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22.1 函数的概念
课时2 函数及其解析式
第二十二章 函数
01
理解函数的相关概念,会判断两个变量是否具有函数关系.
02
会确定简单函数的关系式及自变量的取值范围.
小明带100元现金去超市买苹果，苹果单价8元/千克，至少需要买1千克苹果，总金额y（元）随数量x（千克）的变化而变化.
想一想：x有限制范围吗？
任务一：了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具有函数关系．
活动：讨论下列情境中各含有几个变量，这些变量间有怎样的关系，说说你的看法.
情境1 想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
情境1 想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？下图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m …
(1)根据左图填表：
(2)对于给定的时间t ，相应的高度h能确定吗？
10
37
45
37
3
10
情境2 对于给定任一层数n，相应的物体总数y确定吗？有几个y值和它对应？
1 2 3 4 5 …
…
1
3
6
10
15
层数 n
物体总数y
情境3 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273，T≥0.
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
(2)给定任一个大于-273 ℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？
230K、246K 、273K、291K
唯一一个T值
解：当t=-43时，T=-43+273=230（K）
思考：上面的三个问题中，各变量之间有什么共同特点？
①时间 t 、相应的高度 h ；
②层数n、物体总数y；
③摄氏温度t 、热力学温度T.
共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
1.与同学交流判断下面变量之间的关系是不是函数关系,说说理由.
(1)长方形的面积S一定时，它的长a与宽b的关系.( )
(2)长方形的周长C与面积S.( )
(3)关系式y＝±x中的y与x.( )
×
√
×
确定函数关系的方法：
(1)明确两个变量；(2)看两个变量之间是否存在单值对应的关系.
方法提炼
任务二：会确定简单函数的关系式及自变量的取值范围．
活动：小组合作解决下列问题，讨论归纳在求解过程中遇到的问题及注意事项.
汽车的油箱中有汽油100 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子；
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
汽车的油箱中有汽油100L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子；
解：（1）行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，
根据题意，每行驶x km，耗油0.1x L，即总油量减少0.1x L，
则油箱中的油剩下100-0.1x，
∴y与x的函数关系式为：y=100-0.1x.
像y=100-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式.
(2)因为x代表的实际意义为行驶路程，所以x不能为负数，即x≥0；
又因为行驶中的耗油量为0.1x，不能超过油箱中现有汽油量的值100，
即0.1x≤100，解得，x≤1000．
综上所述，自变量x的取值范围是0≤x≤1000；
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.
汽车的油箱中有汽油100L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200 km时，油箱中的汽油量是函数y=100-0.1x在x=200时的函数值. 将x=200代入y=100-0.1x，得：
y=100-0.1×200=80．
所以，汽车行驶200km时，油箱中还有80L汽油．
汽车的油箱中有汽油100L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
(1)先审题，根据题意找出等量关系，
(2)按等量关系写出含两个变量的等式；
(3)将等式变形为含有变量的代数式表示的函数的式子．
确定函数解析式的一般步骤：
2.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：
(1)一个正方形的边长为3cm，它的各边长减少xcm后，得到的新正方形周长为ycm. 求y和x间的关系式；
(2)寄一封重量20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y(元)与n间的函数关系式；
解：(1)y＝4(3－x)，自变量为x，0≤x＜3；
(2)y＝0.6n，自变量为n，n≥0.
针对本节课的学习，你能回答下面的问题吗？
1.什么是自变量？什么是函数？（可举实例说明）
2.什么是函数值？什么是解析式？如何列解析式呢？
1.下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是( 　)
D
2.下列关于变量x、y的关系式：①3x－2y＝5；②y＝|x＋1|；③2x－y2＝10，其中表示y是x的函数的是(　 )
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
3.已知函数y＝3x－1，其中自变量x的取值范围是 ；当x＝3时，y的值为 .
B
全体实数
8
4.求下列函数中自变量x的取值范围.
（1）y=3x-1；
（2）y=+
（3）y=
解：(1)x是任意实数；
(3)根据题意得：x-1≠0，
解得：x≠1；
(2)根据题意得：，
解得：x≥2且x≠3；
5.一批机器需要零件200个，每天加工20个．若设剩余量为y(个)，加工天数为x(天)．
(1)求y(个)随x(天)变化的函数表达式；
(2)求自变量x的取值范围；
(3)当剩余零件为120个时，加工了多少天？
解：(1)由剩余量等于总量减加工的量，得：y=-20x+200；
(2)由剩余量是非负数，得-20x+200≥0，
解得x≤10，
由加工的天数是非负数，得x≥0，
所以自变量x的取值范围为0≤x≤10；
(3)当y=120时，200-20x=120，
解得x=4，
即当剩余零件为120个时，加工了4天.

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