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4.5 垂线
课时2 垂线段与点到直线的距离
第4章 平面内的两条直线
1.通过画已知直线的垂线，掌握垂线的基本事实；
2.理解垂线段的概念；
3.知道垂线段最短是定义点到直线的距离的依据，会求点到直线的距离.
如图，体育课上老师应该怎样测量同学们的跳远成绩呢？
任意画一条直线 l ，用三角板或量角器过任意一点 P 画直线 l 的垂线.
问题1：若直线 l 经过点 P,这样的垂线能画几条？
一“靠”
二“过”
三“画”
P
a
用三角板画：
1条
垂线的基本事实
问题2：若直线 l 不经过点 P,这样的垂线能画几条？
b
1条
P
由问题1和问题2你有什么猜想？
猜想：无论点 P 在直线 l 上还是在直线 l 外，过点 P 都只能画出直线 l 的一条垂线.
P
b
P
a
假如过点 P 还有一直线 c 能使 c⊥l，
c
c
则根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行可知，c∥a(或c∥b).
又直线c与直线a (直线b)有公共点P，
因此这是不可能的.
证明理由如下：
猜想：无论点 P 在直线 l 上还是在直线 l 外，过点 P 都只能画出直线 l 的一条垂线.
垂线的基本事实：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
如图，设 PO 垂直于直线 l，O 为垂足，线段 PO 叫作点 P 到直线 l 的垂线段．
经过点 P 的其他直线分别交直线 l 于点 A，B，C，D， ···，线段 PA，PB，PC，PD，··· 都不是垂线段，称为斜线段．
注意：垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是已知点，另一端是垂足.
A
B
C
D
P
O
l
垂线段
① 用刻度尺量，发现垂线段 PO 最短.
用刻度尺或者圆规比较图中PA，PB，PO，PC，PD 五条线段的长度，哪条线段最短？
② 用圆规比较垂线段 PO 和斜线段 PA，PB，PC，PD 的长度可知，垂线段 PO 最短.
A
B
C
D
P
O
l
说一说
问题：如何用一句话来表示这个结论呢？同学们互相交流一下.
垂线段的性质：
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短．
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
如图，垂线段 PO 的长度叫作点 P 到直线 l 的距离.
P
l
O
点到直线的距离
(1) 量出点 P 到直线 AB 的距离.
(2) 如图，某单位要在河岸 l 上建一个水泵房引水到 C 处,建在哪个位置才最节省水管？为什么？
(3) 由(1)(2)你会发现可以怎样求点到直线的距离？
求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离.
P
A
B
垂线段最短
做一做
例1 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13.
(1) 求点 A 到直线 BC 的距离；
解：因为∠ABC = 90°，
所以 AB⊥BC， 点 B为垂足，
所以线段 AB 即为点 A 到直线 BC 的垂线段.
因为AB = 5，
所以点 A 到直线 BC 的距离为 5.
例1 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足为点 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13.
(2) 求点 B 到直线 AC 的距离.
解：因为 BD⊥AC， 垂足为点 D，
所以线段 BD 的长度即为点 B 到直线 AC 的距离.
因为S△ABC = ·BC·AB= ·AC·BD ,
所以 BD = ，
所以点B到直线AC的距离为 .
等面积法
如图，在△ABC 中，∠A = 90 °，AB = 3 ，AC = 4 ，BC = 5 ，求点 A 到 BC 的距离.
解: 过点 A作 AD ⊥ BC，垂足为点 D,
D
所以线段 AD 的长度即为点 A 到 BC 的距离.
因为S△ABC = ·AC·AB = ·BC·AD ,
所以 AD = ，即点 A 到 BC 的距离为 .
A
B
C
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线段最短.
垂
线
垂线的画法
垂线的性质
点到直线的距离
1. 下列过点 P 向线段 AB 所在直线作垂线正确的是（ ）
C
A
B
C
D
2. 如图，AC⊥BC，∠CDB = 90°，线段 AC，BC，CD 中最短的是 ( )
A. AC B. BC
C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 线段 AB 叫做点 B 到直线 AC 的距离
B. 线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 AC 的距离
C. 线段 BD 的长度叫做点 D 到直线 BC 的距离
D. 线段 BD 的长度叫做点 B 到直线 AC 的距离
A
B
C
D
D
4.如图，平原上有 A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池.
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 H 点
的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
解：因为两点之间线段最短，
所以连接 AD，BC 交于点 H ，
则 点 H 为蓄水池的位置，
它到四个村庄的距离之和最小.
H
（2）计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短？并说明根据.
解：过点 H 作 HG⊥EF ，垂足为 G .
“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池 H 中开渠最短的根据.
G
H

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