资源简介

(共19张PPT)
4.5 垂线
课时1 垂线
第4章 平面内的两条直线
1.理解垂线的概念；
2.理解并掌握垂线的性质，能够运用其性质解决一些简单的几何问题.
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们相交成什么特殊的角？
直角
思考：当两条直线相交成直角时，它们的位置关系在数学中如何定义？这样的关系会使得图形具有哪些性质呢？
A
B
C
D
将宣传栏的上下边框与两侧边框均看作直线，如图所示，则上下两条直线与左右两条直线分别相交成多少度的角？
垂线的概念
如图，取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a，转动木条 b. 当 b 的位置变化时，a、b 所成的角 α 是如何变化的？
其中会有特殊情况出现吗？当这种情况出现时，a 与 b 是什么位置关系？
a
b
b
b
b
如图，当∠AOD=90°时，∠AOC、∠BOC、∠BOD等于多少度 为什么
解：当∠AOD=90°时，
由对顶角和邻补角的性质，得
∠AOC =∠BOC =∠BOD=90°.
A
B
C
D
O
垂直符号：⊥
它们的交点叫做垂足．
在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角(此时可知其余三个角也是直角)，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线.
直线 AB 与CD互相垂直(O为垂足)，
记作“AB⊥CD”.
A
B
C
D
O
读作“AB 垂直于 CD”.
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为点O.
几何语言：
因为∠AOD=90° （已知）
所以 AB⊥CD.
(垂直的定义)
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为点O，那么∠AOD=90°.
A
B
C
D
O
议一议
两条直线互相垂直的情形在生活中随处可见，举出教室内一些互相垂直的实例，并与同学交流.
若两条直线相交所成的四个角中没有直角，则称其中一条直线为另一条直线的斜线.
如图，直线 CD 是 直线AB 的斜线，
同样，直线 AB 也是直线 CD 的斜线.
总结：两直线相交，则其中一条直线是另一条直线的垂线或斜线.
(1) 如图，在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，那么 a // b 吗？请说明理由.
解：a∥b .理由如下：
因为 a⊥l， b⊥l，
所以 ∠1 ＝∠2 ＝ 90 ° ，
所以 a∥b (同位角相等，两直线平行)．
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
垂线的性质
(2) 如图，在同一平面内，如果直线 a∥b，l⊥a，那么 l ⊥ b 吗？请说明理由.
解：l ⊥ b．理由如下：
因为 l⊥a，所以∠1 ＝ 90°．
因为 a∥b，
所以∠2＝∠1＝90°(两直线平行，同位角相等)，
因此 l ⊥ b．
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条.
例1 在如图的简易屋架中，BD，AE，HF 都垂直于 CG，若∠1 ＝ 60°，求∠2 的度数．
解: 因为 BD，AE 都垂直于 CG，
所以 BD∥AE (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)，
从而∠2 ＝∠1 ＝ 60°(两直线平行， 同位角相等)．
例2 如图，在△ABC中，CD⊥ AB于点 D，∠1＝∠2，求∠BEF的度数．
解: 因为 CD⊥AB，
所以∠BDC = 90° (垂直的定义).
又因为∠1 =∠2，
所以 DC∥EF (同位角相等，两直线平行)，
所以∠BEF =∠BDC = 90° (两直线平行，同位角相等).
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线.
垂
线
定义
性质
在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角，则称这两条直线互相垂直. 其中一条直线叫作另一条直线的垂线.
→
1.如图，已知直线 AB、CD 都经过 O 点，OE 为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则 OE 与 AB 的位置关系是 .
C
A
B
O
E
1
2
D
垂直
解：因为 EO⊥CD，
所以∠DOE=90°(垂直的定义)，
因为∠BOE = 60°，
所以∠BOD = 30° (余角的定义)，
所以 ∠1 = ∠BOD = 30° (对顶角的性质).
2. 直线 AB，CD 相交于点 O， EO⊥CD， ∠BOE ＝ 60°，求∠1 的度数．
60°
1
3. 如图， DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，求∠C的度数．
解：因为 DA⊥AB， CD⊥DA，
所以 CD∥AB (在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).
所以∠B +∠C=180° (两直线平行，同旁内角互补)，
所以∠C = 180°－ 56°=124°.
4. 如图，直线 AB、CD相交于点 O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点 O，∠1=50°，求∠COB、∠EOB、∠BOF 的度数.
解：因为 OE⊥CD，
所以∠DOE = 90°，∠COE = 90°.
因为∠1 = 50°，所以∠AOD = 40°.
所以∠COB = 40°(对顶角相等).
所以∠EOB = 130°.
因为 OD平分∠AOF，
所以∠DOF = ∠AOD = 40°.
所以∠BOF = 180°-∠COB-∠DOF = 100°.

展开更多......

收起↑