列数的规律即找到通项，勾股数的通项非常有代表性，应该记牢。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 已知Rt△ABC的两条直角边的长分别为5cm和12cm，则它斜边的长为　 　cm.
【答案】13
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC的两条直角边的长分别为5cm和12cm，
∴它斜边的长为：
故答案为：13.
【分析】利用勾股定理计算即可求解.
12．如图，在中，，，．以点为圆心、长为半径画弧，与交于点，再分别以点，为圆心、大于一半的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线分别交，于点，，则的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意得：，是线段的垂直平分线，
中，，
．
故答案为：．
【分析】根据尺规作图可得，垂直平分，然后利用勾股定理求出长，再根据解题即可．
13．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是　 　．
【答案】10
【解析】【解答】解：如图：作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离，
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，
∴，，
∴，
在中，，
故答案为：10．
【分析】作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离，根据边之间的关系可得A'E，A'D，再根据勾股定理即可求出答案.
14．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是上的动点，则的最小值是 　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：如图：在上取一点N'，使，连接，过点B作于点H，
∵平分，
∴是的对称轴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
在中，，
∴，
∵，
∴由勾股定理可得，即，
∴（负值已舍），
∴的最小值是3．
故答案为：3．
【分析】如图：在上取一点N'，使，连接，过点B作于点H，根据两点之间线段最短和垂线段最短可得的最小值是，在Rt△ABH中，用勾股定理可求解.
15．如图，在中，，，，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当平行于的一条边时，的长为　 　．
【答案】1或3
【解析】【解答】解：当时，如图所示：
根据折叠可知：，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
当时，如图所示：
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知：或3．
故答案为：1或3．
【分析】分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，利用三角形的面积公式和勾股定理求出结果即可．
16．如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图：过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵CD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
，
，
，
当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小，
的值最小为：．
故答案为：．
【分析】
如图，过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，由等边三角形三线合一知CD平分，则，则根据“SAS”证明，则，等量代换得，显然当A、G、E三点共线时，的最小值即AG的长，由勾股定理求出AG的值即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
【答案】（1）（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米
（2）（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质及三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键；
（1）过C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，所以，利用等面积法求解即可.
（2）过C作，以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，因为，所以判断有危险，在Rt△CDF中，根据勾股定理求出，进而求出即可．
（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过C作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米；
（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点E、F到的距离为130米，公路上之间到燃放点C的距离匀小于130米，
按照安全要求，A、B之间的公路段需要暂时封锁，
以点C为圆心，以130米为半径画弧，交于点E、F连接、，
，，
，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
18．如图，在中，，利用尺规以点为圆心，线段的长为半径作弧，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点．
（1）求证：．
（2）求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接AD，BE，DE，
∴AB=AD，BE=DE，
∴点A、E在线段BD的垂直平分线上，
∴AE垂直平分BD，
∴AE⊥BC.
（2）解：设BF=DF=x，则CF=BC-BF=6-x，
∵∠AFB=∠AFC=90°，
∴，
解得：，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据图形先求出AB=AD，BE=DE，再求出点A、E在线段BD的垂直平分线上，最后证明求解即可；
（2）利用勾股定理求出，再解方程求出x的值，最后计算求解即可.
19． 如图，每个小正方形的边长都为1.
（1） 利用勾股定理求出线段长：　 　，　 　，　 　，　 　；
（2） 求证：.
【答案】（1）；；；
（2）解： 连接 BD，如图所示：
，，，
，
是直角三角形.
.
【解析】【解答】（1）解：根据勾股定理得，AB，AD，BC2，CD，
故答案为：；；2；；
【分析】（1）根据勾股定理结合题意直接计算即可求解；
（2）连接BD，根据勾股定理得到，，，则，再根据勾股定理的逆定理即可求解。
20．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大．随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，区域内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与点，的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．
（1）求的面积．
（2）着火点能否受到洒水影响？为什么？
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴∠ACB=90°
∴；
答：△ABC的面积为240000㎡.
（2）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
，
，
，
飞机中心周围以内可以受到洒水影响，
着火点C受洒水影响．
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，面积自等法，熟知勾股定理逆定理是解题关键．
勾股定理逆定理： 如果三角形的一条边的平方等于另两条边的平方和， 那么这个三角形是直角三角形。（1）根据勾股定理的逆定理可知：，即∠ACB=90°，再根据三角形面积计算公式：，代入数据可得：；由此可得出答案；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，根据三角形面积自等法可得： ，代入数据可求出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响．
（1）解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
（2）如图，过点作于，
，
，
，
飞机中心周围以内可以受到洒水影响，
着火点受洒水影响．
21．如图，在中，，点位于上，过点作，为垂足，且．
（1）求证：；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴的长．
【解析】【分析】（）利用即可证明；
（）设，由勾股定理得，由全等三角形的性质得，进而得，可用x表示出BE，然后在中根据勾股定理得到关于x的方程求解．
22．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2－DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若BC2＝56，AD∶BD＝3∶4，求AC的长．
【答案】（1）证明：连接CD．
∵ DE垂直平分BC
∴CD＝BD．
∵ BD2－DA2＝AC2，
∴ CD2－DA2＝AC2．
∴∠A＝90°．
（2）解：∵ AD∶BD＝3∶4，∴设AD＝3x，BD＝4x．
BD2－DA2＝AC2，
∵∠A＝90°，∴AC2＝7x2．
∴BC2＝AC2＋AB2＝56x2＝56，
∴x＝1． （负根舍去）
∴AC＝．
【解析】【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的应用.（1）连接CD，根据DE垂直平分BC，利用垂直平分线的性质可证明CD＝BD，再根据三角形为直角三角形，利用勾股定理可得推出CD2－DA2＝AC2，利用勾股定理的逆定理可证明结论；
（2）根据AD∶BD＝3∶4，设AD＝3x，BD＝4x，据此可推出： 再利用勾股定理可列出方程56x2＝56，解方程可求出x的值，据此可求出AC的长度.
（1）解：连接CD．∵ DE垂直平分BC ∴CD＝BD．
∵ BD2－DA2＝AC2，
∴ CD2－DA2＝AC2．
∴∠A＝90°．
（2）解：∵ AD∶BD＝3∶4，
∴设AD＝3x，BD＝4x．
BD2－DA2＝AC2，
∵∠A＝90°，∴AC2＝7x2．
∴BC2＝AC2＋AB2＝56x2＝56，
∴x＝1． （负根舍去）
∴AC＝．
23．已知，，
（1）如图1，连接、，问与相等吗？并说明理由．
（2）若将绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在边上时，请写出、、之间关系，并说明理由．
（3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点F，求的长．
【答案】（1）解：与相等；
理由如下：
，
，
即，
在和中
，
；
（2）解：结论：
理由如下：
如图：连接，
，
，
即
在和中
，
，，
，，，
，，
，
，
，
；
（3）解：如图：过点O作于点E，
，，
，
，
，
如图：当点F在的延长线上时，
，，
，
，
；
如图：当点F在线段上时，
，，
，
，
，
，
，
解得，
，
综上，的长为或．
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则AC=BD，即可求出答案.
（2）连接，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）过点O作于点E，根据勾股定理可得CD，再根据三角形面积可得OE，分情况讨论：当点F在的延长线上时，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案；当点F在线段上时，根据三角形内角和定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得OF，再根据边之间的关系即可求出答案.
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