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22.2 函数的表示
课时1 函数的图象及其画法
第二十二章 函数
01
理解函数的图象的概念，掌握画函数图象的一般步骤.
02
能画出一些简单的函数图象，并能根据所给函数图象读出一些有用的信息.
如图是某市某天24小时内气温的变化图，气温T随时间t的变化而变化.
有些问题中的函数关系很难用解析式表示，但是可以用图来直观地反映，例如用图表表示温度与时间的关系.
有些问题中的函数关系既能用解析式表示，也能画图表示，那么会使函数关系更直观.
任务一：理解函数的图象的概念，掌握画函数图象的一般步骤.
活动：正方形的面积 S 与边长 x 的函数解析式为 S＝x2．根据问题的实际意义，可知自变量 x 的取值范围是 x＞0．请你利用在坐标系中画图的方法来表示 S 与 x 的关系．
问题：
（1）怎样获得组成图形的点？
（2）怎样确定满足函数关系的点的坐标？
（3）自变量 x 的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值 S，是否唯一确定了一个点(x，S)呢？
先确定点的坐标．　　　
取一些自变量的值，计算出相应的函数值．
是
（4）根据S与x的函数解析式填写表格，其中x>0.
x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
S …
在平面直角坐标系中，画出表中各对数值所对应的点，然后用平滑曲线依次连接这些点，如图所示即为所求图形.
2.25
4
6.25
9
0.25
1
不在曲线上的点用空心圈表示.
在曲线上的点用实心圆表示
（5）函数 S = x2 表示的所有的点都要在曲线上描出来吗？
表示x与S的对应关系的点有无数个. 但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置.
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
右图的曲线即函数 S＝x2（x＞0）的图象．
第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其 ；
第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为 ，相应的函数值为 ，描出表格中数值对应的各点；
第三步：连线——按照横坐标 的顺序，把所描出的各点用
连接起来.
对应的函数值
横坐标
纵坐标
平滑曲线
由小到大
画函数图象的一般步骤：
任务二：能画出一些简单的函数图象.
活动1：小组合作完成下列任务：
(1)请求出下列函数的自变量x的取值范围，并取一些合适的值填入右表.
①y=2x+3 ； ② y=x2 .
(2)请在上面两个函数中任意挑选一个画出它的
图象，并观察画出的图象，说一说函数与自变量
有何变化规律．
x
y
x
y
x
y
1
2
3
-2
-1
-3
1
2
3
-2
-1
-3
O
4
5
①由函数关系式y=2x+3可知，自变量x的取值范围是全体实数．
x … -2 -1 0 1 …
y … …
1
3
5
描点：将表中各自变量和对应的函数值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标系中描出各点．
列表：
连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
-1
直线从左向右上升，随着x值的增大，y值也增加
②由函数关系式 y=x2 可知自变量x的取值范围是全体实数．
列表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … …
4
1
0
1
4
描点、连线，画出函数图象，如图所示：
x
y
1
2
3
-2
-1
-3
1
2
3
-2
-1
-3
O
4
5
6
4
当x＜0时，y随x的增大而减小
当x＞0时，y随x的增大而增大
(1)自变量的取值不宜过大或过小，尽可能取整数．
(2)列表中的自变量的值、函数值分别对应着该点的横、纵坐 标，防止出现横、纵坐标颠倒的错误．
(3)连线时，要用平滑的线按照横坐标从小到大（或从大到小）进行．
(4)图象有端点时，要注意端点值是否能取到，能取到时画实心圆点，不能取到时画空心圆圈．
画函数的图象需要注意以下四点：
活动2：函数图象是以自变量的值和对应的函数值分别为横、纵坐标的点组成的图形，这样的点有无数个，那么怎样判断一个点是否在函数图象上？小组合作完成下列任务：
（1）判断下列各点是否在函数 y＝x＋0.5 的图象上？
　　 ①(－5，－4.5)； ②(4，－3.5)．
（2）判断下列各点是否在函数 y= (x＞0)的图象上？
　　 ①(0.5，12)； ②(12，2)．
（1）判断下列各点是否在函数 y＝x＋0.5 的图象上？
　　 ①(－5，－4.5)； ②(4，－3.5)．
解：①∵当x＝－5 时，y＝－5＋0.5＝－4.5，
∴(－5，－4.5)在函数 y＝x＋0.5 的图象上．
②∵当x＝4 时，y＝4＋0.5＝4.5≠－3.5，
∴(4，－3.5)不在函数 y＝x＋0.5 的图象上．
（2）判断下列各点是否在函数 y= (x＞0)的图象上？
　　 ①(0.5，12)； ②(12，2)．
解：①∵当x＝0.5 时，y＝＝12，
∴(0.5，12)在函数 y＝的图象上．
②∵当x＝12 时，y＝＝0.5≠2，
∴(12，2)不在函数 y＝ 的图象上．
代入法验证：
判断点 P(x，y)是否在函数的图象上，只需把 x，y 的值代入函数的解析式，如果左、右两边相等，那么这个点就在函数的图象上，否则不在．
针对本节课的关键词“函数的图象”，说说你都学了哪些知识？
1.下列各点中在函数y＝3x－1的图象上的是( )
A.(1，－2)　 B.(－1，－4)　　　　　
C.(2，0)　　　　　 D.(0，1)
B
2.已知点A(2，3)在函数y=ax2-x+1的图象上，则a等于　　.
1
3.已知函数 y＝x2－1的图象如图所示．
（1）判断点 A(2.5，－4)，B(－1.6，1.56) 是否在函数 y＝x2－1 的图象上；
（2）从函数的图象中观察，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，还是 y 随 x 的增大而减小？当 x＞0 时呢？
解：（1）∵当x＝2.5 时，y＝2.52－1＝5.25≠－4，
∴点 A(2.5，－4)不在函数 y＝x2－1 的图象上．
∵当x＝－1.6 时，y＝(－1.6)2－1＝1.56，
∴点 B(－1.6，1.56)在函数 y＝x2－1 的图象上．
（2）观察函数的图象，发现：当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大．

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