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4.1.2 相交直线所成的角
第4章 平面内的两条直线
1.理解对顶角的概念，掌握对顶角相等的性质；
2.理解同位角、内错角、同旁内角的概念，能够辨别图形中的这些角.
1.在同一平面内，两条直线的位置关系有几种？
平行
相交
2.观察右图你发现相交直线形成了几个角？
直线与直线相交于一点并形成了四个角.
如图，将一把剪刀张开一定的角度，则可以构成4个角，将其抽象，就可得到如图所示的几何图形．
问题：图中∠1 和 ∠3、∠2 和∠4的顶点和边有什么特征
① 有共同顶点；
② 两边互为反向延长线.
有共同的顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的一对角叫做对顶角.
如图，比较 ∠1和∠3的大小，它们的大小之间有怎样的关系？
做一做
解:因为直线AB与CD相交于O点，
所以 ∠1+∠2=180°，
∠2+∠3=180°，
所以 ∠1=∠3. (同角的补角相等)
同理可得∠2=∠4.
对顶角的性质:对顶角相等.
如图，直线AB，CD相交与点O，且∠AOD+∠BOC=250°，求∠AOC的度数.
解：因为直线AB，CD相交与点O，
所以∠AOD=∠BOC（对顶角相等）.
因为∠AOD+∠BOC=250°，
所以∠BOC=125°.
因为∠AOC+∠BOC=180°，
所以∠AOC=180°-125°=55°.
B
A
D
O
C
设直线 AB， CD 都与第三条直线 MN 相交（有时也说直线 AB 和 CD 被第三条直线 MN 所截），则可以构成 8 个角，如图所示．
观察
(1) ∠1 和∠5 的位置有什么关系
(2) ∠3 和∠5的位置有什么关系
(3) ∠3和∠6 的位置有什么关系
三线八角
(1) ∠1 和∠5 的位置关系
①在直线MN的同一侧（右边）
②在直线AB、CD的同一方（上方）
同位角
∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8.
思考：图中的同位角还有哪些？有什么图形特征呢？
图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角.
变式图形：图中的∠1与∠2都是同位角.
1
2
1
2
1
2
1
2
(2) ∠3 和∠5 的位置关系
①在直线MN的两侧
②在直线AB、CD之间
内错角
∠4和∠6.
思考：图中的内错角还有哪些？有什么图形特征呢？
变式图形：图中的∠1与∠2都是内错角.
图形特征：内错角的顶点不是公共的，一对内错角的图形特征形如字母“Z”.
1
2
1
1
1
2
2
2
(3) ∠3 和∠6 的位置关系
①在直线MN的同一旁(左侧)
②在直线AB、CD的之间
同旁内角
∠4和∠5.
思考：图中的同旁内角还有哪些？有什么图形特征呢？
变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角.
图形特征：同旁内角的顶点不是公共的，同旁内角的图形特征形如字母“U”
1
1
1
1
2
2
2
2
角的名称 角的特征 基本图形 基本图形 相同点 共同特征
同位角
同旁 内角 内错角 F
Z
U
截线:同侧
被截线:同旁
截线:同侧
被截线:之间
截线:两侧
被截线:之间
1
2
1
2
1
2
都在截线同侧
都在被截线之间
这三类角都是没有公共顶点的
生活中的数学：三线八角手势记忆法
同位角
内错角
同旁内角
例1 如图，直线 EF 与 直线AB，CD分别相交，构成 8 个角.指出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角.
对顶角：∠1和∠3， ∠2和∠4，
∠5和∠7， ∠6和∠8.
同位角：∠2和∠5， ∠1和∠8，
∠3和∠6， ∠4和∠7.
内错角：∠1和∠6， ∠4和∠5.
同旁内角：∠1和∠5， ∠4和∠6.
例2 如图，直线 AB，CD 被直线 MN 所截，同位角∠1 与∠2 相等，那么内错角∠2 与∠3 相等吗
解：因为∠1 ＝∠3 （对顶角相等），
∠1 ＝∠2 （已知），
所以∠2 ＝∠3 （等量代换）.
两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，则内错角相等.
对顶角
同位角
内错角
同旁内角
对顶角相等
两直线相交
两直线被第三条直线所截形成的角
（三线八角）
相交直线所成的角
F
Z
U
1.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）.
D
C
1
2
A
1
2
B
1
2
D
1
2
2.如图，若 ∠1 +∠3 = 80°，则∠1，∠2，∠3，∠4 各角的度数分别为__________________________.
3
2
1
4
40°，140°，40°，140°
3.如图，∠1和∠4 是 AB、 被 所截得的 角；
∠3和∠5是 、 被 所截得的 角；
∠2和∠5是 、 被 所截得的 角；
AC、BC被AB所截得的同旁内角是 .
CD
BE
同位
AB
BC
AC
同旁内
AB
CD
AC
内错
∠4和∠5
4.如图，直线 AB，CD 被 EF 所截，如果∠1与∠2互补，且∠1=110°，那么∠3、∠4的度数分别是多少
解：因为∠1 = 110°，∠1+∠2 = 180°,
所以∠2 = 70°,
所以∠3 =∠2 = 70°(对顶角相等).
因为∠1+∠4 = 180°，
所以∠4 = 70°.

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